高中数学 3.1.5空间向量运算的坐标表示教案 新人教A版选修2-1

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：秦雪峰 审稿人：张林3.1.5空间向量运算的坐标表示教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。

2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。

重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。

2．坐标判断两个空间向量平行。

教学过程：（一）复习上一节内容（二）新课讲解：设a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b(1) a ±b ＝ 。

(2) λa ＝ ．(3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ．（5）模长公式：若123(,,)a a a a =， 则2||a a a a =⋅=+． 2||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+两点间的距离公式：若11(,,)A x y z ，22(,,B x y z 2||(A B A Bx x ==),,(),,,(222111z y x B z y x A ==则＝ ，= ．AB 的中点M 的坐标为 ．例题分析： 例1、（1）已知两个非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）A. ：||=：||B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零实数k ，使=k（2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（ ）A. －3或1B.3或－1C. －3D.1（3）下列各组向量共面的是（ ）A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)解析：（1）D ；点拨：由共线向量定线易知；（2）A 点拨：由题知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x ；（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。

量运算的坐标表示教案 新人教A 版选修2-1一、向量在轴上的投影1．几个概念(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ，AB 是轴u 上的有向线段，如果数λ满足=λ且当与轴u 同向时λ是正的，当与轴u 反向时λ是负的，那么数λ叫做轴u 上有向线段的值，记做AB ，即AB =λ。

设e 是与u 轴同方向的单位向量，则e λ=(2) 设A 、B 、C 是u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有+=(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a 和b ，任取空间一点O ，作a =OA ，b =，规定不超过π的AOB ∠称为向量a 和b 的夹角，记为),(b a ∧(4) 空间一点A 在轴u 上的投影：通过点A 作轴u 的垂直平面，该平面与轴u 的交点'A 叫做点A 在轴u 上的投影。

(5) 向量AB 在轴u 上的投影：设已知向量AB 的起点A 和终点B 在轴u 上的投影分别为点'A 和'B ，那么轴u 上的有向线段的值''B A 叫做向量在轴u 上的投影，记做j u Pr 。

2．投影定理性质1：向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角ϕ的余弦：ϕPr AB j u =性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即 2121a a a a j j j u Pr Pr )(Pr +=+性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。

即a a j j u Pr )(Pr λλ=二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

设a =21M M 是以),,(1111z y x M 为起点、),,(2222z y x M 为终点的向量，i 、j 、k 分别表示 图7－5沿x ，y ，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：)(1221x x M M -=i + )(12y y -j +)(12z z -k或 a = a x i + a y j + a z k上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。

3.1.5空间向量运算的坐标运算教学目标通过与平面向量类比学习,掌握空间向量加、减、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的平行、垂直判断，掌握长度、夹角公式的坐标表示。

能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。

教学重点利用坐标解决立体几何问题教学过程一、复习引入在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组},,{z y x ，使OA xi yj zk =++，),,(z y x 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．二、 新课讲解1.空间向量的坐标运算：2.空间向量平行、垂直的坐标表示a ⊥b =x 1x 2+y 1y 2=0a //b =x 1=βx 2，y 1=βy 23.距离公式(1)向量的长度（模）公式 222121||a a a a =++(2)空间两点间的距离公式212121(,,)AB OB OA x x y y z z =-=---222212112||()()()AB d AB x x y y z z ==-+-+-4.两个向量夹角公式=+b a );,,(332211y x y x y x +++=-b a );,,(332211y x y x y x ---=a λ);,,(111z y x λλλ21cos ,||||a b a b a b a ⋅==+,[0,]a b π∈） 三、典型例题例1已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)．(1)求△ABC 的面积；(2)求△ABC 中AB 边上的高．解 (1)由已知得AB→＝(1，－3，2)，AC →＝(2，0，－8)， ∴|AB→|＝1＋9＋4＝14，|AC →|＝4＋0＋64＝217， AB→·AC →＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， cos 〈AB→，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－1414×217＝－14217， sin 〈AB →，AC →〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC→|·sin 〈AB →，AC →〉 ＝12×14×217×2734＝321.(2)设AB 边上的高为CD ，则|CD →|＝2S △ABC |AB →|＝3 6. 分析：根据夹角公式求出两异面直线上的对应向量夹角的余弦值，从而得到异面直线所成角的余弦值。

3.1.5 空间向量运算的坐标表示教学目标：掌握空间向量运算的坐标表示教学重点：空间直角坐标系，空间向量运算的坐标表示.教学难点：如何建立适当的坐标系及空间向量的坐标的确定和运算. 教学过程： 一.复习引入(1)空间向量基本定理及空间向量的坐标表示; (2)平面向量的坐标运算. 二.思考分析一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石．这三个力为F 1，F 2，F 3，它们两两垂直，且|F 1|＝3 000 N ，|F 2|＝2 000 N ，|F 3|＝2 000 3 N. 问题1：若以F 1，F 2，F 3的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F ＝(3 000,2 000,2 0003)． 问题2：巨石受到的合力有多大？ 提示：|F |＝5 000 N. 三.抽象概括1．空间向量的加减和数乘的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R)；(4)若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R)⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3. 2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(2)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23； (3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23 b 21＋b 22＋b 23； (4)a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.3．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)．(1) AB uu u r＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB uu u r|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.1．空间向量与平面向量的坐标运算的联系类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标．2．长度公式、两点间距离公式、夹角公式都与坐标原点的选取无关． 四.例题分析及练习[例1] 已知空间四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，设p ＝AB uu u r，q ＝CD uuu r .求：(1)p ＋2q ；(2)3p －q ；(3)(p －q )·(p ＋q )； (4)cos 〈p ，q 〉．[思路点拨] 先由点的坐标计算得到向量p ，q 的坐标，然后进行各种运算．[精解详析] 因为A (－1,2,1)，B (1,3,4)，C (0，－1,4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB uu u r＝(2,1,3)，q ＝CD uuu r＝(2,0，－6)．(1)p ＋2q ＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)； (2)3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)； (3)(p －q )·(p ＋q )＝p 2－q 2＝|p |2－|q |2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26； (4)cos 〈p ，q 〉＝p ·q |p ||q |＝2，1，3·2，0，－622＋12＋32·22＋02＋－62＝－1414·210＝－3510.[感悟体会](1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用． 训练题组11．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)．求： (1)a ·(b ＋c )； (2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a ·(b ＋c )＝1×1＋(－2)×0＋4×5＝21；(2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4)＝(3，－8，17)．2．已知O 为坐标原点，A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1) OP uuu r ＝12(AB uu u r －AC uuu r )；(2) AP uu u r ＝12(AB uu u r －AC uuu r )．解：AB uu u r＝(2,6，－3)，AC uuu r ＝(－4,3,1)．(1) OP uuu r ＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．(2)设P 为(x ，y ，z )，则AP uu u r＝(x －2，y ＋1，z －2)．∵12(AB uu u r －AC uuu r )＝AP uu u r ＝(3，32，－2)， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 坐标为(5，12，0).[例2] 设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． (1)若(ka ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，求k .[思路点拨] 先求ka ＋b ，a －3b 的坐标，再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解；也可由两向量平行或垂直的充要条件进行整体运算，再代入坐标求解． [精解详析] 法一：ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)． a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)因为(ka ＋b )∥(a －3b )，所以k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)因为(ka ＋b )⊥(a －3b )，所以(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.法二：(1)因为(ka ＋b )∥(a －3b )，所以(ka ＋b )＝λ(a －3b )，即ka ＋b ＝λa －3λb .因为a 与b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－3λ，解得k ＝－13.(2)因为(ka ＋b )⊥(a －3b )，所以(ka ＋b )·(a －3b )＝0，即k |a |2－(3k －1)a ·b －3|b |2＝0.而|a |2＝27，|b |2＝38，a ·b ＝8，所以27k －8(3k －1)－114＝0，解得k ＝1063.[感悟体会](1)要熟练掌握两个向量平行和垂直的充要条件，借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算．(2)在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注意结论成立的前提条件．在条件不明确时，要分类讨论． 训练题组23．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，a ∥b ，则λ与μ的值分别为( )A.15，12 B ．5,2C ．－25，－12D ．－5，－2解析：∵a ∥b ，∴a ＝kb ，即λ＋1＝6k,0＝k (2μ－1)，2λ＝2k .解得λ＝15，k ＝15，μ＝12.答案：A4．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB uu u r，b ＝AC uuu r .若向量ka ＋b与ka －2b 互相垂直，求k 的值． 解：a ＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b ＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， ka －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)．∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， 即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.[例3] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．[思路点拨] 先建立空间直角坐标系，写出各向量的坐标，再利用向量方法进行求解．[精解详析] 如图，以CA u u r ，CB u u u r ，1CC u u u r为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz .(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，∴|BN uuu r |＝1－02＋0－12＋1－02＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，∴1BA u u u r ＝(1，－1,2)，1CB u u u r＝(0,1,2)，∴1BA u u u r ·1CB u u u r ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|1BA u u u r |＝6，|1CB u u u r |＝5，∴cos 〈1BA u u u r ，1CB u u u r 〉＝1BA u u u r ·1CB u u u r|1BA u u ur ||1CB u u u r |＝3010. 故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010. [感悟体会] 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单． 训练题组35．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB ―→|的取值范围是( ) A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．[1,25]解析：AB uu u r＝(2cos θ－3cos α，2sin θ－3sin α，0)， ∴|AB uu u r|2＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2＝4＋9－12(cos θcos α＋sin θsin α)＝13－12cos(θ－α)．∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴1≤|AB ―→|2≤25.∴1≤|AB ―→|≤5. 答案：B6．已知a ＝(5,3,1)，b ＝(－2，t ，－25)，若a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由已知a ·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×(－25)＝3t －525.∵a 与b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，即3t －525<0，∴t <5215.若a 与b 的夹角为180°，则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)， 即(5,3,1)＝λ(－2，t ，－25)，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝λ·－2，3＝λt ，1＝λ·－25，∴t ＝－65，故t 的范围是(－∞，－65)∪(－65，5215)．五.课堂小结与归纳1．在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况． 2．运用向量坐标运算解决几何问题的方法：3．若〈AB uu u r ，CD uuur 〉＝α，两条异面直线AB ，CD 所成角为θ，则cos θ＝|cos α|.六.当堂训练1．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p·q ＝( ) A ．－1 B ．1C ．0D ．－2解析：∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p·q ＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1. 答案：A2．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：AB uu u r＝(3,4，－8)，AC uuu r ＝(5,1，－7)，BC uuu r ＝(2，－3,1)，∴|AB uu u r|＝32＋42＋82＝89，|AC uuu r |＝52＋12＋72＝75，|BC uuu r |＝22＋32＋1＝14，∴|AC uuu r |2＋|BC uuu r|2＝75＋14＝89＝|AB ―→|2.∴△ABC 为直角三角形．答案：C3．已知a ＝(2,0,3)，b ＝(4，－2,1)，c ＝(－2，x,2)，若(a －b )⊥c ，则x 等于( ) A ．4 B ．－4 C ．2D ．－2解析：∵a －b ＝(－2,2,2)，又(a －b )⊥c ， (a －b )·c ＝0，即4＋2x ＋4＝0，∴x ＝－4. 答案：B4．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA u u u r ＋λOB uuu r 与OB uuu r 的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B.66C ．－66D ．±6解析：∵OA u u u r ＝(1,0,0)，OB uuu r＝(0，－1,1)， ∴OA u u u r ＋OB uuu r＝(1，－λ，λ)，∴(OA u u u r ＋λOB uuu r )OB uuu r＝λ＋λ＝2λ， |OA u u u r ＋λOB uuu r|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2， |OB uuu r|＝ 2.∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16. 又2λ2·1＋2λ2<0，∴λ＝－66.答案：C5．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________. 解析：a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)， ∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29. ∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2. ∵λ>0，∴λ＝3. 答案：36．已知3a －2b ＝(－2,0,4)，c ＝(－2,1,2)，a ·c ＝2，|b |＝4，则cos 〈b ，c 〉＝________. 解析：(3a －2b )·c ＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12， 即3a ·c －2b ·c ＝12.由a ·c ＝2，得b ·c ＝－3.又∵|c |＝3，|b |＝4，∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－14.答案：－147．已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求： (1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4.这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)．又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值cos θ＝5－12＋338·38＝－219.8．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为坐标原点)．当QA uu u r ·QB uuu r取最小值时，求点Q 的坐标．解：OP uuu r ＝(1,1,2)，因为点Q 在直线OP 上，所以OQ uuu r 与OP uuur 共线，故可设OQ uuu r＝λOP uuu r ＝(λ，λ，2λ)，其中λ为实数，则Q (λ，λ，2λ)，所以QA uu u r＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB uuu r＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA uu u r ·QB uuu r ＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)·(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－43)2－23.所以当λ＝43时，QA uu u r ·QB uuu r 取最小值．此时Q 点坐标为(43，43，83)．。

《3.1.5 空间向量运算的坐标表示》学案学习目标：1、掌握空间向量的加减、数乘、数量积运算的坐标表示以及平行向量、垂直向量坐标之间的关系；2、向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的距离公式；会应用这些知识解决简单的立体几何问题.一、复习回顾1、空间向量的坐标表示2、空间向量的运算，平行、垂直，模与夹角二、探索新知回忆平面向量运算的坐标表示，完成表格左边部分；同时，类比平面向量试 平面向量 112233(,),(,),(,)===a a b b a b c a b空间向量111222333(,,),(,,),(,,)===a a b c b a b c c a b c 向量运算的坐标表示 1、加减法：a b +=_____________ a b -=_____________2、数乘：a =λ_____________3、数量积：a b ⋅=______________1、平行：a b ⇔______________2、垂直：a b ⊥⇔______________ 1、模长：||a =______________ 2、夹角： cos ||||a b a b ⋅==θ_________________ 3、两点1122(,),(,)A a b B a b 间的距离：||AB =_______________________三、演练反馈例 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点1E ,1F 分别是11A B ，11C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成角的余弦值.【方法提炼】用向量法解决立体几何问题的一般步骤①②③变式1：若点,E F 分别是111,BB D B 的中点，求证1EF DA ⊥.变式2：G 是1BB 的一个靠近点B 的四等分点，H 为1AA 上的一点，若1GH DF ⊥，试确定H 点的位置.四、课堂练习（课后练习3）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，求证1DB 与CM 所成角的余弦值.能力提升如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1CC 上，且13CC CP =，Q 为CD 上一点，若1B Q ⊥平面1AD P ，试确定Q 点的位置.五、课堂小结六、课后作业：作业本配套练习 Q P。

§3.1.5 空间向量运算的坐标表示1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.9597复习1：设在平面直角坐标系中，A (1,3)，B (1,2)-，则线段︱AB ︱＝ .复习2：已知()()3,2,5,1,5,1a b =-=-r r，求： ⑴a ＋B. ⑵3a －b ； ⑶6A. ； ⑷a ·b .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝2. 两个向量的夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞，又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ， 由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝试试：① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 .反思：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴ a //B. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为 ；⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：222211212()()()AB x x y y z z -+-+-.4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: .※ 典型例题例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体1111ABCD A B C D -中，1111113A BB E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.变式：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，求1DB 与CM 所成角的余弦值.小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算.※ 动手试试练1. 已知A (3,3,1)、B (1，0，5)，求： ⑴线段AB 的中点坐标和长度；⑵到A 、B 两点距离相等的点(,,)P x y z 的坐标x 、y 、z 满足的条件．练2. 如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流.三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2.解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算.※ 知识拓展在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则312123a a ab b b ==是//a b r r 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不不要条件2. 已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-r r ，且a b ⊥r r，则x ＝ .3. 已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+u u u r u u u r 与OB u u u r的夹角为120°，则λ的值为（ ）A. 6±B. 6C. 6-D. 6±4. 若()()2,2,0,3,2,a x b x x ==-r r，且,a b r r 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）A. 4x <-B. 40x -<<C. 04x <<D. 4x >5. 已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=r r， 且(2)//(2)a b a b +-r r r u u r，则（ ）A. 1,13x y ==B. 1,42x y ==-C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-课后作业：1. 如图，正方体''''ABCD A B C D -棱长为a ， ⑴ 求'',A B B C 的夹角；⑵求证：''A B AC ⊥.2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.。

3.1.5空间向量运算的坐标表示教学目标1.知识与技能掌握空间向量的坐标运算规律、平行向量坐标表示．2．过程与方法通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养．3．情感、态度与价值观通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．教学重点：体会空间直角坐标系，空间点的坐标，学会空间向量的坐标表示与运算．教学难点：空间向量坐标的确定，掌握空间向量模、夹角等的计算．空间向量线性运算的坐标表示问题导思1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何表示a＋b，a－b，λa?【答案】a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)．2．如果a∥b(b≠0)，则a、b坐标满足什么关系？【答案】a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2.空间向量线性运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；(4)b≠0，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.空间向量数量积的坐标表示及夹角公式问题导思1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何用坐标表示a·b?【答案】a·b＝a1b1＋a2b2.2．用向量的数量积运算还能解决向量中的哪些方面的问题？ 【答案】 求向量的模、夹角等． 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝_a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(2)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23； (3)a ≠0，b ≠0，cos a ，b ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 ； (4)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)； (2)d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.例题解析例1 如图, 在正方体1111ABCD A B C D -中，11B E =11114A B D F ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值.解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则13(1,1,0),(1,,1),4B E 11(0,0,0),(0, 1).4D F ，131(1,,1)(1,1,0)(0,,1),44BE =-=-u u u u r111(0, 1)(0,0,0)(0, 1).44DF =-=u u u u r ，，11111500()11,4416BE DF =⨯+-⨯+⨯=u u u u r u u u u r g11||,||.BE DF ==u u u u r u u u u r1111111515cos ,.17||||44所以BE DF BE DF BE DF <>===⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r g u u u ur u u u u r 例2 如图，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中，EF 分别是BB 1，D 1B 1的中点， 求证EF ⊥DA 1.证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA uuu r ，DC u u u r ，1DD u u u u r为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,1,)2E ，11(,,1)22F 所以111(,,)222EF =--u u u r .又1(1,0,1)A ，(0,0,0)D ，所以1(1,0,1)DA =u u u u r所以1111(,,)(1,0,1)0222EF DA ⋅=--⋅=u u u r u u u u r ，因此1EF DA ⊥u u u r u u u u r，即1EF DA ⊥.课堂检测一、选择题1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2)C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 【答案】 A2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B.532 C.532 D.132【解析】 AB 的中点M (2，32，3)，∴CM →＝(2，12，3)，故|CM |＝|CM →|＝22＋122＋32＝532. 【答案】 C3．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( ) A ．－2B ．2C ．3D ．－3【解析】 ∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2. 【答案】 A4．点A (n ，n －1,2n )，B (1，－n ，n )，则|AB →|的最小值是( ) A.12 B.22C ．2D ．不存在【解析】 ∵AB →＝(1－n,1－2n ，－n )， ∴|AB →|2＝(1－n )2＋(1－2n )2＋n 2＝6(n －12)2＋12，当n ＝12时，|AB →|的最小值为22.【答案】 B5．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°【解析】 a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )． 【答案】 A 二、填空题6．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________． 【解析】 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，∴|AB →|＝32，|AC →|＝2， AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos AB →，AC →＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∴AB →，AC →＝60°. 【答案】 60°7．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(b,2μ－1,2)，且a ∥b ，则λ＋μ＝________. 【解析】 ∵a ∥b ，a ＝t b .于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6t ，0＝t 2μ－1，2λ＝2t .解之可得⎩⎨⎧λ＝t ＝15，μ＝12.故λ＋μ＝15＋12＝710.【答案】7108．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________.【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0a ·AC →＝0|a |＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝313y ＝413z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313y ＝－413z ＝－1213.【答案】 (313，413，1213)或(－313，－413，－1213)三、解答题9．已知3a －2b ＝(－2,0,4)，c ＝(－2,1,2)，a ·c ＝2，|b |＝4，求cos 〈b ，c 〉． 解 (3a －2b )·c ＝3a ·c －2b ·c ＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12， 又a ·c ＝2，∴b ·c ＝－3，由c ＝(－2,1,2)知|c |＝3.∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－34×3＝－14. 10．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 解 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋－52＋52＝52.(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0， 解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，E 点坐标为(－65，－145，25)．图3－1－3211．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1用向量法解： (1)求A 1B 和B 1C 的夹角； (2)证明：A 1B ⊥AC 1； (3)求AC 1的长度．解 (1)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Dxyz . 设棱长为1，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)， ∴A 1B →＝(0,1，－1)，B 1C →＝(－1,0，－1)， ∴A 1B →·B 1C →＝(0,1，－1)·(－1,0，－1) ＝0＋0＋1＝1.|A 1B →|＝0＋1＋1＝2，|B 1C →|＝1＋0＋1＝ 2.∴cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝A 1B →·B 1C →|A 1B →|·|B 1C →|＝12.∵〈A 1B →，B 1C →〉∈[0°，180°]， ∴A 1B 与B 1C 夹角为60°.(2)由(1)知A 1B →＝(0,1，－1)，AC 1→＝(－1,1,1)， ∴A 1B →·AC 1→＝0＋1－1＝0， ∴A 1B ⊥AC 1.(3)∵AC 1→＝(－1,1,1)， ∴|AC 1→|＝1＋1＋1＝ 3. 即AC 1的长度为 3. 课堂小结1．空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，只是多了对竖坐标的运算． 2．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角．3．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．。

3.1.5空间向量运算的坐标表示
在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求，利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
【知识与能力目标】
1、理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．
【过程与方法目标】
2、掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直；掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．
【情感态度价值观目标】
3、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。

【教学重点】
掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．
【教学重点】
掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相
关问题．
多媒体课件。

海南省保亭中学高中数学选修2-1教案：§3.1.5空间向量运算的坐标表示教学目标：1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。

教学重点：空间向量的坐标运算教学难点：空间向量的坐标运算教学过程：一．创设情景1、平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的 坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，0,0(=k二．新课讲授1、空间直角坐标系：（让学生了解即可，重点知道坐标表示）（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；2、空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，332211b a b a b a b a ++=⋅112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈；00332211=++⇔=⋅⇔⊥b a b a b a212||a a a a a a =⋅=++ 2cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+ （2）在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。