初三数学讲义(8)二次专题

二次函数的图像与性质中考一轮复习教学目标1.理解懂得二次函数的图像的开口、对称轴、顶点坐标与a、b、c的关系；会根据图像推断a、b、c及相关式子的符号；2.能借助二次函数的图像进行推理探究；3.学会进行数形转化，能从图形中抽象出数量关系，建立方程模型和不等式模型求解.4.经典考题【例1】根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴( ) A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在x轴两侧C.有两个交点，且它们均在y轴同侧D.无交点x…-1 0 1 2 …y…-174--274-…【解法指导】本题要先画出啊、二次函数的图像。

根据对称性知（1，-2）是抛物线的顶点，且其开口向上。

因而二次函数的图像与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧。

本题应选B。

【变式题组】1.2x…-2 -1 0 1 2 …y…162--4122--2122-…根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax+bx+c在x=3时，y= 。

2.已知二次函数2x…-1 0 1 2 3 4 …y…10 5 2 1 2 5 …(1)(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若两点A(m,y1),B(m+1,y2)都在该函数的图像上，试比较y1与y2的大小.【例2】函数y=ax+1与y=ax2+bx+c（0a≠）的图像可能是（）【解法指导】本题应用逐一排除法.解：两函数图像与y轴交于同一点（0,1），A不正确；B中直线中a>0，抛物线中a<0,不正确；D中直线的a<0，抛物线中a>0，不正确。

故应选C。

【变式题组】3.已知0a≠，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图像有可能是（）4.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数，且0m≠)的图像可能是（）5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数a b cyx++=在同一坐标系内的图像大致为（）【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2,0）、（x1，0），且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方。

学科教师辅导讲义一、 知识梳理二、 知识概念（一）二次函数解析式的表示方法1、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.体系搭建（二）二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．考点一：一般式例1、如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2C．y=﹣x2+x+2D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2例2、如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．考点二：顶点式例1、根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（）x…﹣1012…y…﹣12…A．y=x B．y=﹣C．y=（x﹣1）2+2D．y=﹣（x﹣1）2+2例2、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3D．y=3（x+1）2+3例3、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）A．0 5B．0 1C．﹣4 5D．﹣4 1考点三：交点式（两根式）例1、如图，已知抛物线l1：y=（x﹣2）2﹣2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（）A．y=（x﹣2）2+4B．y=（x﹣2）2+3C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2+1例2、图象经过P（3，4）且与x轴两个交点的横坐标为1和﹣2，求这个二次函数的解析式．考点四：待定系数法例1、如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=1，请直接写出点P的坐标．例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．实战演练➢课堂狙击1、与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y=1+x2B．y=（2x+1）2C．y=（x﹣1）2 D．y=2x22、一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3C．y=﹣（2x+1）2+3D．y=﹣（2x﹣1）2+33、二次函数y=x2﹣6x+5配成顶点式正确的是（）A．y=（x﹣3）2﹣4B．y=（x+3）2﹣4C．y=（x﹣3）2+5D．y=（x﹣3）2+144、二次函数图象如图所示，则其解析式是（）A．y=﹣x2+2x+4B．y=x2+2x+4C．y=﹣x2﹣2x+4 D．y=﹣x2+2x+35、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=x2﹣x+2C．y=x2+x﹣2D．y=x2+x+26、如图，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=﹣x+m与x轴交于点E．（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线的解析式．7、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D （1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求直线CM的解析式；（3）求△MCB的面积．➢课后反击1、已知抛物线y=x2﹣2x+c的顶点在x轴上，你认为c的值应为（）A．﹣1B．0C．1D．22、对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式（）A．y=﹣2x2+8x+3B．y=﹣2x‑2﹣8x+3C．y=﹣2x2+8x﹣5D．y=﹣2x‑2﹣8x+23、把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x﹣2）2﹣3 4、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b，k的值分别（）A．0，5B．﹣4，1C．﹣4，5D．﹣4，﹣15、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+36、若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（）A．y=﹣x2+2x+4B．y=﹣ax2﹣2ax﹣3（a＞0）C．y=﹣2x2﹣4x﹣5D．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）7、已知二次函数y=ax2（a≠0）与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），（1）求二次函数和一次函数解析式．（2）求△OAB的面积．8、已知：二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和C（0，2）．（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数y=﹣x2+bx+c的图象在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G，点M（m，y1）在图象G上，且y1≥0，求m的取值范围．直击中考1、【2016•兰州】二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2+42、【2013•深圳】已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．3、【2011•泰安】若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为（）x﹣7﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2y﹣27﹣13﹣3353A．5B．﹣3C．﹣13D．﹣274、【2008•济宁】已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y=x2﹣2x+3B．y=x2﹣2x﹣3C．y=x2+2x﹣3 D．y=x2+2x+35、【2010•深圳】如图所示，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S‑PAD=4S‑ABM成立，求点P的坐标．重点回顾二次函数表达式的三种形式：一般式、顶点式、交点式；待定系数法名师点拨1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．学霸经验➢本节课我学到➢我需要努力的地方是。

学科教师辅导讲义体系搭建(a ＞0)(a ＜0) 开口向上 开口向下 直线x ＝－b2a直线x ＝－b2a⎛⎫b 4ac －b 2⎛⎫b 4ac －b 2（3）当Δ＞0时，有两个不同的交点；当Δ＝0时，有一个交点；当Δc＜0时，抛物线与x轴没有交点．考点一：二次函数的定义例1、若y=（1+m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（）A．±3B．﹣3C．+3D．0例2、下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c模型的是（）A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B．我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与半径之间的关系考点二：二次函数的图像与性质例1、一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．例2、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0 ；③4ac﹣b2＜8a ；④＜a＜；⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤例3、将抛物线y=2（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式（）A．y=2（x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣1）2D．y=2（x﹣1）2考点三：二次函数的表达式例1、把二次函数y=﹣x2﹣x+3配方化为y=a（x﹣h）2+k形式（）A．y=﹣（x﹣2）2+2B．y=﹣（x﹣2）2+4C．y=﹣（x+2）2+4D．y=﹣（x﹣1）2+3例2、二次函数图象如图所示，则其解析式是（）A．y=﹣x2+2x+4B．y=x2+2x+4C．y=﹣x2﹣2x+4D．y=﹣x2+2x+3考点四：二次函数的应用例1、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A．20B．1508C．1550D．1558例2、如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，反映y与x之间函数关系的大致图形是（）A．B．C．D．例3、某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？考点五：二次函数与一元二次方程例1、若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（）A．0＜k＜4B．﹣3＜k＜1C．k＜﹣3或k＞1D．k＜4例2、如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P（41，m）在此“波浪线”上，m的值为（）A．2B．﹣2C．0D．实战演练➢课堂狙击1、若y=（a2+a）是二次函数，那么（）A．a=﹣1或a=3B．a≠﹣1或a≠0C．a=3D．a=﹣12、下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系B．当距离一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系C．矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系D．等边三角形的面积S与边长x之间的关系3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3B．直线x=﹣2C．直线x=﹣1D．直线x=04、如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45、将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y=（x+1）2﹣13B．y=（x﹣5）2﹣3C．y=（x﹣5）2﹣13D．y=（x+1）2﹣3 6、二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（）A．B．C．D．7、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④8、若二次函数y=﹣x2+2x+m2+1的最大值为4，则实数m的值为（）A．B．C．±2D．±19、某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y间．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？10、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．➢课后反击1、若y=（1+m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（）A．±3B．﹣3C．+3D．02、在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+5x+b的图象可能是（）A．B．C．D．3、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个4、已知二次函数y=ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（）A．3B．﹣1C．4D．4或﹣15、若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（）A．y=﹣（x﹣2）2﹣1B．y=﹣（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2﹣1D．y=（x﹣2）2﹣16、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3D．y=3（x+1）2+37、某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销量y（件）之间关系如表所示：x/元130150165y/件70 50 35若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？8、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m=0．（1）求证：不论m为任何实数时，该方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m与x轴交于A、B两点（点A与点B在y轴异侧），且AB=4，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m向上平移b个单位长度后，所得到的图象与直线y=x没有交点，请直接写出b的取值范围．直击中考1、【2016•广州】对于二次函数y=﹣+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x=2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与x轴有两个交点2、【2016•赤峰】函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．3、【2016•临沂】二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣4、【2016•兰州】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45、【2016•武汉】某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲6a20200乙201040+0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．重点回顾二次函数的定义；二次函数的图像与性质；二次函数的表达式与应用；二次函数与一元二次方程。

初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

一元二次方程解法预学第3知识点:直接开平方法解一元二次方程知识回顾我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，2练习：（1）2x2-8=0 （2）9x2-5=3 （3）(x+6)2-9=0【课堂练习】1、用直接开平方法解下列方程：（1）3(x-1)2-6=0 （2）x2-4x+4=5 （3）9x2+6x+1=4（4）36x2-1=0 （5）4x2=81 （6）(x+5)2=25【课堂巩固】一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b为实数，满足2-12b+36=0，那么ab的值是 _______．4．用直接开平方法解下列方程：（1）（2-x）2-81＝0 （2）2（1-x）2-18＝0 （3）（2-x）2＝45．解关于x的方程（x+m）2=n．第4知识点:配方法解一元二次方程复习巩固：用直接开方法解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9填空：（1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2（3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2配方法：1、什么叫配方法？2、配方法的目的是什么？这也是配方法的基本方法。

3、配方法的关键是什么？4、配方法的步骤：1）2）3）4）例1：用配方法解下列关于x的方程（1）2x2-4x-8=0 （2）x2-4x+2=0 （3）x2- x-1=0 （4）2x2+2=5例2用配方法解下列关于x 的方程：（1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0 练习：（1）x 2+10x+9=0 （2）3x 2+6x-4=0（3）4x 2-6x-3=0 （4）x 24x-9=2x-11 （5）x(x+4)=8x+12【课堂练习】： 1. 填空：（1）x 2+10x+______=（x+______）2；（2）x 2-12x+_____=（x-_____）2（3）x 2+5x+_____=（x+______）2．（4）x 2-32x+_____=（x-_____）22．用配方法解下列关于x 的方程（1） x 2-36x+70=0． （2）x 2+2x-35=0 （3）2x 2-4x-1=0（4）x 2-8x+7=0 （5）x 2+4x+1=0 （6）x 2+6x+5=0（7）2x 2+6x-2=0 （8）9y 2-18y-4=0 （9）x 2【课后巩固】 一、选择题1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9二、填空题1．（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2（3）x2+px+_____=（x+______）2． 2、方程x2+4x-5=0的解是 _ _ _ _ _ _ _ _．三、计算：1.（1）x2+10x+16=0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x-9=02．如果x2-4x+y2，求（xy）z的值．一元二次方程解法课后作业1．用适当的数填空：①、x2+6x+ =（x+ ）2；②、x2－5x+ =（x－）2；③、x2+ x+ =（x+ ）2；④、x2－9x+ =（x－）22.计算：用直接开平方法解下列方程：（1）x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2（4）4m2-9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x-1)2-9=1083．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，•所以方程的根为_________．4．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对5．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-1 6．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=0解一元二次方程配方法练习题1．用适当的数填空：①、x 2+18x+ =（x+ ）2； ②、x 2－7x+ =（x － ）2； ③、x 2- x+ =（x- ）2； ④、x 2－13x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2B ．-2C ．D ．9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=011.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。

二次函数之平移解题技巧：左加右减对x，上加下减在末尾例1、将二次函数y=-x2+3的图象向下平移5个单位后，再向右平移1个单位，所得图象的解析式为（）A、y=-(x+1)2+2 B、y=-(x-1)2+2 C、y=-(x+1)2-2 D、y=-(x-1)2-2例2、将二次函数y=3x2-1的图象向下平移1个单位后，再向左平移2个单位，所得图象的解析式为（）A、y=3(x+2)2-2 B、y=3(x+2)2+2 C、y=3(x-2)2-2 D、y=3(x-2)2+21、将抛物线y=3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（）A、y=3(x+2)2+1B、y=3(x+2)2-1C、y=3(x-2)2+1D、y=3(x-2)2-12、将抛物线y=(x-1)2+3先向左平移1个单位，再向下平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（）A、y=(x-2)2B、y=(x-2)2+6C、y=x2+6D、y=x23、将二次函数y=2x2+1的图象向上平移2个单位后，再向左平移3个单位，所得图象的解析式为（）A、y=2(x-3)2+3B、y=2(x+3)2+3C、y=2(x+3)2-3D、y=2(x-3)2-34、将二次函数y=-2x2-4的图象向上平移5个单位后，再向右平移3个单位，所得图象的解析式为（）A、y=-2(x+3)2-1B、y=-2(x+3)2+1C、y=-2(x-3)2+1D、y=-2(x-3)2-15、将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4（）A、先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B、先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C、先向右平移3个单位，再向上平移4个单位D、先向右平移3个单位，再向下平移4个单位6、抛物线y=(x-2)2+3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A、先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B、先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C、先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D、先向右平移2个单位，再向上平移3个单位7、如图，已知抛物线y=x2，把该抛物线向上平移，使平移后的抛物线经过点A（1，3），那么平移后的抛物线的表达式是______________例3、将二次函数y=3x2+2x+1的图象向下平移2个单位后，再向右平移2个单位，所得图象的解析式为______________1、将二次函数y=x2+2x+5的图象向上平移2个单位后，再向右平移1个单位，所得图象的解析式为________________2、将二次函数y=-2x2-x+1的图象向下平移1个单位后，再向左平移3个单位，所得图象的解析式为_____________3、抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x-3，则b+c的值为______4、函数y=x2-2x+1的图象可以由函数y=x2的图象（）得到A、向上平移1个单位B、向下平移1个单位得到C、向左平移1个单位得到D、向右平移1个单位得到。

二次函数与一次函数共存问题解题技巧：了解二次函数和一次函数的系数分别控制什么二次函数2=++y ax bx c①a：②b：③c：=+一次函数y kx b①k：②b：例1、如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是（）例2、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（）1、在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（）2、函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（）3、函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）4、二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一直角坐标系中图象大致是（）5、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）6、如图所示，在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图像正确的是（）知识点三、abc与0的大小比较例1、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法中正确的是（）A、a+b+c<0B、4a+b>0C、c=0D、abc>0例2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac>0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x>0时，y随x的增大而减小例3、如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则一次函数y=ax+b的图象不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（）A、a<0B、b2-4ac<0C、当-1<x<3时，y>0D、b=-2a2、如图，已知二次函数图象y=ax2+bx+c的图象，有下列4个结论。

九年级数学下册二次函讲义新版苏科版新知新讲二次函数的定义：形如y = ax 2+bx +c (a ≠ 0，a ，b ，c 为常数)的函数叫二次函数． 题一：判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a ，b ，c 的值．（1）y = x (x 5)（2）y = x 4+2x 2 1（3）y = ax 2+bx +c金题精讲题一：当m 为何值时，函数22(2)45m y m x x -=-+-是关于x 的二次函数．题二：24(3)(2)3mm y m x m x +-=++++，当m 为何值时，y 是关于x 的二次函数．第46讲 二次函数y =ax 2的图象新知新讲函数图象的画法：五点作图法步骤：列表，描点，连线题一：动手画2y x =，22y x =和2y x =-的函数图象？抛物线的顶点：对称轴与抛物线的交点称为抛物线的顶点题二：观察函数2y x =与2y x =-的图像，回答：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标.第47讲 二次函数y =ax 2+k 的图象新知新讲y =ax 2+k 与y =ax 2的关系抛物线y =ax 2+k 的特点：a ＞0时，开口向上，最低点是顶点a ＜0时，开口向下，最高点是顶点对称轴是y 轴，顶点坐标是 （0，k ） 题一：函数2123y x =-+图象与函数213y x =-的图象有什么关系?金题精讲题一：写出下列函数的开口方向，对称轴，顶点坐标.(1)225y x =+；(2)232y x =--；(3)23y x =-+第48讲二次函数y =a (x h )2的图象新知新讲抛物线y =ax 2中，a 决定开口方向与开口大小.二次函数y =a (x -h ) 2的图象．题一：在同一坐标系中，画出函数21(1)2y x =-+和函数21(1)2y x =--的图象． 函数21(1)2y x =-+、21(1)2y x =--的图象与函数212y x =-的图象有什么关系？金题精讲题一：填空第49讲 二次函数y =a (x h )2+k 的图象新知新讲 2y = a (x h )2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标a >0 向上 x =h (h ，k )a <0向下 x =h (h ，k ) 解析式 开口 方向 对称轴 顶点坐标y 5x 22152y x =-+ y3(x 4)2y 4(x 2)27题二： 抛物线22y x =-经过怎样的变换可以得到抛物线21(1)12y x =-+-？金题精讲题一： 将抛物线y =3x 2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是（ ）A. y =3(x 2)2 5B. y = 3(x +2)2 5C. y = 3(x +2)2+5D. y = 3(x 2)2+5第50讲二次函数y =ax 2+bx +c 的图象新知新讲抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标与对称轴题一：你能求出函数162122x=-+y x的顶点坐标吗？金题精讲题一：写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）y = x2+6x+1（2）y = 2x2+8x8第51讲用待定系数法求二次函数的解析式（一）新知新讲二次函数解析式的的常见形式：1．一般式：y=ax2+bx+c（a ≠0）已知抛物线上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.2．顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0）已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式.题一：已知二次函数的图象经过点A（0，1）、B（1，0）、C（1，2），求二次函数的解析式．金题精讲题一：已知抛物线的顶点为（1，3），且与y轴交于点（0，1），求二次函数的解析式．题二：二次函数图象的对称轴是x =1，与y轴交点的纵坐标是6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．第52讲用待定系数法求二次函数的解析式（二）新知新讲二次函数解析式的的常见形式：1．一般式：y =ax2+bx+c(a≠0)已知抛物线上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.2．顶点式：y = a(x h)2+k(a≠0)已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式.3．双根式：y = a(x x1)(x x2)(a≠0)已知抛物线与轴交点的横坐标x1、x2，通常选用双根式.题一：二次函数的图象经过点(1，0)，(2，0)，(3，4)，求函数的解析式．金题精讲题一：已知二次函数的图象经过点(0，3)，对称轴方程是x1=0，抛物线与x轴两交点的距离为4，求这个二次函数的解析式.题二：已知二次函数的顶点坐标是(3，2)，且图象与x轴的两个交点间距离是4．求这个二次函数的解析式．第53讲用函数的观点看一元二次方程新知新讲题一：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2．考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？题二：（1）已知二次函数y= x2+4x的值为3，求自变量x的值.（2）解方程x2 4x+3=0．金题精讲题一：已知函数y = x2-4x+3.（1）画出函数的图象；（2）观察图象，当x取那些值时，函数值为0？第54讲实际问题与二次函数（一）新知新讲题一：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价一元，每星期少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？金题精讲题一：一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米.（1）问此球能否投中？（2）探究：若假设出手的角度和力度都不变，则如何才能使此球命中?第55讲实际问题与二次函数（二）新知新讲题一：（1）正方体的六个面是全等的正方形，设正方形的棱长为x，表面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.（2）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的函数关系式.金题精讲题一：已知一个矩形的周长为12米，设矩形的一边长为x m，面积为S m2，（1）求S与x之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围（2）若想设计一幅这样的广告牌，广告的设计费为每平方米1000元，请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费.题二：一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC，AB，BC上，要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？第56讲实际问题与二次函数（三）新知新讲题一：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h= 5t 2+30t .小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？金题精讲题一：要修建一个圆形喷水池，池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？题二：飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t t2.飞机着陆还滑行多远后才能停下来？第45讲 二次函数新知新讲题一：（1）是，a =1，b = 5，c = 0 .（2）不是.（3）不一定，a = 0时，不是；a ≠ 0时，是，a =a ，b = b ，c = c .金题精讲题一：m = 2 题二：m =2.第46讲 二次函数y =ax 2的图象新知新讲题一：题二：2y x =的开口向上对称轴是y 轴，顶点坐标(0，0);2y x =-的开口向下对称轴是y 轴，顶点坐标(0，0).第47讲 二次函数y =ax 2+k 的图象新知新讲 题一：图象的开口方向相同，都是向下，顶点不同，2123y x =-+的顶点坐标(0，2) ;213y x =-的顶点坐标(0，0).金题精讲题一：(1)开口向上，对称轴y 轴 ，顶点坐标(0，5) ;(2)开口向下，对称轴y 轴 ，顶点坐标(0，-2) ;(3)开口向下，对称轴y 轴 ，顶点坐标(0，3).第48讲二次函数y =a (x h )2的图象新知新讲 题一： x -2 10 1 2 21(1)2=-+y x 12 0 122 92 x 2 10 1 2 21(1)2y x =-- 92 2 12 0 12开口方向都朝下，而且开口大小都是一样的，对称轴：21(1)2=-+y x ：x = 1；21(1)2y x =--：x = 1；212y x =-：x = 0. 顶点：21(1)2=-+y x ：(1，0)；21(1)2y x =--：(1，0)；212y x =-：(，0). 金题精讲解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标y = 5x 2 向下 y 轴 (0，0)2152=-+y x 向下 y 轴 (0，5) y = 3(x +4)2 向下 x = 4(4，0)y = 2(x 3)2向下 x = 3 (3，0)第49讲二次函数y =a (x h )2+k 的图象新知新讲解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标y 5x 2向下 y 轴 (0，0)2152=-+y x 向下 y 轴 (0，5) y 3(x 4) 2向下 x = 4 (4，0) y4(x 2) 27 向上 x = 2 (2，7) .21(1)12y x =-+-先向左平移一个单位，再向下平移一个单位可得22y x =-题二：由 金题精讲题一：D第50讲 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象新知新讲题一：（6 ， 3）金题精讲题一：（1）向下 对称轴：x =3 顶点坐标（3，10）（2）向下 对称轴：x =2 顶点坐标（2，0）第51讲 用待定系数法求二次函数的解析式（一）新知新讲新知新讲题一：设二次函数式为： y =ax 2+bx +c (a ≠0)将A (0，1)、B (1，0)、C (1，2)三点代入得：10 2-=⎧⎪=++⎨⎪=-+⎩c a b c a b c ，解得 211=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩a b c则二次函数式为： y =2x 2x 1金题精讲题一：设二次函数式为: y =a (x h )2+k将点（1，3）代入得：y =a (x 1)23，点（0，1）代入得：a=4，则函数解析式为：y =4(x 1)23，整理得：y =4x 28x 1.题二：设函数解析式为：y =a (x 1)2+k因为y 轴交点的纵坐标是6，即过点(0，6) ，且经过点（2，10），代入得: 6109-=+⎧⎨=+⎩a k a k 解得：28=⎧⎨=-⎩a k 则函数解析式为: y =2(x 1)28整理得: y =2x 24x 6.第52讲 用待定系数法求二次函数的解析式（二）新知新讲题一：设二次函数一般式为：y =ax 2+bx +c (a ≠0)将点(1，0)，(2，0)，(3，4)代入得：0420934++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩a b c a b c a b c ，解得： 264a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．则函数的解析式为：y =2x 26x +4．金题精讲题一：设二次函数的方程为：y = a (x x 1)(x x 2)(a ≠0)因为二次函数的对称轴方程是x 1=0，抛物线与x 轴两交点的距离为4．可知二次函数与x 轴两交点为(1，0)，(3，0)则y = a (x +1)(x 3)(a ≠0)又因为二次函数的图象经过点(0，3)，代入得二次函数的解析式为：y = x 2x +3．题二：由二次函数的顶点坐标是(3，2)可得：对称轴为x =3，且图象与x 轴的两个交点间距离是4．可得函数与x 轴的两个交点坐标为(1，0)，(5，0)，则设二次函数的方程为：y = a (x x 1)(x x 2)(a ≠0)代入得y = a (x 1)(x 5)，将顶点坐标代入得：2= a (31)(35)解得：a =12，则二次函数为y = 12(x 1)(x 5)， 整理得：y = 12x 2x 52第53讲 用函数的观点看一元二次方程新知新讲题一：(1)能，1s 或3s ，(2)能，2s ，(3)不能，最高达20m ，(4)4s题二：(1)x 1=1，x 2=3，(2)x 1=1，x 2=3．金题精讲题一：(1)(2)当x =1或x =3时函数值为0．第54讲实际问题与二次函数（一）新知新讲题一：设涨价x 元，利润为y 元，(0<x<30).y =(60+x )(30010x ) (30010x=10x 2+100x +6000=10(x 5)2x +6250当x =5时，y max =6250设降价x 元，利润为y 元，(0<x<20).y =(60x )(30018x ) (30018x=18x 2+60x +6000当x = 2b a = 60218⨯=106时，y max =6050综上所述：应涨价5元，此时利润最大.答：应涨价5元，此时利润最大.金题精讲题一：(1)设以地面为x轴，以小明所在的位置为y轴，建立平面直角坐标系。

二次函数一、二次函数的解析式1. 二次函数解析式有三种：(1) 一般式：y 二ax2 bx c (a = 0)2(2) 顶点式：y二ax-hi亠k 顶点为h, k(3)交点式：y = a x — x1x — x2咅，0 x?，0是图象与x轴交点坐标。

2. 根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式二、二次函数与一元二次方程_ 2 21. 二次函数y = ax bx c ^^0与一元二次方程ax • bx • c = 0 a = 0的关系。

一元二次方程ax bx 0是二次函数y二ax bx c当函数值y = 0时的特殊情况。

2. 图像与x轴的交点个数：①当厶二b2 -4ac 0时，图像与x轴交于两点A x1,0 ,B x2,0 x<^ x2，其中^,x2是一元二次方程ax ■ bx ■ c = 0 a = 0的两根；②当厶=0时，图像与x轴只有一个交点；③当■ = ：：0时，图像与x轴没有交点。

1 '当a 0时，图像落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y -02 '当a :: 0时，图像落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y ：：：0。

板块一二次函数解析式11. (1)把函数丫=丄x2+3x+2化成它的顶点式的形式为______________________________ ；2⑵把函数y = Jx2+4x +6化成它的交点式形式为___________________________________ ；2⑶把函数y =3(x-2 )+4化为它的一般式的形式为_________________________________ ；⑷把函数y =3(x -1)2-12化成它的交点式为________________________________ ;(5)把函数y =2x2的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的二次函数解析式是；⑹把抛物线y = x2 2x -3向左平移3个单位,然后向下平移2个单位,则所得的抛物线的解析式为—•—2. (1)抛物线了y=a(x+1)(x-3)(a 工0)的对称轴是直线()⑵已知二次函数y = ax ? +bx +c 的对称轴为x = 2,且经过点(1 , 4),(5,0), 求二次函数 的解析式⑶已知二次函数过点(0，-1)，且顶点为(-1,2)，求二次函数的解析式，并化成它的一 般形式。