高二数学2月月考试题文

王淦昌高级中学2022-2023学年第二学期高二年级第二次月考数学试题2023．5（考试时间：120分钟分值：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设,a b 均为非零实数且a b <，则下列结论正确的是()A ．11a b > B ．22a b < C ．2211a b<D ．33a b <2．25()x x -的展开式中含5x 项的系数为 （） A ． 1-B ． 5-C ． 1D ． 53．命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是 （ ）A ． 4a ≥B ．4a ≤C ． 5a ≥D ． 5a ≤4．袁隆平院士是我国的杂交水稻之父，他一生致力于杂交水稻的研究，为解决中国人民的温饱和保障国家粮食安全作出了重大贡献．某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，带二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表示：（注：亲代是产生后一代生物的生物，对后代生物来说是亲代，所产生的后一代交子代）通过上面四组数据得到了x 与y 之间的线性回归方程是ˆˆ4.4yx a =+，预测第五代杂交水稻每穗的总粒数为 （ ） A ．211 B ．212C ．213D ．2145． 某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c 近似服从2(90,)N σ，()90950.3P c ≤≤=，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为 （ ） A ． 5B ． 10C ． 15D ． 306． 某校拟从5名班主任及5名班长(3男2女)中选派1名班主任和3名班长去参加“党史主题活动”， 要求2名女班长中至少有1人参加，则不同的安排方案有（ ）种． A ． 9B ． 15C ． 60D ． 457． 现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平时，要继续比赛至领先2分才能取胜．在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为12，甲队接发球赢球的概率为35，在比分为24∶24平且甲队发球的情况下，甲队以27∶25赢下比赛的概率为（ ）A ．18B ．320C ．310D ．7208． 设函数,(),x xx af x e x x a ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 1a ≤B ． 1a <C ． 1a e ≤D ． 1a e<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9． 已知a ，b ∈R ，0,0a b >>，且2a b +=，则下列说法正确的为 （ ） A ．ab 的最小值为1 B ．22log log 0a b +≤C ． 224a b +≥D ． 1222a b+≥10． 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是 （ ） A ． 如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种B ． 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ． 甲乙不相邻的排法种数为72种D ． 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种11． 某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%．记“任取一个零件为第i 台车床加工(1,2)i =”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ，则 （ ） A ．()0.054P B = B ．()20.03P A B = C ．()10.06P B A = D ．()259P A B = 12．已知函数()()2ln f x x ax x a R =--∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若1a =-，则()f x 是1(0,)2上的减函数 B ．若01a ≤≤，则()f x 有两个零点 C ．若1a =，则()0f x ≥D ．若1a >，则曲线()y f x =上存在相异两点M ，N 处的切线平行 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<，则20cx bx a -+>的解集是___________．14．命题“x ∃∈R ，()()22210a x a x +++-≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______．15．某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有________种．（用数字作答） 16．已知x >1，y <0，且3y (1－x )＝x ＋8，则x －3y 的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分10分)已知集合{}|132A x m x m =-≤≤-，不等式411x ≥+的解集为B ． （1）当3m =时，求AB ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：3．（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含5x 的项．19．(本小题满分12分)从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同． （1）若抽取后又放回，抽3次．①分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率； ②求抽到红球次数η的数学期望及方差．（2）若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数ξ的分布列．20．(本小题满分12分)某校成立了生物兴趣小组，该兴趣小组为了探究一定范围内的温度x 与豇豆种子发芽数y该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中任选5组数据建立y 关于x 的线性回归方程，并用该方程对剩下的2组数据进行检验．（1）若选取的是星期一、二、三、六、日这5天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅．21．(本小题满分12分)疫情过后，百业复苏，某餐饮店推出了“三红免单”系列促销活动，为了增加活动的趣味性与挑战性，顾客可以从装有3个红球、7个白球的袋子中摸球参与活动，商家提供A 、B 两种活动规则：规则A ：顾客一次性从袋子中摸出3个球，如果3个球都是红球，则本次消费免单；如果摸出的3个球中有2个红球，则获得价值200元的优惠券；如果摸出的3个球中有1个红球，则获得价值100元的优惠券；如果摸出的3个球中没有红球，则不享受优惠．规则B ：顾客分3次从袋子中摸球，每次摸出1只球记下颜色后放回，按照3次摸出的球的颜色计算中奖，中奖优惠方案和规则A 相同．（1）某顾客计划消费300元，若选择规则A 参与活动，求该顾客参加活动后的消费期望； （2）若顾客计划消费300元，则选择哪种规则参与活动更加划算？试说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数2()ln (12)1f x x mx m x =-+-+． （1）若1m =，求()f x 的极值；（2）若对任意0x >，()0f x ≤恒成立，求整数m 的最小值．。

2014-2015学年某某省某某市安吉县上墅私立高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＞x，则下列说法中正确的是（） A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题3．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．4．若直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，则实数m=（） A．﹣或1 B． 1 C． 1或2 D．﹣5．直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，则它们之间的距离为（） A． 4 B． C． D．6．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥mC．若l∥α，m⊥α，则l⊥m D．若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ7．过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2时，直线l的斜率为（）A． B． C．±1 D．8．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． y=±2x B． C． D．9．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离10．下列结论正确的是（）A．命题“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题是假命题B．若函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题是真命题C．向量，的夹角为钝角的充要条件是•＜0D．“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分.）11．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值X围为．12．已知命题p：m＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m 的取值X围是．13．两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，则a=．14．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为．15．已知动圆M与圆C1：（x+3）2+y2=9外切且与圆C2：（x﹣3）2+y2=1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是．16．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．17．下列四个命题：①“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件④“函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数”的充要条件是“φ=kπ．（k∈Z）”，其中真命题的序号是．三、解答题：（本大题共5小题，共49分.）18．设p：实数x满足x2+2ax﹣3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x﹣8＜0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值X围．19．求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．20．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．22．已知圆C：x2+y2=4和直线l：3x+4y+12=0，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，（1）求与圆C相切且平行直线l的直线方程；（2）求△PAB面积的最大值．2014-2015学年某某省某某市安吉县上墅私立高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义结合三角形的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：在△ABC中，若A=，则cosA=，是充分条件，在△ABC中，若cosA=，则A=或A=，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角形中的三角函数值问题，是一道基础题．2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＞x，则下列说法中正确的是（） A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：容易判断命题p是真命题，q是假命题，所以根据p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q的关系即可找出正确选项．解答：解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；x＜0时，无解，∴命题q是假命题；∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；∴D正确．故选D．点评：考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．3．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），依题意得．解答：直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故．故选A．点评：本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．4．若直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，则实数m=（） A．﹣或1 B． 1 C． 1或2 D．﹣考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由直线的平行可得m的方程，解得m代回验证可得．解答：解：∵直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，∴（m+2）（2m﹣1）﹣3×1=0，解得m=﹣或1经验证当m=1时，两直线重合，应舍去，故选：D点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．5．直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，则它们之间的距离为（） A． 4 B． C． D．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：通过直线的平行求出m，然后利用平行线之间的距离求解即可．解答：解：直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，所以m=6，直线4x+my+7=0化为直线4x+6y+7=0即2x+3y+3.5=0，它们之间的距离为：d==．故选：C．点评：本题考查两条平行线之间是距离的求法，基本知识的考查．6．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥mC．若l∥α，m⊥α，则l⊥m D．若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若l⊥α，l⊥m，则m∥α或m⊂α，故A错误；若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l与m平行或异面，故B错误；若l∥α，m⊥α，则由直线与平面平行的性质得l⊥m，故C正确；若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ或m⊂γ，故D错误．故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2时，直线l的斜率为（） A． B． C．±1 D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设直线l的方程为：y=kx﹣2k，由已知条件结合圆的性质和点到直线的距离公式推导出=2，由此能求出直线的斜率．解答：解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx﹣2k，（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的圆心C（2，3），半径r=3，∵过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2，∴圆心C（2，3）到直线AB的距离d==2，∵点C（2，3）到直线y=kx﹣2k的距离d==2，∴•2=3，解得k=±．故选：A．点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．8．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． y=±2x B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．解答：解：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．故选B．点评：本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．9．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离d正好等于半径，可得直线和圆相切．解答：解：由于圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为d==2=r（半径），故直线和圆相切，故选：C．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．10．下列结论正确的是（）A．命题“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题是假命题B．若函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题是真命题C．向量，的夹角为钝角的充要条件是•＜0D．“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析： A．“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题为“若a2＞b2，则a＞b＞0”是假命题；B．函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题为“函数f（x）为周期函数，则f （x）=sinx”，显然不正确；C．向量，的夹角为钝角⇒•＜0，反之不成立，由于非零向量反向共线时，满足＜0；D．“x2＞2”⇒或x，而x2﹣3x+2=﹣≥﹣，反之也不成立．解答：解：A．“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题为“若a2＞b2，则a＞b＞0”是假命题，正确；B．函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题为“函数f（x）为周期函数，则f （x）=sinx”是假命题，不正确；C．向量，的夹角为钝角⇒•＜0，反之不成立，由于向量反向共线时，其＜0，因此不正确；D．“x2＞2”⇒或x，此时x2﹣3x+2=﹣≥﹣，反之也不成立，因此“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的既不充分也不必要条件，不正确．综上可得：只有A．故选：A．点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定、向量的数量积及其夹角公式，考查了推理能力，属于基础题．二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分.）11．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值X围为（1，+∞）．考点：特称命题．专题：计算题．分析：原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出∀x∈R，都有x2+2x+m＞0，再由△＜0，求得m．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1．∴m的取值X围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）点评：本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题．考查转化、计算能力．12．已知命题p：m＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m 的取值X围是﹣2＜m＜0 ．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题的真假性判断出命题p、q都是真命题，再逐一求出m的X围，最后求它们的交集．解答：解：因为“p∧q”为真命题，所以命题p、q都是真命题，若命题q是真命题，则∀x∈R，x2+mx+1＞0横成立，所以△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，又命题p：m＜0，也是真命题，所以实数m的取值X围是：﹣2＜m＜0，故答案为：﹣2＜m＜0．点评：本题考查了复合命题的真假性，以及二次函数的性质，属于基础题．13．两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，则a= 0或﹣1 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由已知得a（a﹣1）+2a=0，由此能求出a．解答：解：∵两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，∴a（a﹣1）+2a=0，解得a=0或a=﹣1．故答案为：0或﹣1．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．14．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为3x﹣y﹣9=0 ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心坐标，利用点斜式，可得方程．解答：解：两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的圆心坐标分别为（2，﹣3），（3，0），∴连心线方程为y﹣0=（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．故答案为：3x﹣y﹣9=0．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查直线方程，比较基础．15．已知动圆M与圆C1：（x+3）2+y2=9外切且与圆C2：（x﹣3）2+y2=1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是﹣=1（x≥2）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：找出两圆圆心坐标与半径，设设动圆圆心M（x，y），半径为r，根据动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，即可确定出M轨迹方程．解答：解：由圆C1：（x+3）2+y2=9，圆心C1（﹣3，0），半径r1=3，圆C2：（x﹣3）2+y2=1，圆心C2（3，0），r2=1，设动圆圆心M（x，y），半径为r，根据题意得：，整理得：|MC1|﹣|MC2|=4，则动点M轨迹为双曲线，a=2，b=，c=3，其方程为﹣=1（x≥2）．故答案为：﹣=1（x≥2）点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及动点轨迹方程，熟练掌握双曲线定义是解本题的关键．16．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．17．下列四个命题：①“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件④“函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数”的充要条件是“φ=kπ．（k∈Z）”，其中真命题的序号是①②．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①按照特称命题的否定要求改写，然后判断真假；②先写出原命题，然后再按照否条件、否结论进行改写；③双向推理，然后进行判断，此例可以举反例；④结合奇函数的性质进行推导，从左推右，然后反推化简．解答：解：①原命题的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1＞0；因为，故①为真命题；②原命题的否命题是：若x2+x﹣6＜0，则x≤2．由x2+x﹣6＜0，得（x+3）（x﹣2）＜0，所以﹣3＜x＜2，故②为真命题；③当A=150°时，．所以故在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的不充分条件．故③是假命题；④若函数f（x）为奇函数，则f（0）=tanφ=0，或y轴为图象的渐近线，所以φ=kπ（k∈Z）；或tanφ不存在，则φ=，（k∈Z）所以前者是后者的不充分条件．故④为假命题．故答案为：①，②点评：本题以简易逻辑为载体，考查了命题的否定及否命题的写法以及真假判断，充分必要性的判断方法，属于基础题，难度不大．三、解答题：（本大题共5小题，共49分.）18．设p：实数x满足x2+2ax﹣3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x﹣8＜0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值X围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：先分别化简两个不等式，再利用q是p的必要不充分条件，转化为，然后某某数a的取值X围．解答：解：由x2+2ax﹣3a2＜0得（x+3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以﹣3a＜x＜a，（2分）x2+2x﹣8＜0，∴﹣4＜x＜2，p为真时，实数x的取值X围是：﹣3a＜x＜a；q为真时，实数x的取值X围是：﹣4＜x＜2（6分）因为q是p的必要不充分条件，所以有（10分）所以实数a的取值X围是≤a≤2．（14分）点评：本题考查一元二次不等式的解法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查计算能力，转化思想，是中档题．19．求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），解方程即可得到椭圆方程；（3）讨论椭圆的焦点的位置，由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解方程可得a，c，再由a，b，c 的关系解得b，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得，2a=12，e=，即有a=6，=，即有c=4，b===2，即有椭圆方程为+=1；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），可得36m+0=1，且0+64n=1，解得m=，n=，即有椭圆方程为+=1；（3）当焦点在x轴上时，可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解得a=7，c=3，b==2，即有椭圆方程为+=1；同理，当焦点在y轴上时，可得椭圆方程为+=1．即有椭圆方程为+=1或+=1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的方程的正确设法，以及椭圆性质的运用，属于基础题．20．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）建立空间直角坐标，利用向量法证明线面垂直．（2）利用向量法求线面角的大小．解答：解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，∵平面ACDE⊥平ABC，∴EA⊥平面ABC，∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M（0，1，1） (3)=（0，1，1），=（0，2，0）﹣（0，0，2）=（0，2，﹣2），=（2，2，0）﹣（0，2，0）=（2，0，0），∴，，∴AM⊥EC，AM⊥CB，∴AM⊥平面EBC．…（5分）（2）∵AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量，∵=（0，1，1），=（2，2，0），∴cos．∴=60°．∴直线AB与平面EBC所成的角为30°．…（12分）点评：本题主要考查向量法证明线面垂直以及利用向量法求线面角的大小，运算量较大．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．考点：轨迹方程；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆方程为，根据题意可得a=2且c=，从而b==1，得到椭圆的标准方程；（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．解答：解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为，∴a=2，，可得b==1因此，椭圆的标准方程为．（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，整理得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得，化简整理得，由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．22．已知圆C：x2+y2=4和直线l：3x+4y+12=0，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，（1）求与圆C相切且平行直线l的直线方程；（2）求△PAB面积的最大值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）根据题意设所求方程为3x+4y+a=0，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离d=r求出a的值，即可确定出所求直线方程；（2）当直线与AB平行，且与圆相切时，△PAB面积的最大值，如图所示，求出|AB|与|MN|的长，即可确定出△PAB面积的最大值．解答：解：（1）设所求直线方程为3x+4y+a=0，由题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，即=2，解得：a=±10，则所求直线方程为3x+4y±10=0；（2）当直线与AB平行，且与圆相切时，△PAB面积的最大值，此时直线方程为3x+4y﹣10=0，∵点C到直线AB的距离||=，CM=2，∴|MN|=+2=，∵A（﹣4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，∴|AB|=5，则△PAB面积最大值为×5×=11．点评：此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两直线平行时斜率的关系，以及直线与圆相切的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．。

咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月若高二数学（文科）试题（答案在最后）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题：R x ∀∈，ln 0x x +>的否定是（）A.R x ∀∉，ln 0x x +>B.R x ∀∉，ln 0x x +≤C.R x ∃∈，ln 0x x +> D.R x ∃∈，ln 0x x +≤2.已知复数z 满足()i 12i z -=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量()()1,2,1,2a b λ=-=- ，若//()a a b -，则实数λ的值为（）A.1B.0C.43 D.23-4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且3MF =，则点M 到x 轴的距离为（）A.4B.22C.2D.35.函数()sin f x x x =的导函数()f x '在区间[π,π⎤-⎦上的图象大致为（）A.B.C. D.6.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数和方差均为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）A.3.5B.4C.4.5D.57.已知函数π()2cos(2)13f x x =-+的图象在区间()0,m 内至多存在3条对称轴，则正实数m 的最大值为（）A.5π3B.2π3C.7π6D.5π68.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为()1,0F c -，2(,0)F c ，抛物线22:4C y cx =的准线与1C 交于M ，N 两点，且2MNF 为正三角形，则双曲线1C 的离心率为（）A.B.2C.2D.39.已知m n 、是两条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面．下列说法中不正确的是（）A.若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，则//m nB.若//,//m n m α，则//n αC.若,,n αβαγβγ⋂=⊥⊥，则n γ⊥ D.若,,//m m αβαγ⊥⊥，则//βγ10.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在,,A B C 三处测得道路一侧山顶P 的仰角分别为30,4560︒︒ ,，其中,03AB a BC b a b ==<<（），则此山的高度为（）A.B.C. D.11.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（）A.p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大12.已知()20.2ln0.4,e 2.718,sin0.1πea b c ==≈=，则（）A.a b c<< B.b a c<< C.b<c<aD.c<a<b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若集合{}{}13,2A x x B x x =≤≤=>，则()R A B =I ð_______________．14.若5π5cos 1225α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．15.已知正三棱锥-P ABC 的各棱长均为6,M 为侧棱PA 的中点，过点M 作与底面ABC 平行的截面，所得截面与底面之间几何体的外接球的表面积为_______________．16.已知函数()f x 的定义域为1R,2f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()()233f x f x -=，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且PB PD =．（1）若PA ⊥平面,22ABCD AB PA ==，求三棱锥P BCD -的体积；（2）求证：BD PC ⊥．18.已知数列{}n a 和{}n b 满足21n n a b n +=-，数列{}{},n n a b 的前n 项和分别记作,n n A B ，且n n A B n -=.（1）求n A 和n B ；（2）设122nb n nC A =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .19.如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图．注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量．参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，()72128i i t t=-=∑0.55= 2.646≈．参考公式：相关系数()()nii tty y r --=∑，当0.75r >时认为两个变量有很强的线性相关关系；回归方程ˆˆˆy bt a =+中斜率和截距的最小乘估计公式分别为()()()121ˆnii i ni i tty y bt t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-．20.已知函数()2e e (0)=--+>x f x ax a a ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的极值点个数．21.在圆22:1O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ，点Q 满足2DQ PQ =．当点P 在圆O 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设点()0,1A ，直线():1l y kx b b =+≠与曲线C 交于,M N 两点，若0AM AN ⋅=，试探究直线l 是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．（二）选考题：共10分．考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:0l x =，曲线C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为()2πR 3θρ=∈．（1）求曲线C 和直线1l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于,O B 两点，求AOB 的面积．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()|24||3|f x x x =---.（1）求不等式()7f x >的解集；（2）设函数()f x 的最小值为M .若正实数a ，b ，c 满足235a b c M ++-=，求321a b c++的最小值.咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月若高二数学（文科）试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题：R x ∀∈，ln 0x x +>的否定是（）A.R x ∀∉，ln 0x x +>B.R x ∀∉，ln 0x x +≤C.R x ∃∈，ln 0x x +>D.R x ∃∈，ln 0x x +≤【答案】D 【解析】【分析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为R x ∃∈，ln 0x x +≤.故选：D2.已知复数z 满足()i 12i z -=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】先利用复数的除法求解出z ，然后由共轭复数求出z ，再结合复数的几何意义从而可求解.【详解】由题意知()()()()2i i 12i 3i 31i i 1i 1i 1222z -+-+====----+-，所以31i 22z =-+，则z 在复平面内对应的点31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限，故B 正确.故选：B.3.已知向量()()1,2,1,2a b λ=-=- ，若//()a a b -，则实数λ的值为（）A.1 B.0C.43 D.23-【答案】A 【解析】【分析】利用向量线性运算与共线向量的坐标表示求解即得.【详解】向量()()1,2,1,2a b λ=-=-，则(2,22)a b λ-=-+ ，由//()a a b -，得4(22)0λ-++=，解得1λ=，所以实数λ的值为1.故选：A4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且3MF =，则点M 到x 轴的距离为（）A.4B. C.2 D.3【答案】C 【解析】【分析】由抛物线定义计算即可得.【详解】由抛物线定义可知MF 等于点M 到准线的距离，故点M 到x 轴的距离为1312MF -=-=.故选：C.5.函数()sin f x x x =的导函数()f x '在区间[π,π⎤-⎦上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用函数奇偶性，特殊点的函数值排除求解即可.【详解】易得()sin cos f x x x x '=+，而()sin cos f x x x x '-=--，故()()f x f x ''-=-，故()f x '是奇函数，排除A,D ，而(π)0f '<，排除B ，故C 正确.故选：C6.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数和方差均为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）A.3.5 B.4C.4.5D.5【答案】B 【解析】【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.【详解】设甲组数据分别为1x 、2x 、L 、6x ，乙组数据分别为7x 、8x 、L 、12x ，甲组数据的平均数为61136i i x ==∑，方差为()6211356i i x =-=∑，可得6118i i x ==∑，()621330i i x =-=∑，乙组数据的平均数为127136i i x ==∑，方差为()12271336i i x =-=∑，可得12718i i x ==∑，()1227318i i x =-=∑，混合后，新数据的平均数为1211181831212ii x =+==∑，方差为()()()61222171133301841212i i i i x x ==⎡⎤-+-=+=⎢⎥⎣⎦∑∑.故选：B.7.已知函数π()2cos(2)13f x x =-+的图象在区间()0,m 内至多存在3条对称轴，则正实数m 的最大值为（）A.5π3B.2π3C.7π6D.5π6【答案】A 【解析】【分析】根据给定的区间，求出相位范围，再结合余弦函数的图象性质列式求解即得.【详解】由()0,x m ∈，得πππ22333x m -<-<-，依题意，π23π3m -≤，解得5π3m ≤，即50π3m <≤，所以正实数m 的最大值为5π3.故选：A8.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为()1,0F c -，2(,0)F c ，抛物线22:4C y cx =的准线与1C 交于M ，N 两点，且2MNF 为正三角形，则双曲线1C 的离心率为（）A.B.62C.102D.153【答案】A 【解析】【分析】求出抛物线准线方程，进而得到22b MN a=，由等边三角形得到边长之间的比例关系，得到齐次式，化为220e --=，求出离心率.【详解】22:4C y cx =的准线方程为x c =-，经过点()1,0F c -，22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，令x c =-得22221c ya b-=，解得2b y a =±，故22b MN a=，因为2MNF 为正三角形，所以12F F =，即2222b c a=，联立222b c a =-2220ac --=，方程两边同时除以2a 220e -=，解得e =33-（舍去），故双曲线1C 故选：A9.已知m n 、是两条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面．下列说法中不正确的是（）A.若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，则//m nB.若//,//m n m α，则//n αC.若,,n αβαγβγ⋂=⊥⊥，则n γ⊥D.若,,//m m αβαγ⊥⊥，则//βγ【答案】B 【解析】【分析】根据空间中的线面、面面关系逐一判断即可.【详解】由线面平行的性质定理可知A 正确；若//m n ，//m α，则//n α或n ⊂α，故B 错误；因为αγ⊥，所以由面面垂直的性质定理可知，必有l ⊂α，使得l γ⊥，同理，由βγ⊥得必有b β⊂，使得b γ⊥，从而有//l b ，若l 与n 是相同直线，则由l γ⊥得n γ⊥；若l 与n 是不同直线，则由b β⊂，l β⊄，可得l //β，因为n αβ= ，l ⊂α，则由线面平行的性质定理可得//l n ，故n γ⊥，故C 正确；若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，又//αγ，则//βγ，故D 正确．故选：B.10.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在,,A B C 三处测得道路一侧山顶P 的仰角分别为30,4560︒︒ ,，其中,03AB a BC b a b ==<<（），则此山的高度为（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据锐角三角函数可得,,3AO BO h CO===，进而根据余弦定理即可求解.【详解】解：如图，设点P在地面上的正投影为点O，则30,45PAO PBO∠=︒∠=︒，60PCO∠=︒,设山高PO h=，则,,3AO BO h CO===，在AOC中，cos cosABO CBO∠=-∠，由余弦定理可得：2222223322hb ha h hah bh+-+-=-，整理得23()2(3)ab a bhb a+=-，∴h=．故选：D．11.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p，且321p p p>>>．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p 乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p 丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，则此时连胜两盘的概率为p 甲则[][]21321331231211(1)(1)(1)(1)22p p p p p p p p p p p p p =-+-+-+-甲123123()2p p p p p p =+-；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p 乙，则123123213123(1)(1)()2p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-乙记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p 丙则132132312123(1)(1)()2p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-丙则[]()123123213123123()2()20p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<甲乙[]()213123312123231()2()20p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<乙丙即p p <甲乙，p p <乙丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大.选项D 判断正确；选项BC 判断错误；p 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A 判断错误.故选：D12.已知()20.2ln0.4,e 2.718,sin0.1πea b c ==≈=，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数以及正弦函数性质可判断0,0,0a b c ><>，构造函数()2πsin f x x x =-，通过导数得到函数在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可得出a c <，进而得出答案.【详解】因为π0>，所以0a >，因为ln 0.4ln10<=，2e 0>，所以0b <，因为sin 0.1sin 00>=，所以0c >；令()2πsin f x x x =-，π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2πcos f x x =-'.令()2πcos g x x =-，则()πsin 0g x x ='≥在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()2πcos g x x =-在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，()2πcos f x x =-'在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.又ππ2πcos 20662f ⎛⎫=-='-<⎪⎝⎭，所以，()0f x '<在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以，()2πsin f x x x =-在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.又()00f =，π00.16<<，所以有()0.10.2πsin 0.10f =-<，即0.2πsin 0.1<，整理可得0.2sin 0.1π<，所以a c <.综上所述，b a c <<.故选：B .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若集合{}{}13,2A x x B x x =≤≤=>，则()R A B =I ð_______________．【答案】{}12x x ≤≤【解析】【分析】结合补集与交集的定义计算即可得.【详解】由{}2B x x =>，故{}2B x x =≤R ð，则(){}12A B x x ⋂=≤≤R ð.故答案为：{}12x x ≤≤.14.若5π5cos 1225α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．【答案】35##0.6【解析】【分析】利用5π212α+配凑出π6α-，结合诱导公式和余弦的二倍角公式即可求得结果.【详解】πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭π55cos cos 2ππcos 2π6212212ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2255312cos π1221255α⎛⎫⎛⎫=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：35.15.已知正三棱锥-P ABC 的各棱长均为6,M 为侧棱PA 的中点，过点M 作与底面ABC 平行的截面，所得截面与底面之间几何体的外接球的表面积为_______________．【答案】99π2【解析】【分析】求得正三棱锥对应正三棱台的高，以及上下底面外接圆半径，结合几何关系，确定球心位置，以及求得外接球半径以及表面积即可.【详解】根据题意，作图如下：过点M 作与底面ABC 平行的截面即平面,,M N T ，显然,N T 也为,PB PC 的中点，故三角形MNT 也是等边三角形，且3MN =；过点P 作底面ABC 的垂线，垂足为H ，交平面MNT 于点1H ，则1,H H 分别为三角形,ABC MNT 的中心，则球心定在直线PH 上，设其为O ；在三角形MNT中，由正弦定理可得12sin 6032MN MH ===︒1MH =在三角形ABC中，由正弦定理可得2sin 602AB AH ===︒，则AH =故112HH PH ====3MH AH ==<，故球心O 定在线段1H H 的延长线上，设正棱台ABC MNT -的外接球半径为R ，OH x =，则()2222211MH H H OH R AH OH ++==+，即)22312xx ++=+，解得4x =，则23991288R =+=，故外接球表面积为24πR =99π2.故答案为：99π2.【点睛】关键点点睛：本题考察正棱台外接球表面积的求解；处理问题的关键是准确寻求到球心所在的位置，再根据几何关系求得球半径；属中档题.16.已知函数()f x 的定义域为1R,2f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()()233f x f x -=，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____．【答案】0【解析】【分析】由题得出函数的周期性，利用恒等式赋值即可求解.【详解】因为12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为R 上奇函数，所以110022f f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，110(1)()022f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+++=⇔-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()23311f x f x f x f x -=⇔-=+，所以(1)()0(2)(1)0f x f x f x f x ++=⇒+++=，所以()(2)f x f x =+，故()f x 是以2为周期的一个周期函数，202311325062222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又(1)()0f x f x -+=，所以13022f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故13022f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：0.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且PB PD =．（1）若PA ⊥平面,22ABCD AB PA ==，求三棱锥P BCD -的体积；（2）求证：BD PC ⊥．【答案】（1）23（2）证明见解析【解析】【分析】（1）借助锥体体积公式计算即可得；（2）借助线面垂直判定定理及性质定理即可得.【小问1详解】1222,12BCD S PA =⨯⨯== △，122133P BCD V -∴=⨯⨯=；【小问2详解】如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ，四边形ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，又,PB PD O = 为BD 的中点，BD PO ∴⊥，PO AC O ⋂= ，且PO 、AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面,PAC BD PC ∴⊥．18.已知数列{}n a 和{}n b 满足21n n a b n +=-，数列{}{},n n a b 的前n 项和分别记作,n n A B ，且n n A B n -=.（1）求n A 和n B ；（2）设122nb n nC A =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）()()11,22n n n n n n A B +-==（2）121nn S n =-+【解析】【分析】（1）确定2n n A B n +=，再根据n n A B n -=解得答案.（2）计算1n b n =-，得到11121n n c n n -=+-+，根据等比数列求和公式和裂项相消法计算得到答案.【小问1详解】21n n a b n +=-，所以数列{}n n a b +是首项为1，公差为2的等差数列，所以其前n 项和()211212n n A n B n n =++=-⨯，又因为n n A B n -=，所以()12n n n A +=，()12n n n B -=，【小问2详解】当2n ≥时，()()()1112122n n n n n n n b B B n ----=-=-=-.当1n =时，110b B ==也适合通项公式，故1n b n =-.所以()111111222211nb n n n nc A n n n n --=+=+=+-++，所以()2111111122212231n n S n n -⎛⎫=+++++-+-++- ⎪+⎝⎭ ()11211121211nnn n ⨯-⎛⎫=+-=-⎪-++⎝⎭.19.如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图．注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量．参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，()72128i i t t=-=∑0.55= 2.646≈．参考公式：相关系数()()nii tty y r --=∑，当0.75r >时认为两个变量有很强的线性相关关系；回归方程ˆˆˆy bt a =+中斜率和截距的最小乘估计公式分别为()()()121ˆnii i ni i tty y bt t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-．【答案】（1）答案见解析（2）ˆ0.100.92yt =+，1.82万吨．【解析】【分析】（1）将数据代入公式，计算出0.990.75r ≈>，得到结论；（2）计算出ˆˆ,a b，求出线性回归方程，代入计算预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量.【小问1详解】123456747t ++++++== ，719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，()72128i i t t =-=∑0.55=，()()7711740.1749.32 2.89i i i i i i t ty y t y ty ==∴--=-=-⨯=∑∑，2.646≈， 2.890.990.752 2.6460.55r ∴=≈≈>⨯⨯，∴y 与t 有很强的线性相关关系，可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．【小问2详解】由（1）得()()()717212.890.10328ˆii i i i tty y bt t ==--==≈-∑∑，又9.32 1.3317y =≈， 1.3310.10340.92ˆˆa y bt ∴=-≈-⨯≈，∴y 关于t 的回归方程为ˆ0.100.92yt =+．202420159-= ，将2024对应的9t =代入回归方程得：0.1090.9.ˆ2182y=⨯+=，∴预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量将约1.82万吨．20.已知函数()2e e (0)=--+>x f x ax a a ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的极值点个数．【答案】（1）()e 2e 2y x =--+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义计算即可得；（2）结合导数对a 的值进行分类讨论即可得.【小问1详解】当1a =时，()()2e e 1,10xf x x f =--+=，切点为()1,0．()e 2x f x x ∴-'=，斜率()1e 2k f ='=-，∴所求切线方程为()()e 21y x =--，即()e 2e 2y x =--+；【小问2详解】函数()2e e (0)xf x ax a a =--+>的定义域为R ，()e 2x f x ax ='- ，令()()g x f x ='，则()e 2x g x a ='-，0a > ，令()0g x '=，解得()ln 2x a =，当()(),ln 2x a ∞∈-时，()0g x '<，即()g x 在()(),ln 2a ∞-上单调递减，当()()ln 2,x a ∞∈+时，()0g x '>，即()g x 在()()ln 2,a ∞+上单调递增，()()()()min ()ln 221ln 2g x g a a a ∴==-，①当e02a <≤时，()0g x ≥，函数()f x 单调递增，∴函数()f x 无极值点；②当2ea >时，()()min ()ln 20g x g a =<，()010g => ，即()()()0ln 20g g a <，因此函数()g x 在()()0,ln 2a 上有唯一零点1x ，当x →+∞时，()g x ∞→+，因此函数()g x 在()()ln 2,a ∞+上有唯一零点2x ，当1x x -∞<<时，()0g x >，即()0,f x '>∴函数()f x 在()1,x ∞-上单调递增；当12x x x <<时，()0g x <，即()0,f x '<∴函数()f x 在()12,x x 上单调递减；当2x x <<+∞时，()0g x >，即()0,f x '>∴函数()f x 在()2,x ∞+上单调递增．又()()120,f x f x '='=∴当2ea >时，函数()f x 有两个极值点．综上，当e02a <≤时，函数()f x 无极值点；当2e a >时，函数()f x 有两个极值点．21.在圆22:1O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ，点Q 满足2DQ PQ = ．当点P 在圆O 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设点()0,1A ，直线():1l y kx b b =+≠与曲线C 交于,M N 两点，若0AM AN ⋅=，试探究直线l 是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）直线l 恒过点3(0,)5-.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用坐标代换法求出曲线C 的方程.（2）联立直线l 与曲线C 的方程，利用韦达定理结合数量积的坐标运算列式计算即得.【小问1详解】设点()()00,,,P x y Q x y ，则()00,D y ，由2DQ PQ = ，即000(,)2(,)x y y x x y y -=--，因此0012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩，而22001x y +=，即2214x y +=，所以曲线C 的方程为2214x y +=．【小问2详解】设()()1122,,,M x y N x y ，由0AM AN ⋅=，得112212121212(,1)(,1)(1)(1)(1)(1)0AM AN x y x y x x y y x x kx b kx b ⋅=-⋅-=+--=++-+-= ，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kbx b +++-=，2222Δ644(1444)0)(k b k b =-+->，即2214b k <+，则2121222844,1414kb b x x x x k k--+==++，22121212(1)(1)()AM AN x x k x x k b x x b ⋅=++-++- 222222(144)8(1)(1)1044(1)k b k b b b k k+---+-++==，22222(1(44)8(1)(1)(140))k b k b b b k +---+-+=，整理得()()1530b b -+=，而1b ≠，解得35b =-，所以直线l 的方程为：35y kx =-，恒过点3(0,)5-.（二）选考题：共10分．考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:30l x =，曲线C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为()2πR 3θρ=∈．（1）求曲线C 和直线1l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于,O B 两点，求AOB 的面积．【答案】（1）4cos ρθ=，()πR 6θρ=∈（2）23【解析】【分析】（1）根据参数方程与普通方程和极坐标方程之间的转换即可得出答案；（2）由题求出,A B 的极坐标即可得出答案.【小问1详解】直线1:30l x =过原点且倾斜角为π6，∴直线1l 的极坐标方程为()6θρ=∈πR ． 曲线C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），∴曲线C 的普通方程为2240x y x +-=，∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．【小问2详解】把π6θ=代入4cos ρθ=，得1π23,23,6A ρ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，把2π3θ=代入4cos ρθ=，得22π2,2,3B ρ⎛⎫=-∴- ⎪⎝⎭，即π2,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，121ππ1sin 212632AOB S ρρ⎡⎤⎛⎫∴=⋅⋅--=⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()|24||3|f x x x =---.（1）求不等式()7f x >的解集；（2）设函数()f x 的最小值为M .若正实数a ，b ，c 满足235a b c M ++-=，求321a b c++的最小值.【答案】（1）{8xx >∣或6}x <-（2）4+【解析】【分析】（1）先分类讨论把()f x 写成分段函数的形式，再解不等式即可；（2）先求出函数()f x 的最小值M ，再结合柯西不等式或基本不等式求解即可.【小问1详解】()()()()()()()243,3,1,3,243,23,37,23,243,21,2,x x x x x f x x x x x x x x x x x ⎧--->->⎧⎪⎪=-+-=-⎨⎨⎪⎪--+-<-+<⎩⎩则()7f x >的解集为3,17x x >⎧⎨->⎩或23,377x x ⎧⎨->⎩ 或2,17,x x <⎧⎨-+>⎩，即8x >或∅或6x <-，综上所述，()7f x >的解集为{8xx >∣或6}x <-.【小问2详解】解法一：由（1）可知当2x =时，()f x 的最小值1M =-，则234a b c ++=，由柯西不等式得，22321(23)216a b c a b c ⎛⎫++⋅++=+=+ ⎪⎝⎭当3a c ==时取等号，故321a b c++的最小值为4+.解法二：由（1）可知当2x =时，()f x 的最小值1M =-，则234a b c ++=，3211321162962(23)10444b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=++⋅++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，当3a c ==时取等号，即所求最小值为4+.。

2021-2022学年内蒙古赤峰二中高二下学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于A ．15-B ．25-C ．45D ．35【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出241255i z i i i -=+=-++，由此能求出复数z 的虚部．【详解】∵复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，∴()()()122412121255i i i z i i i i i i ---=+=+=-+++-． ∴复数z 的虚部等于45，故选C.【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．2．命题“0R x ∃∈，使得2001>-x x ”的否定是（ ）A ．0R x ∃∈，使得2001≤-x x B ．0R x ∃∈，使得2001x x <-C ．R x ∀∈，都有21≤-x xD ．R x ∀∈，都有21x x >-【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“0R x ∃∈，使得2001>-x x ”的否定是“R x ∀∈，都有21≤-x x ” .故选：C3．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(0，2) D ．(0，116) 【答案】D【分析】将抛物线化成标准方程形式再计算即得结果.【详解】抛物线24y x =的标准方程为214x y =，故124p =，即18p =，故焦点坐标是0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即10,16⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及焦点坐标，属于基础题.4．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…(),n n x y ，则下列说法不正确的是（ ）A ．若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间具有较强的线性相关关系B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用决定系数2R 来刻画回归效果，2R 越小说明拟合效果越好D ．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高 【答案】C【分析】变量y 和x 之间的相关系数为r 越大，则变量y 和x 之间具有较强的线性相关关系可判断A ；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好可判断B ；用决定系数2R 来刻画回归效果，2R 越大说明拟合效果越好可判断 C ；在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高可判断D.【详解】变量y 和x 之间的相关系数为r 越大，则变量y 和x 之间具有较强的线性相关关系，故A 正确；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B 正确；用决定系数2R 来刻画回归效果，2R 越大说明拟合效果越好，故C 错误；在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，故D 正确. 故选：C.5．在一次高三模拟考试后，数学老师为了调查数学成绩与学习数学兴趣之间的关系，将某班同学的数学成绩绘制成如图所示的等高堆积条形图（1x 表示对数学感兴趣，2x 表示对数学不感兴趣，1y 表示数学成绩不好，2y 表示数学成绩好），则（ ）A ．数学成绩与学习数学兴趣关系较强B ．数学成绩与学习数学兴趣关系较弱C ．数学成绩与学习数学兴趣无关系D ．数学成绩与学习数学兴趣关系难以判断 【答案】A【分析】由等高堆积条形图分析可知在1x 中2y 的比重明显大于2x 中2y 的比重，即可得出答案.【详解】从题中等高堆积条形图可以看出，在1x 中2y 的比重明显大于2x 中2y 的比重， 所以数学成绩与学习数学兴趣关系较强． 故选：A ．6．若函数321()(2)13f x x x a x =---+有极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】A【分析】函数有极值点，说明导数有两个零点，先求导，再由0∆>求解即可 【详解】由3221()(2)1'()2(2)3f x x x a x f x x x a =---+⇒=---，因为函数有极值点，所以导数有两个实数根，对应的0∆>一定成立，即()4420a ∆=+->，解得()1,a ∈+∞故选：A【点睛】本题考查函数存在极值点的条件，属于基础题7．设复数z 满足|z ﹣i |+|z +i |＝4，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（ ）A ．22143x y -=B ．22143x y +=C ．22143y x -=D ．22143y x +=【答案】D【分析】利用复数模的几何意义以及椭圆的定义即可求解.【详解】设z x yi =+，则()1z i x y i -=+-，所以z i -=同理可得z i +=即|z ﹣i |+|z +i |4， 即(),x y 到两点()()0,1,0,1-的距离之和为4，所以z 在复平面内对应的点（x ，y ）的轨迹为22143y x +=故选：D【点睛】本题考查了复数模的几何意义以及椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题.8．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项.【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.9．已知双曲线C 的中心在坐标原点，其中一个焦点为()2,0F -，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的离心率为( )AB CD 【答案】B【分析】利用点差法即可．【详解】由F 、N 两点的坐标得直线l 的斜率1k =． ∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c =2．设双曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则224a b +=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=-，122y y +=-，12121y y x x -=-． 由2211221x y a b -=，2222221x y a b -=得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=， 即22620a b-+=，∴223a b ，易得23a =，21b =，24c =，∴双曲线C 的离心率c e a ==． 故选：B ．10．某班举行了一次有意思的智力竞猜游戏，首先老师将三只冬奥会吉祥物冰墩墩进行了1､2､3三个数字的编号，然后将它们随机均分给甲､乙､丙三名同学，每人将得到的冰墩墩编号告知老师，老师根据三人抽取的号码情况给出了三种说法：①甲抽取的是1号冰墩墩；②乙抽取的不是2号冰墩墩：③丙抽取的不是1号冰墩墩.若三种说法中只有一个说法正确，则抽取2号冰墩墩的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．无法判定【答案】A【分析】利用假设法进行推理，得到正确答案. 【详解】假设①正确，则③正确，故不合题意；假设②正确，若乙抽取到是1号冰墩墩，则③正确，符合题意；若乙抽取到的是3号冰墩墩，由于甲不能抽取1号冰墩墩，所以甲只能抽到2号冰墩墩，而丙抽取到1号冰墩墩，满足题意，假设③正确，若丙抽到的是2号冰墩墩，则甲抽到的是3号冰墩墩，乙抽取到1号冰墩墩，则②正确，不合题意；若丙抽到的是3号冰墩墩，则甲抽到的是2号冰墩墩，乙抽到的是1号冰墩墩，则②正确，不合题意.综上：甲抽到的是2号冰墩墩. 故选：A11．已知ABC 的三个顶点都在抛物线26x y =上，且F 为抛物线的焦点，若1()3AF AB AC =+，则||||||++=AF BF CF （ ）A ．12B ．10C ．9D ．6【答案】C【分析】设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，得三点纵坐标之和，再结合抛物线的定义即可求出||||||AF BF CF ++的值.【详解】由26x y =，得3p =.设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，有1213131()23y y y y y -=-+-，即12392y y y ++=. 由抛物线的定义可得:1233||||||392pAF BF CF y y y p ++=+++==. 故选：C12．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，且当0x >时，()2()0xf x f x '+<．则（ ） A ．2(e)(2)4ef f > B ．9(3)(1)>f f C ．4(2)9(3)-<-f f D ．2(e)(3)9e f f -> 【答案】D【分析】构造函数()()2g x x f x =，利用导数判断出函数()g x 的单调性即可比较.【详解】令()()2g x x f x =，因为()f x 是偶函数，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增，则()()e 2g g <，即()()22e e 22f f <，则2(e)(2)4ef f <，故A 错误； ()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()23g g ->-，即4(2)9(3)f f ->-，故C 错误；()()()e 33g g g >=-，即()()2e e 93f f >-，则2(e)(3)9e f f ->，故D 正确. 故选：D. 二、填空题13．函数()ln f x x x =-的单调递增区间为_______. 【答案】【详解】函数有意义，则：0x > ，且：()1'1f x x=- ，由()'0f x > 结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为()0,1，故答案为()0,1.14．若命题3:[1,1],2p x x a x ∀∈-≥-为假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(3,)-+∞【分析】写出0:[1,1]p x ⌝∃∈-，3002x a x <-为真命题，参变分离后求解函数最小值，求出实数a 的取值范围.【详解】由题得0:[1,1]p x ⌝∃∈-，3002x a x <-为真命题，所以当0[1,1]x ∈-时，3002a x x >+有解，令3()2,[1,1]f x x x x =+∈-，2()320f x x '=+>， 所以()f x 在区间[1,1]-上单调递增， 所以min ()(1)3f x f =-=-，所以只需3a >-，即实数a 的取值范围是(3,)-+∞. 故答案为：(3,)-+∞15．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且在第一象限，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若||3OA b =，则该椭圆的离心率为______.6【分析】延长2F A ，交1PF 于点Q ，根据P A 是12F PF ∠的外角平分线，得到2||=AQ AF ，2||PQ PF =，再利用椭圆的定义求解.【详解】解：如图所示：延长2F A ，交1PF 于点Q ， ∵P A 是12F PF ∠的外角平分线，2||AQ AF ∴=，2||PQ PF =，又O 是12F F 的中点，1QF AO ∴∥，且12||23QF OA b ==. 又1112||2QF PF PQ PF PF a =+=+=， 223a b ∴=，222233()a b a c ∴==-，∴离心率为6c a =616．已知()ln e a f x x x x =-+，321()23g x x x =-+，若1(0,1]x ∀∈，2[1,1]x ∀∈-，都有()()12f x g x ≥，则a 的取值范围为____________．【答案】2,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】利用导数求出()g x 在区间[1,1]-上的最大值，即可得到()ln e 2af x x x x=-+≥在(0,1]恒成立，参变分离可得2ln e 2a x x x x ≤+-在(0,1]恒成立，令2()ln e 2(01)h x x x x x x =+-<，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】解：因为321()23g x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以()(2)g x x x '=-，10x ∴-<<时，()0g x '>，01x <<时，()0g x '<，即()g x 在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()()max 02g x g ==，()ln e 2af x x x x∴=-+≥在(0,1]恒成立，即2ln e 2a x x x x ≤+-在(0,1]恒成立， 令2()ln e 2(01)h x x x x x x =+-<，()ln 2e 1h x x x '=+-， 令()()ln 2e 1m x h x x x '==+-，则1()2e 0m x x'=+>恒成立，()h x '∴在(]0,1单调递增，又0x →时，()h x '→-∞， ()12e 10h '=->，故存在(]00,1x ∈，使得00x x <<，()0h x '<，01x x <<，()0h x '>， 即000()ln 2e 10h x x x '=+-=，解得01ex =，211112()e 2e e e e e minh x h ⎛⎫⎛⎫∴==-+⋅-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2e a ∴≤-，即2,e a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦；故答案为：2,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．三、解答题17．已知方程()221R 4x y m m m+=∈-表示双曲线．(1)求实数m 的取值集合A ；(2)设不等式()22210x a x a a -+++<的解集为B ，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1){0A m m =<或}4m > (2)(][),14,-∞-⋃+∞【分析】（1）由方程表示双曲线可得()40m m -<，解不等式可求得集合A ；（2）解一元二次不等式可得集合B ，由充分不必要条件定义可知B A ≠⊂，由此可得不等关系，可求得a 的范围.【详解】(1)方程()221R 4x y m m m+=∈-表示双曲线，()40m m ∴-<，解得：0m <或4m >，{0A m m ∴=<或}4m >.(2)由()22210x a x a a -+++<得：1a x a <<+，即{}1B x a x a =<<+；x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，B A ，10a ∴+≤或4a ≥， 即1a ≤-或4a ≥，∴实数a 的取值范围为(][),14,-∞-⋃+∞.18．为研制新冠肺炎的疫苗，某生物制品研究所将所研制的某型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到如下统计数据：现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为23．求： (1)求p ，q ，x ，y ；(2)能否有99%的把握认为注射此疫苗有效？ 附：下面的临界值表仅供参考．)20k0.10 2.706参考公式：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++． 【答案】(1)80,20,120,80p q x y ====； (2)有99%的把握认为注射此疫苗有效【分析】（1）由取到“感染病毒”的小白鼠的概率为23计算出80p =，再依次计算,,q x y 即可；（2）写出列联表，直接计算2K ，和6.635比较即可判断. 【详解】(1)由2403p p =+，解得80p =，所以20,120,80q x y ===； (2)由（1）得列联表如下：则()222004020608033.333 6.63510010012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为注射此疫苗有效. 19．根据党中央规划的“精准发力，着力提高脱贫攻坚成效”的精准扶贫、精准脱贫路径，某农业机械上市公司为强化现代农业的基础支撑，不断投入资金对产品进行研发，从而提升农机装备的应用水平.通过对该公司近几年的年报公布的研发费用x （亿元）与产品的直接收益y （亿元）的数据进行统计，得到如下表：根据数据，可建立y 关于x 的两个回归模型：模型①： 4.110.9y x =+；模型②：14.4y =．(1)根据表格中的数据，分别求出模型①，②的相关指数2R 的大小（保留三位有效数字）； (2)根据（1）选择拟合精度更高、更可靠的模型，若2022年该公司计划投入研发费用17亿元，预测可为该公司带来多少直接收益.附：相关指数()()22121ni ii n iy y R y y =-=--∑∑ 4.1≈.【答案】(1)210.955R ≈，220.989R ≈(2)72.93亿元【分析】（1）先计算y ，再求()21ni i y y =-∑，然后由公式直接计算可得；（2）比较相关系数，选择拟合精度更高、更可靠的模型计算可得. 【详解】(1)因为15222740485460387y ++++++==所以()22222222123161121016221750ni i y y =-=++++++=∑则模型①的相关指数()()22112179.13110.9551750niii nii y y R y y ==-=-=-≈-∑∑ 模型②的相关指数()()22122118.86110.9891750ni ii n ii y y R y y ==-=-=-≈-∑∑ (2)由（1）知，2212R R <所以模型②的拟合精度更高、更可靠，由回归方程21.314.4y x =-可得，当17x =时，21.31714.472.93y =-=所以若2022年该公司计划投入研发费用17亿元，大约可为该公司带来72.93亿元直接收益.20．已知函数()2x e x f x a =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在只有一个零点，求a 的值.【答案】（1）见解析；（2）24e a =【详解】分析：(1)先构造函数()()211xg x x e -=+-，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究()f x 零点，等价研究()21x h x ax e -=-的零点，先求()h x 导数：()()'2x h x ax x e -=-，这里产生两个讨论点，一个是a 与零，一个是x 与2，当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；当0a >时，()h x 先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a 的值.详解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于()2110x x e -+-≤．设函数()()211x g x x e -=+-，则()()()22'211x xg x x x e x e --=--+=--．当1x ≠时，()'0g x <，所以()g x 在()0,∞+单调递减． 而()00g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数()21xh x ax e -=-．()f x 在()0,∞+只有一个零点当且仅当()h x 在()0,∞+只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； （ii ）当0a >时，()()'2xh x ax x e -=-．当()0,2x ∈时，()'0h x <；当()2,x ∈+∞时，()'0h x >． 所以()h x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增． 故()2421ah e =-是()h x 在[)0,+∞的最小值． ①若()20h >，即24e a <，()h x 在()0,∞+没有零点；②若()20h =，即24e a =，()h x 在()0,∞+只有一个零点；③若()20h <，即24e a >，由于()01h =，所以()h x 在()0,2有一个零点，由（1）知，当0x >时，2x e x >，所以()()()333244216161614111102a a a a a h a e a a e =-=->-=->． 故()h x 在()2,4a 有一个零点，因此()h x 在()0,∞+有两个零点．综上，()f x 在()0,∞+只有一个零点时，24e a =．点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点()4,0P 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q 在定直线上． 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）用离心率公式和b 列方程求得a ，即可得椭圆方程；（2）方法一：设直线:4MN x ty =+，()11,M x y ，()22,N x y 联立椭圆方程，由韦达定理得12,y y 关系，由直线AM 和BN 方程联立求解交点坐标，并化简得1x =，即可证明问题；方法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，123,,x x x 两两不等，因为P ，M ，N 三点共线，由斜率相等得到方程，同理A ，M ，Q 三点共线与B ，N ，Q 三点共线也得到两方程，再结合三条方程求解31x =，即可证明问题.【详解】解：（1）因为椭圆的离心率12，12c a ∴=，2a c ∴=，又2b =b ∴=因为222233b a c c =-==，所以1c =，2a =， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）解法一：设直线:4MN x ty =+，()11,M x y ，()22,N x y ，224143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()223424360t y ty +++=， 所以12212224343634t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．直线AM 的方程：()1122y y x x =++① 直线BN 的方程：()2222y y x x =--② 由对称性可知：点Q 在垂直于x 轴的直线上， 联立①②可得1221212623ty y y y x y y ++=-．因为121223y y t y y +=-， 所以()122112212121362262133y y y y ty y y y x y y y y -+++++===--所以点Q 在直线1x =上．解法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，123,,x x x 两两不等， 因为P ，M ，N 三点共线，所以()()()()22122212122222121212313144444444x x y y y y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒=⇒=------， 整理得：()12122580x x x x -++=．又A ，M ，Q 三点共线，有：313122y y x x =++① 又B ，N ，Q 三点共线，有323222y y x x =--②将①与②两式相除得： ()()()()2222121332231231222222222y x y x x x x y x x y x ++⎛⎫++=⇒= ⎪----⎝⎭ ()()()()()()222121221212312224223124x x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫-- ⎪⎝⎭即()()()()()()2211212331212122224222224x x x x x x x x x x x x x x +++++⎛⎫+== ⎪----++⎝⎭， 将()12122580x x x x -++=即()12125402x x x x =+-= 代入得：233292x x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭解得34x =（舍去）或31x =，（因为直线BQ 与椭圆相交故34x ≠） 所以Q 在定直线1x =上． 【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()22221141t x t t y t ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xOy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2Csin 04πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，请在极角范围是[)0,2π的条件下写出这三个点的极坐标.【答案】（1）()2242x y x +=≠-；0x y +=；（2）42,A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，32,4b π⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,4C π⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）观察参数方程的形式，消参后得到普通方程，曲线2C 的极坐标方程展开后，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入后求直角坐标方程；（2）由圆的半径可知，若圆上有3个点到直线的距离相等，圆心到直线的距离12d r =，再利用数形结合得到三点，并表示三点的极坐标.【详解】（1）由为()22221141t x t ty t ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），得()222222221164411t t x y t t ⎛⎫-+=+= ⎪+⎝⎭+ 故曲线1C 的普通方程为()2242x y x +=≠-又由2sin 204πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭得()cos sin 20ρθθ+-=，即为20x y +-=.（2）∵圆心O 到曲线2:20C x y +-=的距离22211211d r ===+， ∴直线220x y +-=与圆的切点A 以及直线0x y +=与圆的两个交点B ，C 即为所求.OA BC ⊥，则1OA k =，直线OA l 的倾斜角为4π，即A 点的极角为4π， B ∴点的极角为2344πππ+=，C 点的极角为7244πππ-=， ∴三个点的极坐标为42,A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，32,4B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,4C π⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是由数形结合可知圆心到直线的距离12d r =，再根据数形结合确定三点，结合斜率求得三点的极角.23．已知函数()|1|2|2|(R)f x x x x =-+-∈，记()f x 的最小值为m . (1)求m ；(2)若2a b m +=，求22a b +的最小值. 【答案】(1)1;(2)15. 【分析】（1）将()f x 写成分段函数的形式，求出分段函数的最小值，即可得到结果； （2）由（1）可知21a b +=，再利柯西不等式求出最小值.【详解】(1)53,1,()1223,12,35,2,x x f x x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=-<<⎨⎪-≥⎩当1x ≤时，()2f x ≥； 当12x <<时，1()2f x <<； 当2x ≥时，()1f x ≥； 综上，min ()1f x =，故1m =． (2)21a b +=，22222)(12)(2)1(b b a a ∴++≥+=，即2215a b +≥当且仅当2112a b a b +=⎧⎪⎨=⎪⎩时，即12,55a b ==时等号成立，22a b ∴+的最小值为15．。

2022-2023学年内蒙古赤峰市高二下学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．已知i 是实数集，复数z 满足3z z i i +⋅=+，则复数z 的共轭．．复数为A ．12i +B ．12i-C ．2i+D ．2i-【答案】C【分析】将3z z i i +⋅=+化为31iz i +=+，对其进行化简得到2z i =-，利用共轭复数的性质得到2z i =+．【详解】3z z i i +⋅=+可化为31i z i+=+3(3)(1)42=21(1)(1)2i i i iz i i i i ++--===-++- ∴z 的共轭复数为2z i=+故选C ．【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”．2．方程22122x y m m-=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（）A ．22m -<<B ．0m >C ．0m ≥D ．2m ≥【答案】A【分析】根据双曲线的定义以及双曲线方程的标准形式可知2m +与2m -同号列不等式即可求解.【详解】因为方程22122x y m m-=+-表示双曲线，所以()()220m m +->，即()()220m m +-<，解得：22m -<<.故选：A.3．已知数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为5，则数据123x -，223x -，323x -，423x -，523x -的方差为（）A ．10B ．15C ．17D ．20【答案】D【分析】利用数据线性变换前后方差的关系，求得所求的方差.【详解】因为数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为5，所以数据123x -，223x -，323x -，423x -，523x -的方差为25220⨯=.故选：D【点睛】本小题主要考查数据线性变换前后方差的关系，属于基础题.4．具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如表所示，y 与x 的回归直线方程为3 1.5y x =-，则m 的值为x123y1-m4m 8A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】A【分析】将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.【详解】 1.5x =574m y +=中心点为：57(1.5,)4m +代入回归方程4.5157.541m m +=-⇒=故答案选A【点睛】本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考查学生的计算能力.5．魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算注》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++中的“…”代表无限次重复，设121211x =++ ，则可利用方程121x x =+求得x ，类似地可得正数555 等于（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】B【分析】设555x = ，然后解方程5x x =即可得．【详解】设555x = ，则5x x =，解得5x =．故选：B ．6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 到渐近线的距离与顶点A 到渐近线的距离之比为3：1，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．22y x =±B ．2y x=±C ．22y x =±D ．24y x =±【答案】A【分析】根据相似三角形，直接得到3ca=，计算渐近线的斜率.【详解】如图，可知焦点F 到渐近线的距离与顶点A 到渐近线的距离之比为3：1，即3c a =，22122b c a a =-=，所以双曲线的渐近线方程为22y x =±.故选：A.7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（）A ．5n <B ．6n <C ．6n ≤D ．9n <【答案】C【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，n 的值，当8n =时，1112S =，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值，由此得出判断框中填写的内容是什么．【详解】解：模拟执行程序框图，可得0S =，2n =；满足条件，12S =，4n =；满足条件，113244S =+=，6n =；满足条件，1111124612S =++=，8n =；由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1112；故判断框中填写的内容可以是6n ≤.故选：C.【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S 值是解题的关键，属于基础题．8．已知直线:40l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为A ．222-B ．2C ．22D ．25【答案】A【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系为相离，最近距离为d r -.【详解】将圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩化成在平面直角坐标系下的形式，圆22:(1)(1)4C x y -+-=，圆心C为(1,1)，半径2r =.已知直线:40l x y -+=，那么，圆心C 到直线l 的距离为22|114|221(1)d r -+==>+-，故直线l 与圆C 相离，所以C 上各点到l 的距离的最小值为222d r -=-.故答案为A.【点睛】本题考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型.9．定义在()0,∞+上的可导函数()f x 满足()()'f x x f x ⋅<，且()20f =，则()0f x x>的解集为（）A ．()0,2B ．()()0,22,+∞U C ．()2,∞+D ．φ【答案】A【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数单调性求解不等式，可得结果.【详解】令()()f x F x x =，则()()()2''xf x f x F x x -=由()()'f x x f x ⋅<，即()()'0xf x f x -<所以当()0,x ∈+∞时，()F'0x <可知函数()F x 在()0,x ∈+∞单调递减又()20f =若()()0f x F x x=>，则02x <<则()0f x x>的解集为()0,2故选：A【点睛】本题主要通过构造函数，利用函数的单调性求解不等式，属中档题.10．如图过抛物线24y x =焦点的直线依次交抛物线与圆()2211x y -+=于A 、B 、C 、D ，则AB CD ⋅=A ．4B ．2C ．1D ．12【答案】C【分析】根据抛物线的几何意义转化1=A AB AF x =-，1D CD DF x =-=，再通过直线过焦点可知24A D p x x ⋅=，即可得到答案.【详解】抛物线焦点为()1,0F ，1=A AB AF x =-,1D CD DF x =-=,，于是214A D p AB CD x x ⋅=⋅==，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的几何意义，直线与抛物线的关系，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力.11．四张卡片的正面分别写上cos y x =，tan 2sin y x x =+，sin sin y x x =+，sin cos sin cos y x x x x =++-，现将这四张卡片反过来，小明从中任意抽取两张，则所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为（）A ．23B ．16C ．13D ．12【答案】B【分析】确定各个函数的周期，cos y x =的周期为π，tan 2sin y x x =+的周期为2π，sin sin y x x =+不是周期函数，sin cos sin cos y x x x x =++-周期为2π，再计算概率得到答案.【详解】cos y x =的图像是由cos y x =的图像x 轴下方的部分向上翻折形成，故周期为π；tan y x =的周期为π，2sin y x =的周期为2π，故tan 2sin y x x =+的周期为2π；sin y x =不是周期函数，故sin sin y x x =+不是周期函数，2sin ,sin cos sin cos sin cos 2cos ,sin cos x x xy x x x x x x x≥⎧=++-=⎨<⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知函数周期为2π.设四张卡片分别为1，2，3，4，则共有()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,46种选择，满足条件的只有1种，故所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为16.故选：B12．若0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式sin cos x x mx x +≥恒成立，则正实数m 的取值范围是（）A ．（0，1]B ．（0，2]C ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．（3，+∞）【答案】B【分析】当0x =和2x π=时结论显然成立，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，分离参数m ，sin cos x x mx x +≥恒成立等价于sin cos x x m x x +≤，令函数sin ()cos x x f x x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数研究函数()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的单调性，进而求出函数()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的最小值，即可求出m ．【详解】当0x =时，显然不等式sin cos x x mx x +≥恒成立，当2x π=时，显然不等式sin cos x x mx x +≥恒成立当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由不等式sin cos x x mx x +≥恒成立，有sin cos x x m x x +≤，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在恒成立，令sin ()cos x x f x x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin sin cos ()(cos )x x x x x f x x x '+-=，令2sin sin c )s (o x x x x g x x +-=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin cos cos )120(x x x x x g x ++-'>=，∴()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()(0)0g x g >=，即()0f x '>，∴()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当0x →时，()2f x →，∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2f x >恒成立，∵sin cos x x m x x +≤，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，∴2m ≤，因此正实数m 的取值范围为(]0,2．故选B ．【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立的问题，解题的关键是分离参数，得到新函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，有一定综合性，属于基础题．二、填空题13．已知复数21iz i=-，则复数z 的实部和虚部之和为______.【答案】0【分析】先化简求得z 再计算实部和虚部的和即可.【详解】()()()2121111i i iz i i i i +===-+--+,故实部和虚部之和为110-=.故答案为：0【点睛】本题主要考查复数的基本运算与实部虚部的概念,属于基础题型.14．对某同学的7次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为83；③平均数为85；④极差为16；其中，正确说法的序号是__________．【答案】②④【分析】先根据茎叶图将各数据从小到大排列，再利用中位数、众数、平均数与极差的定义求解即可.【详解】将各数据按从小到大排列为：76，78，83，83，85，91，92．易得中位数是83，故①错误；众数是83，故②正确；平均数为76788383859192847++++++=，故③错误．极差是927616-=，故④正确．故答案为：②④．15．已知双曲线22214x y b -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B 两点，||35AB =，1(4)M ，，动点()P x y ，在双曲线上，则2PM PF +的最小值为__________．【答案】524-【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令x c =，解得y ，可得AB ，由双曲线的基本量的关系，解得,,a b c ，可得双曲线的方程，讨论P 在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．【详解】由题意知：双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，渐近线方程为：by x a=±令x c =，解得：bc y a =±，可得：235bcAB a==由2a =，222c a b =+，解得：5b =，3c =则双曲线的方程为：22145x y -=，则()13,0F -，()23,0F 若P 在左支上，由双曲线的定义可得：212PF a PF =+221124(43)14524PM PF PM PF a MF +=++≥+=+++=+当且仅当1M P F ，，共线时，取得最小值452+若P 在右支上，由双曲线的定义可得：212PF PF a =-21124524PM PF PM PF a MF +=+-≥-=-当且仅当1M P F ，，共线时，取得最小值524-综上可得，所求最小值为：524-本题正确结果：524-【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及定义法，考查转化思想和三点共线取得最小值的性质，考查运算能力，属于中档题．16．若函数2ln (),()1,(0,),x a xf xg x e x x+==-∃∈+∞使得()()f x g x ≥成立，则实数a 的最小值是_____.【答案】12【分析】根据题意，(0,)x ∃∈+∞使得()()f x g x ≥成立，分类参数a ，可转化为(0,)x ∃∈+∞，使得ln x a xe x x ≥--成立，构造函数()ln ,0xh x xe x x x =-->，利用导数法求得()min h x ，即可求解.【详解】由题意，函数2ln (),()1,(0,),x a xf xg x e x x+==-∃∈+∞使得()()f x g x ≥成立，即(0,)x ∃∈+∞，使得2ln 1x a xe x+≥-成立，即(0,)x ∃∈+∞，使得2ln x a xe x x ≥--成立，令()ln ,0xh x xe x x x =-->，则()min a h x ≥，因为()1(1)1,0x h x x e x x '=+-->，则()21(2)0xh x x e x''=++>，所以()1(1)1xh x x e x'=+--在(0,)+∞上单调递增，又由1314()40,(1)22033h e h e ''=-<=->，所以01(,1)3x ∃∈使得()0h x '=，此时()ln xh x xe x x =--取得极小值，也是最小值，令()0h x '=，则0001(1)10x x e x +--=，即001x e x =，所以()0000000ln 1ln 1x xh x x e x x x e -=--=--=，即()min 1h x =，所以21a ≥，即实数a 的最小值为12.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值与最值，其中解答中合理利用分离参数，结合函数的单调性与最值求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题17．已知函数2()ln f x a x x =-(0a ≥).(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(Ⅱ)若对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)0x y +=(Ⅱ)[0,2e)【分析】(Ⅰ)对函数进行求导，然后求出1x =处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程求出切线方程，最后化为一般式方程；(Ⅱ)先证明当0a =时，对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立，然后再证明当0a >时，对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立时，实数a 的取值范围.法一:对函数求导，然后判断出单调性，求出函数的最大值，只要最大值小于零即可，这样可以求出实数a 的取值范围；法二：原不等式恒成立可以转化为21ln xa x>恒成立问题.2ln ()x g x x =，求导，判断出函数的单调性，求出函数的最大值，只要1a大于最大值即可，解出不等式，最后求出实数a 的取值范围.【详解】解:(Ⅰ)当1a =时，2()ln f x x x =-，1()2f x x x∴'=-，(1)1f ∴'=-，(1)1f =-∴曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为1(1)y x +=--，即0x y +=(Ⅱ)当0a =时，2()f x x =-(0x >)，对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立，符合题意法一:当0a >时，22()2a a x f x x x x-'=-=，()002a f x x '>⇔<<；()02a f x x '<⇔>()f x ∴在(0,)2a上单调递增，在(,)2a +∞上单调递减∴只需max (())()ln 02222a a a a f x f ==-<即可，解得02ea <<故实数a 的取值范围是[0,2e)法二:当0a >时，()0f x <恒成立⇔21ln xa x >恒成立，令2ln ()x g x x =，则312ln ()xg x x -'=，()00e g x x '>⇔<<；()0e g x x '<⇔>，()g x ∴在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减∴只需max 11(())(e)2eg x g a >==即可，解得02ea <<故实数a的取值范围是[0,2e)【点睛】本题考查了求曲线的切线方程，考查了不等式恒成立时，求参数问题，利用导数求出函数的最值是解题的关键.18．每天锻炼一小时，健康生活一辈子，现在很多年轻人由于诸多原因身体都是处于“亚·健康”状态，为了了解现在的年轻人运动锻炼的状况，某社会机构做了一次调查，随机采访了100位年轻人，并对其完成的调查结果进行了统计，将他们分为男生组、女生组，把每周锻炼的时间不低于5小时的年轻人归为“健康生活”，低于5小时的年轻人归为“亚健康生活”，并绘制了如下2×2列联表.健康生活亚健康生活合计男304575女151025合计4555100附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828(1)能否有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关？（运算结果保留三位小数）(2)用分层抽样的方法在健康生活的45名受采访的年轻人中选取6人参加一次公益活动，需要在这6名年轻人中随机选取两人作为这次活动的联络员，求两名联络员均为男性的概率.【答案】(1)没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关(2)2 5【分析】（1）计算2K，并与表中3.841比较大小得出结果；（2）列出6名年轻人中随机选取两人的所有基本事件，再找到两名均为男性的事件个数，求其概率即可.【详解】（1）由()22100301015453.03045557525K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵3.030<3.841，∴没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关；（2）易得选取参加公益活动的6人为4男2女，用a ，b ，c ，d ，1，2表示此4男2女，则基本事件：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),1a ，(),2a ，(),b c ，(),b d ，(),1b ，(),2b ，(),c d ，(),1c ，(),2c ，(),1d ，(),2d ，()1,2共15个基本事件，记两名联络员均为男性为事件A ，事件A 包含6个基本事件，()62155P A ==，∴两名联络员均为男性的概率为25.19．2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.月份t 1234订单数量y （万件） 5.2 5.3 5.7 5.8附：相关系数，12211()()()()n i i i nn i i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑回归方程ˆˆy abx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为121()()ˆ()n i i i ni i x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆay bx =- ， 1.3 1.14≈.(1)试根据样本相关系数r 的值判断订单数量y 与月份t 的线性相关性强弱（0.75||1r ≤≤，则认为y 与t 的线性相关性较强，||0.75r <，则认为y 与t 的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）(2)建立y 关于t 的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.【答案】(1)0.96，订单数量y 与月份t 的线性相关性较强(2) 0.22 4.95y t =+，6.05万件【分析】（1）根据公式求出r ，即可得出结论；（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令5t =，即可得解.【详解】（1）1234 2.54t +++==，1(5.2 5.3 5.7 5.8) 5.54y =+++=，41()()(1.5)(0.3)(0.5)(0.2)0.50.2 1.50.3 1.1i i i tt y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，4222221()(1.5)(0.5)0.5 1.55i i t t =-=-+-++=∑，4222221()(0.3)(0.2)0.20.30.26i i y y =-=-+-++=∑，∴41442211()()1.1 1.10.960.751.141.3()()i i i i i i i t t y y r tt yy ===--==≈≈>--∑∑∑，∴订单数量y 与月份t 的线性相关性较强；（2） 41421()()1.1ˆ0.225()i i i i i t t y y b t t ==--===-∑∑，∴ˆˆ 5.50.22 2.5 4.95a y bt=-=-⨯=，∴线性回归方程为 0.22 4.95y t =+，令5t =， 0.225 4.95 6.05y =⨯+=（万件），即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率与双曲线22:2E x y -=的离心率互为倒数，且椭圆C 的焦距、双曲线E 的实轴长、双曲线E 的焦距依次构成等比数列.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若双曲线E 的虚轴的上端点为2B ，问是否存在过点2B 的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，使得以MN 为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，22y x =+或22y x =-+.【分析】（1）将已知双曲线的方程化为标准形式求得离心率，结合椭圆中的基本量关系和已知条件，求得椭圆的半长轴和半短轴，得到椭圆的标准方程；（2）先排除直线l 斜率不存在的情形，然后设出直线的斜率，写出方程，联立直线与椭圆方程，利用判别式求得k 的取值范围，利用韦达定理和向量的垂直的条件得到关于k 的方程，求解并验证是否满足上面求出的范围即可.【详解】解：（1）双曲线22:2E x y -=，即为22122x y -=，其离心率为2222+=，则椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12e =.因为双曲线E 的实轴长为22、焦距为4，设椭圆C 的焦距为2c ，则2,22,4c 成等比数列，所以2(22)8c =，解得1c =.又12c e a ==，及222a b c =+，解得2,1a b ==.所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）双曲线E 的虚轴上端点为2(0,2)B .当直线l 的斜率不存在时，:0l x =，点,M N 为椭圆的上、下两顶点，显然不符合题意；故直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+，联立方程组221,22,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()22124220k x kx +++=.显然()22(42)41220k k ∆=-+⨯>，解得22k >或22k <-()*.设点()()1122,,,M x y N x y ，则121222422,1212k x x x x k k+=-=++，所以()()()2121212122222y y kx kx k x x k x x =++=+++222222222228282422212121212k k k k k k k k k k -++-=-+==++++，若以MN 为直径的圆过原点，则OM ON ⊥ ，所以0OM ON ⋅= ，所以12120x x y y +=，即22222201212k k k -+=++，所以2242012k k-=+，解得2k =±，符合()*式，所以直线l 的方程为22y x =+或22y x =-+.21．已知函数f (x )＝()1xx a x be e -+(a ≠0)．（1）当a ＝－1，b ＝0时，求函数f (x )的极值；（2）当b ＝1时，若函数f (x )没有零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值为21e-，无极大值；（2）2(,0)e -.【分析】（1）当1,0a b =-=时，求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性，结合函数极值的定义，即可求解；（2）把函数()f x 没有零点，转化为方程ax －a ＋ex ＝0无实根，令()x h x ax a e =-+，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，列出不等式，即可求解.【详解】（1）当1,0a b =-=时，函数()1x x f x e -+=，则()2x x f x e -'=，当(,2)x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减；当(2,)x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增．所以()f x 的极小值为()212f e =-，无极大值．（2）当1b =时，函数()xxax a e f x e -+=，因为函数()f x 没有零点，即方程0x x ax a e e-+=无实根，即ax －a ＋ex ＝0无实根，令()x h x ax a e =-+，则()x h x a e '=+，若0a >时，则()()0,h x h x '>在R 上单调递增，()(),;,;x h x x h x →+∞→+∞→-∞→-∞此时存在0x ，使得0()0h x =，不合题意；若a<0时，令()0h x '>，即0x a e +>，得ln()x a >-；令()0h x '<，得ln()x a <-，所以当ln()x a =-，函数()h x 取得最小值，最小值为()min (ln())ln()2h x h a a a a =-=--，()(),;,;x h x x h x →+∞→+∞→-∞→+∞要使得函数()f x 没有零点，则满足()min 0h x >，即ln()20a a a -->，解得20e a -<<，综上所述，实数的取值范围为()2,0e -．【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的极值，以及利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为方程根的个数，应用导数求得函数的单调性与最值，列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为243cos 2ρθ=-.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,2)P -，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求||||PA PB +的值.【答案】（1）22:12x C y +=，:10l x y +-=；（2）102||||3PA PB +=【解析】(1)消去参数t 求解直线l 的普通方程,再利用极坐标与直角坐标的对应关系与二倍角公式求解曲线C 的直角坐标方程.(2)利用参数t 的几何意义,联立直线与圆C 的方程,利用韦达定理求解即可.【详解】(1)由12x t y t =-+⎧⎨=-⎩,两式相加可得:1l x y +=,即:10l x y +-=.又22443cos 222sin ρθθ==-+,即22222+22sin 4244x y ρρθ=⇒+=即22:12x C y +=.(2)将:10l x y +-=化简成关于点(1,2)P -的参数方程有：212222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,（t 为参数）,代入22:12x C y +=有222221222310214022t t t t ⎛⎫⎛⎫+++=⇒++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则12102||||3PA PB t t +=+=.【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标化成直角坐标的方法,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中等题型.。

西安市第一中学2022-2021学年度其次次月考考试高二数学（文科）试题一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题3分，共36分）1.命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是( )A.若4πα≠，则1tan ≠α B.若4πα=，则1tan ≠αC.若1tan ≠α，则4πα≠ D.若1tan ≠α，则4πα=2.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．73.命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=5.抛物y ＝4x 2的焦点坐标是( )．A ．(0，1)B ．(0，116)C ．(1，0)D ．(116，0)6.已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为（ ） A.224515x y -= B.22154x y -= C.22154y x -= D.225514x y -=7.曲线2-=x xy 在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A. 32+-=x yB. 32--=x yC. 12+-=x yD.12+=x y8．下列结论正确的是个数为（ ） ①y=ln2 则y ′=； ②y=则y ′=③y=e ﹣x 则y ′=﹣e ﹣x ； ④y=cosx 则y ′=sinx ．A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知椭圆E ：的右焦点为F （3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．10. 已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足关系式f （x ）=x 2+3xf ′（1），则f ′（1）的值等于（ ） A ．B ．C ．1D ．﹣1 11.已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ） A ．D ．+=1B ．+=1 C ．+=1 D ．+=112.函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣1）=1，对任意x ∈R ，f ′（x ）＞3，则f （x ）＞3x+4的解集为（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，+∞）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13.焦点在y 轴的椭圆x 2+ky 2=1的长轴长是短轴长的2倍，那么k 等于_______________ 14. 函数1()ln 2xf x xx-=+的导函数是()f x '，则(1)f '-=__________ 15. 椭圆的左右焦点为F 1，F 2，b=4，离心率为，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 ．16函数f （x ）=xlnx 的递减区间是__________。

江西省宜春市上高二数学中2022高二数学上学期第二次月考试题文（含解析）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x+1）2+（y﹣1）2＝4C．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝42．已知抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），则抛物线的标准方程是（）A．x2＝﹣12y B．x2＝12y C．y2＝﹣12x D．y2＝12x3．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O ′＝，那么原△ABC的面积是（）A ．B ．C ．D ．4．椭圆+y2＝1的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．5．已知A（﹣4，2，3）关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于（）A．8 B．12 C．16 D．196．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D．8 7．P 是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|•|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．如图，正方体AC1中，E、F分别是DD1、BD的中点，则直线AD1与EF所成的角余弦值是（）A ．B ．C ．D ．9．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A（4，5），则|PA|+d的最小值为（）A ．B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣410．如图，过抛物线y2＝3x的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|AB|＝（）A．4 B．6 C．8 D．1011．已知椭圆E ：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A ．B ．C ．D ．12．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BCA是等边三角形；③三棱锥DABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC．其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线y＝kx+1与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则实数m 的取值范围为．14．过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为．15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B 两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若＝2，则椭圆的离心率为．16．已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA＝PB＝PC＝2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为．三、解答题．（共70分）17．已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，1）和B（﹣2，﹣2），且圆心在直线l：x+y﹣1＝0上（1）求圆C的标准方程；（2）若直线kx﹣y+5＝0被圆C截得的弦长为8，求k的取值．18．如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB＝2，AD＝4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG（2）若F是线段AB 的中点，求三棱锥B﹣EFC的体积．19．已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：+＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C1分别相交于A、B两点．（Ⅰ）写出抛物线C1的标准方程；（Ⅱ）求△ABO面积的最小值．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C是矩形，侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，且AB＝4AA1＝4，∠BAA1＝60°，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求证：DA1⊥平面AA1C1C．21．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．（1）证明：BE⊥平面D1AE；（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．过点M（2，0）的直线l与椭圆C 相交于A、B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求•的取值范围；（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点．2022江西省宜春市上高二中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x+1）2+（y﹣1）2＝4C．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2+（y+1）2＝4【解答】解：根据题意得：圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝4．故选：D．2．已知抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），则抛物线的标准方程是（）A．x2＝﹣12y B．x2＝12y C．y2＝﹣12x D．y2＝12x【解答】解：依题意可知焦点在y轴，设抛物线方程为x2＝2py∵焦点坐标是F（0，﹣3），∴p＝﹣3，p＝﹣6，故抛物线方程为x2＝﹣12y．故选：A．3．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O ′＝，那么原△ABC的面积是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为，且若△A′B′C′的面积为×2××＝，那么△ABC的面积为故选：A．4．椭圆+y2＝1的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由抛物线y2＝4x的方程得准线方程为x＝﹣1，又椭圆+y2＝1的焦点为（±c，0）．∵椭圆+y2＝1的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，∴﹣c＝﹣1，得到c＝1．∴a2＝b2+c2＝1+1＝2，解得．∴．故选：B．5．已知A（﹣4，2，3）关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于（）A．8 B．12 C．16 D．19【解答】解：A（﹣4，2，3）关于xOz平面的对称点为A1（﹣4，﹣2，3）．A1关于z轴的对称点为A2（4，2，3）．则|AA2|＝＝8．故选：A．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D．8【解答】解：根据三视图可知几何体是四棱锥，且底面是边长为2和4的长方形，由侧视图是等腰直角三角形，直角边长为2，∴该几何体的体积V ＝＝，故选：B．7．P 是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|•|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：∵P 是椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，∴|PF1|+|PF2|＝8，|F1F2|＝2∵|PF1|•|PF2|＝12，∴（|PF1|+|PF2|）2＝64，∴|PF1|2+|PF2|2＝40，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝，∴∠F1PF2＝60°，故选：B．8．如图，正方体AC1中，E、F分别是DD1、BD的中点，则直线AD1与EF所成的角余弦值是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，取AD的中点G，连接EG，GF，∠GEF为直线AD1与EF所成的角设棱长为2，则EG ＝，GF＝1，EF ＝cos∠GEF ＝，故选：C．9．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A（4，5），则|PA|+d的最小值为（）A ．B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣4【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线l：x＝﹣1．如图所示，过点P作PN⊥l交y轴于点M，垂足为N，则|PF|＝|PN|，∴d＝|PF|﹣1，∴|PA|+d≥|AF|﹣1＝﹣1＝﹣1．故选：B．10．如图，过抛物线y2＝3x的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|AB|＝（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：过B向准线做垂线垂足为D，过A点做准线的垂线垂足为E，准线与x轴交点为G，根据抛物线性质可知|BD|＝|BF|∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠C＝30°，∠EAC＝60°又∵|AF|＝|AE|，∴∠FEA＝60°∴|AF|＝|AE|＝|CF|＝3，∵|CF|＝2|GF|＝3，|BF|＝1，∴|AB|＝|AF|+|BF|＝4．故选：A．11．已知椭圆E ：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，＝＝．∴，化为a2＝2b2，又c＝3＝，解得a2＝18，b2＝9．∴椭圆E 的方程为．故选：D．12．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BCA是等边三角形；③三棱锥DABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC．其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④【解答】解：根据直二面角的定义知，BD⊥面ACD，所以BD⊥AC，①正确；因为三角形ABC为等腰直角三角形，设AD＝1，则可求出AB＝BC＝AC ＝，所以△BCA是等边三角形，所以②正确；由上可知AB＝BC＝AC，且AD＝BD＝CD，根据正三棱锥的定义可知，三棱锥DABC是正三棱锥，所以③正确，④不正确．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线y＝kx+1与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则实数m 的取值范围为[1，9）．【解答】解：直线y＝kx+1恒过定点P（0，1），焦点在x轴上的椭圆，可得0＜m＜9，①由直线y＝kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，可得P在椭圆上或椭圆内，即有+≤1，解得m≥1，②由①②可得1≤m＜9．故答案为：[1，9）．14．过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为x +y﹣2＝0 ．【解答】解：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点P（1，1），则k OP＝1，故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P（1，1），故由点斜式得，所求直线的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0．故答案为：x+y﹣2＝0．15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B 两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若＝2，则椭圆的离心率为．【解答】解：如图，由题意，A（﹣c，），∵＝2，∴，且x C﹣c＝c，得x C＝2c．∴C（2c，），代入椭圆，得，即5c2＝a2，解得e＝．故答案为：．16．已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA＝PB＝PC＝2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为12π．【解答】解：由题意三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大，三棱锥P﹣ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长：2所以球的直径是2，半径为，球的表面积：4π×＝12π．故答案为：12π．三、解答题．（共70分）17．已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，1）和B（﹣2，﹣2），且圆心在直线l：x+y﹣1＝0上（1）求圆C的标准方程；（2）若直线kx﹣y+5＝0被圆C截得的弦长为8，求k的取值．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，1）和B（﹣2，﹣2），∴k直线AB＝＝3，线段AB的中点坐标为（﹣，﹣），∴线段AB垂直平分线方程为y+＝﹣（x+），即x+3y+3＝0，与直线l 联立得：，解得：，∴圆心C坐标为（3，﹣2），∴半径|AC|＝＝5，则圆C方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝25；（2）∵圆C半径为5，弦长为8，∴圆心到直线kx﹣y+5＝0的距离d ＝＝3，即＝3，解得：k ＝﹣．18．如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB＝2，AD＝4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG（2）若F是线段AB的中点，求三棱锥B﹣EFC的体积．【解答】解：如图，（1）证明：设CE∩BD＝O，连接OG，由三角形的中位线定理可得：OG∥AC，∵AC⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AC∥平面BDG．（2）∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AC ，∴；又∵F是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CF⊥AB，∴，又平面ABC⊥平面BCDE，EB⊥BC，∴EB⊥平面BCF，∴．19．已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：+＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C1分别相交于A、B两点．（Ⅰ）写出抛物线C1的标准方程；（Ⅱ）求△ABO面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C2：+＝1的右焦点为（1，0），设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），即有＝1，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设直线AB的方程为x＝my+4，代入抛物线方程可得，y2﹣4my﹣16＝0，判别式为16m2+64＞0恒成立，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16，则△ABO面积为S＝S△OAM+S△OBM ＝•|OM|•|y1﹣y2|＝2|y1﹣y2|＝2＝2≥2＝16，当且仅当m＝0时，△ABO的面积取得最小值16．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C是矩形，侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，且AB＝4AA1＝4，∠BAA1＝60°，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1；（Ⅱ）求证：DA1⊥平面AA1C1C．【解答】证明：（1）连结A1C交AC1于F，取B1C中点E，连结DE，EF．∵四边形AA1C1C是矩形，∴F是A1C的中点，∴EF∥A1B1，EF ＝A1B1，∵四边形ABB1A1是平行四边形，D是AB的中点，∴AD∥A1B1，AD ＝A1B1，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，即AC1∥DE．又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（2）∵AB＝4AA1＝4，D是AB中点，∴AA1＝1，AD＝2，∵∠BAA1＝60°，∴A1D ＝＝．∴AA12+A1D2＝AD2，∴A1D⊥AA1，∵侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，侧面AA1C1C∩侧面AA1B1B＝AA1，AC⊥AA1，AC⊂平面AA1C1C，∴AC⊥平面AA1B1B，∵A1D⊂平面AA1B1B，∴AC⊥A1D，又∵AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，AC∩AA1＝A，∴DA1⊥平面AA1C1C．21．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．（1）证明：BE⊥平面D1AE；（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：连接BE，∵ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝2，∴AE＝BE＝2，AB＝4，∴AE2+BE2＝AB2，∴BE⊥AE，又D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE．（2）＝．取D1E中点N，连接AN，FN，∵FN∥EC，EC∥AB，∴FN∥AB，且FN ＝＝AB，∴M，F，N，A共面，若MF∥平面AD1E，则MF∥AN．∴AMFN为平行四边形，∴AM＝FN ＝．∴＝．22．已知椭圆C ：＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求•的取值范围；（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题意b＝1，得a2＝2c2＝2a2﹣2b2，故a2＝2．故方程为．（Ⅱ）解：设l：y＝k（x﹣2），与椭圆C的方程联立，消去y得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0．由△＞0得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．∴＝＝．∵，∴，故所求范围是．（Ⅲ）证明：由对称性可知N（x2，﹣y2），定点在x轴上．直线AN：，令y＝0得：，∴直线l过定点（1，0）．。

智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。

上学期第二次月考高二数学卷（理）考试时间：120分钟 满分：150一、选择题（每小题5分，共12题）1、已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则N M C U ⋂)( = （ ）A ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e2、 5()a x x +（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）A ．-1B ．12 C ．1 D ．23、某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ）A. 24种B. 36种C. 38种D. 108种4、计算888281808242C C C C ++++ ＝（ ）A 、62B 、82C 、83 D 、63 5、一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( ) A.23 B.512 C.59 D.796、已知△ABC 的重心为P ，若实数λ满足：AB AC AP λ+=，则λ的值为A ．2B ．23C ．3D ．67、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 （ ）A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种8、35(1(1+的展开式中x 的系数是（A ）4- （B ）2- （C ）2 （D ）49、某体育彩票规定: 从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元 某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B. 1052元C. 2100元D. 2102元10、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A.2524C C ⋅ B.443424C C C ++ C.2524C C + D.054415342524C C C C C C ⋅+⋅+⋅11、已知,)(为偶函数x f x x f x x f x f 2)(,02),2()2(=≤≤--=+时当，若*,(),n n N a f n ∈=则2011a = ( )A ．1B ．21C ． 14D ．1812、如图，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 （ ）A ．10B ．13C ．12D ．15二、填空题（每小题5分，共4小题）13、已知(1-2x)n的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第_____________项.14、乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_.15、同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是_____________ (结果要求写成既约分数）.16、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有_______种不同的涂色方案。