二次根式经典难题复习题

（易错题精选）初中数学二次根式难题汇编附解析一、选择题1．如果一个三角形的三边长分别为12、k、72，则化简21236k k-+﹣|2k﹣5|的结果是()A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k【答案】D【解析】【分析】求出k的范围，化简二次根式得出|k-6|-|2k-5|，根据绝对值性质得出6-k-（2k-5），求出即可．【详解】∵一个三角形的三边长分别为12、k、72，∴72-12＜k＜12+72，∴3＜k＜4，21236k k-+-|2k-5|，=()26k--|2k-5|，=6-k-（2k-5），=-3k+11，=11-3k，故选D．【点睛】本题考查了绝对值，二次根式的性质，三角形的三边关系定理的应用，解此题的关键是去绝对值符号，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．2．下列计算正确的是（）A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】解：A、B与不能合并，所以A、B选项错误；C、原式= ×=，所以C选项错误；D、原式==3，所以D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3．下列各式计算正确的是（ ）A 1082==-= B ．()()236==-⨯-=C 115236==+=D ．54==- 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断．【详解】解：A 、原式，所以A 选项错误；B 、原式，所以B 选项错误；C 、原式6，所以C 选项错误；D 、原式54==-，所以D 选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4．当3x =-时，二次根m 等于（ ）AB ．2CD 【答案】B【解析】解：把x =﹣3代入二次根式得，原式=，依题意得：=．故选B ．5．若代数式1x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．1x ≠B ．3x ＞-且1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≥-且1x ≠ 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，可得；x+3≥0，x-1≠0，解不等式就可以求解．【详解】∵代数式1x -在有意义， ∴x+3≥0，x-1≠0，解得：x≥-3且x≠1，故选D ．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：①分式有意义，分母不为0；②二次根式的被开方数是非负数．6．下列运算正确的是（ ）A ．1233x x -=B ．()326a aa ⋅-=-C ．1)4=D ．()422a a -=【答案】C【解析】【分析】 根据合并同类项，单项式相乘，平方差公式和幂的乘方法进行判断.【详解】解：A 、1233x x x -=，故本选项错误； B 、()325a a a ⋅-=-，故本选项错误；C 、1)514=-=，故本选项正确；D 、()422a a -=-，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查的是实数的计算，熟练掌握合并同类项，单项式相乘，平方差公式和幂的乘方法是解题的关键.7．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +b |-2()b a -，其结果是（ ）A ．2a -B ．2aC ．2bD ．2b -【答案】A【解析】【分析】2a ，再结合绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可．【详解】解：由数轴知b ＜0＜a ，且|a|＜|b|，则a+b ＜0，b-a ＜0，∴原式=-（a+b ）+（b-a ）=-a-b+b-a=-2a ，故选A ．【点睛】2a ．8．5130.5a 22a b -22x y +中，是最简二次根式的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】A【解析】 5 133 0.5a 2a ，不是最简二次根式； 22a b -b ，不是最简二次根式；22x y +是最简二次根式.共有2个最简二次根式.故选A.点睛：最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．9．下列计算错误的是（ ）A ．2598a a a +=B ．14772⨯=C ．3223-=D ．60523÷= 【答案】C【解析】【分析】 根据二次根式的运算法则逐项判断即可．【详解】解：A. 259538a a a a a +=+=，正确；B. 14727772⨯=⨯⨯=，正确；C. 32222-=，原式错误；D. 6051223÷==，正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的加减和乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．如图，数轴上的点可近似表示(4630-)6÷的值是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】A【解析】【分析】先化简原式得45-5545【详解】原式=45-由于25＜＜3，∴1＜45-＜2．故选：A ．【点睛】本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．11．有意义的x 的取值范围（ ） A ．x ＞2B ．x≥2C ．x ＞3D ．x≥2且x≠3 【答案】D【解析】试题分析：分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数． 根据题意，得20{30x x -≥-≠解得，x≥2且x≠3． 考点：（1）、二次根式有意义的条件；（2）、分式有意义的条件12．有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．1x >-B ．0x ≥C ．1x ≥-D ．任意实数【答案】C【解析】【分析】a 必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围.【详解】有意义,则10x +≥,故1x ≥-故选:C【点睛】考核知识点:二次根式有意义条件.理解二次根式定义是关键.13的值是一个整数，则正整数a 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算得到a 的最小值即可．【详解】∴正整数a 是最小值是2．故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用二次根式的乘法法则化简．14．计算201720192)2)的结果是( )A．B2 C．7 D．7- 【答案】C【解析】【分析】先利用积的乘方得到原式= 201722)2)]2)⋅，然后根据平方差公式和完全平方公式计算．【详解】解：原式=201722)2)]2)+⋅=2017(34)(34)-⋅-1(7=-⨯-7=故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15．2a =-，那么（ ）A ．2x <B ．2x ≤C ．2x >D ．2x ≥【答案】B【解析】(0)0(0)(0)a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩，由此可知2-a≥0，解得a≤2.故选B点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质(0)0(0)(0)a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩可求解.16．下列运算正确的是（ ）A ．235a a a +=B ．23241(2)()162a a a -÷=-C ．1133a a-= D ．2222)3441a a a ÷=-+【答案】D【解析】 试题分析：A ．23a a +，无法计算，故此选项错误；B ．()23262112824a a a a ⎛⎫⎛⎫-÷=-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=432a -，故此选项错误； C ．133a a -=，故此选项错误；D ．()22223441a a a ÷=-+，正确．故选D ．17．下列运算正确的是（ ）A =B 2÷=C ．3=D ．142=【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算的相关知识即可解答.【详解】=，故错误；2÷=，正确；C. =D. 142故选B.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握运算法则.18．有意义的条件是（ ）A ．x>3B ．x>-3C ．x≥3D ．x≥-3【答案】D【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案．【详解】根据被开方数大于等于0得，3x +有意义的条件是+30≥x解得：-3≥x故选：D 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．19．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可．【详解】 2x +∴被开方数x+2为非负数，∴x+2≥0，解得：x≥-2.故答案选D.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.20．已知25523y x x =--，则2xy 的值为（ ） A ．15-B ．15C ．152-D ．152 【答案】A【解析】试题解析：由25523y x x =--，得250{520x x -≥-≥， 解得 2.5{3x y ==-．2xy =2×2.5×（-3）=-15，故选A ．。

二次根式难题及答案【篇一：二次根式提高练习习题(含答案)】判断题：（每小题1分，共5分）21．(?2)ab＝－2ab．???????（）2．－2的倒数是3＋2．（）23．(x?1)＝(x?1)2．?（）4．ab、5．8x，13a3b、?2a是同类二次根式．?（） xb1，9?x2都不是最简二次根式．（） 31有意义． x?3（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x__________时，式子7．化简－15828．a－a2?1的有理化因式是____________． 9．当1＜x＜4时，|x－4|＋x2?2x?1＝________________．ab?c2d2ab?cd2210．方程2（x－1）＝x＋1的解是____________． 11．已知a、b、c为正数，d为负数，化简12．比较大小：－＝______．127_________－14．y?3＝0，则(x－1)2＋(y＋3)2＝____________．15．x，y分别为8－的整数部分和小数部分，则2xy－y2＝____________．（三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知x3?3x2＝－xx?3，则??????（）（a）x≤0（b）x≤－3（c）x≥－3（d）－3≤x≤0222217．若x＜y＜0，则x?2xy?y＋x?2xy?y＝?????????（）（a）2x（b）2y（c）－2x（d）－2y 18．若0＜x＜1，则(x?)?4－(x?（a）1x212)?4等于?????????（） x22（b）－（c）－2x（d）2x xx?a3(a＜0)得????????????????????????（） 19．化简a（a）?a（b）－a（c）－?a（d）a20．当a＜0，b＜0时，－a＋2ab－b可变形为???????????????（）（a）(a?b)2 （b）－(a?b)2 （c）(?a??b)2 （d）(?a??b)2（四）计算题：（每小题6分，共24分）21．（5??2）（5?3?2）；22．54?－42－；?73?23．（a2abn－mmmn＋n24．（a＋a?babb?ababab?bab?aa?（五）求值：（每小题7分，共14分）x3?xy23?2?25．已知x＝，y＝，求4的值． 3223xy?2xy?xy3?2?226．当x＝1－2时，求xx?a?xx?a2222＋2x?x2?a2x?xx?a222＋1x?a22的值．六、解答题：（每小题8分，共16分）27．计算（2＋1）（1111＋＋＋?＋）．1?22??4?28．若x，y为实数，且y＝?4x＋4x?1＋（一）判断题：（每小题1分，共5分）1xyxy．求?2?－?2?的值． 2yxyx2、【提示】1?23?4?223、(x?1)＝|x－1|，（x≥1）．两式相等，必须x≥1．但等式左边x 可取任何数．【答(x?1)2＝x－113a3b、?2a化成最简二次根式后再判断．【答案】√． xb6、【提示】x何时有意义？x≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x≥0且x≠9．7、【答案】－2aa．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、【提示】（a－a2?1）（________）＝a2－(a2?1)2．a＋a2?1．【答案】a＋a2?1． 9、【提示】x2－2x＋1＝（）2，x－1．当1＜x＜4时，x－4，x－1是正数还是负数？x－4是负数，x－1是正数．【答案】3． 10、【提示】把方程整理成ax＝b的形式后，a、b分别是多少？2?1，2?1．【答案】x＝3＋22． 11、【提示】c2d2＝|cd|＝－cd．【答案】ab＋cd．【点评】∵ ab＝(ab)2（ab＞0），∴ ab－c2d2＝（ab?cd）（ab?cd）． 12、【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较－111，的大小，最后比较－与2848281的大小． 48【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、【答案】40．【点评】x?1≥0，y?3≥0．当x?1＋y?3＝0时，x＋1＝0，y－3＝0．15、【提示】∵ 3＜＜4，∴ _______＜8－＜__________．[4，5]．由于8－介于4与5之间，则其整数部分x＝？小数部分y＝？[x＝4，y＝4－]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了．（三）选择题：（每小题3分，共15分） 16、【答案】d．【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（a）、（c）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17、【提示】∵ x＜y＜0，∴ x－y＜0，x＋y＜0．∴x2?2xy?y2＝(x?y)2＝|x－y|＝y－x．x2?2xy?y2＝(x?y)2＝|x＋y|＝－x－y．【答案】c．【点评】本题考查二次根式的性质a2＝|a|．18、【提示】(x－12111)＋4＝(x＋)2，(x＋)2－4＝(x－)2．又∵ 0＜x＜1， xxxx11∴ x＋＞0，x－＜0．【答案】d．xx【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（a）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x＜1时，x－1＜0． x19、【提示】?a3＝?a?a2＝?aa2＝|a|?a＝－a?a．【答案】c． 20、【提示】∵ a＜0，b＜0，∴－a＞0，－b＞0．并且－a＝(?a)2，－b＝(?b)2，ab＝(?a)(?b)．【答案】c．【点评】本题考查逆向运用公式(a)2＝a（a≥0）和完全平方公式．注意（a）、（b）不正确是因为a＜0，b＜0时，a、b都没有意义．（四）计算题：（每小题6分，共24分）21、【提示】将?看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(5?)2－(2)2＝5－2＋3－2＝6－2． 22、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝5(4?)4(?)2(3?)－－＝4＋－－－3＋7＝1．16?1111?79?7abnm1nm－）22 mn＋mmnabmn1nnmmmm?－? mn?＋22mabmabmnnnn11a2?ab?1－＋＝． aba2b2a2b223、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a21b21＝2b＝【解】原式＝24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．a??b?abaa(a?)?b(a?b)?(a?b)(a?b)a?bab(a?)(a?b)a?ba2?aab?bab?b2?a2?b2a?bab(a?)(a?b)＝a?bab(a?b)(a?)＝－?．a?b?ab(a?b)【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．（五）求值：（每小题7分，共14分） 25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x＝3?2＝(3?2)2＝5＋2，3?23?2y＝＝(3?2)2＝5－26．3?2∴ x＋y＝10，x－y＝46，xy＝52－(26)2＝1．2x(x?y)(x?y)x?y46x3?xy26．＝＝＝＝2243223xy(x?y)xy(x?y)1?105xy?2xy?xy【点评】本题将x、y化简后，根据解题的需要，先分别求出“x＋y”、“x－y”、“xy”．从而使求值的过程更简捷．26、【提示】注意：x2＋a2＝(x2?a2)2，∴ x2＋a2－xx2?a2＝x2?a2（x2?a2－x），x2－xx2?a2＝－x （x2?a2－x）．【解】原式＝xx?a(x?a?x)2222－2x?x2?a2x(x?a?x)22＋1x?a22＝x2?x2?a2(2x?x2?a2)?x(x2?a2?x)xx?a(x?a?x)xx2?a2(x2?a2?x)2222222222222＝x?2xx?a?(x?a)?xx?a?x=(x2?a2)2?xx2?a2＝xx2?a2(x2?a2?x)x2?a2(x2?a2?x) xx2?a2(x2?a2?x)11．当x＝1－2时，原式＝＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分x1?2122x式”之差，那么化简会更简便．即原式＝－2x?x?a＋22222222x?ax?a(x?a?x)x(x?a?x)11111＝(＝1． ?)＋?)－(2xx?a2?xxx2?a2x2?a2?xx2?a2＝六、解答题：（每小题8分，共16分） 27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（25＋1）（2?13?24??＋＋＋?＋） 2?13?24?3100?99＝（25＋1）[（2?1）＋（?2）＋（4?）＋?＋（?）]＝（25＋1）（00?1）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．1?x???1?4x?0?4]28、【提示】要使y有意义，必须满足什么条件？[? ]你能求出x，y的值吗？[?14x?1?0.??y?.?2?1?x???1?4x?0111?4【解】要使y有意义，必须[?，即?∴ x＝．当x＝时，y＝．442?4x?1?0?x?1.?4?又∵xxyxy??2?－?2?＝(yyxyxy2－xy2 )(?)xyx【篇二：二次根式及经典习题及答案】>知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

二次根式一、单选题【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：由题意得，x －1≥0，解得x≥1．故选：D ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． ． ． ．． 【答案】C【分析】根据被开方数大于等于0x 的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．【详解】解：根据题意得，10x −≥，解得1x ≤，在数轴上表示如下：故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．【答案】D【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：A. )1=，故该选项不正确，不符合题意；B. =C.=D.)26=−故选：D ．【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】解：∵代数式有意义， ∴020x x ≥⎧⎨−≠⎩，解得0x ≥且2x ≠，故选：D.【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．【答案】B【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．【详解】解：k ⋅)53−=∵22.5=6.25，23=9∴532<<,∴与k 最接近的整数为3，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【答案】A【分析】把a b ==【详解】解：∵a b ==∴2=，故选：A ．【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．【答案】B【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可．【详解】解：sin 45︒== 故选：B ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．【答案】B【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解：m ===−∵<∴54−<−<−，即54m −<<−，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得000a b ab ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，0,0a b ∴≥≥， 故选：D ．【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A2BCD =不是同类二次根式，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．【详解】解：∴40a −≥，解得：4a ≥，则a 的值可以是6 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．二、填空题【答案】4x ≥【详解】根据题意得：40x −≥，解得：4x ≥，故答案为：4x ≥．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方数大于等于0是解题的关键．【答案】5x ≥−且0x ≠/0x ≠且5x ≥−【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．【详解】∵式子有意义， ∴50x +≥且0x ≠，∴5x ≥−且0x ≠，故答案为：5x ≥−且0x ≠．【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．【答案】1x >且2x ≠【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出10,20x x −>−≠，即可求解．【详解】解：依题意，10,20x x −>−≠∴1x >且2x ≠，故答案为：1x >且2x ≠．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．【答案】3x ≥−【详解】解：由题意得，30x +≥，解得3x ≥−．故答案为：3x ≥−.【答案】6【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．6==．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．【答案】3【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．【详解】解：3⎛=⎝⎭(==3=.故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．【答案】3x>【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件计算即可．【详解】∴3030x x−−≠≥，且，解得x3＞，故答案为：x3＞．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．【答案】88m要是完全平方数，据此求解即可【详解】解：∴8m要是完全平方数，∴正整数m的值可以为8，即864m=8==，故答案为：8（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8m要是完全平方数是解题的关键．【答案】故答案为：【答案】1=− 【分析】此题用平方差公式计算即可.【详解】22=−23=−1=− 故答案为：1=−.【答案】1 【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．【详解】解：22761=−=−=故答案为：1. 【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【答案】1（答案不唯一）【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当30x −<【详解】解：当30x −<3x <，x 为正整数，x ∴可取1，2，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键．【答案】1x ≥−【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可．【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得：x+1≥0，解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单．【答案】18【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可．【详解】解：根据题意得，140x −≥，即14x ≥2，等式两边分别平方，144x −=移项，18x =，符合题意，故答案为：18．【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键．【答案】9x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件得出90x −≥，即可求解．【详解】解：∵∴90x −≥，解得：9x ≥，故答案为：9x ≥．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【分析】根据二次根式的性质即可求解．【详解】解：2=5 故答案为：5．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．三、解答题【答案】4【分析】先化简二次根式，绝对值，计算零次幂，再合并即可.【详解】解：()10220231+−−2113=++211+ 4=.【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，化简绝对值，零次幂的含义，掌握运算法则是解本题的关键.【答案】4 【分析】根据有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂结合二次根式的混合运算法则进行计算即可．【详解】解：2202301(1)3tan 30(3)2|2π−⎛⎫−++−−+ ⎪︒⎝⎭ 14312=−+++1412=−++4=．【点睛】本题考查了有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂以及二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．【答案】6−【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．【详解】解：原式2293=−6=−．【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．【答案】【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．===【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．。

新初中数学二次根式难题汇编及答案一、选择题1．9≤，则x 取值范围为（ ） A ．26x ≤≤B ．37x ≤≤C ．36x ≤≤D ．17x ≤≤【答案】A【解析】【分析】先化成绝对值，再分区间讨论，即可求解．【详解】9， 即：23579x x x x -+-+-+-≤，当2x <时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，矛盾；当23x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，符合；当35x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得79≤，符合；当57x ≤≤时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得6x ≤，符合；当7x >时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得 6.5x ≤，矛盾；综上，x 取值范围为：26x ≤≤，故选：A ．【点睛】本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟练运用二次根式的运算法则．2．如果0,0ab a b >+<，那么给出下列各式=；a =-；正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 【答案】B【解析】【分析】由题意得0a <，0b <，然后根据二次根式的性质和乘法法则逐个判断即可．【详解】解：∵0ab >，0a b +<，∴0a <，0b <，无意义，故①错误；==，故②正确；1====-，故③正确；a a故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质和乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2【答案】B【解析】【分析】在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案.【详解】在实数范围内有意义，∴a＋2≥0，解得a≥－2．故选B.【点睛】本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件；x=-时，二次根m等于（）4．当3C DA B．2【答案】B【解析】解：把x=﹣3代入二次根式得，原式=，依题意得：=．故选B．5．下列各式计算正确的是( )A．2＋b＝2b B=C．(2a2)3＝8a5D．a6÷ a4＝a2【答案】D【解析】解：A．2与b不是同类项，不能合并，故错误；B 不是同类二次根式，不能合并，故错误；C ．（2a 2）3=8a 6，故错误；D ．正确．故选D ．6．x 的取值范围是（ ） A ．x≥76 B ．x ＞76 C ．x≤76 D ． x ＜76【答案】B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】∵67x -是被开方数，∴670x -≥，又∵分母不能为零，∴670x ->，解得，x ＞76； 故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是熟练掌握其意义的条件.7．下列计算结果正确的是( )A 3B ±6CD ．3＋＝【答案】A【解析】【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【详解】A 、原式=|-3|=3，正确；B 、原式=6，错误；C 、原式不能合并，错误；D 、原式不能合并，错误．故选A．【点睛】考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．下列运算正确的是()A B．1)2＝3－1 C D5－3【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减及乘除的法则分别计算各选项，然后与所给结果进行比较，从而可得出结果．【详解】解：≠，故本选项错误；1)2＝3－，故本选项正确；= =4，故本选项错误．故选C.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．9．下列计算错误的是（）A=B=C．3=D=【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可．【详解】解：==，正确；==C. =D. ==故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的加减和乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．下列计算正确的是()A6=B=C．2=D5=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【详解】A====C.=，此选项计算错误；=，此选项计算错误；5故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．11．下列运算正确的是（）A+=B）﹣1＝2C 2 D±3【答案】B【解析】【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：A-=，正确；B、12C2=D3，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减以及二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．12．2在哪两个整数之间()A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8【答案】C【解析】【分析】== 1.414222≈，即可解答．【详解】== 1.414222≈，∴2 6.242≈，即介于6和7，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及 1.414≈．13．婴儿游泳是供婴儿进行室内或室外游泳的场所，婴儿游泳池的样式多种多样，现已知积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据底面积＝体积÷高列出算式，再利用二次根式的除法法则计算可得．【详解】故选：D．【点睛】考核知识点：二次根式除法．理解题意，掌握二次根式除法法则是关键．14．下列计算正确的是（）A．=B=C ．=D -=【答案】B【解析】【分析】 根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得.【详解】A 、-B 、，此选项正确；C 、=（D 、= 故选B【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.15．计算201720192)2)的结果是( )A ．B 2C ．7D ．7- 【答案】C【解析】【分析】先利用积的乘方得到原式= 201722)2)]2)⋅，然后根据平方差公式和完全平方公式计算．【详解】解：原式=201722)2)]2)+⋅=2017(34)(34)-⋅-1(7=-⨯-7=故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4,3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．6C ．236223+--D ．23225+-【答案】D【解析】【分析】 将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.【详解】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：则阴影面积((222323=222233+=23225故选：D【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．17．当实数x 2x -41y x =+中y 的取值范围是( ) A ．7y ≥-B ．9y ≥C ．9y <-D ．7y <-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义易得x 的取值范围，代入所给函数可得y 的取值范围．【详解】解：由题意得20x -≥，解得2x ≥， 419x ∴+≥，即9y ≥．【点睛】本题考查了函数值的取值的求法；根据二次根式被开方数为非负数得到x的取值是解决本题的关键．18．下列根式中属最简二次根式的是（）A．21a+B．12C．8D．2【答案】A【解析】试题分析：最简二次根式是指无法进行化简的二次根式.A、无法化简；B、原式=；C、原式=2；D、原式=.考点：最简二次根式19．若x+y＝2，x﹣y＝3﹣222x y-的值为（）A．2B．1 C．6 D．3﹣2【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵x+y＝2，x﹣y＝3﹣2，22()()(322)(322)x y x y x y-=+-=+-1．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行解题．20．mmn-有意义，那么直角坐标系中 P(m,n)的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式与分式的性质求出m,n的取值，即可判断P点所在的象限.依题意的-m≥0，mn＞0，解得m＜0，n＜0，故P(m,n)的位置在第三象限，故选C.【点睛】此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知二次根式与分式的性质.。

专题02二次根式综合（压轴33题10个考点）一．二次根式的定义（共1小题）1．若是整数，则正整数n的最小值是51．【答案】51．【解答】解：∵204＝4×51，∴，∴，∵是整数，且n是整数，∴n的最小值为：51．故答案为：51．二．二次根式有意义的条件（共3小题）2．使式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．﹣1≤x≤2C．x≤2D．﹣1＜x＜2【答案】B【解答】解：根据题意，得，解得，﹣1≤x≤2；故选：B．3．已知|2004﹣a|+＝a，则a﹣20042＝2005．【答案】2005．【解答】解：∵有意义，∴a﹣2005≥0，解得：a≥2005，∴|2004﹣a|+＝a﹣2004+＝a，故＝2004，∴a﹣2005＝20042，∴a﹣20042＝a﹣（a﹣2005）＝a﹣a+2005＝2005．故答案为：2005．4．已知，则x2022y2023＝﹣．【答案】．【解答】解：∵，即，解得：，∴x＝2，∴，∵x2022y2023＝（xy）2022•y，将x＝2，代入，∴x2022y2023＝（xy）2022•y＝[2×（﹣）]2022×（﹣）＝（﹣1）2022×（﹣）＝﹣．故答案为：．三．二次根式的性质与化简（共8小题）5．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1B．x+1C．﹣x﹣1D．1﹣x【答案】D【解答】解：＝＝|x﹣1|∵x＜1，∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，故选：D．6．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（）A．4B．2a C．2b D．2a﹣2b【答案】A【解答】解：由数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，a＜b，∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＜0．∴＝|a+2|+|b﹣2|+|a﹣b|＝a+2+2﹣b+b﹣a＝4．故选：A．7．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n ﹣1），所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．故选：C．8．已知T1＝＝＝，T2＝＝＝，T3＝＝＝，…T n＝，其中n为正整数．设S n＝T1+T2+T3+…+T n，则S2021值是（）A．2021B．2022C．2021D．2022【答案】A【解答】解：由T1、T2、T3…的规律可得，T1＝＝1+（1﹣），T2＝＝1+（﹣），T3＝＝1+（﹣），……T2021＝＝1+（﹣），所以S2021＝T1+T2+T3+…+T2021＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝（1+1+1+…+1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝2021+（1﹣）＝2021+＝2021，故选：A．9．已知a≠0，b≠0且a＜b，化简的结果是﹣a．【答案】﹣a．【解答】解：由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，∵a＜b，∴a＜0＜b，所以原式＝|a|＝﹣a，故答案为：﹣a．10．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，则x+y的最小值为﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：∵|x+2|+|1﹣x|＝9﹣﹣，∴|x+2|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣5|＝9，∵|x+2|+|x﹣1|可理解为在数轴上，数x的对应的点到﹣2和1两点的距离之和；|y+1|+|y ﹣5|可理解为在数轴上，数y的对应的点到﹣1和5两点的距离之和，∴当﹣2≤x≤1，|x+2|+|x﹣1|的最小值为3；当﹣1≤y≤5时，|y+1|+|y﹣5|的最小值为6，∴x的范围为﹣2≤x≤1，y的范围为﹣1≤y≤5，当x＝﹣2，y＝﹣1时，x+y的值最小，最小值为﹣3．故答案为﹣3．11．若，则m的取值范围是m≤4．【答案】见试题解答内容【解答】解：，得4﹣m≥0，解得m≤4，故答案为：m≤4．12．若x＜2，化简|﹣x|的正确结果是2x+2或﹣4x+2．【答案】2x+2或﹣4x+2．【解答】解：当0≤x＜2时，原式＝|x﹣2|+3x＝2﹣x+3x＝2x+2；当x＜0时，原式＝|x﹣2|﹣3x＝2﹣x﹣3x＝﹣4x+2．故答案为：2x+2或﹣4x+2．四．二次根式的乘除法（共4小题）13．使式子成立的条件是（）A．a≥5B．a＞5C．0≤a≤5D．0≤a＜5【答案】B【解答】解：由题意得：，解得：a＞5．故选：B．14．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+ 4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（）A．5+3B．5+C．5﹣D．5﹣3【答案】D【解答】解：设x＝﹣，且＞，∴x＜0，∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，∴x2＝12﹣2×3＝6，∴x＝，∵＝5﹣2，∴原式＝5﹣2﹣＝5﹣3，故选：D．15．若a，b为有理数且满足，则a+b＝4．【答案】1．【解答】解：∵，∴＝．∴a＝3，b＝1．∴a+b＝3+1＝4．故答案为：4．16．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简：．解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：．∴1﹣x＞0．∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简．【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．（3）已知a，b，c为A B C的三边长．化简：．【答案】（1）1；（2）﹣a﹣2b；（3）2a+2b+2c．【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0，解得：x≤2，∴x﹣3＜0，∴原式＝（3﹣x）﹣（2﹣x）＝3﹣x﹣2+x＝1；（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴原式＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a＝﹣a﹣2b；（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，∴原式＝（a+b+c）+（﹣a+b+c）+（﹣b+a+c）+（﹣c+b+a）＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a＝2a+2b+2c．五．分母有理化（共1小题）17．阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，∴．模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）；模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）2﹣2．【解答】解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，即12+（）2＝6，1×＝，所以：＝＝＝1+；（2）首先把化为，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，即（）2+（）2＝13，×＝，所以＝＝＝＝﹣＝2﹣；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，所以，所以，．六．同类二次根式（共1小题）18．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（）A．16B．0C．2D．不确定【答案】B【解答】解：∵＝3，而最简二次根式与是同类二次根式，∴a+2＝2，解得a＝0．故选：B．七．二次根式的加减法（共1小题）19．若，则x﹣x2的值为﹣6．【答案】﹣6．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0．∴x≥2．∴1﹣x＜0．∴．∴x﹣1+＝x．∴．∴x＝3．∴x﹣x2＝3﹣9＝﹣6．故答案为：﹣6．八．二次根式的混合运算（共4小题）20．已知，，则2y﹣3x的平方根为±4．【答案】±4．【解答】解：∵，∴96﹣x≥0，∴x≤96，∴100﹣x+96﹣x＝200，解得x＝﹣2，∵，∴m+23≥0，m﹣2≥0，2﹣m≥0，解得m＝2，∴y＝5，∴±＝±＝±4，故答案为：±4．21．计算的结果是+．【答案】+．【解答】解：原式＝[（﹣）（+）]2022×（+）＝（2﹣3）2022×（+）＝+．故答案为：+．22．已知a＝，b＝．（1）求a+b的值；（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．【答案】（1）2；（2）20．【解答】解：（1）a＝＝＝﹣2，b＝＝＝+2．a+b＝﹣2++2＝2，（2）∵2＜＜3，∴0＜﹣2＜1，4＜+2＜5，∴m＝﹣2，n＝4，∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（2﹣4+4）2＝20．23．先阅读下面的材料，再解答下列问题．∵，∴．特别地，，∴．这种变形叫做将分母有理化．利用上述思路方法计算下列各式：（1）；（2）．【答案】（1）2020；（2）1．【解答】解：（1）＝＝＝2021﹣1＝2020；（2）＝＝＝＝1．九．二次根式的化简求值（共8小题）24．已知，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（）A．B．﹣10C．﹣2D．【答案】C【解答】解：∵，∴x﹣1＝，∴x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7＝（）2﹣7＝5﹣7＝﹣2，故选：C．25．已知，，则a与b的关系是（）A．a＝b B．ab＝1C．ab＝﹣1D．a+b＝0【答案】D【解答】解：a＝＝＝3﹣＝﹣（﹣3），A．a＝﹣b，故本选项不符合题意；B．ab＝（3﹣）×（﹣3）＝﹣（﹣3）2＝﹣（5﹣6+3）＝﹣5+6﹣3＝﹣8+6，故本选项不符合题意；C．ab＝﹣8+6，故本选项不符合题意；D．a+b＝3﹣+﹣3＝0，故本选项符合题意．故选：D．26．若x2+y2＝1，则++的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：∵x2+y2＝1，∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，∵＝＝，x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴y＝0，∴++＝2+1+0＝3．故选：D．27．若a＝2+，b＝2﹣，则＝8．【答案】8．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2＝（2+√5）2＝4+4+5＝9+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+5＝9﹣4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣5＝﹣1．﹣＝＝＝8．故答案为：8．28．若m＝，则m3﹣m2﹣2017m+2015＝4030．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵m＝＝＝＝，∴原式＝m2（m﹣1）﹣2017m+2015＝（+1）2×﹣2017（+1）+2015＝（2017+2）﹣2017﹣2017+2015＝2017+2×2016﹣2017﹣2017+2015＝4032﹣2＝403029．已知a＝2+，b＝，则a2﹣3ab+b2的值为11．【答案】11．【解答】解：当a＝2+，b＝时，a2﹣3ab+b2，＝﹣+，＝，＝，＝11．30．某同学在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与求解的：先将a进行分母有理化，过程如下，，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据上述分析过程，解决如下问题：（1）若，请将a进行分母有理化；（2）在（1）的条件下，求a2﹣2a的值；（3）在（1）的条件下，求2a3﹣4a2﹣1的值．【答案】（1）；（2）1；（3）．【解答】解：（1）a＝＝＝；（2）∵，∴（a﹣1）2＝2，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1；（3）根据（2）可知，a2﹣2a＝1，∴2a3﹣4a2﹣1＝2a（a2﹣2a）﹣1＝2a﹣1，当a＝时，原式＝2（）﹣1＝2．31．小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1）计算：．（2）若a＝．①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；②求a3﹣3a2+a+1的值．【答案】（1）9；（2）①a＝+1，4a2﹣8a﹣1的值是3；②0．【解答】解：（1）＝﹣1+++…+＝﹣1+＝﹣1+10＝9；（2）①a＝＝＝＝+1，∴a＝+1，∴（a﹣1）2＝（）2＝2，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴4a2﹣8a﹣1＝4（a2﹣2a）﹣1＝4×1﹣1＝4﹣1＝3；②由①知a2﹣2a＝1，∴a3﹣3a2+a+1＝a（a2﹣2a）﹣（a2﹣2a）﹣a+1＝a×1﹣1﹣a+1＝a﹣1﹣a+1＝0．十．二次根式的应用（共2小题）32．俊俊和霞霞共同合作将一张长为，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是1或或2﹣．【答案】1或或2﹣．【解答】解：如图1方式裁剪，另两个等腰三角形腰长是或；如图2方式裁剪，另两个等腰三角形腰长都是1．故答案为：1或或2﹣．33．古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在△ABC中，AB＝3，BC＝6，AC＝7，则用海伦公式求得△ABC的面积为．【答案】【解答】解：由题意可得：a＝6，b＝7，c＝3，∴，∴＝＝＝，故答案为：．。

期末复习- 《二次根式》常考题与易错题精选（45题）一．选择题（共22小题）1．若是整数，则正整数n的最小值是（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】根据二次根式的定义可得答案．【解答】解：∵＝3，∴正整数n的最小值是5；故选：B．【点评】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的乘法是解题关键．2．若是整数，则正整数n的最小值是（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】先化简，然后根据二次根式的定义判断即可．【解答】解：∵＝2，∴正整数n的最小值是：5，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．3．下列式子中，一定属于二次根式的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的定义，被开方数大于等于0进行判断即可得到结果．【解答】解：被开方数为非负数，所以A不合题意；x≥﹣2时二次根式有意义，x＜﹣2时没意义，所以B不合题意；为三次根式，所以C不合题意；满足二次根式的定义，所以D符合题意．故选：D．【点评】本题考查二次根式的定义，注意选项中各式的形式及未知数取值范围是解本题的关键．4．给出下列各式：；②6；；④（m≤0）；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．【解答】解：①∵3＞0，∴是二次根式；②6不是二次根式；②∵﹣12＜0，∴不是二次根式；④∵m≤0，∴﹣m≥0，∴是二次根式；⑤∵a2+1＞0，∴是二次根式；⑥是三次根式，不是二次根式．所以二次根式有3个．故选：B．【点评】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．5．下列各式：、，，，，中，一定是二次根式的有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】利用二次根式的定义对每个式子进行判断即可．【解答】解：∵式子（a≥0）是二次根式，∴，，（x≥1），是二次根式，无意义，是三次根式，∴一定是二次根式的有：，，（x≥1），，故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的意义是解题的关键．6．已知x、y为实数，且，则x+y的值是（ ）A．10B．8C．5D．3【分析】根据二次根式（a≥0）可得x﹣2≥0且6﹣3x≥0，从而可得x＝2，进而可得y＝3，然后把x，y的值代入式子中进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0且6﹣3x≥0，解得：x≥2且x≤2，∴x＝2，∴x+y＝2+3＝5，故选：C．【点评】本题考查了二次根式的有意义的条件，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．7．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠2B．x≥2C．x≤2D．x＞2【分析】根据二次根式（a≥0）可得2x﹣4≥0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：2x﹣4≥0，解得：x≥2，故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．8．已知x，y为实数，且满足++2，则x y的值为（ ）A．4B．6C．9D．16【分析】根据二次根式（a≥0），可得x＝3，从而可得y＝2，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，3﹣x≥0，∴x＝3，∴y＝2，∴x y＝32＝9，故选：C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．9．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠4B．x＞C．x≥2且x≠4D．x＞2且x≠4【分析】根据分式和二次根式有意义的条件即可得出答案．【解答】解：∵x﹣2≥0，x﹣4≠0，∴x≥2且x≠4．【点评】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．10．若x，y为实数，且y＝2++，则|x+y|的值是（ ）A．5B．3C．2D．1【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式，求出x，代入y＝2++求出y，把x、y的值代入|﹣x+y|计算．【解答】解：∵，∴，∴x＝3，∴y＝2，∴|x+y|＝|3+2|＝5，故选：A．【点评】本题主要考查了解不等式组、代数式求值、二次根式有意义的条件，掌握根据二次根式有意义的条件列不等式，是解题关键．11．下列各式中，正确的是（ ）A．B．﹣C．D．【分析】利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵＝|﹣3|＝3，∴A选项的结论不正确；∵﹣＝﹣3，∴B选项的结论正确；∵＝|﹣3|＝3，∴C选项的结论不正确；∵＝3，∴D选项的结论不正确，故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质对每个选项进行判断是解题的关键．12．化简得（ ）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：原式＝a•＝﹣．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的运算，掌握商的算术平方根的性质是解决本题的关键．13．已知|a|＝3，＝5，且|a+b|＝a+b，那么a+b的值是（ ）A．2或8B．2或﹣8C．﹣2或8D．﹣2或﹣8【分析】根据二次根式的性质与化简，立方根的意义，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：∵|a|＝3，＝5，∴a＝±3，b＝±5，∵|a+b|＝a+b，∴a+b≥0，∴当a＝3，b＝5时，a+b＝3+5＝8，当a＝﹣3，b＝5时，a+b＝﹣3+5＝2，综上所述：a+b的值是2或8，故选：A．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．14．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、＝2，故A不符合题意；B、＝＝，故B不符合题意；C、＝2，故C不符合题意；D、是最简二次根式，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．15．已知1＜p＜2，化简+（）2＝（ ）A．1B．3C．3﹣2p D．1﹣2p【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：∵1＜p＜2，∴1﹣p＜0，2﹣p＞0，∴原式＝|1﹣p|+2﹣p＝p﹣1+2﹣p＝1．故选：A．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质．16．如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先根据ab＞0，a+b＜0得到a＜0，b＜0，然后利用二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则逐个作出判断即可．【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0．∴，无意义，①错误；，②正确；，③正确；，④错误；正确的有2个，故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．17．下列各式中是﹣a﹣b有理化因式的是（ ）A．a+b B．b﹣a C．a﹣b D．b﹣a 【分析】利用平方差公式，进行计算即可解答．【解答】解：（﹣a﹣b）（b﹣a）＝﹣（b+a）（b﹣a）＝﹣（b2x﹣a2y）＝﹣b2x+a2y，故选：B．【点评】本题考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解题的关键．18．计算：的值为（ ）A．B．3C．D．9【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案．【解答】解：＝×＝＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．19．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（ ）A．0B．8C．2D．2或8【分析】根据同类二次根式的定义，可得2a﹣1＝9﹣3a，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：2a﹣1＝9﹣3a，2a+3a＝9+1，5a＝10，a＝2，故选：C．【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．20．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A．B．C．D．【分析】先把每一个选项的二次根式化成最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、＝3，与不是同类二次根式，故A不符合题意；B、＝2，与不是同类二次根式，故B不符合题意；C、＝，与是同类二次根式，故C符合题意；D、＝，与不是同类二次根式，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．21．下列二次根式中、是同类二次根式的一组是（ ）A．和B．和C．和D．和【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝2，与不是同类二次根式，本选项不符合题意；B、＝，与是同类二次根式，本选项符合题意；C、＝|a|，＝|b|，∴与不是同类二次根式，本选项不符合题意；D、与不是同类二次根式，本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是最简二次根式的、同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．22．下列运算正确的是（ ）A．（﹣x2）3＝﹣x6B．C．D．2﹣1+（π﹣3.14）0＝2【分析】利用二次根式的加减法的法则，幂的乘方的法则，分式的除法的法则，负整数指数幂对各项进行运算即可．【解答】解：A、（﹣x2）3＝﹣x6，故A符合题意；B、，故B不符合题意；C、与2不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意；D、2﹣1+（π﹣3.14）0＝，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查二次根式的加减法，幂的乘方，分式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．二．解答题（共23小题）23．已知y＝++3且与互为相反数，求yz﹣x的平方根．【分析】根据算术平方根的非负性及互为相反数的特点列不等式组和方程，确定x，y，z的值，从而结合平方根的概念求解．【解答】解：∵y＝++3，∴，解得：x＝2，∴y＝3，∵与互为相反数，∴1﹣2z+3z﹣5＝0，解得：z＝4，∴yz﹣x＝3×4﹣2＝10，∴yz﹣x的平方根为±．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式的非负性，掌握立方根和平方根的概念是解题关键．24．已知y＝．【分析】根据二次根式的定义，可得x＝2，可求得y的值，进而可得x+y的值与它的平方根．【解答】解：∵y＝++5有意义，∴，解得x＝2，故y＝5；则x+y＝7，故x+y的平方根为±．【点评】本题考查二次根式的意义，平方根的概念．此类题目是常见的考题，应特别注意．25．计算：＝　3　，＝　0.7　，＝　0　，＝　6　，＝ ，（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来；（2）利用你总结的规律，计算．【分析】根据二次根式的性质＝|a|，进行计算即可解答．【解答】解：计算：＝3，＝0.7，＝0，＝6，＝，故答案为：3；0.7；0；6；；（1）不一定等于a，发现的规律是：＝|a|；（2）＝|3.14﹣π|＝π﹣3.14．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质＝|a|是解题的关键．26．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．【解答】解：由题意得：c＜b＜0＜a，∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，∴＝﹣b﹣（a﹣b）+a﹣c﹣（﹣c）＝﹣b﹣a+b+a﹣c+c＝0．【点评】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，准确熟练地化简各式是解题的关键．27．数a，b在数轴上的位置如图所示，化简．【分析】根据数轴可得出a，b的取值范围，再化简即可．【解答】解：如图得，﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a﹣b＜0，b﹣1＞0，a+1＜0，∴．＝b﹣a+b﹣1﹣（﹣a﹣1），＝2b﹣a﹣1+a+1，＝2b．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，掌握二次根式的化简是解题的关键．28．把二次根式（x﹣1）化为最简二次根式．【分析】根据题意可得：1﹣x＞0，从而可得x﹣1＜0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：1﹣x＞0，∴x﹣1＜0，∴（x﹣1）＝﹣（1﹣x）＝﹣＝﹣．【点评】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键．29．计算：．【分析】系数先除后乘，被开方数也是按这个顺序运算，把除法化为乘法求出最后结果．【解答】解：原式＝12a÷3b2＝＝＝4．【点评】本题考查了二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简，掌握计算时先乘除，后化简，运算顺序是解题关键．30．计算：．【分析】根据二次根式的乘法、除法法则运算，注意结果是最简二次根式．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题关键．31．已知：m＝，n＝，求的值．【分析】将m和n的式子分母有理化，在代入所求式子，利用完全平方公式和平方差公式计算即可．【解答】解：∵m＝＝＝2﹣，n＝＝＝2+，∴，＝，＝，＝．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，掌握运算法则，平方差公式与完全平方公式是解题的关键．32．计算：（1）+（）﹣2﹣|﹣2|；（2）+2﹣（﹣）．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）+（）﹣2﹣|﹣2|＝2+9﹣（2﹣）＝2+9﹣2+＝3+7；（2）+2﹣（﹣）＝2+2﹣3+＝3﹣．【点评】本题考查了实数的运算，二次根式的加减法，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．33．计算：（1）；（2）[（﹣ab2）2﹣2b⋅a2b3]÷a2b．【分析】（1）先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变；（2）先算中括号乘方与乘法．再合括号内并同类项，最后算除法．【解答】解：（1）原式＝﹣+2﹣5+＝﹣6+3；（2）原式＝（a2b4﹣2a2b4）÷a2b＝﹣a2b4÷a2b＝﹣b3．【点评】本题主要考查了二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、单项式与单项式相乘，掌握这三种运算法则是解题关键．34．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）利用分母有理化进行计算，即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（3）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；（4）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．【解答】解：（1）＝＝﹣；（2）＝1+（﹣2）+﹣5﹣2＝1﹣2+3﹣5﹣2＝﹣6；（3）＝3﹣2+＝；（4）＝﹣（5﹣2）＝﹣3＝1﹣3＝﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．35．已知A，B都是关于x的多项式，且A＝2x2﹣5x+4，A﹣B＝2x+1．（1）求B；（2）若，求B的值．【分析】（1）根据已知可得B＝A﹣（2x+1），然后把A＝2x2﹣5x+4代入式子中，进行计算即可解答；（2）根据已知可得2x+1＝，从而可得：x＝，然后把x的值代入（1）的结论进行计算，即可解答．【解答】解：（1）∵A＝2x2﹣5x+4，A﹣B＝2x+1，∴B＝A﹣（2x+1）＝2x2﹣5x+4﹣（2x+1）＝2x2﹣5x+4﹣2x﹣1＝2x2﹣7x+3；（2）∵，∴2x+1＝，解得：x＝，当x＝时，B＝2×（）2﹣7×+3＝﹣+3＝，∴B的值为．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键．36．计算：．【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．【解答】解：＝4﹣2+3+（﹣1）＝3+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．37．已知x＝+1，y＝﹣1，求x2+xy的值．【分析】利用因式分解进行计算，即可解答．【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴x2+xy＝x（x+y）＝（+1）（+1+﹣1）＝（+1）×2＝10+2，∴x2+xy的值为10+2．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．38．（1）先化简，再求值：（﹣）÷，其中m＝+1，n＝﹣1；（2）已知a＝，b＝，求值：+．【分析】（1）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m，n的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；（2）先利用分母有理化化简a，b的值，然后再求出a+b与ab的值，从而利用完全平方公式进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣）÷＝•＝•＝•＝，当m＝+1，n＝﹣1时，原式＝＝＝；（2）∵a＝＝＝﹣，b＝＝＝+，∴a+b＝﹣++＝2，ab＝（﹣）（+）＝7﹣5＝2，∴+＝＝＝＝＝＝12．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．39．已知x＝2+，y＝2﹣，求代数式x2+2xy+y2的值．【分析】根据二次根式的加法法则求出x+y，根据完全平方公式把原式变形，把x+y的值代入计算即可．【解答】解：∵x＝2+，y＝2﹣，∴x+y＝2++2﹣＝4，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝42＝16．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、完全平方公式是解题的关键．40．已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2b﹣ab2的值．【分析】利用因式分解，进行计算即可解答．【解答】解：∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴ab＝（3+2）（3﹣2）＝（3）2﹣（2）2＝18﹣12＝6，a﹣b＝3+2﹣（3﹣2）＝3+2﹣3+2＝4，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝6×4＝24．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．41．如图，从一个大正方形中裁去面积为4cm2和25cm2的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积．【分析】根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案．【解答】解：∵大正方形的边长＝，∴大正方形的面积为49cm2，∴阴影部分的面积＝49﹣4﹣25＝20（cm2）．【点评】本题考查了算术平方根，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题的关键．42．如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；（2）求阴影部分的面积．【分析】（1）根据正方形的面积公式求得边长；（2）先求出直角三角形BFG、ABD的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这就是阴影部分的面积．【解答】解：（1）正方形ABCD的边长为：BC＝，正方形ECFG的边长为：CF＝；（2）∵BF＝BC+CF，BC＝2，CF＝4，∴BF＝6；∴S△BFG＝GF•BF＝24；又S△ABD＝AB•AD＝4，∴S阴影＝S正方形ABCD+S正方形ECFG﹣S△BFG﹣S△ABD＝8+32﹣24﹣4，＝12．【点评】本题主要考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积．第（2）题关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算．43．据研究，从高空抛物时间t（秒）和高度h（米）近似满足公式（不考虑风速影响）．（1）从50米高空抛物到落地所需时间t1的值是多少？（2）从100米高空抛物到落地所需时间t2的值是多少？（3）t2是t1的多少倍？【分析】（1）将h＝50代入t1＝进行计算即可；（2）将h＝100代入t2＝进行计算即可；（3）计算的值即可得出结论．【解答】解：（1）当h＝50时，t1＝（秒）；（2）当h＝100时，t2＝（秒）；（3）∵，∴t2是t1的倍．【点评】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．44．某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？【分析】（1）根据矩形的周长＝（长+宽）×2计算即可；（2）先求出通道的面积，再算钱数即可．【解答】解：（1）（+）×2＝（8+5）×2＝13×2＝26（米），答：矩形ABCD的周长为26米；（2）×﹣2×（+1）×（﹣1）＝8×5﹣2×（13﹣1）＝80﹣24＝56（平方米），6×56＝336（元），答：购买地砖需要花费336元．【点评】本题考查了二次根式的应用，最简二次根式，掌握＝•（a≥0，b≥0）是解题的关键．45．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦﹣﹣﹣九韶公式”完成下列问题：如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．（1）求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．【分析】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；（2）按照三角形的面积等于×底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可．【解答】解．（1）根据题意知p＝＝9所以S＝＝＝6∴△ABC的面积为6；（2）∵S＝ch1＝bh2＝6∴×6h1＝×5h2＝6∴h1＝2，h2＝∴h1+h2＝．【点评】本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键．。

二次根式的混合运算二次根式的运算知识点及经典试题知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：21．在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.（3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式②利用积的算术平方根的性质③利用（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式移到根号外④被开方数中每个因数指数都要小雨2（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简知识点三、二次根式的除法法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：（3）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.（2）步骤①利用商的算术平方根的性质②分别对a，b利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化（3）被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次式之和或差，或是有理式.规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.解：(1)×=；(2)×==；(3)×==9；(4)×==.2、计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2；(2)==×2=2；(3)===2；(4)===2.3、化简(1)；(2)；(3)；(4)；(5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12；(2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy (5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确改正：×=×===＝4.4、化简：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=(2)=(3)=；(4)=.举一反三【变式1】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a≥0，b＞0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( ) A. B. C.D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三【变式1】计算(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；(3)；(4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01)解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)×(2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).（3）()()200020013232______________-+=思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.（3）略类型六、化简求值12、已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求(+y 2)-(x 2-5x )的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值． 解：4x 2+y 2-4x-6y+10=0 4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0 ∴(2x-1)2+(y-3)2=0 ∴x=，y=3原式=+y 2-x 2+5x=2x +-x +5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x +)-(4y +)，其中x=，y=27． 解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】.已知2+1，求（22121x x x x x x +---+）÷1x 的值．类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出： a =_______(a ＞0)，并验证你的结论．解：a =验证：a ====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力. 【变式1】对于题目“化简求值：1a 2212a a+-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同． 甲的解答是：1a 2212a a +-=1a 21()a a -1a +1a －a=2495a a -= 乙的解答是：1a 2212a a +-=1a 21()a a-1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？跟踪练习21.1 二次根式：1. 使式子4x - 。

二次根式难题汇编附答案解析一、选择题1．下列计算正确的是( )A ．3=B =C ．1=D 2= 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得．【详解】A 、=，错误；BC 、22=⨯=D 2==，正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则．2．把(a b -根号外的因式移到根号内的结果为（ ）.A B C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先判断出a -b 的符号，然后解答即可．【详解】 ∵被开方数10b a≥-，分母0b a -≠，∴0b a ->，∴0a b -<，∴原式(b a =--== 故选C ． 【点睛】=|a |．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．3．下列各式计算正确的是（ ）A 1082==-= B ．()()236==-⨯-=C 115236==+=D ．54==- 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断．【详解】解：A 、原式，所以A 选项错误；B 、原式，所以B 选项错误；C 、原式6，所以C 选项错误；D 、原式54==-，所以D 选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4．已知实数a 满足2006a a -=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005B ．2006C ．2007D ．2008【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值．【详解】∵a-2007≥0， ∴a ≥2007，∴2006a a -=可化为a 2006a -+=，2006=，∴a-2007=20062，∴22006a -=2007．故选C ．【点睛】本题考查了绝对值的意义、二次根式有意义的条件，求出a 的取值范围是解答本题的关键．5．x 的取值范围是（ ） A ．x≥76 B ．x ＞76 C ．x≤76 D ． x ＜76【答案】B【解析】【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】∵67x -是被开方数，∴670x -≥，又∵分母不能为零，∴670x ->，解得，x ＞76； 故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，解题的关键是熟练掌握其意义的条件.6．下列运算正确的是( )A B ．1)2＝3－1 C D 5－3 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减及乘除的法则分别计算各选项，然后与所给结果进行比较，从而可得出结果．【详解】解：≠，故本选项错误；1)2＝3－，故本选项正确；= =4，故本选项错误．故选C.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．7．下列二次根式：5、13、0.5a、22a b-、22x y+中，是最简二次根式的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】试题解析：5，是最简二次根式；1 3=3，不是最简二次根式；0.5a=2a，不是最简二次根式；22a b-=2|a|b，不是最简二次根式；22x y+, 是最简二次根式.共有2个最简二次根式.故选A.点睛：最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．8．如图，数轴上的点可近似表示(4630-)6÷的值是()A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A【解析】【分析】先化简原式得45-5545【详解】原式=45-由于25＜＜3，∴1＜42．故选：A ．【点睛】本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．9．下列式子正确的是（ ）A 6=±B C 3=- D 5=- 【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根、立方根的定义和性质求解即可.【详解】解：6=，故A 错误.B 错误.3=-，故C 正确.D. 5=，故D 错误.故选：C【点睛】此题主要考查算术平方根和立方根的定义及性质，熟练掌握概念是解题的关键.10．一次函数y mx n =-+的结果是( )A ．mB ．m -C ．2m n -D ．2m n -【答案】D【解析】【分析】根据题意可得﹣m ＜0，n ＜0，再进行化简即可．【详解】∵一次函数y ＝﹣mx +n 的图象经过第二、三、四象限，∴﹣m ＜0，n ＜0，即m ＞0，n ＜0，＝|m ﹣n |+|n |＝m ﹣n ﹣n＝m ﹣2n ，故选D．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.11．下列二次根式中是最简二次根式的是（）DA B C【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数），判断即可．【详解】解：A，故本选项错误；BCD，故本选项错误.故选：B．【点睛】本题考查对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．12．a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1C．a＝1 D．a≤1【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得a﹣1≥0，再解不等式即可．【详解】由题意得：a﹣1≥0，解得：a≥1，故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．13．下列计算正确的是（）A．=B=C．=D-=【答案】B【解析】【分析】 根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得.【详解】A、-B 、，此选项正确； C、=（D 、= 故选B【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.14．2a =-，那么（ ）A ．2x <B ．2x ≤C ．2x >D ．2x ≥【答案】B【解析】(0)0(0)(0)a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩，由此可知2-a≥0，解得a≤2.故选B点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质(0)0(0)(0)a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩可求解.15．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A 、被开方数含分母，故A 不符合题意；B 、被开方数含开的尽的因数，故B 不符合题意；C 、被开方数是小数，故C 不符合题意；D 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D 符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．16．实数,a b 在数轴上对应的点位置如图所示，则化简22||a a b b +++的结果是（ ）A ．2a -B ．2b -C ．2a b +D ．2a b -【答案】A【解析】【分析】 2,a a = 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．【详解】解：0,,a b a b Q ＜＜＞ 0,a b ∴+＜22||a a b b a a b b ∴++=+++()a a b b =--++a ab b =---+2.a =-故选A ．【点睛】 本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键．17．下列运算正确的是( )A 532=B 822=C 123= D 2=-【答案】B【解析】【分析】 根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】A ．≠A 错误；B ．=，故B 正确；C ．=C 错误；D ．2=,故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．18．若a b > ）A ．-B ．-C ．D ．【答案】D【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可； 【详解】∴-a 3b≥0∵a ＞b ，∴a ＞0，b ＜0=，故选：D ．【点睛】此题考查二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．19．下列各式中，属于同类二次根式的是（ ）A B．C．3D．【答案】C【解析】【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B、C、3的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；D故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．20．有意义，那么直角坐标系中 P(m,n)的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式与分式的性质求出m,n的取值，即可判断P点所在的象限.【详解】依题意的-m≥0，mn＞0，解得m＜0，n＜0，故P(m,n)的位置在第三象限，故选C.【点睛】此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知二次根式与分式的性质.。

人教版初中数学二次根式难题汇编附答案一、选择题1．2在哪两个整数之间()A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8【答案】C【解析】【分析】222== 1.414≈，即可解答．【详解】222== 1.414≈，∴2 6.242≈，即介于6和7，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及 1.414≈．2．把(a b-根号外的因式移到根号内的结果为（）.A B C．D．【答案】C【解析】【分析】先判断出a-b的符号，然后解答即可．【详解】∵被开方数1b a≥-，分母0b a-≠，∴0b a->，∴0a b-<，∴原式(b a=--==故选C．【点睛】=|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．3．下列各式计算正确的是（）A1082==-=B．()()236==-⨯-=C 115236==+=D ．54==- 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断．【详解】解：A 、原式，所以A 选项错误；B 、原式，所以B 选项错误；C 、原式C 选项错误；D 、原式54==-，所以D 选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．4．在下列算式中：=②=；③42==；=，其中正确的是（ ） A ．①③B ．②④C ．③④D ．①④ 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案.【详解】①错误；=②正确；==，故③错误；==④正确；故选：B.【点睛】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.5．若x 、y 4y =，则xy 的值为( )A ．0B ．12C ．2D ．不能确定 【答案】C【解析】由题意得，2x −1⩾0且1−2x ⩾0，解得x ⩾12且x ⩽12， ∴x =12， y =4，∴xy =12×4=2. 故答案为C.6．有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≥1B ．x≥2C ．x ＞1D ．x ＞2【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不为0可得关于x 的不等式组，解不等式组即可得.【详解】由题意得 200x x -≥⎧⎨≠⎩， 解得：x≥2，故选B.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.7．的结果是 A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】B【解析】=-=22故选:B8x的取值范围是（）A．x≥5B．x>-5 C．x≥-5 D．x≤-5【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】Q有意义，∴x+5≥0，解得x≥-5.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.9．下列式子正确的是（）=-A6=±B C3=-D5【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根、立方根的定义和性质求解即可.【详解】=，故A错误.解：6B错误.=-，故C正确.3=，故D错误.D. 5故选：C【点睛】此题主要考查算术平方根和立方根的定义及性质，熟练掌握概念是解题的关键.10．下列计算正确的是()A ．3=B =C ．1=D 2=【答案】D【解析】【分析】 根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得．【详解】A 、=，错误；BC 、22=⨯=D 2==，正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则．11．下列各式中，属于同类二次根式的是（ ）A B ． C ． 3 D ．【答案】C【解析】【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A 的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B 、C 、3的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；D故选：C ．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．12．下列各式中是二次根式的是（ ）A B C D x ＜0）【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可．【详解】A 、38的根指数为3，不是二次根式；B 、1-的被开方数﹣1＜0，无意义；C 、2的根指数为2，且被开方数2＞0，是二次根式；D 、x 的被开方数x ＜0，无意义；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的定义：形如a （a≥0）叫二次根式．13．下列各式中，运算正确的是（ ）A ．222()-=-B ．284⨯=C ．2810+=D ．222-= 【答案】B【解析】【分析】根据2a =|a|，a b ab ⨯=（a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．【详解】A 、()222-=，故原题计算错误；B 、2816⨯==4，故原题计算正确；C 、2832+=，故原题计算错误；D 、2和2不能合并，故原题计算错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则．14．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4,3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．6C ．236223+--D ．23225+-【答案】D【解析】【分析】 将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.【详解】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：则阴影面积=()()222323⨯-+⨯-=222233-+-=23225+-故选：D【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．15．实数,a b 在数轴上对应的点位置如图所示，则化简22||a a b b +++的结果是（ ）A ．2a -B ．2b -C ．2a b +D ．2a b -【答案】A【解析】【分析】2,a a = 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．【详解】解：0,,a b a b Q ＜＜＞ 0,a b ∴+＜22||a a b b a a b b ∴++=+++()a a b b =--++a ab b =---+2.a =-故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键．16．下列运算正确的是( )A =B =C 123=D 2=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】A ．≠A 错误；B ．=，故B 正确；C ．=C 错误；D ．2=,故D 错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．17．下列运算正确的是（ ）A =B 2÷=C ．3=D ．142=【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算的相关知识即可解答. 【详解】=，故错误；2÷=，正确；C. =D. 142故选B.【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握运算法则.18．有意义的x 的取值范围（ ） A ．x ＞2B ．x≥2C ．x ＞3D ．x≥2且x≠3【答案】D【解析】试题分析：分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数． 根据题意，得20{30x x -≥-≠解得，x≥2且x≠3． 考点：（1）、二次根式有意义的条件；（2）、分式有意义的条件19．下列二次根式中的最简二次根式是（ ）AB C D 【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】ABC ，不是最简二次根式；D 2，不是最简二次根式； 故选：A ．【点睛】此题考查最简二次根式的概念，解题关键在于掌握（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．20．a =-成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．0a ≥C ．0a <D ．0a >【答案】A【解析】【分析】由根号可知等号左边的式子为正，所以右边的式子也为正,所以可得答案.【详解】得-a≥0，所以a≤0，所以答案选择A项.【点睛】本题考查了求解数的取值范围，等号两边的值相等是解答本题的关键.。

二次根式经典难题(含答案)1.当x满足x+2+1-2x有意义时。

2.若-m+1/(m+1)有意义，则m的取值范围是什么。

3.当x满足1-x为二次根式时。

4.在实数范围内分解因式：x^4-9=(x^2+3)(x^2-3)，x^2-22x+2=(x-11+3√3)(x-11-3√3)。

5.若4x^2=2x，则x的取值范围是0和1/2.6.已知(x-2)^2=2-x，则x的取值范围是{x|x≤2+√2或x≥2-√2}。

7.化简：x^2-2x+1(x+1)的结果是(x-1)^2.8.当1≤x≤5时，(x-1)^2+x-5=x^2-2x+5.9.把a-1/a的根号外的因式移到根号内等于|a-1|。

10.使等式(x+1)(x-1)=x-1/x+1成立的条件是x不等于1.11.若a-b+1与a+2b+4互为相反数，则(a-b)^2005=1.12.在式子x^2(x,2,y+1)(y=-2),-2x(x,3,3),x^2+1,x+y中，二次根式有2个。

14.下列各式一定是二次根式的是a2+1.15.若2a=3，则(2-a)^2-(a-3)^2等于5-2a。

16.若A=(a^2+4)^4，则A=(a^2+2)^2.18.能使等式x/(x-2)=x-2成立的x的取值范围是{x|x≠2且x≥2}。

19.计算：(2a-1)^2+(1-2a)^2的值是4a^2-4a+2.20.下面的推导中开始出错的步骤是(2)。

21.当a≤0，b≤0时，ab^3=-a^2b。

23.去掉下列各根式内的分母：(1) 2y/3x(x)。

(2) (x-1)/(x^5(x+1))(x-1)。

24.已知x^2-3x+1=0，求x^2+1/x^2-2的值为-1/3.25.已知a,b为实数，且1+a-(b-1)/(1-b)=0，求a^2005-b^2006的值为a^2005-b^2005.2.若 $2m+n-2$ 和 $33m-2n+2$ 都是最简二次根式，则$m=11,n=24$。