习题与复习题详解线性空间高等代数

第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷）一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（ ）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）的核是零子空间的充要条件是（B ）的核是V 的充要条件是（C ）的值域是零子空间的充要条件是（D ）的值域是V 的充要条件是3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

第七章 线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是：1〕在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2〕在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3〕在P 3中,A ),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4〕在P 3中,A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5〕在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ；6〕在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7〕把复数域上看作复数域上的线性空间,A ξξ=.8〕在P nn ⨯中,A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1>当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2>当0=α时,是;当0≠α时,不是.3>不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A<)α.4>是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α,故A 是P 3上的线性变换.5>是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换.6>是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f .7>不是,例如取a=1,k=I,则A <ka>=-i , k<A a>=i, A <ka >≠k A <a>. 8>是,因任取二矩阵Y X ,nn P⨯∈,则A <=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ,A <k X >=k BXC k kXB ==)()(A X ,故A 是nn P⨯上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换,证明：A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2,并检验<AB >2=A 2B 2是否成立. 解 任取一向量a=<x,y,z>,则有 1) 因为A a=<x,-z,y>, A 2a=<x,-y,-z>,A 3a=<x,z,-y>, A 4a=<x,y,z>,B a=<z,y,-x>, B 2a=<-x,y,-z>,B 3a=<-z,y,x>, B 4a=<x,y,z>,C a=<-y,x,z>, C 2a=<-x,-y,z>,C 3a=<y,-x,z>, C 4a=<x,y,z>, 所以A 4=B 4=C 4=E.2) 因为AB <a>=A <z,y,-x>=<z,x,y>,BA <a>=B <x,-z,y>=<y,-z,-x>, 所以AB ≠BA.3>因为A 2B 2<a>=A 2<-x,y,-z>=<-x,-y,z>,B 2A 2<a>=B 2<x,-y,-z>=<-x,-y,z>, 所以A 2B 2=B 2A 2.3) 因为<AB >2<a>=<AB ><AB <a>>_=AB <z,x,y>=<y,z,x>,A 2B 2<a>=<-x,-y,z>, 所以<AB >2≠A 2B 2.3.在P[x] 中,A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f =,证明:AB-BA=E. 证 任取∈)(x f P[x],则有<AB-BA >)(x f =AB )(x f -BA )(x f =A <))(x xf -B <'f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f所以 AB-BA=E.4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明：A kB-BA k=k A 1-k <k>1>.证 采用数学归纳法.当k=2时A 2B-BA 2=<A 2B-ABA>+<ABA-BA 2>=A<AB-BA>+<AB-BA>A=AE+EA=2ª,结论成立. 归纳假设m k =时结论成立,即A mB-BA m=m A 1-m .则当1+=m k 时,有A 1+m B-BA1+m =<A1+m B-A m BA>+<A m BA-BA1+m >=A m<AB-BA>+<A mB-BA m>A=A mE+mA1-m A=)1(+m A m.即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明：可逆变换是双射.证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A1-.若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A1-,有a=b,这与条件矛盾.其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1-b=a 即可.因此,A 是一个双射.6.设1ε,2ε, ,n ε是线性空间V 的一组基,A 是V 上的线性变换.证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.证 因A <1ε,2ε, ,n ε>=<A 1ε,A 2ε, ,A n ε>=<1ε,2ε, ,n ε>A,故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆,而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关,故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε, ,A n ε线性无关.. 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第1题4>中变换A 在基1ε=<1,0,0>,2ε=<0,1,0>,3ε=<0,0,1>下的矩阵；2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影,求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵； 3) 在空间P [x]n 中,设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→, 试求A 在基i ε=!1)1()1(i i x x x +-- <I=1,2, ,n-1>下的矩阵A ； 4) 六个函数1ε=eaxcos bx ,2ε=eaxsin bx ,3ε=x e axcos bx ,4ε=x eaxsin bx ,1ε=221x e ax cos bx ,1ε=21e ax 2x sin bx ,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D 在基i ε<i=1,2, ,6>下的矩阵； 5) 已知P3中线性变换A 在基1η=<-1,1,1>,2η=<1,0,-1>,3η=<0,1,1>下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101,求A 在基1ε=<1,0,0>,2ε=<0,1,0>,3ε=<0,0,1>下的矩阵； 6) 在P 3中,A 定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(321ηηηA A A , 其中⎪⎩⎪⎨⎧-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(321ηηη, 求在基1ε=<1,0,0>,2ε=<0,1,0>,3ε=<0,0,1>下的矩阵； 7) 同上,求A 在1η,2η,3η下的矩阵.解 1>A 1ε=<2,0,1>=21ε+3ε,A 2ε=<-1,1,0>=-1ε+2ε,A 3ε=<0,1,0>=2ε,故在基1ε,2ε,3ε下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001110012.2〕取1ε=〔1,0〕,2ε=〔0,1〕,则A 1ε=211ε+212ε,A 2ε=211ε+212ε,故A 在基1ε,2ε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21212121. 又因为B 1ε=0,B 2ε=2ε,所以B 在基1ε,2ε下的矩阵为B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000,另外,〔AB 〕2ε=A 〔B 2ε〕=A 2ε=211ε+212ε,所以AB 在基1ε,2ε下的矩阵为AB =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210210. 3〕因为 )!1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n εεεε, 所以A 0110=-=ε,A 01)1(εε=-+=x x , A )!1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=-n n x x x n n x x x n ε=)!1()]3([)1(----n n x x x {)]2([)1(---+n x x }=2-n ε,所以A 在基0ε,1ε, ,1-n ε下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010 .4〕因为D 1ε=a 1ε-b 2ε,D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε, D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε,所以D 在给定基下的矩阵为D =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000100001000010001a b b a a b b a ab b a. 5〕因为<1η,2η,3η>=<1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011,所以 <1ε,2ε,3ε>=<1η,2η,3η>⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101110111=<1η,2η,3η>X,故A 在基1ε,2ε,3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211. 6〕因为<1η,2η,3η>=<1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--012110301,所以A <1η,2η,3η>=A <1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--012110301,但已知A <1η,2η,3η>=<1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505,故A <1ε,2ε,3ε>=<1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-=<1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---717172717672737371=<1ε,2ε,3ε>⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----72471872772757472072075. 7〕因为<1ε,2ε,3ε>=<1η,2η,3η>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-,所以A <1η,2η,3η>=<1η,2η,3η>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----963110505 =<1η,2η,3η>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011101532.8．在P22⨯中定义线性变换A1<X >=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a X,A 2<X >=X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a , A 2<X >=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ,求A 1, A 2, A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵. 解 因A 1E 11=a E 11+c E 12, A 1E 12=a E 12+c E 22,A 1E 21=b E 11+d E 21, A 1E 22= b E 21+d E 22,故A 1在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d cdc b a b a 00000000. 又因A 2E 11=a E 11+b E 12, A 2E 12= c E 11+d E 12, A 2E 21= a E 21+b E 22, A 2E 22= c E 21+d E 22,故A 2在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为A 2=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d b c a db ca 00000000.又因A 3E 11= a 2E 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22, A 3E 12= ac E 11+ad E 12+c 2E 21+cd E 22, A 3E 21= ab E 11+b 2E 12+ad E 21+bd E 22, A 3E 22 = bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2E 22,故A 3在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22223d bdcd bc cd ad c ac bd b adab bc ab aca A . 9.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a , 1) 求A 在基123,,εεε下的矩阵； 2) 求A 在基321,,εεεk 下的矩阵,其中且； 3) 求A 在基3221,,εεεε+下的矩阵. 解 1>因A 3ε=333εa +a +223ε13a 1ε, A 2ε=+332εa +222εa 112εa ,A 1ε=+331εa +221εa 111εa ,故A 在基123,,εεε下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1112132122233132333a a a a a a a a a B . 2>因 A 1ε=111εa ++)(221εk ka 331εa , A <k 2ε>=k 112εa +)(222εk a +332εka , A 3ε=13a 1ε+ka 23<2εk >+333εa , 故A 在321,,εεεk 下的矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3332312322211312112a ka a k a a k aa ka a B . 3>因A <21εε+>=<1211a a +><31εε+>+<12112221a a a a --+>2ε+<3231a a +>3ε, A 2ε=12a <21εε+>+<1222a a ->2ε+332εa , A 3ε=13a <21εε+>+<1323a a ->2ε+333εa ,故A 基3221,,εεεε+下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----+-=333232311323122212112221131212113a a a a a a a a a a a a a a a a B . 10. 设A 是线性空间V 上的线性变换,如果Aε1-k ≠0,但A εk =0,求证：ε,A ε,, A ε1-k <k >0>线性无关.证 设有线性关系0121=+++-εεεk k A l A l l ,用A1-k 作用于上式,得1l A ε1-k =0<因A 0=εn 对一切n k ≥均成立>,又因为Aε1-k ≠0,所以01=l ,于是有01232=+++-εεεk k A l A l A l ,再用A 2-k 作用之,得2l Aε1-k =0.再由,可得2l =0.同理,继续作用下去,便可得021====k l l l ,即证ε,A ε,, Aε1-k <k >0>线性无关.11.在n 维线性空间中,设有线性变换A 与向量ε使得A ε1-n 0≠,求证A 在某组下的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101010 . 证 由上题知,ε,A ε,A ε2,, Aε1-n 线性无关,故ε,A ε,A ε2,, A ε1-n 为线性空间V的一组基.又因为A ⋅+⋅+⋅=010εεεA A ε2+⋅+0 Aε1-n ,A <A ε>=ε⋅0+⋅0 A ε+⋅1 A ε2+⋅+0 A ε1-n ,…………………………… A 〔Aε1-n 〕=ε⋅0+⋅0 A ε+⋅0 A ε2+⋅+0 A ε1-n ,故A 在这组基下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101010 . 12． 设V 是数域P 上的维线性空间,证明：与V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换.证 因为在某组确定的基下,线性变换与n 级方阵的对应是双射,而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.13. A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明：如果A 在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换.证 设A 在基n εεε,,,21 下的矩阵为A=<ij a >,只要证明A 为数量矩阵即可.设X 为任一非退化方阵,且<n ηηη,,21>=<n εεε,,,21 >X, 则12,,,n ηηη也是V 的一组基,且A 在这组基下的矩阵是AX X 1-,从而有AX=XA,这说明A 与一切非退化矩阵可交换. 若取⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n X 211,则由A 1X =1X A 知ij a =0<i ≠j>,即得A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn a a a2211, 再取2X =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001100001000010由A 2X =2X A,可得nn a a a === 2211.故A 为数量矩阵,从而A 为数乘变换.14.设321,,εεε,4ε是四维线性空间V 的一组基,已知线性变换A 在这组基下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201,1) 求A 在基42112εεη+-=,4443343222,,3εηεεηεεεη=+=--=下 的矩阵； 2) 求A 的核与值域；3) 在A 的核中选一组基,把它扩充为V 的一组基,并求A 在这组基下的矩阵； 4) 在A 的值域中选一组基, 把它扩充为V 的一组基, 并求A 在这组基下的矩阵. 解 1>由题设,知<4321,,,ηηηη>=<321,,εεε,4ε>⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2111011000320001,故A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为B=AX X 1-=12111011000320001-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2111011000320001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----87103403403163831031034322332. 2> 先求A1-<0>.设∈ξ A1-<0>,它在321,,εεε,4ε下的坐标为<1χ,432,,χχχ>,且A ε在321,,εεε,4ε下的坐标为<0,0,0,0,>,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000.因rank<A>=2,故由⎩⎨⎧=+++-=++032024321431x x x x x x x , 可求得基础解系为X 1=)0,1,23,2('--,X 2=)1,0,2,1('--. 若令1α=<321,,εεε,4ε>X 1,2α=<321,,εεε,4ε>X 2, 则12,αα即为A 1-<0>的一组基,所以A1-<0>=12(,)L αα.再求A 的值域A V.因为A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+, A 3ε=432152εεεε+++, A 4ε3ε=4321253εεεε-++,rank<A>=2,故A 1ε ,A 2ε, A 3ε, A 4ε的秩也为2,且A 1ε ,A 2ε线性无关,故A 1ε ,A 2ε可组成A V 的基,从而A V=L<A 1ε ,A 2ε>.4) 由2>知12,αα是A 1-<0>的一组基,且知,1ε2ε,12,αα是V 的一组基,又<,1ε2ε, a 1, a 2>=<321,,εεε,4ε>⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10000100223101201, 故A 在基,1ε2ε,12,αα下的矩阵为B=11000100223101201-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---10000100223101201=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00220021001290025.4> 由2>知A 1ε=43212εεεε++-, A 2ε=432222εεε-+ 易知A 1ε, A 2ε,43,εε是V 的一组基,且<A 1ε, A 2ε,43,εε>=<321,,εεε,4ε>⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021012100210001, 故A 在基A 1ε, A 2ε,43,εε下的矩阵为C=11021012100210001-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021012100210001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000002231291225. 15. 给定P 3的两组基⎪⎩⎪⎨⎧===)1,1,1()0,1,2()1,0,1(321εεε⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=)1,1,2()1,2,2()1,2,1(321ηηη, 定义线性变换A : A i ε=i η<i =1,2,3>,1) 写出由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵； 2) 写出在基321,,εεε下的矩阵； 3) 写出在基321,,ηηη下的矩阵.解 1>由<321,,ηηη>=<321,,εεε>X,引入P 3的一组基1e =<1,0,0>, 2e =<0,1,0>, 3e =<0,0,1>,则<321,,εεε>=<1e ,2e ,3e >⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101110121=<1e ,2e ,3e >A,所以<321,,ηηη>=<1e ,2e ,3e >⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122221=<1e ,2e ,3e >B=<1e ,2e ,3e >A 1-B, 故由基321,,εεε到基321,,ηηη的过度矩阵为X= A 1-B=1101110121-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122221=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232. 2>因A <321,,εεε>=<321,,ηηη>=<321,,εεε>⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232, 故A 在基321,,εεε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---252112323123232. 4) 因A <321,,ηηη>=A <321,,εεε>X=<321,,ηηη>X,故A 在基321,,ηηη下的矩阵仍为X..16.证明⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21相似,其中<n i i i ,,,21 >是1,2,n , 的一个排列.证 设有线性变换A ,使A )21,,,(n εεε =)21,,,(n εεε ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21=)21,,,(n εεε D 1, 则A < ,,21i i εε,n i ε>=< ,,21i i εε,n i ε>⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21=< ,,21i i εε,n i ε>D 2, 于是D 1与D 2为同一线性变换A 在两组不同基下的矩阵,故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21相似. 17.如果A 可逆,证明AB 与BA 相似. 证 因A 可逆,故A1-存在,从而A1-<AB>A=< A 1-A>BA=BA,所以AB 与BA 相似.18.如果A 与B 相似,C 与D 相似,证明：0000A B B D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与相似.证 由已知,可设B=X 1-AX, D=Y 1-CY ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100Y X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛C A 00⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Y X0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00,这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100Y X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛Y X001-,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00相似. 19.求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量.已知A 在一组基下的矩阵为：1>A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2543 2>A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00a a 3>A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------111111*********1 4>A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121101365 5>A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 6>A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---031302120 7>A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----284014013解 1>设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A,且A 的特征多项式为A E -λ=2543----λλ=2λ-5λ-14=<7-λ><2+λ>,故A 的特征值为7,-2.先求属于特征值λ=7的特征向量.解方程组⎩⎨⎧=+-=-0550442121x x x x ,它的基础解系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11,因此A 的属于特征值7的全部特征向量为k 1ξ <k 0≠>,其中1ξ=1ε+2ε.再解方程组⎩⎨⎧=--=--0450452121x x x x ,它的基础解系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,因此A 的属于特征值-2的全部特征响向量为k 2ξ<k 0≠>,其中2ξ=41ε-52ε.2>设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A,且当a=0时,有A=0,所以AE -λ=λλ00=2λ, 故A 的特征值为1λ=2λ=0.解方程组⎩⎨⎧=+=+0000002121x x x x ,它的基础解系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01,⎪⎪⎭⎫⎝⎛10,因此A 的属于特征值0的两个线性无关特征向量为1ξ=1ε,2ξ=2ε,故A 以V 的任一非零向量为其特征向量.当a ≠0时,AE -λ=λλa a -=2λ+a 2=<ai +λ><ai -λ>,故 A 的特征值为1λ=ai ,2λ= -ai .当1λ=ai 时,方程组⎩⎨⎧=+=-002121aix ax ax aix 的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1i ,故A 的属于特征值ai 的全部特征向量为k 1ξ<k 0≠>,其中1ξ=-1εi +2ε.当2λ= -ai 时,方程组⎩⎨⎧=-=--002121aix ax ax aix 的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1i ,故A 的属于特征值-ai 的全部特征向量为k 2ξ <k 0≠>,其中2ξ=1εi +2ε.3>设A 在 给定基1ε,2ε,3ε,4ε下的矩阵为A,因为A E -λ=<2-λ>3<2+λ>,故A 的特征值为1λ=2λ=2,243-==λλ.当2=λ时,相应特征方程组的基础解系为X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,0101,0011321X X ,故A 的属于特征值2的全部特征向量为11εk +22k ε+k33ε <k 321,,k k 不全为零>,其中1ξ=1ε+2ε,2ξ=1ε+3ε,3ξ=1ε+4ε.当2-=λ时,特征方程组的基础解系为X =4⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111,故A 的属于特征值-2的全部特征向量为k 4ξ <k 0≠>,其中4ξ=1ε-2ε-43εε-. 4） 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A,因A E -λ==+-----12111365λλλ43-λ422++λλ=<2-λ><31--λ><31+-λ>,故A 的特征值为1λ=2,2λ=3λ.当1λ=2时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+=+--032020363321321321x x x x x x x x x 的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-012,故A 的属于特征值2的全部特征向量为k 1ξ <k 0≠>,其中1ξ=12ε-2ε.当λ=1+3时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++=+-+-0)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3213,故A的属于特征值1+3的全部特征向量为k 2ξ <k 0≠>,其中2ξ=13ε-2ε+<23->3ε.当λ=1-3时, 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=--+=+---0)32(20)31(036)34(321321321x x x x x x x x x 的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-3213,故A的属于特征值13-的全部特征向量为k 3ξ <k 0≠>,其中3ξ=13ε-2ε+<23+>3ε. 5) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A,因A E -λ=λλλ0101010---=<1-λ>2<1+λ>,故A 的特征值为1,1321-===λλλ.当121==λλ,方程组⎩⎨⎧=+-=-003131x x x x 的基础解系为,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,故A 的属于特征值1的全部特征向量为112212(,)k k k k ξξ+不全为零,其中311εεξ+=,22εξ=.当13-=λ时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--002031231x x x x x 的基础解系为101⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭,故A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0(3≠k k ξ,其中313εεξ-=. 6) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A,因A E -λ==---λλλ313212)14(2+λλ=)14)(14(i i +-λλλ,故A 的特征值为i i 14,14,0321-===λλλ.当01=λ时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=--0303202213132x x x x x x 的基础解系为312⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,故A 的属于特征值0的全部特征向量为)0(1≠k k ξ,其中321123εεεξ+-=.当i 142=λ时,该特征方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+101432146ii ,故A 的属于特征值i 14的全部特征向量为)0(2≠k k ξ,其中321210)1432()146(εεεξ-+-++=i i .当i 14-=λ时,该特征方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----101432146ii ,故A 的属于特征值i 14-的全部特征向量为)0(3≠k k ξ,其中321310)1432()146(εεεξ---+-=i i .7) 设A 在给定基321,,εεε下的矩阵为A,因A E -λ=28414013+-+--λλλ=<1-λ>2<2+λ>,故A 的特征值为2,1321-===λλλ.当121==λλ,该特征方程组的基础解系为3620⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,故A 的属于特征值1的全部特征向量为)0(1≠k k ξ,其中32112063εεεξ+-=.当23-=λ,该特征方程组的基础解系为001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,故A 的属于特征值-2的全部特征向量为)0(2≠k k ξ,其中32εξ=.20.在上题中,哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况下,写出相应的基变换的过度矩阵T,并验算T1-AT.解已知线形变换A 在某一组基下为对角形的充要条件是有n 个线形无关的特征向量,故上题中1>~6>可以化成对角形,而7>不能.下面分别求过渡矩阵T. 1) 因为12(,)ξξ=<21,εε>⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5141,所以过渡矩阵T=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5141,T 1-AT=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-91919495⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2543⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5141=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2007. 2)0,a =当时已是对角型.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠11),(),(,02121i i a εεξξ有时当,过渡矩阵T=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11i i , T 1-AT=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ai ai i i a a i i001100212212. 3>因为<4321,,,ξξξξ>=<4321,,,εεεε>⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1100101010011111,过渡矩阵T=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1100101010011111, T 1-AT=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222. 4>因为<),,321ξξξ=<⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----32320111332),,321εεε, 过渡矩阵T=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----32320111332,T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-313121AT .5>因为 <),,321ξξξ=<321,,εεε>⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010101,过渡矩阵T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010101,11100011011002201001001001011100101001022T AT -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎪⎝⎭.6>因为 <⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+---+=101021432143211461463),,(),,321321i i i i εεεξξξ,即过渡矩阵为 T=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+---+101021432143211461463i i i i ,且T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-i i AT 140001401. 21.在P[x]n <n>1>中,求微分变换D 的特征多项式,并证明D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵.解 取P[x]n 的一组基1,x,21,...,2(1)!n x x n --,则D 在此基下的矩阵为 D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0 (00)01...000...............0...1000 (010),从而n D E λλλλλ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-...0001...000...............0...100 01, 故D 的特征值是n (0=λ重>,且D 的属于特征值0的特征向量ξ只能是非零常数.从而线性无关的特征向量个数是1,它小于空间的维数n,故D 在任一组基下的矩阵都不可能是对角形.22.设 A=142034043⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,求A k.解:因为=---+---=-34430241λλλλA E <)5)(5)(1+--λλλ,故A 的特征值为5,5,1321-===λλλ,且A 的属于特征值1的一个特征向量为X '1)0,0,1(=,A 的属于特征值5的一个特征向量为X '2)2,1,2(=,A 的属于特征值-5 的一个特征向量为X '3)1,2,1(-=.于是只要记T=<X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120210121),,321X X ,则T B AT =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-5000500011,且 B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k kk )5(00050001. 于是A ==-1T TB k k ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5152052510101)5(00050001120210121k k =[][][][][][]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅--+⋅-+⋅⋅-+-+---+-k K k k k k k k k k k k )1(45)1(1520)1(152)1(41501)1(45)1(1521111111111. 23.设εεε,,2143,ε是四维线性空间V 的一个基,线性变换A 在这组基下的矩阵为A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=711310252921323133425.1) 求A 的基432112εεεεη+++=,321232εεεη++=,33εη=,44εη=下的矩阵； 2) 求A 的特征值与特征向量； 3) 求一可逆矩阵T,使TAT 1-成对角形.解 1>由已知得<X ),,,(1001011100320021),,,(),,,432143214321εεεεεεεεηηηη=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=, 故求得A 在基4321,,,ηηηη下的矩阵为B=X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-2500232700450056001AX .2> A 的特征多项式为=)(λf )1)(21(2--=-=-λλλλλB E A E ,所以A 的特征值为1,21,04321====λλλλ. A 的属于特征值0=λ的全部特征向量为2211ξξk k +,其中21,k k 不全为零,且4212εεεξ+--=.A 的属于特征值21=λ的全部特征向量为33ξk ,其中 03≠k ,且321324εεεξ+--=+64ε.A 的属于特征值1=λ的全部特征向量为44ξk ,其中04≠k ,且4321423εεεεξ-++=.3〕因为〔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=2610110112133412),,,(),,,43214321εεεεξξξξ,所求可逆阵为 T=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2610110112133412,且 T ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121001AT 为对角矩阵. 24.1>设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值,21,εε是分别属于21,λλ的特征向量,证明：21εε+不是A 的特征向量；2>证明:如果线性空间V 的线性变换A 以V 中每个非零向量作为它的特征向量,那么A 是数乘变换.证 1>由题设知A 111)(ελε=, A 222)(ελε=, 且21λλ≠,若21εε+是A 的特征向量,则存在0≠λ使 A 〔21εε+〕=)(21εελ+=21λελε+, A 〔21εε+〕=2211ελελ+=21λελε+, 即 0)()(2211=-+-ελλελλ.再由21,εε的线性无关性,知021=-=-λλλλ,即21λλλ==,这是不可能的. 故21εε+不是A 的特征向量.2〕设V 的一组基为12,,...,n εεε,则它也是A 的n 个线性无关的特征向量,故存在特征值λλ,12,,...,n λ 使A i i i ελε=)(),...,2,1(n i =.由1〕即知12...n k λλλ====.由已知,又有A ααk =)()(V ∈∀α,即证A 是数乘变换.25.设V 是复数域上的n 维线性空间,A ,B 是V 上的线性变换,且AB =BA .,证明： 1) 如过0λ是A 的一个特征值,那么0λV 是B 的不变子空间； 2) A ,B 至少有一个公共的特征向量.证 1>设0λαV ∈,则A 0αλα=,于是由题设知 A <B α>=B <A α>=B <=)0αλ0λ<B α>, 故B α∈0λV ,即证0λV 是B 的不变子空间.3) 由1>知0λV 是B 的不变子空间,若记B|0λV =B 0,则B 0也是复数域上线性空间0λV 的一个线性变换,它必有特征值,0μ使B 0B =0μB <B ∈0λV ,且B 0≠>, 显然也有A <B >=0μB ,故B 即为A 与B 的公共特征向量.26. 设V 是复数域上的n 维线性空间,而线性变换A 在基n εεε,...,,21下的矩阵是一若当块.证明：1) V 中包含1ε的A -子空间只有V 自身； 2) V 中任一非零A -子空间都包含n ε；3) V 不能分解成两个非平凡的A -子空间的直和.证 1>由题设,知A <n εεε,...,,21>=<n εεε,...,,21>⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅λλλ1.....1,即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=--n n nn n a A A A λεεελεεελεεελεε11322211.........................,设W 为A -子空间,且∈1εW,则∈1εA W, 进而有∈-=112λεεεA W ∈⇒2εA W, ∈-=223λεεεA W ∈⇒3εA W,………………………………….∈-=--11n n n A λεεεW,故W=L{n εεε,...,,21}=V.2>设W 为任一非零的A -子空间,对任一非零向量∈αW,有 不妨设01≠κ,则A nn A A A εκεκεκα+++= (2211)=1κ<21ελε+>+2κ<32ελε+>+…+n n λεκ =∈++++-n n εκεκεκλα13221...W 于是 ∈+++-n n εκεκεκ13221...W同理可得 ∈+++-n n εκεκεκ24231...W,…,∈n εκ1W 从而∈n εW,即证V 中任一非零的A -子空间W 都包含n ε. 3〕设W ,1W 2是任意两个非平凡的A -子空间,则由2〕知∈n εW 1且∈n εW 2,于是∈n εW ⋂1W 2,故V 不能分解成两个非平凡的A -子空间的直和. 27．求下列矩阵的最小多项式：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001010100)1, 2>⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------3131131331311313 解 1>设=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001010100,因为A 2-E =0,是所以12-λA 的零化多项式,但A -E 0≠,A +E 0≠,故A 的最小多项式为1)(2-=λλA m .2>因为4)(λλλ=-=A E f ,所以A 的最小多项式为432,,,λλλλ之一,代入计算可得A的最小多项式为2)(λλ=A m .二 补充题参考解答1. 设A,B 是线性变换, A 2= A, B 2=B 证明:1) 如果<A+B >2 =A+B 那么AB=0; 2) 如果, AB=BA 那么<A+B-AB>2=A+B-AB. 证 1>因为A 2= A, B 2=B, <A+B >2=A+B 由<A+B >2 =<A+B> <A+B>= A 2 +AB+BA+ B 2, 故A+B= A +AB+BA+ B, 即AB+BA=0.又2AB=AB+AB=AB-BA= A 2B-B 2A= A 2B+ABA= A <AB+BA>= A0=0 所以AB=0.2> 因为A 2= A, B 2=B, AB=BA所以<A+B-AB>2= <A+B-AB> <A+B-AB>= A 2+BA- AB A+ AB+ B 2- AB 2-A 2B-BAB +ABAB = A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB = A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB = A+B- AB .2. 设V 是数域P 上维线性空间,证明:由V 的全体变换组成的线性空间是2n 维的.证 21112121n n n n n n n nn E E E E E E P P n ⨯⨯因，，，，，，，是的一组基，是维的.V 的全体线性变换与n n P ⨯同构,故V 的全体线性变换组成的线性空间是2n 维的. 3. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换,证明:1) 在][x P 中有一次数2n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f ; 2) 如果)(,0)(==A g A f ,那么)(=A d ,这里.)()()(的最大公因式与是x g x f x d ；3) A 可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式()()0f x f A =使.证 1>因为P 上的n 维线性空间V 的线性变换组成的线性空间是2n 维的,所以2n +1个线性变换A2n ,A12-n ,、、、,A,E,一定线性相关,即存在一组不全为零的数22101,,,,n n a a a a -使2n a A 2n +12-n a A12-n ++1a A+0a E=0,令22221101()n nn n f x a xa x a x a --=++++,且22(0,1,2,,)i a i n f x n =∂≤不全为零，（（））.这就是说,在][x P 中存在一次数2n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f .即证. 2>由题设知)()()()()(x g x v x f x u x d +=因为0)(,0)(==A g A f , 所以)()()()()(A g A v A f A u A d +==0.3>必要性.由1>知,在][x P 中存在一次数2n ≤的多项式)(x f ,使0)(=A f .即2n a A 2n +12-n a A 12-n++1a A+0a E=0,若则,00≠a 22221101()n nn n f x a x a xa x a --=++++即为所求.若00a =,2n a A 2n +12-n a A 12-n++1a A+0a E=0,因 A 可逆,故存在右乘等式两边也存在，用1111)()()(,----=j j j A A A A ,得2n a Ajn-2+12-n a A12--j n+…+j a E=0令=)(x f 2n a jnx-2+12-n a 12--j nx +…+)0(≠j j a a ,即)(x f 为所求.充分性.设有一常数项不为零的多项式22221101()n n n n f x a x a xa x a --=++++)0(0≠a 使0)(=A f ,即00111=++++--E a A a Aa A a m m m m , 所以E a A a Aa A a m m m m 0111-=+++-- , 于是E A E a A a a m m =⋅++--)(1110, 又⋅A E E a A a a m m =++--)(1110, 故A 可逆.4. 设A 是线性空间V 上的可逆线性变换.1) 证明: A 的特征值一定不为0；2) 证明:如果λ是的A 特征值,那么λ1是1-A 的特征值. 证 1>设可逆线性变换A 对应的矩阵是A,则矩阵A 可逆,A 的特征多项式)(λf 为A a a a f n n nn n )1()()(12211-+++++-=- λλλ,A 可逆 ,故0≠A .又因为A 的特征值是的全部根,其积为0≠A ,故A 的特征值一定不为0. 2>设λ是的A特征值,那么存在非零向量ξ,使得111111,A A A A A ξλξξλξξξλλ----===用作用之，得（），于是，即是的特征值.5.设A 是线性空间V 上的线性变换,证明；A 的行列式为零的充要条件是A 以零作为一个特征值.证:设线性变换A 矩阵为A,则 A 的特征值之积为A .必要性,设0=A ,则A 的特征值至少有一个为零,即一另为一个特征值. 充分性,设A 有一个特征值00=λ,那么0=A .6. 设A 是一个n 阶下三角矩阵,证明：1) 如果)2,1,,(n j i j i a a jj ii =≠≠,那么A 相似于一对角矩阵；2) 如果a aa nn === 2211,而至少有一)(00000j i a j i >≠,那么A 不与对角矩阵相似.证：1>因为A 的多项式特征是()f λ=)())((2211a a a nn A E ---=-λλλλ ,又因)2,1,,(n j i j i aa jjii=≠≠,故A 有n 个不同的特征值,从而矩阵A 一定可对角化,故A 似于对角矩阵.2>假定 A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a aa j i1111110与对角矩阵B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλn21相似, 则它们有相同的特征值λλλn,,,21,因为A 的特征多项式()f λ=()na 11-λ,所以a n 1121====λλλ ,由于 B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a aa 111111=E a11是数量矩阵,它只能与自身相似,故A 不可能与对角矩阵相似.7.证明:对任一n n ⨯复系数矩阵A ,存在可逆矩阵T,使AT T 1- 证:存在一组基εεεεsr s r ,,,,11111 ，，,使与矩阵A 相应的线性变换A 在该基下的矩阵成若尔当标准形J,且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ελεεελεr r A A 111111211111, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ελεεελεr r A A s s s s s s s s 1211 ,若过度矩阵为P,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-S J J J J AP P211, 重排基向量的次序,使之成为一组新基1111,,,,,,1s sr r s εεεε ,则由新基到旧基的过渡矩阵为Q=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s r r r B B B21,其中B j r =jr ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 , 于是 A 1111,,,,,,(1s sr r s εεεε >=1111,,,,,,(1s sr r s εεεε >J ', 故A 在此新基下的矩阵即为上三角形 即存在可逆矩阵T=PQ,使AT T 1-成上三角形.8. 如果s A A A ,,,21 是线性空间V 的两两不同的线性变换,那么在V 中必存在向量a ,使a A a A a A s ,,,21 也两两不同.证 令V }{a A A V jiij =∈=ααα, <s j i ,2,1,=>,因为ij j i V A A ∈==0,000,故`ij V 非空.又因为s A A A ,,,21 两两不同,所以对于每两个j i A A ,而言,总存在一个向量β,使ββj i A A ≠,故ij V 是V 的非空真子集.设则,,ij V ∈βαββααj i i A A A A ==,,于是)()(βαβα+=+j i A A ,即ij V ∈+βα.又)()(ααααk A kA kA k A j j i i ===,于是ij V k ∈α,故ij V 是V 的真子空间. 1>如果ij V 都是V 的非平凡子空间,在V 中至少有一个向量不属于所有的ij V ,设),,,2,1,(s j i V ij =∉α则ααj i A A ≠<s j i ,,2,1, =>,即证: 存在向量α使αααs A A A ,,,21 两两不同.2>如果{ij V }中有V 的平凡子空间00j i V ,则00j i V 只能是零空间.对于这种00j i V ,只要取0α≠,就有ααj i A A ≠,故这样的00j i V 可以去掉.因而问题可归于1>,即知也存在向量α使αααs A A A ,,,21 两两不同.,.,:A V W V AW W 9.设是有限维线性空间的线性变换是的子空间表示由中向量的像组成的子空间证明)dim ())0(dim ()dim (1W W A AW =⋂+-.证 因为故上的线形变换也是,W A W A ⋂-)0(1是.的子空间W 设W A ⋂-)0(1的维数 为r,W 的维数为s.今在W A ⋂-)0(1中取一组基,,,21r εεε 把它扩充成W 的一组基,,,21r εεε s r εε ,1+, 则),,,,(121s r r A A A A A L AW εεεεε +==),(1s r A A L εε +,且s r A A εε,1 +线性无关,所以)dim ())0(dim ()dim (1W W A AW =⋂+-. 10.设,,A B n V 是维线性空间的两个线性变换证明：rank <AB >rank ≥<A >+n B rank -)(.证 在分别为在这组基下对应的矩阵设线性变换中取一组基B A V ,,A,B,则线性变换对应的矩阵为AB AB.因为B A ,线性变换,的秩分别等于矩阵AB A,B,AB 的秩,所以对于矩阵A,B,AB 有rank <AB>rank ≥<A>+n rank -)B (,故对于B A ,线性变换,也有ABrank <AB >rank ≥<A >+n B rank -)(.11.设22,,A A B B ==证明：1>,A B AB B BA A ==与有相同值域的充要条件是； 2>,A B AB A BA B ==与有相同的核充要条件是. 证1>必要性,若βαβααA B V AV BV B V BV AV =∈=∈∈=使故存在向量则任取,,,,,于是αβββB A A AB ===2,ββα=A 故有的任意性由,.同理可证 A A =β. 充分性,若=AB B ,A BA =,任取则有,V AV Aa ⊂∈BV Aa B BAa Aa ∈==)(,于是BV AV ⊂,同理可证AV BV ⊂,故BV AV =.。

第六章 线性空间一 线性空间的判定线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。

例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；解： 1）否。

因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如523n nx x ++--=（）（）。

2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。

“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。

当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。

A kA k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。

故反对称矩阵的全体构成线性空间。

例：齐次线性方程组A x =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。

而非齐次线性方程组 A x =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。

二、基 维数 坐标定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12n ,,,ααα使得：V 中任一向量α都可由12n ,,,ααα线性表示，那么，12n ,,,ααα就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。

记作dim V =n 。

维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。

定义（向量的坐标）：设12n ,,,ααα是线性空间n V 的一个基。

第六章 线性空间习题解答P267.1设,,M N MN M MN N ⊆==证明:证明: 一方面.M N M ⊆ 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M ⊆ 2 证明: (1))()()(L M N M L N M =.(2))()()(L M N M L N M =证明:(1).),(L N x M x L N M x ∈∈∈且则设 即.M x N x M x ∈∈∈或且L x ∈且. 于是有)()(L M N M x ∈.另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M ⊆⊆,所以)()()(L N M L M N M ⊆.(2) 一方面,))(,)(L M L N M N M L N M ⊆⊆,所以)()()(L M N M L N M ⊆.另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x ∈∈∈∀且则若).(,L N M x M x ∈∈则 若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N 总之有)()()(),(L N M L M N M L N M x ⊆∈所以.3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法. (2) 设A 是n ⨯n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.(3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.(5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕, )2)1(,(),(211111a k k kb ka b a k -+= . (6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:k ⋅α=0.(7) 集合与加法同(6), 数量乘法为k ⋅α=α.(8) 全体正实数R +,加法和数量乘法定义为: a ⊕b=ab , ka=a k .(1) 否. ,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式. 取f (x )=x n , g (x )=x n -1. 则f (x )+g (x )=-1不再是n 次多项式.(2) 是. 因为集合]}[)(|)({x R x f A f V ∈=作为n 级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.(3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称,上三角)矩阵.(4) 否. 设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量, β=(a,b)≠0. 取α=(a+1,b), γ=(a-1, b), 则α, γ∈V, 但是, α+ γ∉V. (5) 证明: 10显然V 非空.022个代数运算封闭.03先设R t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα=（kla 1,klb 1+211((1))2kl k a -=kl α(7)(k+l)α =（（k+1）a1,(k+l)b 1+211()(1))2k l k l a ++-=((k+1)a 1,(k+l)b 1+22211(2))2k l kl k l a ++--(8)2121212121212121()(,)((),((1)())2k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+22121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-满足3,故V 是一个线性空间 (6) 否. 不满足定义3之(5): 1100αααα==≠，但这里。

第6章线性空间[视频讲解]6.1本章要点详解本章要点■线性空间的定义与简单性质■维数、基与坐标■基变换与坐标变换■线性子空间的判定■线性子空间■子空间的交与和■子空间的直和■线性空间的同构重难点导学一、集合·映射1．集合（1）定义①集合：把一些事物汇集到一起组成的一个整体．②元素：组成集合的东西．a∈M，表示a是集合M的元素，读为：a属于M．a M，表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M．③空集：不包含任何元素的集合．④子集合：如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a∈M可以推出a∈N，则称M为N的子集合．空集合是任一集合的子集合．（2）集合的关系①集合相等：如果两个集合M与N含有完全相同的元素．即a∈M当且仅当a∈Ｎ．或者两个集合同时满足M∈N和N∈M．②集合的交：设M，N是两个集合．既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M与N的交，记为M∩N．③集合的并：属于集合M或者属于集合N的全体元素所组成的集合称为M与N的并，记为M∪N．2．映射（1）定义设M与M′是两个集合．存在一个法则，它使M中每一个元素a都有M′中一个确定的元素a′与之对应，则称这个法则为集合M到集合M′的一个映射．如果映射σ使元素a′∈M′与元素a∈M对应，则记为σ（a）＝a′．a′称为a在映射σ下的像，而a称为a′在映射σ下的一个原像．M到M自身的映射，也称为M到自身的变换．集合M到集合M′的两个映射σ及τ．若对M的每个元素a都有σ（a）＝τ（a），则称它们相等，记作σ＝τ．（2）映射的乘积设映射，乘积定义为(a)＝τ(σ(a))，即相继施行σ和τ的结果，是M到M"的一个映射．（3）映射的性质①设σ是集合M到M′的一个映射，用σ（M）代表M在映射σ下像的全体，称为M在映射σ下的像集合，显然σ（M）∈M′，如果σ（M）＝M′，映射σ就称为映上的或满射．②如果在映射σ下．M中不同元素的像也一定不同．即由a1≠a2一定有σ（a1）≠σ（a2），则称映射σ为1-1的或单射．③一个映射如果既是单射又是满射称为1-1对应或双射．（4）可逆映射设映射σ：M→M′，若有映射τ：M′→M，使得，则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射，记作σ－1．二、线性空间的定义与简单性质1．线性空间的定义如果加法与数量乘法满足下述规则，则V称为数域P上的线性空间．加法满足下面四条规则(1)α＋β＝β＋α；(2)（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；(3)在V中有一个元素0，对于V中任一元素α都有0＋α＝α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；(4)对于V中每一个元素α，都有V中的元素β，使得α＋β＝0（β称为α的负元素）．数量乘法满足下面两条规则(1)1α＝α;(2)k（lα）＝（kl）α．数量乘法与加法满足下面两条规则(1)（k＋l）α＝kα＋lα；(2)k（α＋β）＝kα＋kβ．在以上规则中，k，l表示数域P中的任意数；α，β，γ表示集合V中任意元素．由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间．分量属于数域P 的全体n元数组构成数域P上的一个线性空间，这个线性空间用P n来表示．2．线性空间的简单性质（1）零元素是唯一的；（2）负元素是唯一的；（3）0α＝0；k0＝0；（－1）α＝－α；（4）如果kα＝0．那么k＝0或者α＝0．三、维数、基与坐标1．线性空间中向量之间的线性关系（1）有关定义①线性组合设V是数域P上的一个线性空间，α1，α2，…，αr（r≥1）是V中一组向量，k1，k2，…，k r是数域P中的数．使得向量α＝k1α1＋k2α2＋…＋k rαr，则称为向量组α1，α2，…，αr的一个线性组合，或者称向量α可以用向量组α1，α2，…，αr线性表出．②向量组等价设α1，α2，…，αr（6-1）β1，β2，…，βr（6-2）是V中两个向量组，如果向量组（6-1）中每个向量都可以用向量组（6-2）线性表出，则称向量组（6-1）可以用向量组（6-2）线性表出．如果向量组（6-1）与向量组（6-2）可以互相线性表出．则称向量组（6-1）与（6-2）为等价的．③线性无关线性空间V中向量α1，α2，…，αr（r≥1）称为线性相关，如果在数域P中有r个不全为零的数k1，k2，…，k r，使k1α1＋k2α2＋…＋k rαr＝0（6-3）如果向α1，α2，…，αr不线性相关，称为线性无关，或者称向量组α1，α2，…，αr为线性无关，如果式（6-3）只有在k1＝k2＝…＝k r＝0时才成立．（2）有关结论①单个向量α是线性相关的充分必要条件是α＝0．两个以上的向量α1，α2，…，αr线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合；②如果向量组α1，α2，…，αr线性无关，而且可以被β1，β2，…，βr线性表出，那么r ≤s．。

习题5. 11．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答 是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘; 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性.由n 阶实对称矩阵的性质知;n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵;数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵; 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭; 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +; 其加法与数乘定义为,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈;,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈;所以R +对定义的加法与数乘运算封闭.下面一一验证八条线性运算规律1 a b ab ba b a ⊕===⊕;2()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;3 R +中存在零元素1; ∀a R +∈; 有11a a a ⊕=⋅=;4 对R +中任一元素a ;存在负元素1n a R -∈; 使111a a aa --⊕==;511a a a ==; 6()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;7 ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕;所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵;其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否.A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则１; 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ⨯中;{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间.答 否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零，但的行列式不为零; 也就是说集合对加法不封闭.习题1．讨论22P ⨯中 的线性相关性.解 设11223344x A x A x A x A O +++=;即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知; 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 2．在4R 中;求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中 解 设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换 得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 1; 0 ; - 1 ; 0 . 解 设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩. 由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换 得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为-7;11;-21;30. 4．已知3R 的两组基Ⅰ： 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=，=0，=0-11Ⅱ：123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=，=3，=443 （1） 求由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵；（2） 已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1；（3） 已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2; （4） 求在两组基下坐标互为相反数的向量γ.解1设C 是由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵; 由 ()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭; 知基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭; 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 3β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 4 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 据题意有234010101⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭; 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数. 5．已知Px 4的两组基Ⅰ：2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=，，，Ⅱ：2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++，g ，g ，g（1） 求由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵；（2） 求在两组基下有相同坐标的多项式fx .解 1 设C 是由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵; 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101110111110(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪-⎪∴= ⎪- ⎪---⎝⎭. 2设多项式fx 在基Ⅰ下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组只有零解;则fx 在基Ⅰ下的坐标为(0,0,0,0)T ;所以fx = 0习题证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明 设线性方程组为AX = 0; 对系数矩阵施以初等行变换.()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3; 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题1．求向量()1,1,2,3α=- 的长度.解α.2．求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解(,)d αβ=αβ-. 3．求下列向量之间的夹角 1 ()()10431211αβ==--,,,，,,,2 ()()12233151αβ==,,,，,,,3()()1,1,1,2311,0αβ==-，，，解1(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.2(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=;,4παβ∴==.3(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=;α==β==,αβ∴=3．设αβγ，,为n 维欧氏空间中的向量;证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.证明 因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+- 所以22()αβαγγβ-≤-+-; 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题1．在4R 中;求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα，， 正交.解 设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交;则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即 . 齐次线性方程组的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2．将3R 的一组基1231101,2,1111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 1 正交化; 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ; 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭2 将123,,βββ单位化则*1β;*2β;*3β为R 3的一组基标准正交基. 3．求齐次线性方程组 的解空间的一组标准正交基.分析 因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基;所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解 对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵 可得齐次线性方程组的一个基础解系123111100,,010004001ηηη--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法; 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;将123,,βββ单位化得单位正交向量组因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解;所以*1β;*2β;*3β是解空间的一组标准正交基.3． 设1α;2α ;… ;n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基; A 是n 阶正交矩阵;证明: 1αA ;2αA ;… ;n A α 也是n R 中的一组标准正交基．证明 因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基; 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i 10),(αααα (,1,2,,)i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵; 所以T A A E =. 则故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基.5．设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基; 证明 也是V 的一组标准正交基. 证明 由题知123,,βββ所以是单位正交向量组; 构成V 的一组标准正交基.习题五 A一、填空题1．当k 满足 时;()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解 三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠; 即26k k ≠≠且. 2．由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解 向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩; 故答案为1. 3．()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解 根据定义; 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x ; 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算; 取下列增广矩阵进行运算()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换; 所以123(,,)x x x = 33;-82;154.4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 .解 因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭; 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6．已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3; 则该方程组的解空间的维数为 .解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组基础解系含5 – 3 =2 个向量; 故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解 四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=; 则12a =或1.故答案为12a =.二、单项选择题1．下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是 . A (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111B (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212C (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,1,,,21213D (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 C 选项的集合对向量的加法不封闭; 故选C.2.331,23P A ⨯⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为 .A 1B 2C 3D 4解 向量组A =123⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩; 故选A.解 因 B 选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中（）; 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆， 所以1223312,23,3αααααα+++线性无关. 故选B.解 因122313 ()()()0αααααα-+---=; 所以 C 选项中向量组线性相关; 故选C. 5．n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r ; 该方程组的解空间的维数为s; 则 .A s=rB s=n-rC s>rD s<r 选B6. 已知A; B 为同阶正交矩阵; 则下列 是正交矩阵. A A+B B A-B C AB D kA k 为数 解 A; B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选C.7. 线性空间中;两组基之间的过渡矩阵 .A 一定不可逆B 一定可逆C 不一定可逆D 是正交矩阵 选BB1．已知4R 的两组基 Ⅰ： 1234, αααα,,Ⅱ：11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, 1 求由基Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵；2 求在两组基下有相同坐标的向量. 解 １设C 是由基Ⅰ到基Ⅱ的过渡矩阵; 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭; 所以由基Ⅱ到基Ⅰ的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. 2设在两组基下有相同坐标的向量为α; 又设α在基Ⅰ和基Ⅱ下的坐标均为),,,(4321x x x x ; 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ; 即 1234()x x E C x x ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 齐次线性方程的一个基础解系为(0,0,0,1)η=; 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈． 故在基Ⅰ和基Ⅱ下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.解 1 由题有因0011001112220≠;所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量;构成3 R 的基. 2 因为所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭3 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）（）1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）所以1232,,5.1αβββ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为 解 1 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭; 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2112341234123411112(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.证明 设112233()()()0t f x t f x t f x ++=;则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++=即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩（）因为系数行列式所以方程组只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关; 构成3[]P x 线性空间的一组基.设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为1; 2; 3.5．当a 、b 、c 为何值时;矩阵A= 00010a bc ⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解 要使矩阵A 为正交阵;应有 T AA E =⇒2221120 1a ac b c ⎧+=⎪⎪=⇒⎪+=⎪⎩①a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；③a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；④a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩.6．设 是n 维非零列向量; E 为n 阶单位阵; 证明:T T E A αααα）（/2-=为正交矩阵. 证明 因为是n 维非零列向量; T αα所以是非零实数.又22TTT TT T TA E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭; 所以22T T T TTA A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==--⎪⎪⎝⎭⎝⎭故A 为正交矩阵．7．设T E A αα2-=; 其中12,,,Tn a a a α=（）; 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明 因为A E E E A T T T T T T T =-=-=-=αααααα2)(2)2(;所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=;所以A 为正交阵.证明 因为, ,A B n 均为阶正交矩阵 所以0T A A =≠且。

第六章 线性空间第一节 映射∙代数运算1．（1）双射. （2）非单射也非满射. (3）非单射也非满射. （4）满射. 2．（1）由b a b gf a gf =⇒=)()(.（2）C c ∈∀，B b ∈∃使c b g =)(（因为g 为满射），对于b ，又A a ∈∃使b a f =)(（因为f 为满射），即c a gf=)(.3．由2知gf为双射，且C I g gff=--11，C I gf g f=--11，因此111)(---=g fgf .4.A b a ∈∀,，若)()(b f a f =，则)()(b gf a gf =，由b a I gf A =⇒=，故f为单射.B b a f A a ∈=∃∈∀)(,，使a a gf b g ==)()(.第二节 线性空间的定义1. (1)，(2)不是线性空间；(3)，(4)，(5)，(6)是线性空间．2. 否．因为R i i ∉=⋅1．4. 设α为非零向量，F l k ∈∀,，当l k ≠时， ααl k ≠，因此V中含有无限个向量．5. 因为φ≠∈V )0,0(,显然⊕是V 上的代数运算，"" 为V V R →⨯的代数运算．且容易验证（１）——(8）条运算律均成立.6. 若在nF 中,通常的加法及如下定义的数量乘法: 0=⋅αk ．容易验证当0≠α时，αα≠=⋅01,但其余7条运算律均成立．第三节 基维数坐标1. 提示：反证法．2.(1)一个基为),,2,1(n i E ij =,)(j i E E ji ij ≠+，维数为2)1(+n n ．(2)一个基为)(j i E E ji ij≠-，维数2)1(-n n ．(3)一个基为2，维数为1． (4)一个基2,,A A E ，维数为3．3. 易证n n n l ααααααα,,,,,,2121 +↔，由l 的任意性及当l k ≠时n n k l αααα+≠+11，可得结论．4.易知C x x x a x a x a xn n ),,,,1())(,,)(,,1(1212--=--- ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-------10)(100)(210)(133122112n n n n n n n a C a C a a a a C且01≠=C ．其坐标为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101n a a a C ． 5. (1))3,4,1,4(--． (2) )0,1,0,1(-．6. 22n 维．一个基为),,2,1,(,n j k i E E kj kj =．第四节 基变换和坐标变换１.(1) 过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001100001000010 ．(2) 过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000100001 k ．3. 非零向量=ξ),,,(k k k k -,F k ∈且0≠k .4. 易知C n n ),,,(),,,(2113221ααααααααα =+++，其中C 的行列式为1)1(1+-=+n C N k k n k n ∈⎩⎨⎧-===12,22,0． 因此当n 为偶数时不为V 的基;当n 为奇数时为V的基．第五节 线性子空间1. (1),(2)是nF 的 子空间，(3)不是nF 的 子空间． 2. (1) 一个基为1,12--x x ，维数为2．(2)一个基为421,,ααα，维数为3．3. (1)φ≠)(A C ，且)(,21A C B B ∈∀,易证AB B B B A )()(2121+=+,因此)(21A C B B ∈+，又Fk ∈∀,有A kB kB A )()(11=，所以n F kB ∈1，从而)(AC 是n F 子空间．(2)n n F A C ⨯=)(．(3) 一个基为),,2,1(n i E ii =，维数为n ．4. 只证3221,,αααα↔．5.若1dim >W ,必V ∈∃βα,,对F k ∈∀均有βαk ≠．令),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα且11kb a =,当2≥n 时至少有一个i使i ikb a ≠,于是βαk -的第一个分量为0,但是第i个分量不为0的向量，矛盾．6. 只证V ∈∃α，但1W ∉α且2W ∉α．由1W 为真子空间知，V ∈∃α但1W ∉α，若2W ∉α则结论成立．若2W ∈α，则由2W 为真子空间知V∈∃β但2W ∉β，若则结论成立．若1W ∈β则V ∈+βα但1W ∉+βα，且2W ∉+βα．第六节 子空间的和与直和2．取V 的基n εεε,,,21 ，易证)()()(21n L L L V εεε⊕⊕⊕= ．3．显然21211W W W V ++=，设21211=++ααα，其中2211),2,1(,W i W i i ∈=∈αα，则)(21211=++ααα及21W W V ⊕=，可得0,021211==+ααα，再由12111W W W ⊕=知01211==αα，故21211W W W V ⊕⊕=．4.必要性∑-=⋂∈∀11i j ji i W W α，则∑-=∈11i j ji W α于是令121-+++=i i αααα 从而由000121=+++-+++- i i αααα及∑=ti iW 1为直和可知0=i α．充分性 假设21=+++t ααα 中最后一个不为的是iα,即)1(,01>===+i t i αα ，则{}011121≠⋂∈----=∑-=-i j j i i i W W αααα 矛盾．5. 首先21W W Fn+=，其次2121),,,(W W a a a n ⋂∈=∀ α，由n a a a === 21及021=+++n a a a ，可知0=i a 即0=α．6.nF ∈∀α，由αααA E A +--=)(,易证21,)(W A W E A ∈∈--αα，故21W W +∈α，即21W W F n +⊆且n F W W ⊆+21，于是21W W F n +=．21W W +∈∀β,可得0=β,从而21W W F n ⊕=.7. 充分性n F X ∈∀，由X AE X X E X 22-++=，易证21W W Fn+⊆．且21W W ⋂∈∀α由 ⎝⎛=+=-0)(0)(ααE A E A ，可得0=α，故21W W F n ⊕=．必要性 由21W W F n ⊕=可知，nF X ∈∀有21X X X +=，且由⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-21210)(0)(XX X X E A X E A ，可得X A E X X A E X 2,221-=+=．故0)(212)(2=-=+-X E A X A E E A ，由X 的任意性可知E A =2． 8. 余子空间为),(43εεL ，其中)1,0,0,0(),0,1,0,0(43==εε．9. 取W 的基r ααα,,,21 ,将其扩充成V 的基n r r ααααα,,,,,,121 +,取F k k L W n r r k ∈+=++),,,,(211αααα ，则k W 为W 的余子空间，且当l k ≠时，l k W W ≠．10.)3()2(),2()1(⇒⇒,显然．)4()3(⇒利用维数公式对t 用数学归纳法； )5()4(⇒只证i W 的基的联合是线性无关的即可； )1()5(⇒∑=∈∀ti iW 1α,设t t βββαααα+++=+++= 2121,其中ti W i i i ,,2,1,, =∈βα,令iiirir i i i i i b b b αααα+++= 2211,iiirir i i i i i c c c αααβ+++= 2211,其中iiri i ααα,,,21为iW 的基．由0)()()(2211=+++-+-t t βαβαβα 得0)()()()(111111*********=-++-++-++-t t t tr tr tr t t t r r r c b c b c b c b αααα于是0,,01111=-=-t t tr tr c b c b ，即t i i i ,,2,1, ==βα．第七节 线性空间的同构2.R x ∈∀，令x x 2)(=σ即可．3. 二者维数相同．n m ij F a A ⨯∈∈∀)(,令),,,,,,,,()(2111211mn m m n a a a a a a A =σ4.112210)(--++++=∀n n x a x a x a a x f ，令),,,())((110-=n a a a x f σ．5. 基为4321,,,ββββ，维数为4．6. 基为D C B A ,,,，维数为4．7. 令b a V V →:σ， )()(()()(x h b x x h a x x f -→-=a V x h a x x f x h a x x f ∈-=-=∀)()()(),()()(2211,若)()()()(21x hb x x h b x -=-则)()(21x h x h =，从而)()(21x f x f =，即σ为单射．)()()(1x g b x x g -=∀，有)()()(1x g a x x f -=使)())((x g x f =σ，即σ为满射．a V x f x f ∈∀)(),(21及F l k ∈∀,，易证)()(),()()((22121x f l x f x f k x lf x kf σσσ+=+．补充题六1.),,,(21 ++n n n x x x L ．2. 设F 作为K 上的线性空间的维数为n ，其一个基为n e e e ,,,21 ，设E 作为F 上的线性空间的维数为m ，其一个基为n εεε,,,21 ，则{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε为E 作为K 上的线性空间的一个基．事实上，E ∈∀α，可设m i F b e b i ni i i ,,2,1,,1 =∈=∑=α．而F 是K 上的线性空间，可设n j m i K a a a a b ij n in i i i ,,2,1;,,2,1,,2211 ==∈+++=εεε．故∑∑===mi nj j i ij e a 11)(εα．令0)(11=∑∑==mi nj i j ije kε,n j m i K k ij ,,2,1;,,2,1, ==∈，则0))(11=∑∑==m i nj i j ij e k ε，故j nj ijkε∑=1，进而n j m i k ij ,,2,1;,,2,1,0 ===．故{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε是其一个基．3. 设1V 的基为r εεε,,,21 ，将其扩充为V的基n r r εεεεε,,,,,,121 +，令),,(11n r L W εε +=,则11W V V⊕=，又令),,,(22112r n n r r L W -+++++=εεεεεε这里r r n ≤-,易证r εεε,,,21 ,r n n r r -+++++εεεεεε,,,2211 线性无关,从而21W V V ⊕=．设21W W ⋂∈α,则n n r r r n n n r r l l k k εεεεεεα++=++++=++-++ 11111)()(,得到01===+n r k k ，进而0=α，即{}021=⋂W W ．若2n r<上述问题不成立，用反证法，设2111W V W V V ⊕=⊕=，而{}021=⋂W W ，令n r r εεε,,,21 ++是1W 的基，''1,,n r εε +是2W 的基，则n r r εεε,,,21 ++,''1,,n r εε +线性无关．事实上,考察n n r r k k εε++++ 110''11=+++++nn r r l l εε 所以n n r r k k εε++++ 11{}021''11=⋂∈---=++W W l l nn r r εε 因此011=++++n n r r k k εε进而0,011====+=++n r n r l l k k ,而''11,,,,,n r n r εεεε ++共有)2(r n n r n r n -+=-+-个向量，因为2nr <，所以02,2>->r n r n ，故n r n r n >-+-，矛盾．4. 解 设)(x m A 为A 的最小多项式,令)(x m A 的次数m ，则1,,,-m A A E线性无关，从而m W =dim .事实上，首先1,,,-m A A E线性无关，否则存在110,,-m k k k 不全为零，使01110=+++--m m A k A k E k ，而令0,011===≠-+m i ik k k ，即10,010-≤<=+++m i A k A k E k i i ，与)(x m A 为A 的最小多项式矛盾，从而它们线性无关． ][)(x P x f ∈∀，则存在)(),(x r x q ，使,)(deg 0)(),()()()(m x r or x r x r x q x m x f A <=+=故 )()(A r A f =即)(A f 可由 1,,,-m A A E 线性表示．故 1,,,-m A A E 为W 的基．5. 参考本章第五节练习题6．6. 证 对用数学归纳法．当2=s 时，由上题知，结论成立；假定对1-s 个非平凡的子空间结论成立，即在V中存在向量α，使1,,2,1,-=∉s i V i α对第s 个子空间s V ，若s V ∉α，结论已对；若s V ∈α，则由于s V 为非平凡子空间，故存在s V ∉β．对任意数k ，向量s V k ∉+βα，且当21k k ≠时向量βαβα++21,k k 不属于同一个)11(-≤≤s i V i ．今取s 个互不相同的数s k k k ,,,21 ，则s 个向量βαβαβα+++s k k k ,,,21中至少有一个不属于任何121,,,-s V V V ，这样的向量即满足要求．7. 只证0=X AA T 与0=X A T 同解即可．8. 设012=X A 与012=X B 的解空间分别为1V 与2V ．1V ∈∀α，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααα2222222222121000A B A B A B A A ,故222V A ∈α．令αασ22:A →，易证σ是1V 到2V 的同构映射．9. 由维数公式)dim(dim )dim())dim((k j i k j i k j i W W W W W W W W W ++-++=⋂+得)dim ()dim (dim )dim (j i k j i k j i k W W W W W W W W d ⋂+++-++=)dim(dim dim dim k j i k j i W W W W W W ++-++=从而321d d d ==．10. 证 设齐次方程组0=AX 的解空间为1W ，齐次方程组0=BX 的解空间为2W ．任取21W W ⋂∈α,则0,0==ααB A ,从而0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛αB A ,由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C可逆,所以0=α,即{}021=+W W ,因此n F n W W dim )dim (21==+,且n F W W ⊆+21,因此21W W F n⊕=． 11. 证 任取)(AB N X ∈，由n I BD AC =+，则 BDX ACX X +=由0)()(==ABX C ACX B ,所以)(B N A C X ∈,由)()(==ABX D BDX A ,所以)(A N B D X ∈,从而)()()(B N A N AB N +=．任取)()(B N A N X ⋂∈，则)(A N X ∈，从而)(,0NB X AX ∈=，从而0=BX ，于是0)()(=+=+=BX D AX C BDX ACX X 即)()()(B N A N AB N ⊕=．12. 证法同上题. 13. (1)证 例如，取)1,,1,1( =α，则由α的一切倍数)(F k k ∈α作成的子空间W 中，每个非零向量0),,,,(≠=k k k k k α的分量都不是零．(2) 见习题6.5中的题5． 14. 证 必要性 显然； 充分性 设221121,,0V V ∈∈=+ββββ，则21ααα+=，由α的分解唯一可知021==ββ，故21V V +是直和． 15. 若n ααα,,,21 是V 作为C 上的线性空间的基，则n n i i ααααα,,,,,,121 是V作为R 上的线性空间的基．16. 若{}0=W ，则n n F A ⨯∈∀且0,0||=≠AX A 的解空间即为W ;若{}0≠W,且设r W =dim ,取其一个基r ααα,,,21 ,令r i in i i i ,,2,1),,,,(21 ==αααα则以n r ij a A ⨯=)(为系数矩阵的齐次方程组0=AX 的基础解系为r n -βββ,,,21 ，且令r n j b b b jn j j j -==,,2,1),,,,(21 β．则齐次方程组0=BY 的解空间为r 维，且r ααα,,,21 为其一个基础解系．即),,(21r L W ααα =，其中n r n ij b B ⨯-=)()(．17. 令121dim )dim(V t V V =+⋂,221dim )dim (V l V V =+⋂而1)dim ()dim (dim dim dim )dim (2121212121+⋂=+++=⋂-+=+V V t l V V V V V V V V于是1,01==⇒=+t l t l或者0,1==t l ．当0=l时，221V V V =⋂，此时12V V ⊆．当0=t时，121V V V =⋂，此时21V V ⊆．18. 取基为n n αααα,,,21 ++．19. 设A 为半正定的，故存在秩为r 的矩阵B ，使B B A '=，由此'S S =．其中{}|'==xAx x S{}|'1==Ax x S 此时构成线性空间，维数为r n -．设A 为半负定的，则A -为半正定的．令 {}0|'==xAx x S {}0|'1==Ax x S若A 不定，则存在可逆矩阵Q 使 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0'qp E E QAQ 那么经过线性变换YQ X =,)(x f 化为221221'')(q p p p y y y y Y YQAQ x f ++---++==取1,111==+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(1 =x ,从而0)(1=x f ,取1,111=-=+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(2 -=x ，从而0)(2=x f ，但是)0,,0,2,0,,0,0(21 =+x x ，04)(21≠-=+x x f ，所以此时不能构成线性空间．20. (1) 用定义直接验证; (2) 维数为n ,基:1,,,-n A A E ．。

第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,MN M MN N ==。

证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M NM ∈。

又因,M N M ⊂ 故M N M =。

再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。

但,N M N ⊂所以MN N =。

2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。

证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。

反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x NL ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂于是)()()(L M N M L N M =。

若x M NL M NL ∈∈∈（），则x ，x 。

在前一情形X x MN ∈， X ML ∈且，x MN ∈因而（）（M L ）。

,,N L x M N X M L M N M M N MN ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。