一、状态-输入间的传递函数
[例] 判断下列系统的能控性，并求状态-输入间的传递函数。
[解] 因为
u x x x x x x ??????????+????????????????????---=??????????011310301100321321 []????
?
?????-=321210x x x y []
22103111012=??
??
?
?????---==rank b A Ab b rank rankQ c
所以系统是不完全能控的。 状态-输入间的传递函数
????
?
?????+++=???
?
?
?????++++++????
?
?????????
?
?????+---=--132)1(113423)1(10113103110)()
()(22231
1s s s s s s s s s s s s b A sI s U s X ＝＝ ------------------------------------------------------------------------------
由此例可以看出，系统不完全能控，在求状态-输入间的传递函数时，出现了零极点对消现象，显然此时系统的传递函数b A sI c 1
)(--中必会出现零极点对消现象。
定理 对单输入系统，b A sI 1
)(--无零极点对消是系统完全能控的充分必要条件。 注意，此定理对多输入系统仅是必要条件。
------------------------------------------------------------------------------ [例] 判断下列系统的能控性，并求状态-输入间的传递函数和系统的传递函数。
x y u x x ?
?
?
???=????
??????+??????????=100001,010010100240231 [解] 因为
301010101002001101210=??
??
?
?????=rank rankQ c
所以系统是状态完全能控的。其状态-输入间的传递函数为
???????
???----=????
?????????????
???----------=-=-040242
)4)(1(1010010)4)(1(00)1(2)1(0)1(2)
1(3)4)(1()4()1(1)()()(2
21s s s s s s s s s s s s s s B A sI s U s X
??
????----=????????????????????--------??????--=--0442)4)(1(1
010010)4)(1(00)1(2)1(0)1(2)1(3)4)(1(100001)4()1(1)(221s s s s s s s s s s s s s s B A sI C ------------------------------------------------------------------------------
从本例可以看出，系统是完全能控的，但在求状态-输入间的传递函数和系统的传递函数时发生因子对消，因此，对于多输入系统来说，上述定理不是系统完全能控的充分必要条件。
二、系统的等价变换
设系统的状态空间方程为
Du Cx y Bu Ax x
+=+=, 引入坐标变换x P x ~
=，且0det ≠P ，代入上式，得到变换后的状态空间方程为 u D x C y u B x A x ~~~,~~~~+=+=
且有如下关系成立
D D CP C B P B AP P A ====--~
,~,~,~11
(1)
结论 如果两个状态空间描述之间存在(1)式的关系，则称它们是代数等价的；变换x P x ~=称为线性非奇异等价变换，简称等价变换。
坐标变换的实质是换基底，这种变换改变了系统的数学模型的形式，而不改变系统的固有内在性质。这里所提到的内在性质至少包含以下内容：
1） 变换前后，系统的特征值不变，即)~
det()det(A sI A sI -=-
2）变换前后，系统的传递函数阵不变，即B A sI C B A sI C ~
)~(~)(11---=-
3) 变换前后，系统的能控性与能观测性不变，即
]~~~
~~[][11B A B A B rank B A AB B rank n n --=
??????
????????=?
?
??
??
???
???--11~~~~~n n A C A C C rank CA CA C rank
三、最小实现
实现问题的定义 1 定义
对于线性定常系统，给定其传递函数阵)(s G ，若可以找到),,,(D C B A ∑，使下式成立
D B A sI C s G +-=-1)()(
则称此状态空间描述),,,(D C B A ∑为给定传递函数矩阵)(s G 的一个实现。
所谓实现问题，就是由表征系统外部因果关系的传递函数阵，来确定表征系统内部结构特性的状态空间描述。由前述介绍可知，同一个系统的实现有多种形式。
2可实现的条件
对于线性定常系统，如果其传递函数阵)(s G 为m p ?维，则传递函数阵可实现的充分
必要条件是
m p s G s ?=∞
→)(lim 的常数阵
即)(s G 是真的有理分式，此常数即为系统的关联矩阵D ；若0)(lim =∞
→s G s ，则)(s G 是严
格真的有理分式。以下在研究实现问题时，均考虑)(s G 是严格真的有理分式，若不是，则应先转化为严格真的再实现。
3 最小实现
由前述介绍可知，同一个系统的实现有多种形式；且传递函数矩阵只反映能控且能观测部分，同一个)(s G 还能导出A 具有不同维数的实现，这些不同的方程表示了系统的不同物理结构。在众多实现中，维数最小的实现称为最小实现，它能以最简单的状态空间结构去获取等价的外部传递特性。
关于最小实现，有如下一些重要的结论。
结论 1 设),,(C B A ∑为严格真的传递函数矩阵)(s G 的一个实现，则其为最小实现的
充分必要条件是),,(C B A ∑为完全能控且完全能观的。
结论2 若),,(111C B A ∑与),,(222C B A ∑均为给定传递函数矩阵)(s G 的最小实现，则它们一定是代数等价的，即存在一个非奇异矩阵T 使下面式子成立。
T C C B T B T A T A 12112112,,===--
最小实现不唯一，实现的方法也很多。对单变量系统，在此举一例。
------------------------------------------------------------------------------ [例] 设系统的传递函数为
6
1162
2)(23++++=
s s s s s G
试求系统的1）能控性实现；2）能观测性实现；3）对角形实现；4）最小实现；并画出相应的方框图。
[解] 1） 能控标准型表述的描述一定能控，故其能控性实现的一种形式为
u x x ????
??????+??????????---=1006116100010 []x y 022=
能控性实现的方框图如图3-8所示。
2） 能观测标准型表述的描述一定能观测，故其能观测性实现的一种形式为
u x x ????
??????+?????????
?---=0226101101600 []x y 100=
能观测性实现的方框图如图3-9所示。
图3-8能控性实现方框图
3） 因为
3
2
2210611622)(23+-++++=++++=
s s s s s s s s G
故系统的对角形实现为
[]x
y u x x 111220321=?????
?????-+??????????---=
对角形实现的方框图如图3-10所示。
4） 由 )
3)(2)(1()
1(2611622)(2
3++++=++++=
s s s s s s s s s G 可以看出，传递函数有相消项，故所描述的系统不是既能控又能观测的，所以其实现不是最小实现，对消去公因子后
)
3)(2(2
611622)(23++=++++=
s s s s s s s G
所描述的系统是既能控又能观测的，因此对它的任意一种实现均为最小实现。下面以对角形式给出最小实现
[]x
y u x x 112221=??
????-+??????--=
图3-10 对角形实现方框图
图3-9能观测性实现方框图