北师大版中考数学复习专题：因动点产生的直角三角形问题(PDF版无答案)

第15讲 直角三角形用来解决有关问题考点一 直角三角形的性质 1．直角三角形的两锐角互余．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 考点二 直角三角形的判定1．有一个角等于90°的三角形是直角三角形． 2．有两角互余的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形．4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是底边上的高，E 为AC 中点，则DE ＝__________2．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是 ．A．3,4,5 B ．6,8,10 C ．错误!，2，错误! D ．5,12,13一、勾股定理【例1】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．解：设CD ＝，由折叠得△ACD ≌△AED ．∴AE ＝AC ＝6 cm ，∠AED ＝∠C ＝90°，DE ＝CD ＝ 在Rt△ABC 中，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∴AB＝错误!＝错误!＝10cm．∴EB＝AB－AE＝10－6＝4cm，BD＝BC－CD＝8－ cm，在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2∴2＋42＝8－2，解得＝3 cm∴CD的长为3 cm勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．二、勾股定理的逆定理【例2】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12，求四边形ABCD的面积．解：在Rt△ABD中，BD＝错误!＝错误!＝5，在△BCD中，CD＝13，CB＝12，BD＝5，∴CB2＋BD2＝CD2∴∠DBC＝90°∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝错误!AB·AD＋错误!BC·BD＝错误!×3×4＋错误!×12×5＝6＋30＝36题目中如果知道一个三角形的三边时，首先要根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，是直角三角形，就可以利用直角三角形的性质，使问题易于解决．三、勾股定理的实际应用【例3】如图所示，铁路上A，B两站视为直线上两点相距14 km，C，D为两村庄可看为两个点，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8 km，CB＝6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少m处分析：因为DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解．解：设E站应建在距A站 m处，根据勾股定理有82＋2＝62＋14－2，解之得＝6所以E站应建在距A站6 km处．勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它能建立三条边之间的等量关系，为列方程提供依据．1．2022广东广州在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是．A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!2．2022安徽如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2错误!，CD＝错误!，点 2C2555 cm12 cm13 cm6．将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为__________．7．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长图乙中的实线是__________．图甲图乙8．如图，已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．求证：1△ACE≌△BCD；2AD2＋AE2＝DE29．在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．1在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；2当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E，此时请你通过观察、测量DE，DF 与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；3当三角尺在2的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置点F在线段AC上，且点F与点C不重合时，2中的猜想是否仍然成立不用说明理由参考答案基础自主导学自主测试1．4规律方法探究变式训练解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得，AB＝错误!＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩成等腰三角形ABD，应分以下三种情况：1如图1，当AB＝AD＝10时，可求得CD＝CB＝6，故△ABD的周长为32 m2如图2，当AB＝BD＝10时，可求得CD＝4，由勾股定理得AD＝错误!＝4错误!，故△ABD的周长为20＋4错误! m3如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝，则CD＝－6，由勾股定理得－62＋82＝2，则＝错误!，故△ABD的周长为错误! m图1 图2 图3知能优化训练中考回顾1．A2．B3．4错误!4．证明：1在等腰直角△ABC中，∵∠CAD＝∠CBD＝15°∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°∴BD＝AD∴△BDC≌△ADC∴∠DCA＝∠DCB＝45°由∠BDM＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，∴∠BDM＝∠EDC∴DE平分∠BDC2如图，连接MC∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°∴△ADC≌△EMC∴ME＝AD＝DB模拟预测1．D 5．°8．证明：1∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠BCD∵CE＝CD，CA＝CB，∴△ACE≌△BCD2由1得∠CAE＝∠B，∴∠CAE＋∠BAC＝90°∴AD2＋AE2＝DE29．解：1BF＝CG；证明：在△ABF和△ACG中，∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠GAC，AB＝AC，∴△ABF≌△ACG AAS．∴BF＝CG2DEDF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H如图．∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG，∴四边形EDHG为矩形．∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCDAAS．∴DF=CH∴GHCH=DEDF=CG，即DEDF=CG3仍然成立．。

中考数学压轴试题复习第一部分专题一因动点产生的相似三角形问题(2)课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．AB DEAC DF=AB DFAC DE=应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1例 1 20__年湖南省__市中考第28题二次函数y＝a_2＋b_＋c（a≠0）的图象与_轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标_之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，△APC的面积最大．拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD和∠ADC都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP与△COP的和，再减去△AOC．3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与_轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，设y＝a(_＋3)(_－1)．代入点C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a＝m．所以该二次函数的解析式为y＝m(_＋3)(_－1)＝m_2＋2m_－3m．（2）如图3，连结OP．当m＝2时，C(0,－6)，y＝2_2＋4_－6，那么P(_, 2_2＋4_－6)．由于S△AOP＝＝(2_2＋4_－6)＝－3_2－6_＋9，S△COP＝＝－3_，S△AOC＝9，所以S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3_2－9_＝．所以当时，S取得最大值，最大值为．32x=-274图3 图4 图5（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E．过点A作_轴的垂线交DE于F．由y＝m(_＋3)(_－1)＝m(_＋1)2－4m，得D(－1,－4m)．在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶3m．如果△ADC与△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m．①如图4，当∠ACD＝90°时，．所以．解得m＝1．OA OCEC ED=331mm=此时，．所以．所以△CDA∽△OBC．3CA OCCD ED==3OCOB=CA OCCD OB=②如图5，当∠ADC＝90°时，．所以．解得．FA FDED EC=421mm=22m=此时，而．因此△DCA与△OBC不相似．222DA FDDC EC m===3232OCmOB==综上所述，当m＝1时，△CDA∽△OBC．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P作_轴的垂线与AC交于点H．由直线AC：y＝－2_－6，可得H(_,－2_－6)．又因为P(_, 2_2＋4_－6)，所以HP＝－2_2－6_．因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝(－2_2－6_)＝．图62327 3()24x-++例 2 20__年湖南省__市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝_．2·1·c·n·j·y（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出_的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.动感体验图1请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝．所以AD＝．2323（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以＝＝，而＝．此时△APD与△PCB不相似．APAD823433PCPB3图2 图3 图4 ②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以＝＝．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP．APAD22333综上所述，当_＝2时，△APD∽△CBP．（3）如图5，设△ADP的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边DP的中点．设△PCB的外接圆的圆心为O，那么点O在BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB交于点F．设AP＝2m．作OM⊥BP于M，那么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．在Rt△OFM中，FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°，所以OM＝．3 (1) 3m-所以OB2＝BM2＋OM2＝．221(5)(1)3m m-+-在Rt△ADP中，DP2＝AD2＋AP2＝12＋4m2．所以GP2＝3＋m2．于是S＝S1＋S2＝π(GP2＋OB2)＝＝．22213(5)(1)3m m mπ⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦2(73285)3m mπ-+所以当时，S取得最小值，最小值为．167m=1137π图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP＝2m呢？这是因为线段AB＝AP＋PM＋BM＝AP＋2BM＝10．这样BM＝5－m，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S的最小值．问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．此时OB2＝BM2＋OM2＝．这并不影响S关于m的解析式．221(5)(1)3m m -+-例 3 20__年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线y＝－_＋3与_轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－_2＋b_＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，△APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ与△BOP有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ中，∠A＝45°，夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PE＝QF列方程就好了．3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（1）由y＝－_＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)．将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y＝－_2＋b_＋c，得解得所以抛物线的解析式为y＝－_2＋2_＋3．（2）在△APQ中，∠PAQ＝45°，AP＝3－t，AQ＝t．分两种情况讨论直角三角形APQ：①当∠PQA＝90°时，AP＝AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）．2②当∠QPA＝90°时，AQ＝AP．解方程t＝(3－t)，得t＝1.5（如图3）．222图2 图3（3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形．所以EP＝FQ．所以yE－yP＝yF－yQ．因为_P＝t，_Q＝3－t，所以yE＝3－t，yQ＝t，yF＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．因为yE－yP＝yF－yQ，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F 的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y＝－_2＋2_＋3＝－(_－1)2＋4，得M(1, 4)．由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝3．2由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM＝．2所以∠MBQ＝∠BOP＝90°．因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能：①当时，．解得（如图5）．BM OBBQ OP=23322tt=-94t=②当时，．整理，得t2－3t＋3＝0．此方程无实根．BM OPBQ OB=23322tt=-考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－_2＋2_＋3，得t＝1，或t＝3．。

因动点产生的相似三角形问题例1（2011年上海市闸北区中考模拟第25题）直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°． 因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+=±．Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况： ①当3B Q B A =时，10310x ±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --．②当13B Q B A=时，101310x ±=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是22(3)10BQ x x x =+=±．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，1sin 110∠=，3cos 110∠=．①当3B Q B A=时，310B Q =．在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=． 当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --． ②当13B Q B A=时，1103B Q =．同理得到31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．例2（2011年上海市杨浦区中考模拟第24题）Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x =≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数ky x =的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222B D E H m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D （4，1）在反比例函数k y x=的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x=．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得12k =，1b =．因此直线AB 的函数解析式为112y x =+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x =+与y 轴交于点F（0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：①如图3，当E A EF A O F P =时，2552FP =．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）．②如图4，当E A F P A OE F=时，2525F P =．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）．考点伸展本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12y x=-，直线AB 为172y x =-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似．图5例3（2010年义乌市中考第24题）如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）．（2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4G A F ∠=，tan 5DQ t PQD QPt∠==-，所以345t t=-．解得207t =．图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4（2010年上海市宝山区中考模拟第24题）如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y m x m x n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y m x m x n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =．(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝45． 如图2，由AM //CN ，可得''''B N B C B MB A=，即2'845B C =．解得'5B C =．所以35AC =．根据菱形的性质，在△ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．①如图3，当''A B B C A C B D =时，55'35B D=，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．②如图4，当''A B B D A CB C=时，5'355B D =，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B ′CD 与△ABB ′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似，这两个三角形有一组公共角∠B ，根据对应边成比例，分两种情况计算．例5（2009年临沂市中考第26题）如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．图1满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAO PMAM ，那么214)4)(1(21=----xx x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---xx x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ．设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m mm ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m mDE m m2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m mS DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ．由于225212-+-=m mn ，所以m m S 42+-=．例6（2009年上海市闸北区中考模拟第25题）如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310A HA B=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以A B A CD BE C=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以D E A EB C A C=，M N A NB C A C=，即|3|53D E x-=，1|3|253xM N-=．因此5|3|3xD E-=，圆心距5|6|6xM N-=．图2 图3 图4在⊙M中，115226Mr B D y x===，在⊙N中，1122Nr C E x==．①当两圆外切时，5162x x+5|6|6x-=．解得3013x=或者10x=-．如图5，符合题意的解为3013x=，此时5(3)15313xD E-==．②当两圆内切时，5162x x-5|6|6x-=．当x＜6时，解得307x=，如图6，此时E在CA的延长线上，5(3)1537xD E-==；当x＞6时，解得10x=，如图7，此时E在CA的延长线上，5(3)3533xD E-==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534B F =．图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例7（2008年杭州市中考第24题）如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB tb ，+=t OC tb ．所以-=⋅t OC OB (|||||tb )( +t tb )|-=2|t22|OA ttb ==．即22b t t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=．（2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ． ①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2O A A B O O B∠==，得23O B O A =．①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）．②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．。

中考数学专题08 勾股定理在动动点题是近年来中考的形存在性问题是这类题目考查数学思想方法，尤其对勾股定基本思路是什么，解答的难点直角三角形是一类特殊三角形在求线段的长度等方面有广泛需掌握以下几个基本图形需掌握以下几个基本图形：题1. 如图1-1，在Rt △ABC 射线BC 以1m /s 的速度移动(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时【答案】（1）4m ；（2）见解析1考数学总复习知识点专题讲解理在动点直角三角形存在性问题中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产目考查的重点. 解这类题目要掌握转化、分类讨论勾股定理的运用炉火纯青，才能准确、快速的解答的难点在哪？我们将通过以下几个例题加以说明三角形，有着丰富的性质，角的关系、边的关系有广泛的应用.：BC 中，∠C ＝90°，AB ＝5m ，AC ＝3m ，动点移动，设运动的时间为t s .图1-1形时，求t 的值．见解析【解析】解：（1）∵∠C ＝90°在Rt △ABC 中，由勾股定理得4BC ==∴BC =4m .（2）由题意可知，∠ABP ≠90①当∠APB =90°时，此时P由（1）知BP =4，所以t =4②当∠BAP =90°时，如图1-由题意得：BP =t ，CP =t －4在Rt △ABP 中，由勾股定理得AP 2=BP 2－AB 2在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP 2=AC 2+CP 2所以BP 2－AB 2=AC 2+CP 2即：()2222534t t −=+−解得：254t = 综上所述，当△ABP 为直角三【点睛】直角三角形存在性问和∠BAP 为直角时，进行分类题2. 如图2-1，在四边形ABC 若点P 是线段AD 上一动点【答案】见解析.【解析】解：∵∠D =90°，∴∠A =90°过B 作BE ⊥CD 于E ，如图则四边形ABED 为矩形所以BE =AD =7，DE =AB =3在Rt △BCE 中，由勾股定理得直角三角形时，t =4或254t =. 在性问题，分类讨论的出发角度是直角的位置行分类讨论，准确画出图形，根据勾股定理列方ABCD 中，∠D =90°，AB ∥DC ，AB =3，动点，当AP 为何值时，△BCP 是直角三角形图2-1AB ∥DC ，如图2-2所示.，CE =CD －DE =1图2-2定理得：BA D C E 位置，此题分∠APB 理列方程求解. DC =4，AD =7. 角形？BC2=CE2+BE2=50.因为∠C<90°，P在线段AD两种情况讨论：①当∠BPC=90°时，如图2-设AP=x，则PD=7-x在Rt△ABP中，由勾股定理得BP2=AP2+AB2=x2+9.在Rt△DCP中，由勾股定理得PC2=PD2+CD2= (7-x) 2+16.在Rt△BCP中，由勾股定理得PC2=PB2+BC2=x2+9+50.(7∴-x)2+16= x2+9+50解得：37 x=.即AP=3 7 .②当∠PBC=90°时，如图2-设AP =x ，则PD =7-x在Rt △ABP 中，由勾股定理得BP 2=AP 2+AB 2=x 2+9.在Rt △DCP 中，由勾股定理得PC 2=PD 2+CD 2= (7-x ) 2+16. 在Rt △BCP 中，由勾股定理得PC 2= BC 2-PB 2 = 50-x 2-9.(7∴-x )2+16=50- x 2-9解得：1234x x ==，.即AP =3或4.综上所述，当AP 为37或3【点睛】直角三角形的存在性位置进行讨论，解题方法除了以图2-4为例，是典型的“一线易知△ABP ∽△DPC ，所以即374x x =−，解得13x =因此在日常学习过程中，我们 图2-4定理得：定理得：定理得：或4时，△BCP 是直角三角形. 存在性问题用到的数学方法是分类讨论，针对直法除了利用勾股定理外，也可用相似三角形、一线三直角”模型.所以AB AP DP CD = 24x =，. 我们要针对每一个题多思考，有没有多种求解BA D C P针对直角所在不同的、三角函数等求解. 种求解方法，这样对拓展眼界有很大的好处.题3. 如图3-1，在△ABC 中向B 以1 cm /s 的速度运动，A ，B 同时出发．(1)经过多少秒，△BMN 为等边(2)经过多少秒，△BMN 为直角【答案】见解析.【解析】解：（1）设经过则AM ＝x ，BN ＝2x ，∴BM ＝AB －AM ＝30－x ，根据题意得30－x ＝2x ，解得x ＝10.所以经过10 s ，△BMN 为等边（2）设经过x 秒，△BMN 根据题意分两种情况讨论：中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，，动点N 自B 向C 以2 cm /s 的速度运动. 若点为等边三角形； 为直角三角形．图3-1x 秒，△BMN 为等边三角形，为等边三角形.MN 是直角三角形.：图3-2①当∠NMB =90°时，如图3∵∠B ＝60°，∴∠BNM ＝30°，∴BN ＝2BM ，即2x ＝2 (30－x )，解得x ＝15；②当∠BNM ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BMN ＝30°，∴BM ＝2BN ，即30－x ＝解得x ＝6，即经过6秒或15秒，△【点睛】(1)设时间为x ，用解之可得；(2)分①∠BNM 可得；②∠BMN ＝90°时，题4. 已知在Rt △ABC 中，∠(1)如图4-1，点O 是AB 的中点(2)如图4-2，若∠A =30°，AB3-2所示.图3-32×2x ，BMN 是直角三角形．x 表示出AM 、BN 、BM ，根据等边三角形的判＝90°时，即可知∠BMN ＝30°，依据2BN ＝∠BNM ＝30°，依据2BM ＝BNERROR: undefinedOFFENDING COMMAND: F4S63YFF STACK:。

解直角三角形和应用题解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。

因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题：一、重点难点解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。

前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。

二、中考导向掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。

因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。

题量一般在4%~10%。

分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。

个别省市也有小型综合题和创新题。

几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。

【典型例题】例1. 如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o ，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。

解：在中，Rt ABH BH AH∆=︒tan45在中，Rt ACH CH AH∆=︒tan30∴︒+︒=AH AHtan tan 45301000∴=->AH 5003500300 ∴不会穿过例2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得，从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H ，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。

（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案。

具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A 、D 间距离，用m 表示；如果测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用α、β、γ表示）。

第18讲解直角三角形知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.。

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课题:第十七讲解直角三角形教学目标:1．熟记特殊角(30,45,60︒︒︒)的三角函数值，在理解三角函数定义的基础上进行有关的计算和解答．2.能够利用直角三角形的边角关系,解决测量、航行、工程技术等生活中的实际问题,提高应用知识的能力．重点与难点:重点：熟记特殊角(30°,４5°，60°）的三角函数值，进行有关的计算和解答.难点:利用直角三角形的边角关系，解决生活中的实际问题，提高应用知识的能力.课前准备：老师:多媒体课件、完成指导丛书第十七讲学生:课前预习教学过程：一、创设情境,导入课程问题:条件允许，我们每天都跑步、跳绳和跳远，找到我们班级了吗？哪一个是你呢？在操场上,我们还升旗呢!这就涉及到如何测量旗杆的高度呢?处理方式:由学生口答完成。

设计意图:利用学生几乎每天都进行的体验锻炼的实例:现实生活所熟视的场景提出问题,调动学生的积极性，利用学过直角三角形的知识,回答出问题, 从而快速进入本节课的学习.问题:我们在生活中会遇到或用到涉及解直角三角形的知识,以及在观测一些高大的建筑物等的仰角、俯角的概念还记得吗?方向角呢？能和解直角三角形的知识联系起来吗?这便是我们要学习的内容:解直角三角形二、出示目标,确定学习内容多媒体出示：今天需要掌握的内容和要求是：考试要求:1.熟记特殊角（30°,４5°,60°)的三角函数值,在理解三角函数定义的基础上进行有关的计算和解答.２。

专题三因动点产生的直角三角形问题【类型综述】解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根.一般情况下,根据直角顶点或者斜边分类,然后根据三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比拟简便.【方法揭秘】我们先看三个问题：1 .线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么?2 .线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3 .点A(4,0),如果△ OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标.图1 图2 图3如图1,点C在垂线上,垂足除外.如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、B两点除外.如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点B,共6个.如图4,A(3, 0), B(1,-4),如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上,求点C的坐标.我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点 C.如果作BD^y轴于D,那么△ AOCs^CDB.设OC= m,那么—= --------- .m 1这个方程有两个解,分别对应图中圆与 y 轴的两个交点. 【典例分析】 例1如图1,抛物线E i: y = x 2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线 E 2经过点B(2,2),点A 、B 关于y 轴的对称点分别为点 A'、B'.(1)求m 的值及抛物线 E 2所表示的二次函数的表达式；(2)如图1,在第一象限内,抛物线 E 1上是否存在点Q,使得以点Q 、B 、B'为顶点的三角形为直角三角形？假设存在,求出点 Q 的坐标；假设不存在,请说明理由;E 1上与点A 不重合的一点,连结 OP 并延长与抛物线 巳相交于例2如图1,二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A(—1, 0)、B(3, 0)两点,与y 轴交于点C,连Z§BC.动点P 以每秒1个单位长度的速度从点 A 向点B 运动,动点Q 以每秒我个单位长度的速度从点 B 向点C 运动,P 、Q 两点同时出发,连结 PQ,当点Q 到达点C 时,P 、Q 两点同时停止运动.设运动的时间为 t 秒.O A(3)如图2, P 为第一象限内的抛物线 图2(1)求二次函数的解析式；(2)如图1,当△ BPQ为直角三角形时,求t的值；(3)如图2,当t<2时,延长QP交y轴于点M,在抛物线上是否存在一点N,使得PQ的中点恰为MN的中点,假设存在,求出点N的坐标与t的值；假设不存在,请说明理由.图1例3如图1 ,在RtAABC中,Z ACB= 90° , AB = 13, CD//AB,点E为射线CD上一动点(不与点C重合), 联结AE交边BC于F , / BAE的平分线交BC于点G .(1)当CE=3 时,求S ACEF :S ACAF的值；(2)设CE=x, AE=y,当CG=2GB时,求y与x之间的函数关系式；(3)当AC=5时,联结EG,假设△ AEG为直角三角形,求BG的长.图1例4如图1,二次函数y=a(x2—2mx—3m2)(其中a、m是常数,且a>0, m>0)的图像与x轴分别交于A、B (点A位于点B的左侧),与y轴交于点C(0, —3),点D在二次函数白^图像上, CD//AB,联结AD .过点A作射线AE交二次函数的图像于点E, AB平分/ DAE.(1)用含m的式子表示a;(2)求证：处为定值；AE(3)设该二次函数的图像的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在, 只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在,请说明理由.1 2 3例5如图1,抛物线y=—x — — x —4与x 轴交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧),与y 轴交于点C, 42 连结BC,以BC 为一边,点O 为对称中央作菱形 BDEC ,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为(m, 0),过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点 Q.(1)求点A 、B 、C 的坐标;(2)当点P 在线段OB 上运动时,直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N.试探究m 为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形 CQBM 的形状,并说明理由;(3)当点P 在线段EB 上运动时,是否存在点 Q,使4BDQ 为直角三角形,假设存在,请直接写出点 Q的坐标；假设不存在,请说明理由.个时,求直线l 的解析式.标;例6如图1,抛物线y =_3x 2 8 (1) (2) (3) 求点A 、B 的坐标;3——x +3与x 轴父于A 、 4设D 为抛物线的对称轴上的任意一点,当^ 假设直线l 过点E(4, 0), M 为直线l 上的动点,当以 B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C.ACD 的面积等于△ ACB 的面积时,求点 D 的坐A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有【变式练习】1. (2021黑龙江齐齐哈尔第19题)如图,在平面直角坐标系中, 等腰直角三角形OA1A2的直角边0A l在y 轴的正半轴上,且0A = AA2 =1 ,以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A ,以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA2021A2021 ,那么点A2021的坐标为(3)在抛物线y =ax2+bx+2的对称轴上是否存在点P ,使AACP是直角三角形？假设存在,直接写出点P的坐标,假设不存在,请说明理由1个小三角形, =A54 ~32-］一-5 ~4 -3 -2 -1-1-2-3-4454. (2021山东潍坊第25题)(此题总分值13分)如图1,抛物线y =ax2+bx + c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、B(-1,0)、D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E .经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两局部,与抛物线交于另一点P .点P为直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；(2)当t何值时,APFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使APAE为直角三角形？假设存在,求出t的值；假设不存在,说明理由. 55 (2021浙江温州第24题)(此题14分)如图,线段AB=2 , MN ± AB于点M ,且AM =BM , P是射线MN上一动点,E, D分别是PA, PB的中点,过点A, M, D的圆与BP的另一交点 C (点C在线段BD上),连结AC, DE.(1)当/ APB=28 °时,求/ B和CM的度数；(2)求证：AC=AB .(3)在点P的运动过程中①当MP=4时,取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP上一点Q,假设以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且Q为锐角顶点,求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为.F,将点F绕点D旋转90°得到点G,当点G恰好落在MN上时,连结AG, CG, DG , EG,直接写出^ ACG和△ DEG的面积之比. 66 (2021湖北荆门市第24题)：如下图,在平面直角坐标系xoy中,/C =90°,OB =25,OC = 20.假设点M是边OC上的一个动点(与点O,C不重合),过点M作MN //OB交BC于点N .(1)求点C的坐标；(2)当AMCN的周长与四边形OMNB的周长相等时,求CM的长；(3)在OB上是否存在点Q ,使得AMNQ为等腰直角三角形？假设存在, 请求出此时MN的长；假设不存在, 请说明理由.于A, B, C 三点,其中点 A 的坐标为(-3, 0),点B 的坐标为(4, 0),连接AC, BC.动点P 从点A 出发,在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时,动点 Q 从点O 出发,在线段 OB 上以每 秒1个单位长度的速度向点 B 作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为 秒.连接PQ.(1)填空：b=(2)在点P, Q 运动过程中,△ APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由;(3)在x 轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使4PQM 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形?假设存在,请求出运动时间 t;假设不存在,请说明理由;(4)如图②,点N 的坐标为(-3, 0),线段PQ 的中点为H,连接NH,当点Q 关于直线NH 的对称点Q'2△ABC 是边长为4cm 的等边三角形,边AB 在射线OM 上,且OA= 6cm , 点D 从点O 出发,沿OM 的方向以1cm/s 的速度运动,当D 不与点A 重合是,将^ACD 绕点C 逆时针方 向旋转600得到ABCE ,连接DE .8. (2021郴州第26题)如图, 恰好落在线段(1)求证：ACDE是等边三角形；(2)当6 ct <10时,的ABDE周长是否存在最小值？假设存在,求出ABDE的最小周长;假设不存在,请说明理由.(3)当点D在射线OM上运动时,是否存在以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形?假设存在,求出此时t的值；假设不存在,请说明理由K /> 用29. (2021湖南长沙第26题)如图,抛物线y=mx —16mx +48m(m >0)与x轴交于A,B两点(点B在点A左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点,且位于第四象限,连接OD BQ AG AD延长AD 交y轴于点E.(1)假设AOAC 为等腰直角三角形,求 m 的值;(2)假设对任意 m>0, C, E 两点总关于原点对称,求点 D 的坐标(用含 m 的式子表示)；(3)当点D 运动到某一位置时,恰好使得 /ODB=NOAD,且点D 为线段AE 的中点,此时对于该抛物10. (2021年山东省潍坊市第25题)(此题总分值13分)如图1,抛物线y =ax 2+bx + c 经过平行四边形 ABCD 的顶点A(0,3)、B(—1,0)、D(2,3),抛物线与x 轴的另一交点为 E .经过点E 的直线l 将平行四边形 ABCD 分割为面积相等的两局部,与抛物线交于另一点P .点P 为直线l 上方抛物线上一动点,设点 P 的横坐标为t .(1)求抛物线的解析式;(2)当t 何值时,APFE 的面积最大？并求最大值的立方根;(3)是否存在点P 使APAE 为直角三角形？假设存在,求出t 的值；假设不存在,说明理由2. (2021黑龙江绥化第21题)如图,顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第 2个小三角形,如此操作下去,那么第 n 个小三角形的面积3. (2021内蒙古通辽第26题)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线y=ax 2 3+bx+2过点A(—2,0),,与y轴交于点C .(1)求抛物线y =ax 2+bx+2的函数表达式；(2)假设点D 在抛物线y=ax 2 +bx + 2的对称轴上,求AACD 的周长的最小值； 线上任意一点 P(x o , y o )总有n+)之Mj3my ； —12’3y o —50成立, 求实数 n 的最小值.。

《解直角三角形》一、知识网络结构图二、考点考点1、锐角三角函数的定义考点2、 特殊角的三角函数值及三角函数关系式 考点3、直角三角形的边角关系 考点4、解直角三角形的实际应用 三、复习课时安排：三课时 四、三年中考楚雄州2010年中考（20．本小题8分）如图，河流的两岸PQ 、MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN 的A 处测得∠DAN = 35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE(结果保留两个有效数字)．（参考数据： sin35°≈ 0.57, cos35°≈ 0.82, tan35°≈ 0.70sin 70°≈ 0.94, cos70°≈ 0.34, tan70°≈ 2.75 ） 2011年大理、楚雄、临沧、怒江、迪庆、丽江中考（20． 7分）小杨同学为了测量一铁塔的高度CD ，如图，他先在A 处测得塔顶C 的仰角为︒30，再向塔的方向直行40米到达B 处，又测得塔顶C 的仰角为︒60，请你帮助小杨计算出这座铁塔的高度．（小杨的身高忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：732.13,414.12≈≈）2012云南省（20 ，6分）如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为o30 ，荷塘另一端D 与点C 、B 在同一条直线上，已知32AC =米 ， 16CD =米 ，求荷塘宽BD 为多少米？（取31.73≈ ,结果保留整数）直角三角形中 的边角关系锐角三 角函数解直角三角形实际问题FC︒30︒60 A B D课时1：考点相关概念过关一、 知识点清单考点1、锐角三角函数的定义：Rt △ABC 中，设∠C ＝90°，∠α为Rt △ABC 的一个锐角，则： ∠α的正弦 sin α＝ .∠α的余弦 cos α＝ . ∠α的正切 tan α＝ 考点2、 特殊角的三角函数值及三角函数关系式 （1）特殊角的三角函数值（2）简单的三角函数关系式 同角三角函数之间的关系：sin 2α＋cos 2α＝ ； tan α＝ .互余两角的三角函数关系式：(α为锐角) s in α＝cos ； cos α＝sin . 函数的增减性：(0°<α<90°)(1)sin α，tan α的值都随α增大而 ； (2)cos α都随α增大而 考点3、直角三角形的边角关系直角三角形中的边角关系：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 则： (1)边与边的关系： ； (2)角与角的关系： ；(3)边与角的关系： (4)三角形面积公式：S △＝ . 考点4、解直角三角形的实际应用1.仰角、俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.2.坡角、坡度：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即i= ；坡面与水平面的夹角叫坡角，记作α。