2015年高二文科数学《立体几何》练习题

2015年高考数学真题分类汇编 专题10 立体几何 文1.【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【答案】A【解析】采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.【考点定位】直线、平面的位置关系.【名师点睛】本题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答本题时要根据空间直线、平面的位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假.本题属于容易题，重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力.2.【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是14圆锥，底面周长是两个底面半径与14圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.3.【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为32313222233V cm =+⨯⨯=.故选C. 【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的结构特征，并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题，重点考查空间想象能力和基本的运算能力.4.【2015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A) 123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52π【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯，故选B.【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.【名师点睛】本题考查三视图的概念和组合体体积的计算，采用三视图还原成直观图，再利用简单几何体的体积公式进行求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+【答案】D【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型.6.【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交【答案】A【解析】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ．【考点定位】空间点、线、面的位置关系．【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意选项中的重要字眼“至少”、“至多”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．7.【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60o ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =o ，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C【解析】由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60o 角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.【名师点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答本题时要能够根据给出的线面位置关系，通过空间想象能力，得到一个无限延展的圆锥被一个与之成60o 角的平面截得的图形是椭圆的结论.本题属于中等题，重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲线的定义的理解.8.【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A .【解析】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故应选A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性.9、【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2（C ）4 （D ）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.10.【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．822+B ．1122+C ．1422+D ．15【答案】B【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为2+2+4+22=8+22， 所以该几何体的表面积为1122+，故选B ．【考点定位】三视图和表面积．【名师点睛】本题考查三视图和表面积计算，关键在于根据三视图还原体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体，属于中档题．11.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A ）错误!未找到引用源。

《立体几何》专题一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：数学立体几何练习题一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1、设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 2、已知直线,l m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂，，和m γ⊥，则有A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥3.若()0,1,1a =-，()1,1,0b =，且()a b a λ+⊥，则实数λ的值是（ ）A .－1 B.0 C.1 D.－24、已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AB ∥βD. AC ⊥β5一个几何体的三视图及长度数据如图，则几何体的表面积与体积分别为()3,27+A ()328，+B()2327，+C ()23,28+D6、已知长方体的表面积是224cm ，过同一顶点的三条棱长之和是6cm ，则它的对角线长是（ ）A. 14cmB. 4cmC. 32cmD. 23cm7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定8．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED 的大小为（ ）A.45B.30C.60D.909．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ）A ．12B 。

2015年高考真题解答题专项训练：立体几何（文科）学生版1．（2015.浙江）如图，在三棱锥中，，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线和平面所成的角的正弦值.2．（2015.新课标1卷）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，平面，（I）证明：平面平面；（II）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.3．（2015.湖南）如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。

（１）证明：平面平面；（２）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ．（Ⅰ）证明： DE ⊥平面PBC ． 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 5．（（2015.广东）如图，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．（1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．6．（2015.安徽）如图，三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC ，1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=．（Ⅰ）求三棱锥P-ABC 的体积；PM7．（2015.新课标2卷）如图，长方体1111ABCD A B C D -中， 116,10,8AB BC AA ===，点,E F 分别在1111,A B D C 上， 114A E D F ==，过点,E F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）． （2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．8．（2015.福建）如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．9．（2015.重庆）如图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ， ∠ABC=2π，点D 、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF//BC ． (Ⅰ)证明：AB ⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.10．（2015.天津）如图,已知平面ABC,AB=AC=3,,,点E,F分别是BC,的中点.（Ⅰ）求证:EF∥平面;（Ⅱ）求证:平面平面.（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小.11．（2015.四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.（Ⅲ）证明：直线DF平面BEG12．（2015.陕西）如图1，在直角梯形ABCD 中，，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1AOC ； （Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为求a 的值. 13．（2015.山东）如图，三棱台DEF ABC -中， 2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点.（Ⅰ）求证： //BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .14．（2015.北京）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， 且 ， ， 分别为 ， 的中点．(1)求证： 平面 ；(2)求证：平面平面；(3)求三棱锥的体积．参考答案1．（1）见解析；（2）【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷带解析）【解析】（1）利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直；（2）通过添加辅助线，证明平面，以此找到直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中通过确定边长，计算的正弦值.试题解析：（1）设为中点，由题意得平面，所以.因为，所以.所以平面.由，分别为的中点，得且，从而且，所以是平行四边形，所以.因为平面，所以平面.（2）作，垂足为，连结.因为平面，所以.因为，所以平面.所以平面.所以为直线与平面所成角的平面角.由，得.由平面，得.由，得.所以考点：1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.视频2．（1）见解析（2）3+2【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知AC BD，由BE平面ABCD知AC BE，由线面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（Ⅱ）设AB=，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在AEC中，用x表示EG，在EBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥的体积为求出x，即可求出三棱锥的侧面积.试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以AC BD，因为BE平面ABCD，所以AC BE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（Ⅱ）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.因为AE EC，所以在AEC中，可得EG=.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力视频3．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷带解析）【解析】试题分析：（１）由面面垂直的判定定理很容易得结论；（２）所求三棱锥底面积容易求得，是本题转化为求三棱锥的高，利用直线与平面所成的角为，作出线面角，进而可求得的值，则可得的长．试题解析：（1）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边的中点，所以又 ，因此 平面 而 平面 ，所以平面 平面 （2）设 的中点为 ，连结 ,因为 是正三角形，所以又三棱柱 是直三棱柱，所以因此 平面 ，于是 为直线 与平面 所成的角， 由题设， ，所以在 中， ，所以故三棱锥 的体积考点：直线与平面垂直的判定定理；直线与平面所成的角；几何体的体积．视频4．（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥． 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ． DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥． 而PC BC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ．四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.V V = 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷带解析）【解析】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥． 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D ⋂=，所以BC ⊥平面PCD ． DE ⊂平面PC D ，所以BC DE⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥． 而PC BC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ． 由BC ⊥平面PCD ， DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知， PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D B C E -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅．在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以2DE CE ==，于是12123 4.16BC CD PDV CD PD V CE DE BC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题．视频5．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3 【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷带解析） 【解析】试题分析：（1）由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ，进而可证C//B 平面D P A ；（2）先证C CD B ⊥，再证C B ⊥平面DC P ，进而可证C D B ⊥P ；（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，先证P E ⊥平面CD AB ，再设点C 到平面D P A 的距离为h ，利用C D C DV V -P A P-A=三棱锥三棱锥可得h 的值，进而可得点C 到平面D P A 的距离．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在R t D ∆P E 中，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以，即，所以点C 到平面D P A 的距离是考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离. 6．（Ⅰ）6；（Ⅱ）13【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析） 【解析】（Ⅰ）解：由题设＝1,可得.由面可知是三棱锥的高,又所以三棱锥的体积 （Ⅱ）证：在平面内，过点B 作，垂足为，过作交于，连接.由面知，所以.由于，故面，又面，所以.在直角中，，从而.由，得.考点：本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.视频7．（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）97或79【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）分别在,AB CD 上取H,G,使10AH DG ==；长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为97或79试题解析：解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作垂足为M,则18EM AA ==,,,因为EHGF 是正方形,所以,于是因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为97（79也正确）. 考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.视频8．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷带解析） 【解析】解法一：（Ⅰ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ， D 为C A 的中点， 所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ． 因为D O⋂PO =O ，所以C A ⊥平面D P O ． （Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时， C 到AB 的距离最大，且最大值为1． 又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=．（Ⅲ）在∆POB 中， 1PO =OB =， 90∠POB =，所以PB ==同理C P =C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ， E ， C'共线时， C E +OE 取得最小值． 又因为OP =OB ， C'C'P =B ，所以C'O 垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而C'C'222O =OE +E =+=，亦即C E +OE 的最小值为2．解法二：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）在∆POB 中， 1PO =OB =， 90∠POB =，所以45∠OPB =， PB ==C P =所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ， E ， C'共线时， C E +OE 取得最小值． 所以在C'∆O P 中，由余弦定理得：()2C'1221cos 4560O =+-⨯+1122222=+--⨯⎭2=+从而C'2O ==．所以C E +OE 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．视频9．(1)见解析(2) BC=3或【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（重庆卷带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）先由已知易得PE AC ⊥，再注意平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABC ，再由线面垂直的性质可得到AB PE ⊥，再注意到//EF BC ，而B C A B ⊥，从而有AB EF ⊥，那么由线面垂的判定定理可得AB ⊥平面PFE ，（Ⅱ）设B C =x 则可用x 将四棱锥P DFBC -的体积表示出来，由已知其体积等于7，从而得到关于x 的一个一元方程，解此方程，再注意到0x >即可得到BC 的长．试题解析：证明：如题（20）图.由,DE EC PD PC ==知， E 为等腰PDC ∆中DC 边的中点，故PE AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =， PE ⊂平面PAC ，PE AC ⊥，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE AB ⊥. 因ABC=,,AB EF 2EF BC π∠⊥故.从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ， EF 都垂直， 所以AB ⊥平面PFE .（2）解：设BC=x ,则在直角ABC ∆中，从而11S AB BC=22ABC ∆=⨯由EFBC ，知23AF AE AB AC ==，得AEF ABC ∆~∆,故224S 39AEF ABC S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，即4S 9AEF ABC S ∆∆=. 由1AD=2AE,11421S S =S S 22999AFB AFE ABC ABC ∆∆∆∆=⋅==从而四边形DFBC的面积为DFBC 11S S -=29ABC ADF S ∆∆=718=由（1）知，PE PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角PEC ∆中， =,体积DFBC 117S 73318P DFBC V PE -=⋅⋅=⋅=, 故得42362430x x -+=，解得，由于0x >，可得333x x ==或.所以3BC =或BC =考点：1. 空间线面垂直关系，2. 锥体的体积，3.方程思想.视频10．（Ⅰ）见试题解析;（Ⅱ）见试题解析;（Ⅲ） .【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷带解析）【解析】（Ⅰ）要证明EF ∥平面 , 只需证明 且EF 平面 ;（Ⅱ）要证明平面 平面 ,可证明 , ;（Ⅲ）取 中点N,连接 ,则 就是直线 与平面 所成角,Rt △ 中,由得直线 与平面所成角为 .试题解析:（Ⅰ）证明:如图,连接 ,在△ 中,因为E 和F 分别是BC, 的中点,所以 ,又因为EF 平面 , 所以EF ∥平面 .（Ⅱ）因为AB=AC,E 为BC 中点,所以 ,因为 平面ABC,所以 平面ABC,从而 ,又 ,所以 平面 ,又因为 平面 ,所以平面 平面 .（Ⅲ）取中点M和中点N,连接,因为N和E分别为,BC中点,所以,,故,,所以,,又因为平面,所以平面,从而就是直线与平面所成角,在△中,可得AE=2,所以=2,因为,所以又由,有,在Rt△中,可得,在Rt△中,因此,所以,直线与平面所成角为.考点：本题主要考查空间中线面位置关系的证明,直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力及推理论证能力.视频11．见解析【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷带解析）【解析】（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH.证明如下因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH于是BCEH为平行四边形所以BE∥CH又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH同理BG∥平面ACH又BE∩BG＝B所以平面BEG∥平面ACH（Ⅲ）连接FH因为ABCD －EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH 因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG又EG ⊥FH ，EG ∩FH ＝O ，所以EG ⊥平面BFHD 又DF ⊂平面BFDH ，所以DF ⊥EG 同理DF ⊥BG 又EG ∩BG ＝G 所以DF ⊥平面BEG.考点：本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力.12．（Ⅰ） 证明见解析，详见解析；（Ⅱ） 6a =.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（陕西卷带解析） 【解析】试题分析：（Ⅰ） 在图1中，，E 是AD 的中点，所以四边形ABCE 是正方形，故BE AC ⊥，又在图2中，1,BE AO BE OC ⊥⊥，从而BE ⊥平面1AOC ，又//DE BC 且DE BC =，所以//CD BE ，即可证得CD ⊥平面1AOC ； （Ⅱ）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE平面BCDE BE = ，又由（Ⅰ）知，1A O BE ⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ，即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，易求得平行四边形BCDE 面积2S B CA B a =⋅=，从而四棱锥1A BCDE -的为，得6a =.试题解析：（Ⅰ）在图1，E 是AD 的中点所以BE AC ⊥，即在图2中，1,BE AO BE OC ⊥⊥ 从而BE ⊥平面1AOC 又//CD BE所以CD ⊥平面1AOC .（Ⅱ）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ， 且平面1A BE平面BCDE BE =又由（Ⅰ）知，1AO BE ⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ， 即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，由图1，平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=， 从而四棱锥1A BCDE -的为，得6a =. 考点：1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空间几何体的体积. 13．证明见解析【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷带解析）【解析】（Ⅰ）证法一：连接,.DG CD 设CD GF M ⋂=,连接MH ，在三棱台DEF ABC -中， 2AB DE G =，分别为AC 的中点，可得//,DF GC DF GC =，所以四边形DFCG 是平行四边形，则M 为CD 的中点，又H 是BC 的中点，所以//HM BD , 又HM ⊂平面FGH ， BD ⊄平面FGH ，所以//BD 平面FGH .证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点，可得//,,BH EF BH EF =所以HBEF 为平行四边形，可得//.BE HF 在ABC ∆中， G H ，分别为AC BC ，的中点， 所以//,GH AB 又GH HF H ⋂=， 所以平面//FGH 平面ABED ， 因为BD ⊂平面ABED ， 所以//BD 平面FGH .（Ⅱ）证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 由,AB BC ⊥得GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四边形，所以//.CF HE 又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.又,HE GH ⊂平面EGH ， HE GH H ⋂=，所以BC ⊥平面EGH ， 又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面.EGH 考点：1.平行关系；2.垂直关系.视频14．（1）见解析；（2）见解析；（3）.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷带解析）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线得出OM ∥VB ，利用线面平行的判定定理证明VB ∥平面MOC ；（Ⅱ）证明OC ⊥平面VAB ，即可证明平面MOC ⊥平面VAB ；（Ⅲ）利用等体积法求三棱锥A-MOC 的体积即可试题解析：（Ⅰ）证明：∵O ，M 分别为AB ，VA 的中点，∴OM∥VB，∵VB平面MOC，OM平面MOC，∴VB∥平面MOC；（Ⅱ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，又∵平面VAB⊥平面ABC，平面 ∩平面VAB=AB，且OC平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（Ⅲ）在等腰直角三角形中，，所以.所以等边三角形的面积.又因为平面，所以三棱锥的体积等于.又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积为.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；用向量证明平行视频答案第15页，总15页。

【考点1】空间角，距离的求法 【备考知识梳理】 1．空间的角(1)异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦. (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0︒的角．直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)二面角的平面角：如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的范围是[]0,π.(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 3.空间距离:（1）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．（2）点到平面的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离. 【规律方法技巧】1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角. （1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ. （2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π.求线面角方法:①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. ②利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h =θsin 进行求解.③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围[]0,π，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；DBA Cα②射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 【考点针对训练】1. .【2016高考浙江文数】如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.2. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研】如图，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 是PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，AB 是圆O 的直径，且22AB AC ==．（1）求证：//QG 平面PBC ； （2）求G 到平面PAC 的距离． 【考点2】立体几何综合问题 【备考知识梳理】空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有： 以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明. 探索性问题中的平行与垂直问题. 折叠问题中的平行与垂直问题. 【考点针对训练】1. 【2016届宁夏高三三轮冲刺】如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥．设,D E 分别为,PA AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）求证：BC ⊥平面PAB ；（3）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，,E F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．2. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 的中点，将,AED DCF ∆∆分别沿DE 、DF 折起， 使,A C 两点重合于P .(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面BFDE ； (Ⅱ)求四棱锥P BFDE -的体积. 【应试技巧点拨】 1．如何求线面角（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. （2）利用三棱锥的等体积，省去垂足在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h ！利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h=θsin 进行求解.（3）妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴. 2.如何求二面角（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角；（2）射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 3.探索性问题探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.4．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．5．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．6．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面,则m ,n 所成角的正弦值为（ ）（A ）2 （B ）2 （C ）3（D ）132. 【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ，直线AC 与D 'B 所成角的余弦的最大值是______．3. 【2016高考北京文数】如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥（I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.4. 【2016高考天津文数】如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.(Ⅰ)求证：//FG 平面BED ；(Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ；(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.5. 【2016高考新课标1文数】如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE6. 【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支7.【2015高考福建，文20】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．8.【2015高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明：直线DF ⊥平面BEGAB FHED C G CD EAB9.【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC=2π，点D 、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF//BC. (Ⅰ)证明：AB ⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.题（20）图AC10. 【2014高考重庆文第20题】如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12BM=. （Ⅰ）证明：BC⊥平面POM ；（Ⅱ）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.11. 【2014高考全国1文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.12.【2014高考江西文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值.【一年原创真预测】1.已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD ∆为等边三角形，22AD DE AB ===，F 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：平面平面BCE DCE ⊥； （Ⅱ）求B CDE 点到平面的距离.2．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是等腰直角三角形，且AB CB ==，且AA 1=3，D 为11AC 的中点，F 在线段1AA 上,设11A F tAA =（102t <<），设11=B C BC M ．MFDC 1B 1A 1CBA（Ⅰ）当取何值时，CF ⊥平面1B DF ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求四面体1F B DM -的体积．3.如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ，PA PB AB BC 6====，点M ，N 分别为PB,BC 的中点．（I ）求证：AM ⊥平面PBC ； （Ⅱ）E 是线段AC 上的点，且AM 平面PNE .①确定点E 的位置；②求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值．4.如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC=60°，点F 在斜边AB 上，且AB=4AF ，D ，E 是平面ABC 同一侧的两点，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AD=3，AC=BE=4.(Ⅰ)求证：CD ⊥EF ；(Ⅱ)若点M 是线段BC 的中点，求点M 到平面EFC 的距离.5. 如图所示，在边长为12的正方形11ADD A 中，点,B C 在线段AD 上，且3,4AB BC ==,作11//BB AA ，分别交111,A D AD 于点1B ，P .作11//CC AA ，分别交111,A D AD 于点1C ，Q .将该正方形沿11,BB CC 折叠，使得1DD 与1AA 重合，构成如图的三棱柱111ABC A B C -.（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ； （2）求四棱锥A BCQP -的体积.【考点1针对训练】 1.2.【考点2针对训练】 1.又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//EF PBC ．又因为DE EF E =，所以平面//DEF 平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．2.【三年高考】 1. 【答案】A//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60 ,故,m n所成角的正弦值为2,故选A. 2.3. 【解析】（I ）因为C P ⊥平面CD AB ，所以C DC P ⊥．又因为DC C ⊥A ，所以DC ⊥平面C PA ． （II ）因为//DC AB ，DC C ⊥A ，所以C AB ⊥A ．因为C P ⊥平面CD AB ，所以C P ⊥AB ．所以AB ⊥平面C PA ．所以平面PAB ⊥平面C PA ．（III ）棱PB 上存在点，使得//PA 平面C F E ．证明如下：取PB 中点，连结F E ，C E ，CF ．又因为E 为AB 的中点，所以F//E PA ．又因为PA ⊄平面CF E ，所以//PA 平面C F E ．4.5.6. 【答案】C【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.7.解法二：（I）、（II）同解法一．8.【解析】(Ⅰ)点F ，G ，H 的位置如图所示9.【解析】如题(20)图.由,DE EC PD PC ==知，E 为等腰PDC D 中DC 边的中点，故PE AC ^，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PE Ì平面PAC ，PE AC ^，所以PE ^平面ABC ，从而PE AB ^.因ABC=,,AB EF 2EF BC p衈故. 从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ^平面PFE .(2)解：设BC=x ,则在直角ABC D中，从而11S AB BC=22ABC D =?由EFBC ，知23AF AE AB AC ==，得AEF ABC DD ,故224()S 39AEF ABC S D D ==，即4S 9AEF ABC S D D =.FCDEAB GHO由1AD=2AE ,11421S S =S S 22999AFB AFE ABC ABC D D D D =?=从而四边形DFBC 的面积为DFBC11S S -=29ABC ADF S D D =718=(1)知，PE PE ^平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角PEC D 中，=体积DFBC 117S 73318P DFBC V PE -=鬃=?,故得42362430x x -+=，解得2297x x ==或，由于0x >，可得3x x ==或.所以3BC =或BC =10.11.12.【解析】（1）证明：由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1,BCA 即11BB AC ⊥,又11//BB CC ，所以11.AC CC ⊥（2）设1,AA x =在11Rt A BB ∆中1BA同理1AC 在1A BC ∆中,2222111111cos 2A B AC BC BAC BAC A B AC +-∠==∠=⋅11111sin 2A BCS A B A C BA C ∆=⋅∠=从而三棱柱111ABC A B C -的体积为11133A BC V BB S ∆=⨯⨯=因=故当x =时，即1AA =时，体积V取到最大值【一年原创真预测】1.【解析】（Ⅰ）DE ⊥平面ACD ，F A ⊂平面CD A ∴DE AF ⊥，又等边三角形ACD 中AF CD ⊥, D CD D E =，D E ⊂平面CD E ，CD ⊂平面CD E ，∴平面AF ECD ⊥，取CE 的中点M ，连接BM,MF ，则MF 为△CDE 的中位线，故1////,2MF DE AB MF DE AB ==,所以四边形ABMF 为平行四边形，即MB//AF,MB⊂平面C B E ，F A ⊄平面C B E ，//BCE 平面AF ∴，平面平面BCE DCE ∴⊥.（Ⅱ）因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB //DE ，故AB //平面DCE ，B CDE 点到平面的距离h 等于A CDE 点到平面的距离d ，由体积相等A DCE E ACD V V --=得,1133DCE ADC S d S DE ∆∆⋅=⨯,011112222sin 6023232d ⋅⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，解得h d ==.2．（Ⅱ）由已知得111111==22F B DM M B DF C B DF B CDF V V V V ----=，因为FD FC 1=22CDF S DF FC ⋅=△，由（Ⅰ）得1B D ⊥平面DFC ，故112=21=33B CDF V -⨯⨯，故1F B DM -的体积为13．3.②作EH AB ⊥于H ，则EH //BC ，∴EH ⊥平面PAB ，∴EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成的角.∵1AH AB 23==，π6=3PA PAH =∠， ∴PH ==1EH BC 23==，∴EH tan EPH PH 7∠==，即直线PE 与平面PAB 所成角的正切值为7.4.5.。

高二文科数学立体几何测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则下列图形:①长方形;②正方形;③圆;④椭圆.不可能是其俯视图的有( )(A)①②(B)②③ (C)③④(D)①④2.如图所示为正方体木块堆成的几何体的三视图,则组成此几何体的正方体木块共有( )(A)3块(B)4块(C)5块(D)6块3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( )4．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A．8－2π3B．8－π3C．8－2π D.2π35. 如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,F为线段BC1的中点,E为直线A1C1上的动点,则下列结论中正确的为( )(A)存在点E使EF∥BD1 (B)不存在点E使EF⊥平面AB1C1D(C)三棱锥B 1ACE的体积为定值 (D)EF与AD1不可能垂直6.已知m、n为直线，α、β为平面，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αm⊥n⇒n∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫m⊥βn⊥β⇒m∥n；③⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αm⊥β⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m⊂αn⊂βα∥β⇒m∥n.其中正确命题的序号是()A．③④B．②③C．①②D．①②③④7. 如图所示,正方体ABCD A1B1C1D1中,P为线段BC1上的动点,则下列判断错误的是( )(A)DB1⊥平面ACD1 (B)BC1∥平面ACD1(C)BC1⊥DB1 (D)三棱锥P ACD1的体积与P点位置有关8.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出 AB∥平面MNP的图形的序号是( )(A)①③(B)②③(C)①④ (D)②④9. 四棱锥P ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三视图如图所示,则四棱锥P ABCD的表面积为( )(A)(2+1)a2 (B)2a2(C)(1+)a2 (D)(2+)a210.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则此几何体的体积为( )(A)18 cm3 (B)15 cm3(C)12 cm3 (D)9 cm311.三棱锥P ABC的高为PH,若三个侧面两两垂直,则H为△ABC的( )(A)内心 (B)外心 (C)垂心(D)重心12.在二面角αlβ的两个面α、β内,分别有直线a、b,它们与棱l都不垂直,则( )(A)当该二面角是直二面角时,可能a∥b,也可能a⊥b(B)当该二面角是直二面角时,可能a∥b,但不可能a⊥b(C)当该二面角不是直二面角时,可能a∥b,但不可能a⊥b(D)当该二面角不是直二面角时,不可能a∥b,也不可能a⊥b二、填空题(每小题4分,共16分)13.如图所示,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为.14.如图所示,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E、F分别是点A其中正确结论的序号是.15．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件__________时，有MN∥平面B1BDD1.16.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是__________．(写出所有正确结论的编号)三、解答题(共70分)17.(本小题满分10分)如图所示,梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直,其中AB∥DC,AD=CD=AB,且O为AB的中点.(1)求证:BC∥平面POD;(2)求证:AC⊥PD.18.(本小题满分12分)如图所示,三棱锥P ABC中,PB⊥面ABC, BCA=90°,PB=BC=CA=4,E 为PC的中点,M为AB的中点,点F在PA上,且AF=2FP.(1)求证:BE⊥平面PAC;(2)求证:CM∥平面BEF;(3)求三棱锥F ABE的体积.20.(本小题满分12分)一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M、N分别是AB、AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN⊥AC;(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.21.(本小题满分12分)如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,CD=2AB=2AD.(1)求证:BC⊥BE;(2)在EC上找一点M,使得BM∥平面ADEF,请确定M点的位置,并给出证明.22.(本小题满分14分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面ACFE ⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=a,点M在线段EF上.(1)求证:BC⊥平面ACFE;(2)当EM为何值时,AM∥平面BDF?证明你的结论.。

高二文科数学立体几何复习题立体几何练习题1、一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（）A. 4723B.C.6D.763正（主）视图侧（左）视图2、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.3、某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．84B．82C．8D．824、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是A、3B、2C、1俯视图侧视图5、如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（A）175101（B）（C）(D)2792736、某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的的体积是（）33A．72cmB．90cm33C．108cmD．138cm侧视7、正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥3AB1DC1的体积为（A）3（B）（C）1（D）28、将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（）A.4B.3C.2D.图图图图A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（）2781B．16C．9D．4411、一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六A．棱锥的侧面积为12、底面边长为2的正三棱锥PABC,其表面展开图是三角形V.PP12P3，如图，求△PP12P3的各边长及此三棱锥的体积13.已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）1C．D314.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4，满足l1l2,l2//l3,l3l4，则下列结论一A．6B定正确的是（A.l1l4）B.l1//l4D.l1与l4的位置关系不确定C.l1与l4既不垂直也不平行15、.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若m//,n//,则m//nB．若m，n，则mn若m，mn，则n//D．若m//，mn，则nC．16、设m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面（）A．若mn，n//，则mB．若m//，则mm,n,n则mD．若mn，n，，则mC.若17、设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，mA．若l，则B．若，则lmC．若l//，则//D．若//，则l//m18.（本题满分13分）如图，四棱锥PABCD的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC//平面GEFH.（1）证明：GH//EF;（2）若EB2，求四边形GEFH的面积.19.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1EF侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，、分BC的中点.别为AC11、（1）求证：平面ABE平面B1BCC1；AC（2）求证：C1F//平面ABE；（3）求三棱锥EABC的体积.20.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC,A1BBB1.（1）求证：A1C1CC1；（2）若AB2,AC3,BC7，问AA1为何值时，三棱柱ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值。

正视图侧视图俯视图2015届高考文科数学立体几何基础练习（四）一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点[来 2．下列判断错误的是（ ）A ．平行于同一条直线的两条直线互相平行B ．平行于同一平面的两个平面互相平行C ．经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行D ．垂直于同一平面的两个平面互相平行3．设,,,A B C D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面 B ．若AC 与BD是异面直线，则AD与BC 是异面直线 C ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC = D ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC ⊥ 4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图（1）示，则该几何体的正视图为（ ）5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．π312B ．π12C ．π34D ．π36．已知n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同 的平面,给出下列命题：①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ；②若α⊥m ,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥； ③若β⊥m ,α//m ,则β⊥α；④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//． 其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③7．如图是水平放置的ABC ∆的直观图，''//'A B y 轴，''''A B A C =，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形8．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积等于（ ） A.30 B.12 C.24 D.4第7小题图 第8小题图 第9小题图 9．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A ．112 B ．5 C ．92D ．4 10．如图，某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D第10小题图 第11小题图 第12小题图 二、填空题11．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如图所示， 则该几何体的侧面积为 cm12．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的 三视图如图所示，则该几何体的表面积为___．13．某四棱台的三视图如右图所示，则该四棱台的体积为_________.14．已知l n m ,,是直线，βα、是平面，下列命题中，正确的命题 是 .（填序号）①若l 垂直于α内两条直线，则α⊥l； ②若l 平行于α，则α内可有无数条直线与l 平行；③若m ⊥n ，n ⊥l 则m ∥l ； ④若βαβα//,,且⊂⊂l m ，则l m //；E DCB A S 三、解答题15．如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（1）PA //平面BDE ；（2）平面PAC ⊥平面BDE ．16．如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3BAD π∠=．（1）求证：平//CF AED 面B 面；（2））若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积．DCBAFE17．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点，点V 是圆O 所在平面外一点，D 是AC 的中点，已知2AB =，2VA VB VC ===． （1）求证：AC ⊥平面VOD ； （2）求三棱锥C ABV -的体积.18．如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，⊥SA 底面ABCD ，E 是SC 上一点（1）求证：平面⊥EBD 平面SAC ； （2）设4=SA ，2=AB ，求点A 到平面SBD 的距离.19．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，1DE CBB ⊥面．(1)证明：//DE ABC 面； (2)证明：AC A C B A 111面面⊥；(3)求四棱锥11A ABB C -与圆柱1OO 的体积比.20．如图，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B ．（1）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （2）求棱锥E-DFC 的体积；（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP⊥DE ？如果存在，求出BCBP的值；如果不存在，请说明理由.2015届高考文科数学立体几何基础练习（四）参考答案1．】C 【解析】不共线的三点确定一个平面，故A 错；空间四边形不是平面图形，故B 错；平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点，则平面α和平面β重合，故D 错 考点：平面及其定理2．D 【解析】选项A 为平行公理，正确；选项B 也是判断两个平面平行的方法之一，正确；选项C 中，过两条异面直线其中一条上任意一点，作另一条线的平行线，与前一条直线所形成的相交直线确定的平面，就是满足条件的唯一平面，正确；选项D 中，一个正方体过同一顶点的三个面，其中任意两个都同时垂直于第三个平面，但它们的位置关系是垂直，错误.考点：直线与平面的位置关系3.C 【解析】据共面定义知A 正确；对B,若AD 与BC 不是异面直线,则AD 与BC 共面,从而AC 与BD 共面,这与已知条件AC 与BD是异面直线矛盾；对于C,如图所示,虽然AB=AC,DB=DC,但BC 与AD 的长无关系；D 正确，容易证明AOD BC 面⊥，故AD BC ⊥考点：直线与直线、直线与平面的位置关系4．D 【解析】长方体的相邻的两个侧面相互垂直，所以正视图是选项D ．考点：三视图．5．D 【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D.考点：由三视图求外接球的表面积.6．C.【解析】当//m αβα⊥，时，有//m m m βββ⊥⊆，，等多种可能情况，所以①不正确；当//////m n m n αβ，，且时，//αβ或αβ，相交，所以④不正确，故选C. 考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定. 7．C 【解析】先根据斜二测画法结合A′B′||y′轴，画出原图△ABC，再根据原图进行判断即可．由题意，直观图中A′B′||y′轴，由斜二测画法得：原图△ABC 中：AB||y 轴，AC 在x 轴上，如图．则△ABC 是直角三角形，考点：平面图形的直观图．8．C 【解析】由三视图可知，空间几体体的直观图如下图所示：所求几何体的体积11111111134534330624232ABC A B C D A B C V V V --=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=三棱柱三棱锥 故选C.考点：1、三视图；2、空间几何体的体积.9．D ．【解析】由题意可知，该几何体为一直六棱柱，∴底面六边形的面积可以看成一个矩形与两个等腰直角三角形的面积和，即11221242S =⨯+⨯⨯⨯=，∴4V Sh ==．考点：空间几何体的体积． 10．C 【解析】由三视图知：四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且高为1，如图：考点：三视图 11．【解析】三视图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5cm ，底面边长是8cm ， 侧面积为 ×4×8×5=80（cm 2）；故答案为：80．考点：由三视图求面积、体积． 12．16π【解析】该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×(4π×22)＋2×222π⨯＝16π. 13．143【解析】由三视图知，几何体为四棱台，上底和下底分别是边长为1和2的正方形，高为2，体积可由两个三棱锥的体积差求得，2211142412333V =⨯⨯-⨯⨯=.考点： 三视图、棱台体积.14．②【解析】①若l 垂直于α内两条相交直线，则l ⊥α；若l 垂直于α内两条平行直线，则l 不垂直于α．故①不成立．②若l 平行于α，则l 平行于α内所有直线，故②成立；③若m ⊥n ，n ⊥l ，则m 与l 平行、相交或异面，故③不成立；④若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m 与l 平行、相交或异面，故④不成立． 故答案为：②． 15．【解析】（1）连结OE Q O 是正方形的中心O AC \是的中点 又Q E 是PC 的中点 \OE 是PCA V 的中位线 \ OE||PA 又Q OE Ì 平面BDE,PA Ë 平面BDE \PA||平面BDE;（2）Q PO ⊥底面ABCD ，BD Ì平面ABCD \PO ⊥BD 又Q BD ⊥AC AC PO O ?\BD ⊥平面PAC 又Q BD Ì 平面BDE \平面PAC ⊥平面BDE ．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．16．解析：证明：（1）由ABCD 是菱形//BC AD ∴,BC ADE AD ADE ⊄⊂面面//BC ADE ∴面 3分由BDEF 是矩形//BFDE ∴,BF ADE DE ADE ⊄⊂面面//BF ADE ∴面,,BC BCF BF BCF BCBF B ⊂⊂=面面//BCF ADE ∴面面 6分（2）连接AC ，AC BD O ⋂=由ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥ 由ED ⊥面ABCD ,AC ABCD ⊂面ED AC ∴⊥,,ED BD BDEF EDBD D ⊂=面AO BDEF ∴⊥面， 10分则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由ABCD 是菱形，3BAD π∠=，则A BD ∆为等边三角形，由BF BD a ==；则,AD a AO ==2BDEF S a =，2313A BDEF V a -=⋅= 14分 考点：1.空间垂直关系；2.几何体的体积.17．（1）∵VA=VB ，O 为AB 中点，∴VO AB ⊥．连接OC ，在VOA ∆和VOC ∆中，,,OA OC VO VO VA VC ===, ∴VOA ∆≌∆VOC ，∴VOA ∠=∠VOC=90︒， ∴VO OC ⊥∵AB OC O =, AB ⊂平面ABC, OC ⊂平面ABC, ∴VO ⊥平面ABC ．∵AC ⊂平面ABC ，∴AC VO ⊥．又∵VA VC =，D 是AC 的中点，∴AC VD ⊥．∵VO ⊂平面VOD ，VD ⊂平面VOD ，VO VD V =，∴ AC ⊥平面DOV ．（2）由（2）知VO 是棱锥V ABC -的高，且VO =．又∵点C 是弧的中点，∴CO AB ⊥，且1,2CO AB ==， ∴三角形ABC 的面积1121122ABC SAB CO ∆=⋅=⨯⨯=， ∴棱锥V ABC -的体积为11133V ABC ABC V S VO -∆=⋅=⨯=故棱锥C ABV -的体积为3．18．解析：证明（1）∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∵SA ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，∴SA ⊥BD ， ∵SA ∩AC=A ，∴BD ⊥面SAC，又∵BD ⊥平面SAC ，∴平面EBD⊥平面SAC ；（2）解：设BD 与AC 交于点O ，连结SO ，过点A 作AF ⊥SO 于点F,∵BD ⊥平面SAC ，BD ⊂面SBD,∴平面SBD ⊥平面SAC,∵平面SBD ∩平面SAC=SO,∴AF ⊥平面SBD,即点A 到平面SBD 的距离d =AF.在直角三角形SAO 中，由等面积法得SA AO d SO ⨯=⨯,即:43d ==. 考点：1.平面与平面之间的位置关系；2.面面垂直的性质定理；3.点到平面的距离19．解析：（1）证明：连结EO ，OA .O E , 分别为BC C B ,1的中点，∴1//BB EO . 又1//BB DA ，且121BB EO DA ==.∴四边形AOED 是平行四边形， 即ABC DE OA DE 面⊄,//. ∴ABC DE 面//. 4分(2) 证明：1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线，所以11//B A AB 且O AA 圆⊥1，即AB AA ⊥1，又BC 是底面圆O 的直径，所以AC AB ⊥，A AA AC =1 ，所以AC A AB 1面⊥由11//B A AB ，所以AC A B A 111面⊥，C B A B A 1111面⊂，所以AC A C B A 111面面⊥ 9分（3）解：由题1CBB DE 面⊥，且由（1）知OA DE //.∴1CBB AO 面⊥，∴ BC AO ⊥，∴AB AC =. 因BC 是底面圆O 的直径，得AB CA ⊥，且CA AA ⊥1，∴B B AA CA 11面⊥，即CA 为四棱锥的高．设圆柱高为h ，底半径为r ， 则h r V 2π=柱，232)2()2(31hr r r h V =⋅=锥∴锥V ：=柱V π32. 14分 考点：1、线面平行的证明，2、面面垂直的证明，3、柱体和锥体的体积计算.20．解析：（1）//AB 平面DEF ，理由如下：如图：在ABC ∆中，由E F 、分别是AC 、BC 中点，得//EF AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ．∴//AB 平面DEF ．（2）∵AD CD ⊥，BD CD ⊥，将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DC B --． ∴AD BD ⊥ ∴AD ⊥平面BCD取CD 的中点M ，这时//EM AD ∴EM ⊥平面BCD ，1EM =，33)41(31DFC -E =⨯⨯=∆EM S V ABC（3）在线段BC 上存在点P ，使AP DE ⊥证明如下：在线段BC 上取点P ．使/3BP BC =， 过P 作PQ CD ⊥于Q ， ∵AD ⊥平面BCD ∴PQ ⊥平面ACD∴/33DQ DC ==，∴tan /3)/23DAQ DQ AD ∠==， ∴030DAQ ∠= 在等边ADE ∆中，030DAQ ∠= ∴AQ DE ⊥ ∵PQ ⊥平面ACD ∴AP DE ⊥．AQ AP A =∴DE ⊥平面APQ ， ∴AP DE ⊥．此时/3BP BC =， ∴/1/3BP BC =．考点：1.线面平行的判定定理；2.线面垂直的判定；3.锥体体积公式.。

高二数学立体几何（详细答案）高二数学立体几何一、选择题：(本大题共12小题,每小题3分,共36分.) 1、已知),1,2,1(),1,1,0(-=-=b a 则与的夹角等于 A ．90°B ．30°C ．60°D ．150°2、设M 、O 、A 、B 、C 是空间的点，则使M 、A 、B 、C 一定共面的等式是 A ．0=+++OC OB OA OMB ．OC OB OA OM --=2C ．413121++= D ．0=++3、下列命题不正确的是A ．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；B ．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直；C ．两异面直线的公垂线有且只有一条；D ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。

4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为①//m n n m αα??⊥?⊥?②//m m n n αα⊥⊥?③//m m n n αα⊥??⊥??④//m n m n αα?⊥?⊥?A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是A ．各侧面是正三角形B ．底面是正方形C ．各侧面三角形的顶角为45度D ．顶点到底面的射影在底面对角线的交点上 6、若点A （42+λ，4－μ，1+2γ）关于y 轴的对称点是B （－4λ，9，7－γ），则λ，μ，γ的值依次为A ．1，－4，9B ．2，－5，－8C ．－3，－5，8D ．2，5，8 7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是A ．2F+V=4 B ．2F －V=4 C ．2F+V=2 （D ）2F －V=2 8、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 A ．239 B ．433 C ．233 D ．439 9、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角是θ，则A ．θ=600B ．θ=450C ．52cos =θ D ．52sin =θ 10、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是A ．2∶πB ．1∶2πC ．1∶πD ．4∶3π11、设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=?AC AB ，0=?AD AC ，0=?AD AB ，则△BCD 是 A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定12、将B ∠=600,边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成二面角θ,若∈θ[60°,120°],则折后两条对角线之间的距离的最值为A ．最小值为43, 最大值为23B ．最小值为43, 最大值为43C ．最小值为41, 最大值为43D ．最小值为43, 最大值为23二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分）13、已知向量a 、满足|a | =31，|| = 6，a 与的夹角为3π，则3|a |－2（a ·）+4||=________；14、如图，在四棱锥P －ABCD 中，E 为CD 上的动点，四边形ABCD 为时，体积V P －AEB 恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．ABCDEP15、若棱锥底面面积为2150cm ，平行于底面的截面面积是254cm ，底面和这个截面的距离是12cm ，则棱锥的高为；16、一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为．三、解答题：（本大题共6题，共46分）17.在如图7-26所示的三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1，PC=BC ，PB 和平面ABC 所成的角为30°。

高二数学立体几何试题答案及解析1.一个球的Л体积为，则此球的表面积为．【答案】【解析】因为球的体积公式：,所以=所以R=1，由表面积公式S=4=2.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】略3.已知长方体中，，点在棱上移动，当时，直线与平面所成角为．【答案】【解析】为直线与平面所成角，，,,所以．【考点】线面角4.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=，则棱锥O-ABCD 的体积为_____________．【答案】【解析】矩形外接圆的直径为对角线长。

棱锥的体积为【考点】棱锥外接球问题5.某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可得其还原图是半个圆锥，由题可得其底面圆半径为1，母线长为3，所以其体积为。

故选A。

【考点】由三视图求面积、体积。

6.（本小题满分12分）已知如图，四边形是直角梯形，，，平面，，点、、分别是、、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先证明平面∥平面，由面面平行可得线面平行；（Ⅱ）建立直角坐标系，由空间微量公式计算即可.试题解析：（Ⅰ）证明：∵点、、分别是、、的中点，∴∥，∥.∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面.∵，∴平面∥平面∵平面，∴∥平面．（Ⅱ）解：根据条件，直线，，两两垂直，分别以直线，，为建立如图所示的空间直角坐标系．设，∵，∴∴.设分别是平面和平面的一个法向量，∴，∴，即，．不妨取，得．∴．∵二面角是锐角，∴二面角的余弦值是．【考点】1.线面平行、面面平行的判定与性质；2.空间向量的应用.7.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题中所给的三视图，可知该几何体为底面为边长为和的长方形，顶点在底面上的摄影是左前方的顶点，所以有，解得，故选B．【考点】根据所给的几何体的三视图，还原几何体，求其体积及其他量．8.如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；【解析】（Ⅰ）本题考查线面垂直的判定定理．可由勾股定理证明；另外平面即可；（Ⅱ）过程为作---证---算．根据二面角的定义找到角，注意不要忽略了证明的过程．试题解析：（Ⅰ）证明：由条件知平面，令，经计算得，即，又因为平面；（Ⅱ）过作，连结由已知得平面就是二面角的平面角经计算得，【考点】1．线面垂直的判定定理；2．二面角；9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设该棱柱各棱长为a,底面中心为O，则A1O平面ABC．在三角形A1AO中,可得．设AB中点为D，可证，AD A1D．在直角三角形ADA1中，AA1=a,AD=,解得，．故与底面所成角的正弦值为．故选B．10.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．【答案】【解析】【考点】圆锥体积11.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF= ．则下列结论中正确的个数为①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；④的面积与的面积相等，A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确【考点】1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质12.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,则；[②若,则；③若则；④若与相交且不垂直，则与一定不垂直．其中，所有真命题的序号是．【答案】①③【解析】②中两平面平行或垂直；④中两直线可能相交，平行或异面，可能出现异面直线垂直的情况；①③由线面垂直平行的判定与性质可知结论正确【考点】空间线面垂直平行的判定与性质13.一个的长方体能装卸8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则的最小值为（）A．B．C．D．8【答案】B【解析】在的面上放4个小球，在在上面放一个大球，4个小球每个都与相邻两个相切，大球与四个小球都相切，记4个小球的球心依次为，大球球心为，则为正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，其高为，对应上面再放4个小球，因此的最小值为，故选B．【考点】长方体与球．14.如图，在四面体中，，，点分别是的中点（1）求证：平面平面；（2）当，且时，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明面面垂直应证线面垂直，首先根据图形分析需要证明面即可说明平面平面；（2）解决本题关键是找出底面上的高，由（1）很容易可以得到高为，由此可以计算三棱锥的体积．试题解析：（1）证明：∵中，分别是的中点，．，．中，，是的中点，．，面，平面平面；（2）解：，是的中点，，，，∴平面，，，，，，．【考点】空间几何体的垂直、平行、体积问题．15.如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）用几何法证明线线垂直的主要思路是证明线面垂直，则线线垂直，所以首先根据所给的条件能够确定是等腰直角三角形，是等边三角形，然后取的中点，连接，最后证明平面;（2）根据上一问的结论，根据勾股定理，证明，从而可以以为原点建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用公式求解．试题解析：（1）证明：取的中点，连接．∵，∴又四边形是菱形，且，∴是等边三角形，∴又，∴，又，∴（2）由，，易求得，，∴，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，则，，，，∴，，设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴∴【考点】1．线与线的位置关系；2．二面角．16.如图，在正三棱锥中，．分别为棱．的中点，并且，若侧棱长，则正三棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【解析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB，∵三棱锥S-ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC ∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．【考点】球的体积与表面积【方法点睛】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为，则有．17.如图，在三棱锥中，△和△都为正三角形且，，，，分别是棱，，的中点，为的中点．（1）求异面直线和所成的角的大小；（2）求证：直线平面．【答案】（1）;（2）见解析．【解析】（1）通过构造中位线，得到，即为异面直线和所成的角，由已知数据求之即可；（2）要证平面，可在平面中构造一条直线与平行即可，连接交于点，连接，证明即可．试题解析：（1）∵，分别是，的中点，∴，∴为异面直线和所成的角．在△中，可求，，，故，即异面直线和所成的角是．（2）连接交于点，连接，∵为的中点，为的中点，∴为△的重心，∴．∵为的中点，为的中点，∴，∴，∴，∵面，面，∴面．【考点】1．异面直线所成的角；2．线线、线面平行的判定与性质．18.如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段上，当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由俯视图可知为的中点，与重合，与点重合．所以此时三棱锥的正视图为三角形，其面积为．故B正确．【考点】三视图．【思路点晴】本题主要考查的是三视图，属于中档题．应先根据三棱锥的俯视图确定四点的位置，还原出三棱锥的立体图，根据其立体图可得其正视图，从而可求得正视图的面积．19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．则与底面所成的角的正切值为________．【答案】【解析】设底面边长为1，取中点，连接，，所以底面，那么为与底面所成的角，，，所以．【考点】线面角【思路点睛】主要考察了线面角的求法，属于基础题型，根据线面角的定义，线与射影所成角，所以此题的关键是求在平面内的射影，所以根据底面，取中点，得底面，再连接，为与底面所成的角，根据正切公式求解．20.在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．（1）证明：；（2）证明：平面；（3）（限理科生做，文科生不做）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．【解析】（1）证明异面直线垂直，一般的思路是证明线面垂直，线在面内，所以线线垂直的思路，所以根据条件转化为先证明平面，而要证明平面，得先证明，条件所给，易证；（2）证明线面垂直的思路是证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直，根据上一问已证明，所以只需再证明，根据条件需证明，问题会迎刃而解；（3）由题可知两两垂直，建立空间直角坐标系，设，那就可以写出各点的坐标，并分别求两个平面的法向量与，利用公式，并观察是钝二面角．试题解析：（1）证明：底面，．又面，面，．（2）证明：，是等边三角形，，又是的中点，，又由（1）可知，面（3）解：由题可知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设，则．设面的一个法向量为，即取则，即设面的一个法向量为，即取则即，由图可知二面角的余弦值为．【考点】1．线线垂直，线面垂直的证明；2．二面角；3．向量法．21.如图，已知圆柱的高为，是圆柱的三条母线，是底面圆的直径，．（1）求证：//平面；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）先利用垂直关系建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，通过证明的方向向量和平面的法向量垂直进行证明；（2）先求出两个平面的法向量，利用空间向量求出其二面角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式求解．试题解析：由是直径，可知,故由可得：,以点为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）则（1）由可得平面的一个法向量又又平面平面（2）由可得平面的一个法向量，由可得平面的一个法向量设二面角为，则所以二面角的正切值为．【考点】1．线面平行的判定；2．二面角；3．空间向量在立体中的应用．22.（2015秋•黄冈校级期末）如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P，C两点的距离相等，此平面与平面ABCD相交，两平面有一条公共直线．解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD有一个公共点D，则它们有且只有一条过该点的公共直线．取特殊点B，可排除选项B，故选A．【考点】轨迹方程．23.（2015秋•内江期末）若一个几何体的正视图是一个三角形，则该几何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱【答案】B【解析】圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形．解：圆锥的正视图有可能是三角形，圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形，棱锥的正视图有可能是三角形，三棱柱放倒时正视图是三角形，∴在圆锥、圆柱、棱锥、棱柱中，正视图是三角形，则这个几何体一定不是圆柱．故选：B．【考点】简单空间图形的三视图．24.已知两条不重合的直线和两个不重合的平面、，有下列命题：①若，，则；②若，，，则；③若是两条异面直线，，，，则；④若，，，，则．其中正确命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】①不正确，还可能；②正确，，，又，；③不正确，还可能相交；④由面面垂直的性质定理可知④正确．综上可得②④正确．故B正确．【考点】1线面位置关系；2面面位置关系．25.如图，在三棱锥P﹣ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC．（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）证明：平面PAB∥平面FGH．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥面PEC，即可证明：AB⊥PC；（Ⅱ）根据面面平行的判定定理即可证明平面PAB∥平面FGH．解：（Ⅰ）证明：连接EC，则EC⊥AB又∵PA=PB，∴AB⊥PE，∴AB⊥面PEC，∵BC⊂面PEC，∴AB⊥PC（Ⅱ）连结FH，交于EC于O，连接GO，则FH∥AB在△PEC中，GO∥PE，∵PE∩AB=E，GO∩FH=O∴平面PAB∥平面FGH【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．26.以正方体的顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨令正方体的边长为1,则由图可知.,与共线的向量的坐标为.故D正确.【考点】空间向量共线问题.27.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=" 2AD" ="2CD" =2．E是PB的中点．（I）求证；平面EAC⊥平面PBC；（II）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）．【解析】对于问题（I），可以先证明平面，再证明，然后即可证明所需结论；对于问题（II），首先建立以为坐标原点的空间坐标系，然后再求出相应点的坐标，再由题设条件求出的长以及平面的法向量，最后利用向量的夹角公式，就可以得到直线与平面所成角的正弦值．试题解析：（I），，，，，错误！未指定书签。

高二数学文科立体几何测试一、选择题（60分）1、下列说法正确的是A 、空间中三点可以确定一个平面B 、一条直线和平面内的两条直线垂直，则这条直线和平面垂直C 、已知直线a //直线b ，直线a 与平面α不平行，则b α⊂D 、直线a 和平面α相交，则α内有无数条直线和a 垂直2、若a ⊂ α，b ⊂ β，α∩β=c ，a ∩b =M ，则 （ ）A 、M ∈cB 、M ∉cC 、M ∈αD 、M ∈β3、“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的 （ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5、下列命题中正确的是 （ ） A 、如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；B 、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；C 、如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线平行；D 、如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行6、空间三条直线a 、b 、c ，有命题：（1）若a//b,b//c,则a//c; (2)若a ⊥b,c ⊥b,则a//c; (3)若a//c,c ⊥b,则b ⊥a; (4)若a 与b, a 与c 都是异面直线, 则b 与c 也是异面直线. 其中正确的命题个数是 （ ）A.1B.2C.3D.47、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、BC 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于A.45°B.60°C.90°D.01208、在空间四边形SABC 中，SA=SB=SC=AB=BC=AC如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°9、ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ ） A 、BD ∥平面CB 1D 1 B 、AC 1⊥BDC 、AC 1⊥平面CB 1D 1 D 、异面直线AD 与CB 1角为60°10、在长方体1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4 112 ）A 、030B 、045C 、060D 、090 12、空间四边形ABCD 的各边及对角线AC 、BD 长都是1，点P 在边AC 上运动、点Q 在边BD 上运动，则P 、Q 的最短距离为（ ）A 、12B 、22C 、34D 、32二、填空题（16分）13、P 表示点，a b 、表示两条直线，αβ、表示平面，有如下命题：（1）,P a P a αα∈∈⇒⊂ （2）,,b P P P b αβαβ=∈∈⇒∈（3）//,//a b a b αα⊂⇒ （4）//,a b a b αα⊥⇒⊥(5),//a b a b αα⊥⊥⇒上列命题中正确的个数为______________________14、若平面α平面a β=，,,//b c b c αβ⊂⊂，则a b c 、、的位置关系是____15、等腰Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点， EC ⊥平面ABC ，AC ＝6，EC=2，则ED ＝16、在正方体1111ABCD A BC D -中，1B D 在平面ABCD中的射影为_______AC 与平面11DD C C 所成的角为_________三、解答题，17、画出满足下(1)α∩β=l ，a列条件的图形。