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中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析【真题精讲】【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．CM B（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。
但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。
所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。
由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【解析】解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形．A B M C N E D∵AB DE ∥，AB MN ∥．∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD=． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017t =． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。
在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。
初三数学动点问题归类及解题技巧初三数学学科是学生学习的重要科目之一，数学知识的掌握对学生的数学素养和综合能力提高有着非常重要的作用。
其中，解题技巧和问题分类是学生学习数学的关键点之一。
以下将从初三数学动点问题的归类和解题技巧展开讨论。
一、问题归类初三数学动点问题主要包括以下几种类型：1.几何问题：主要涉及到点、线、面等几何图形的性质和运动规律，如点的坐标、直线的方程、圆的性质等。
2.图像问题：主要是通过图像呈现的运动问题，要求学生根据图像进行分析和解答，比如速度图、位移图、加速度图等。
3.速度问题：主要是针对运动物体的速度和位移等概念展开的问题，要求学生掌握速度的定义和相关计算方法。
4.运动方程问题：主要是要求学生建立物体运动的数学模型，并求解相关问题，如撞击问题、相遇问题等。
5.加速度问题：主要是针对物体加速度的概念和计算方法进行考察，要求学生对加速度的定义和公式进行灵活运用。
6.综合问题：综合了以上几种类型的数学问题，要求学生在综合运用各种知识和方法的基础上解答问题。
以上这些类型的动点问题，对学生的数学能力和解题技巧有着很高的要求，需要学生通过不断的练习和思考，逐渐提高自己的解题能力。
二、解题技巧初三数学动点问题的解题技巧主要包括以下几点：1.充分理解问题：在解题前，要先充分理解问题的意思和要求，明确问题中涉及到的数学概念和知识点，了解问题的背景和条件。
2.建立数学模型：对于涉及到物体运动的问题，要根据问题的要求建立数学模型，明确物体的运动规律和相关参数，建立方程或不等式。
3.运用相关知识和公式：根据问题的情况，灵活运用速度、加速度、位移等物理量的定义和相关公式进行计算，注意在计算过程中要完整标明单位。
4.图像分析：对于图像问题，要细致分析图像的特点和变化规律，结合数学知识对图像进行解释和分析，从图像中得出相关信息。
5.综合能力：对于综合问题，要能够综合运用各种知识和方法，进行综合分析和推理，完成问题的解答。
八年级数学动点题型归纳一、动点与三角形相关题型1. 动点在三角形边上运动求线段长度或周长题目：在等腰三角形公式中，公式，公式，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，设运动时间为公式秒。
当公式时，求公式的长度。
解析：过点公式作公式于点公式。
因为公式，等腰三角形三线合一，所以公式。
在公式中，根据勾股定理公式。
当公式时，公式，则公式。
在公式中，根据勾股定理公式。
2. 动点运动过程中三角形面积的变化题目：在公式中，公式，公式，公式，点公式从点公式出发，沿公式向点公式以每秒公式个单位长度的速度运动，同时点公式从点公式出发，沿公式向点公式以每秒公式个单位长度的速度运动，设运动时间为公式秒公式，求公式的面积公式与公式的函数关系式。
解析：已知公式，则公式，公式。
根据三角形面积公式公式，对于公式，底为公式，高为公式。
所以公式。
二、动点与四边形相关题型1. 动点在四边形边上运动判断四边形形状题目：在矩形公式中，公式，公式，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，设运动时间为公式秒。
当公式时，四边形公式是什么四边形？解析：当公式时，公式，公式。
因为四边形公式是矩形，所以公式，公式。
则公式，公式。
在四边形公式中，公式（因为公式），公式，公式（此时公式运动到公式点），公式。
因为公式且公式，所以四边形公式是梯形。
2. 动点运动过程中四边形面积的变化题目：在平行四边形公式中，公式，公式，公式，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，设运动时间为公式秒。
求四边形公式的面积公式与公式的函数关系式。
解析：四边形公式的面积公式。
过点公式作公式于点公式，在公式中，公式，公式，则公式，公式。
所以公式。
因为公式，则公式。
公式。
所以公式。
三、动点与函数图象相关题型1. 根据动点运动情况确定函数图象题目：如图，在边长为公式的正方形公式中，点公式以每秒公式个单位长度的速度从点公式出发，沿公式的路径运动，到点公式停止。
初三中考动点题型总结
嘿，同学们！今天咱就来好好唠唠初三中考的动点题型！这动点题型啊，那可真是让咱又爱又恨呐！就好像是游戏里的大 boss，难是难，可
一旦攻克了，那成就感爆棚啊！比如说在一个直角三角形中，有一个点在边上不停移动，问你各种边长啊、角度啊之类的问题（例如：已知直角三角形ABC，直角边 AB=3，AC=4，点 P 在 BC 边上移动，问当 PA 垂直于 BC 时，PA 的长度是多少）。
动点题型就像一个神秘的宝藏盒，你永远不知道打开后会遇到什么难题！但就是这种神秘感，让我们充满了探索的欲望，不是吗！有时候一个看似简单的图形，因为动点的加入，一下子就变得超级复杂啦！就好像平静的湖面扔进了一颗石子，瞬间激起千层浪。
咱就得像侦探一样，抽丝剥茧地去分析。
想象一下，有个动点在那不停地窜来窜去，你得紧紧盯着它，看它到底想干啥（就像一个调皮的孩子在那儿捣乱，我们得想办法抓住他）。
在解决动点问题的时候，咱们得时刻保持头脑清醒，一点儿也马虎不得！要认真分析每个条件，把能用上的都用上。
画个图，仔细标注，别放过任何一个细节哟！而且，还得学会从复杂的图形中找到关键信息，这可是个技术活！就拿一个圆来说吧，上面有个点在动，看着都让人头晕（天哪，那复杂
的线条，脑袋都大了），但咱可不能怕，鼓起勇气，一点点分析，肯定能找到答案！
最后我想说，中考动点题型虽然难，但只要我们认真对待，多练习，多总结，就一定能战胜它！别被它吓倒，要相信自己的能力！我们一起加油，搞定动点题型，在中考中取得好成绩！。
几何中的动点问题：中考数学轨迹与路径几何作为数学的一部分，一直以来被认为是高难度的学科之一，但是在实际中，几何也是生活和科学中必不可少的组成部分。
而在几何中，动点问题一直是人们感到困惑的一个问题。
在这篇文章中，我们将为大家全面介绍几何中的动点问题，以及如何在中考数学中处理轨迹和路径的问题。
一、动点问题的基本定义及特点动点问题可以简单定义为：在几何图形中，设有一个动点进行运动，如何求出该点的轨迹和路径。
动点问题是几何中的一个重要问题，具有以下特点：1. 动点问题一般是基于静态点进行分析，因此需要对静态点的性质有深刻的认识。
2. 动点问题的解决需要具备一定的数学能力和三维空间思维能力，需要较高的数学水平。
3. 动点问题结合实际进行探究，可以帮助人们更好地理解几何、物理等知识，也有益于培养人们的空间思维能力。
二、动点问题的基本应用1. 针对不同的几何图形，我们可以找到它们的动点问题：（1）直线的动点问题：一般是着眼于直线上的动点，分析其轨迹和路径；（2）圆的动点问题：针对圆上的任意一点，求其轨迹和路径；（3）曲线的动点问题：着重考虑曲线上的动点，探究它们的轨迹和路径。
2. 在实际生活中，动点问题也有很多应用：（1）公路的修建：如何建设一条曲线公路，使得大车可以顺利通过，是一个很好的动点问题实例；（2）太空飞行器飞行：在太空中，如何预测航天器的运动轨迹，需要运用动点问题的相关知识；（3）排球比赛中跑位：排球比赛中，如何控制自己的跑位，使得球能够顺利地落到自己的手中，也是一种动点问题的体现。
三、如何在中考数学中处理轨迹和路径在中考数学中，轨迹和路径的处理是重点。
我们可以通过以下方法来解决问题：1. 把动点分解成几个静止的点，结合点的特性，推导出动点刚好经过这些点时的轨迹和路径。
2. 找到一个合适的坐标系，将动点变成坐标，问题就可以转化为一个数学问题，更加便于解决。
3. 运用相关的几何定理，如垂线定理、角平分线定理等，结合动点的运动特性，解决问题。
初三数学动点练习题及答案动点是初中数学中一个重要的概念，它在几何图形的运动中起到关键的作用。
为了帮助初三学生更好地理解和掌握动点的概念，我为大家准备了一些动点练习题及答案。
以下是具体的练习内容：练习一：1. 在平面直角坐标系中，点A(3, 4)绕原点顺时针旋转90度，求旋转后点的坐标。
2. 点B(2, -1)绕坐标原点逆时针旋转180度，求旋转后点的坐标。
练习二：1. 已知正方形ABCD的边长为5个单位长度，点O为其中一条对角线的中点，求点O绕点A顺时针旋转270度后的坐标。
2. 如图所示，正方形EFGH的边长为8个单位长度，点A是边EF 上的一个点，点B是边HG上的一个点，连结AB并延长到点C（BC=3），求点C绕点A逆时针旋转120度后的坐标。
练习三：1. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-2, 3)，将点P绕原点顺时针旋转60度，求旋转后点的坐标。
2. 点Q的坐标为(4, -1)，将点Q绕坐标原点逆时针旋转240度，求旋转后点的坐标。
练习四：1. 如图所示，矩形ABCD的长为8个单位长度，宽为6个单位长度，点O是矩形中心，将整个矩形逆时针旋转90度后，求旋转后点O的坐标。
2. 已知矩形PQRS的长为10个单位长度，宽为6个单位长度，点O 是矩形PR的中点，求点O绕点P顺时针旋转180度后的坐标。
解答如下：练习一：1. 点A(3, 4)绕原点顺时针旋转90度后，点的坐标为B(-4, 3)。
2. 点B(2, -1)绕坐标原点逆时针旋转180度后，点的坐标为C(-2, 1)。
练习二：1. 点O绕点A顺时针旋转270度后的坐标为D(-5, -3)。
2. 点C绕点A逆时针旋转120度后的坐标为E(7, 2)。
练习三：1. 点P(-2, 3)绕原点顺时针旋转60度后，点的坐标为Q(-1, -3)。
2. 点Q(4, -1)绕坐标原点逆时针旋转240度后，点的坐标为R(4, 1)。
练习四：1. 旋转后点O的坐标为D(-3, 7)。
初中几何动点最值问题难题集锦初中几何动点最值问题是初中数学中的一道难题类型。
动点最值问题考察动点在几何形状内运动时，某一量的最大值或最小值的求解方法。
下面是一些初中几何动点最值问题的难题集锦。
1.【问题描述】在一个矩形ABCD中，点P动态地沿着矩形的边移动，求线段AP的最长长度。
【解答】假设矩形ABCD的边长为a和b（a<b），点P动态地沿着矩形的边移动。
我们可以观察到，当点P处于矩形的顶点A或D时，线段AP的长度为a；当点P处于矩形的顶点B或C时，线段AP的长度为b。
因此，线段AP的最长长度为b。
2.【问题描述】在一个圆形O内，点P动态地沿着圆的周长移动，求线段OP的最长长度。
【解答】设圆的半径为r，点P动态地沿着圆的周长移动。
根据三角形的性质，可以知道线段OP的长度最长时，点P应该位于圆的周长上的与点O相对的点，即直径上的点。
因此，线段OP的最长长度为2r。
3.【问题描述】在一个正方形ABCD内，点P动态地沿着正方形的边移动，求线段BP的最长长度。
【解答】设正方形ABCD的边长为a，点P动态地沿着正方形的边移动。
由于线段BP的长度等于点P距离B点的距离，所以线段BP的最长长度为正方形的对角线长度，即√2a。
4.【问题描述】在一个等腰直角三角形ABC中，点P动态地沿着三角形的边移动，求线段AP的最长长度。
【解答】设等腰直角三角形ABC的等腰边长为a，点P动态地沿着三角形的边移动。
可以观察到，当点P处于顶点B或C 时，线段AP的长度为a；当点P处于顶点A时，线段AP的长度为0。
因此，线段AP的最长长度为a。
5.【问题描述】在一个梯形ABCD中，点P动态地沿着梯形的边移动，求线段CP的最长长度。
【解答】设梯形ABCD的上底长为a，下底长为b（a>b），点P动态地沿着梯形的边移动。
可以观察到，当点P处于梯形的底端点C或顶端点D时，线段CP的长度为0；当点P处于梯形的上底端点A时，线段CP的长度为ab。
专题十动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1（2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．对应训练1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O.与∠α 的两边相切，图中阴影部分的面积 S 关于⊙O 的半径 r （r ＞0）变化的函数图象大致 是（ ）A ．B ．C ．D ． 1．C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题 . 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题 . 这类题综合性强，能力要求 高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊 位置。
中考数学专题复习《几何图形动点型综合题》测试卷（附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________(小题破大题)模型再现：自旋转型全等模型1. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一动点，连接DE，点F是DE上一点，DF＝CE，BC＝DE.求证：AF⊥DE.【思维教练】由矩形ABCD的性质可知∠ADF＝∠DEC，由BC＝DE，得AD＝DE，再由已知条件DF＝CE，即可证得△ADF≌△DEC，可得∠AFD＝∠C＝90°，即可得证。
第1题图模型再现：一线三垂直型相似模型2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，若AE＝BC，求tan ∠FCE的值。
【思维教练】要求tan ∠FCE的值，先过点F作BC的垂线，构造直角三角形，再结合矩形的性质和相似三角形的性质列出比例关系，即可求解。
第2题图模型再现：8字型相似模型3. 如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一动点，AE⊥BD，垂足为点F，连接DE.若BE＝12BC，求cos ∠AED的值。
【思维教练】要求cos ∠AED的值，即要求Rt△EFD中EFED的值，结合矩形的性质和相似三角形的性质即可得出EF＝13AE＝13DE.第3题图模型再现：正A字型相似模型4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E是AD上一个动点，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE，AO，当OE＝DE时，求AE的长。
【思维教练】由矩形ABCD的性质和勾股定理，可得BD的长，再通过角度之间的等量关系转换，得△ODE∽△ADO，结合相似的性质对应边成比例得出AE的长。
第4题图(对接中考)1. 四边形ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，连接DE，点F是射线BC上一动点(不与点B重合)，连接AF，交DE于点G.(1)如图①，当点F是BC边的中点时，求证：△ABF≌△DAE；(2)如图②，当点F与点C重合时，求AG的长；(3)在点F运动的过程中，当线段BF为何值时，AG＝AE？请说明理由。
运动型问题第17课时几何图形中的动点问题(58分)一、选择题(每题6分，共18分)1．[·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为( D )13A. B. C.5D.2934241图6－1－1 第1题答图【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △PAB ＝S 矩形ABCD ，得×5h ＝×5131213×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D.52＋42412．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经过的路径长为x ，PD 2＝y，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是 ( D )【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝x ，∴y ＝x 2＋a 2；②图6－1－2当2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ，∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝∴能大致反映y{x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a <x ≤3a ），（x －5a ）2（3a <x ≤5a ），)与x 的函数关系的图象是选项D 中的图象．3．如图6－1－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，以2为边长的正方形DEFG 的一边3GD 在直线AB 上，且点D 与点A 重合，现将正方形DEFG 沿AB 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D 与点B 重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是( A )【解析】 首先根据在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，分别求出AC ，BC ，以及AB 边上的高线各是多少；然后根据图示，分三种情况：①当0≤t ≤2时；②当2＜t ≤6时；③当6＜t ≤8时，分别求出正33方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 的表达式，进而判断出正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是哪个即可．S ＝{36t 2（0≤t ≤23），2t －23（23<t ≤6），－233t 2＋（2＋83）t －263（6<t ≤8）.)二、解答题(共20分)4．(20分)[·无锡]如图6－1－4，已知矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝m ，动点P 从点D 出发，在边DA 上以每秒1个单位的速度向点A 运动，连结CP ，作图6－1－3点D 关于直线PC 的对称点E .设点P 的运动时间为t (s)．(1)若m ＝6，求当P ，E ，B 三点在同一直线上时对应的t 的值．(2)已知m 满足：在动点P 从点D 到点A 的整个过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3.求所有这样的m的取值范围．图6－1－4【解析】 (1)如答图①，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC .①在Rt △BEC 中，计算BE 的值；②在Rt △ABP 中，利用勾股定理列出关于t 的方程，解出t 值即可求；(2)如图②，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC ，过点E 作EF ⊥BC 于F .①在Rt △EFC 中，利用勾股定理求出CF ；②利用相似三角形的判定与性质求得BF ；③根据m ＝BC ＝BF ＋CF 计算m 的值．解：(1)如答图①，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC .∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC .∵PD ＝t ，m ＝6，∴PA ＝6－t .∵点D ，点E 关于直线PC 对称．∴PE ＝t ，EC ＝DC ＝AB ＝4，∠CEP ＝∠CDP ＝90°.在Rt △BCE 中，∵BC ＝6，CE ＝4，∴BE ＝＝＝2.BC 2－EC 262－425在Rt △ABP 中，∵AB 2＋AP 2＝BP 2，即42＋(6－t )2＝(2＋t )2，5解得t ＝6－2.5(2)如答图②，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的下方，点E 到BC 的距离为3.作EQ ⊥BC 于Q ，EM ⊥DC 于M .则EQ ＝3，CE ＝DC ＝4.易证四边形EMCQ 是矩形，∴CM ＝EQ ＝3，∠M ＝90°，∴EM ＝＝，BC 2－CM 27第4题答图①∵∠DAC ＝∠EDM ，∠ADC ＝∠M ，∴△ADC ∽△DME ，∴＝，即＝，AD DM DC EM AD 747∴AD ＝4.7第4题答图② 第4题答图③如答图③，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的上方，点E 到BC 的距离为3.作EQ ⊥BC 于Q ，延长QE 交AD 于M .则EQ ＝3，CE ＝DC ＝4.在Rt △ECQ 中，QC ＝DM ＝＝，由△DME ∽△CDA ，42－327∴＝，即＝，∴AD ＝，DM CD EM AD 741AD 477综上所述，在动点P 从点D 到点A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3，这样的m 的取值范围是≤m ＜4.47775．(20分)[·丽水]如图6－1－5，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连结BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部．连结AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设＝n .AD AE图6－1－5(1)求证：AE ＝GE ；(2)当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示的值；AD AB(3)若AD ＝4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．【解析】 设AE ＝a ，则AD ＝na .(1)由轴对称性质得到AE ＝FE ，结合“等边对等角”得到∠EAF ＝∠EFA .由垂直得到两个角的互余关系，根据“等角的余角相等”可得到结论；(2)由对称性质得BE ⊥AF ，先证∠ABE ＝∠DAC ，进而证得△ABE ∽△DAC ，根据相似三角形的对应边成比例建立关系式，通过适当变形求解；(3)由特例点F 落在线段BC 上，确定n ＝4，根据条件点F 落在矩形内部得到n ＞4，判断出∠FCG ＜90°.然后分∠CFG ＝90°和∠CGF ＝90°两种情况，由(2)的结论和相似三角形的性质分别建立关于n 的等式，求得n 的值．解：设AE ＝a ，则AD ＝na .(1)证明：由对称得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EFA .∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EFA ＋∠EFG ＝90°.∴∠FGA ＝∠EFG ，∴FG ＝EF ，∴AE ＝GE .(2)当点F 落在AC 上时(如答图①)，由对称得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC .又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DAC ，∴＝.AB DA AE DC∵AB ＝DC ，∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2.∵AB ＞0，∴AB ＝a ，∴＝＝.n AD AB na n an (3)若AD ＝4AB ，则AB ＝a .当点F 落在线段BC 上时(如答图②)，EF ＝AE n 4＝AB ＝a .此时a ＝a ，n 4∴n ＝4.∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°.第5题答图①第5题答图② 第5题答图③①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上，由(2)得＝，∴n ＝16.AD AB n ②若∠CGF ＝90°(如答图③)，则∠CGD ＋∠AGF ＝90°.∵∠FAG ＋∠AGF ＝90°，∴∠CGD ＝∠FAG ＝∠ABE ，∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DGC .∴＝，AB DG AE DC∴AB ·DC ＝DG ·AE ，即＝(n －2)a ·a ，(n 4a )2 解得n 1＝8＋4，n 2＝8－4＜4(不合题意，舍去)．∴当n ＝16或8＋4222时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形．(20分)6．(20分)[·菏泽]如图6－1－6，正方形ABCD 的边长为6 cm ，点E ，M 分别是线段BD ，AD 上的动点，连结AE 并延长，交边BC 于F ，过M 作MN ⊥AF ，垂足为H ，交边AB 于点N .(1)如图①，若点M 与点D 重合，求证：AF ＝MN ；(2)如图②，若点M 从点D 出发，以1 cm/s 的速度沿DA 向点A 运动，同时点E 从点B 出发，以 cm/s 的速度沿BD 向点D 运动，设运动时间为t s.2①设BF ＝y cm ，求y 关于t 的函数表达式；②当BN ＝2AN 时，连结FN ，求FN 的长．图6－1－6【解析】 (1)由正方形性质和垂直的性质就可以得出∠ADN ＝∠BAF ，利用“AAS ”可以得出△ADN ≌△BAF 就可以得到结论AF ＝MN ；(2)①由AD ∥BF 可得△ADE ∽△FBE ，利用＝可以构造y 关于t 的函数AD BF DE BE表达式；②由(1)可知△MAN ∽△ABF ，∴＝，又∵BN ＝2AN ，∴＝MA AN AB BF 6－t 2，用含t 的代数式表示BF ，结合①中的关系式，可以构造关于t 的方程求6BF 出t 的值，从而求出BF ，最后利用勾股定理求FN 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ＝AB ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°.∵MN ⊥AF ，∴∠DHA ＝∠NHA ＝90°，∴∠ADH ＋∠HAD ＝90°，∠NAH ＋∠HAD ＝90°，∴∠ADH ＝∠NAH .在△ADN 与△BAF 中，∴△ADN ≌△BAF ，{∠ADN ＝∠BAF ，AD ＝BA ，∠DAN ＝∠ABF ，)∴AF ＝DN ，即AF ＝MN .(2)①∵正方形的边长为6 cm ，∴BD ＝＝AD ＝6 cm ，AB 2＋AD 222∵设运动时间为t s ，根据题意，得BE ＝t cm ，2∴DE ＝ BD －BE ＝(6－t )cm ，22∵AD ∥BF ，∴△ADE ∽△FBE ，∴ ＝，AD BF DE BE∵BF ＝y cm ，∴＝，即y ＝，6y 62－2t 2t6t 6－t ∴y 关于t 的函数表达式为y ＝.6t 6－t②∵BN ＝2AN ，AB ＝6 cm ，∴AN ＝2 cm ，BN ＝4 cm ，由(1)得△MAN ∽△ABF ，又∵DM ＝t cm ，AM ＝(6－t )cm ，∴＝，即＝，∴BF ＝，MA AN AB BF 6－t 26BF 126－t 又∵y ＝，∴，＝ 解得t ＝2，6t 6－t 126－t 6t6－t当t ＝2时，BF ＝y ＝＝3 cm ，在Rt △NBF 中，FN ＝＝6t 6－t BN 2＋BF 242＋32＝5，∴当BN ＝2AN 时，FN 的长为5 cm.(22分)7．(22分)[·温州]如图6－1－7，已知线段AB ＝2，MN ⊥AB 于点M ，且AM ＝BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是PA ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点为C (点C 在线段BD 上)，连结AC ，DE .(1)当∠APB ＝28°时，求∠B 和的度数；CM ︵(2)求证：AC ＝AB ；(3)在点P 的运动过程中．①当MP ＝4时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值；②记AP 与圆的另一个交点为F ，将点F 绕点D 旋转90°得点G ，若点G 恰好落在MN 上，连结AG ，CG ，DG ，EG ，直接写出△ACG 与△DEG 的面积比．图6－1－7【解析】 (1)由垂直平分线的性质得到等腰△PAB ，由三线合一得 ∠APM ＝∠BPM ＝∠APB ＝14°，∠B ＝90°－∠BPM ＝90°－14°＝ 76°，再利12用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得∠MDB ＝∠BAC ＝2∠DPM ＝28°，以此求得弧CD 的度数为2∠MDB ＝56°；(2)由同角的余角相等，得 ∠ACB ＝∠B ，AC ＝AB ；(3)由垂直分线的性质，分类讨论符合条件的点Q 的个数，利用相似和勾股定理分别求出MQ 的长度；利用旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值．解：(1)如答图①，连结MD .∵AB ⊥MN ，AM ＝BM ，∴PM 垂直平分线段AB ，∴PA ＝PB ，在等腰三角形PAB 中，∵∠APB ＝28°，∴∠APM ＝∠BPM ＝∠APB ＝1412°，∴∠B ＝90°－∠BPM ＝90°－14°＝ 76°，在Rt △MPB 中，点D 为斜边BP 的中点，∴DM ＝DP ，∴∠MPD ＝∠DMP ＝14°，∴∠MDB ＝∠BAC ＝2∠DPM ＝28°，∴的度数＝2∠MDB ＝56°；CM ︵(2)证明：由(1)可得∠B ＝90°－∠BPM ＝90°－∠BAC ，12在△ABC 中，∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－(90°－∠BAC )－12∠BAC ＝90°－∠BAC ，12∴∠ACB ＝∠B, ∴AC ＝AB .第7题答图① 第7题答图②(3)①若要满足题意，则点Q 必为过点A ，C ，E ，D 的垂线与线段MN 的交点，分析图形可得只有过点C ，E ，D 的垂线与线段MN 的交点满足题意．(Ⅰ)若CQ ⊥CP (如答图②点Q 1)，AM ＝BM ＝1，MP ＝4，由勾股定理，得BP ＝＝，由(1)(2)可得∠BAC ＝∠APB ，12＋4217又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△PBA ，∴＝，得BC ＝，AB BC BP AB 41717∴CP ＝.131717由△PCQ 1∽△PMB ，得＝，解得PQ 1＝，CP MP PQ 1PB 134∴ MQ 1＝4－PQ 1＝.34(Ⅱ)若QD ⊥BP ，由EP ＝DP 可知 △EPQ 2≌△DPQ 2(如答图②点Q 2)，∴ EQ 2⊥EP .(即过点E ，D 的垂线与线段MN 的交点重合)∵点D 为线段BP 的中点，且Q 2D ⊥BP ，∴Q 2D 垂直平分线段BP ，则Q 2P ＝Q 2B ，设Q 2M ＝x ，则Q 2B ＝Q 2P ＝4－x, 由勾股定理，得BM 2＋M 2Q 2＝B 2Q 2，12＋x 2＝(4－x )2，解得x ＝.185(Ⅲ)若AC ⊥CQ (如答图②点Q 3)，∵∠ACQ 3＝90°，∴Q 3A 为该圆的直径，∴点Q 3为MP 与圆的交点，∵∠MAC ＝∠MQ 3C ＝2∠MPC ，∠MQ 3C ＝∠MPC ＋∠Q 3CP ，∴PQ 3＝ CQ 3，设MQ 3＝x ，则PQ 3＝4－x ，AC ＝AB ＝2，∵A 3Q 2＝AM 2＋M 3Q 2＝AC 2＋C 3Q 2，∴12＋x 2＝22＋(4－x )2，解得x ＝.198综上所述，MQ 的值为或或.34158198②如答图③，过点E 作AP 的中垂线，交MP于点K .过点C 作CJ ⊥AB 于点J ，连结AK ，KE ，DM .∵点M ，D 分别为AB ，BP 的中点，∴MD 为△ABP 的中位线，∴MD ∥AP ，AM ＝DF .又∵AM ∥ED ，∴四边形MAED 为平行四边形，∴AM ＝DE ，∠MDE ＝∠MAP ，∴DE ＝DF ，∵△GHE ≌△GHD ，∴ GE ＝GD ，∴GE ＝GD ＝DE ＝DF ，则△GDE 为正三角形，∠GDE ＝60°.第7题答图③∵∠EDF ＝90°－60°－30°，∴∠DEF ＝(180°－∠EDF )＝75°，12∴∠APM ＝15°，则∠AKM ＝2∠APM ＝30°，∴MK ＝，AK ＝KP ＝2，tan75°＝tan ∠MAP ＝＝＝2＋，3PM MA 2＋313∴tan ∠MAP ＝tan ∠HEP ＝tan75°＝2＋，3∵EH 为△AMP 的中位线，∴EH ＝，GH ＝，1232∴tan ∠HEP ＝＝2＋，HP ＝(2＋)，∴MG ＝1，PH EH 3123∵∠MAC ＝2∠MPA ＝30°，AM ＝1，CJ ＝AC ＝AB ＝1，1212∴MI ＝，IG ＝1－，AJ ＝，33333∴S △ACG ＝IG ·AJ ＝××＝，S △EDG ＝ED ·GH ＝×1×＝，1212(1－33)33－1212123234∴＝＝.S △ACGS △DEG 3－12346－233。
