第三章 状态-输入间的传递函数(补)
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双输入双输出状态空间方程转传递函数
双输入双输出状态空间方程转传递函数在控制系统工程中，状态空间方程是描述系统动态行为的一种数学模型。
它通常由一个或多个状态变量的一阶微分方程和输出公式组成。
当一个系统有两个输入和两个输出时，我们称之为双输入双输出系统。
在实际工程应用中，我们常需要将双输入双输出状态空间方程转换为传递函数形式，以便更方便地进行分析和设计。
将双输入双输出状态空间方程转换为传递函数的步骤如下：1. 确定系统的状态变量，并将它们表示为向量形式。
令x(t) = [x1(t), x2(t), …, xn(t)]T为状态向量，其中T表示向量的转置。
2. 设计系统的输入输出方程。
对于双输入双输出系统，我们有：y1(t) = c1 x(t) + d11 u1(t) + d12 u2(t)y2(t) = c2 x(t) + d21 u1(t) + d22 u2(t)其中y1(t)和y2(t)为系统的两个输出，u1(t)和u2(t)为系统的两个输入，c1、c2、d11、d22、d12、d21分别为系统的常数系数。
3. 将状态方程和输出方程合并为一个矩阵方程。
将状态方程写成向量形式得到：x˙(t) = Ax(t) + Bu(t)其中x˙(t)表示状态的一阶导数，A表示状态变量之间的关系矩阵，B表示控制输入和状态变量之间的关系矩阵，u(t) = [u1(t), u2(t)]T表示输入向量。
将输出方程中的x(t)代入状态方程中：y(t) = Cx(t) + Du(t)其中y(t) = [y1(t), y2(t)]T表示输出向量，C表示输出和状态变量之间的关系矩阵，D表示输入和输出之间的关系矩阵。
4. 将上述矩阵方程整理并求解，得到系统的传递函数形式。
将状态方程中的x(t)用Laplace变换表示，得到：(sI – A)X(s) = BU(s)其中I是单位矩阵，s是Laplace变换的复变量，X(s)和U(s)分别表示状态变量和输入变量的Laplace变换。
状态方程求传递函数
状态方程求传递函数一、前言在控制系统中，传递函数是一个非常重要的概念。
它描述了输入信号和输出信号之间的关系，可以用来分析和设计控制系统。
状态方程是另一种描述控制系统的方法，它将系统的状态表示为一组变量，并用微分方程描述它们之间的关系。
在本文中，我们将介绍如何使用状态方程求传递函数。
二、什么是传递函数传递函数是一个数学表达式，用于描述输入信号和输出信号之间的关系。
它通常表示为H(s)，其中s是复变量（Laplace变换中使用的变量）。
传递函数可以从系统的输入-输出特性中导出，因此它对于分析和设计控制系统非常有用。
三、什么是状态方程状态方程是一组微分方程，用于描述控制系统中各个部分之间的关系。
它将系统的状态表示为一组变量，并根据这些变量之间的关系来定义微分方程。
如果我们知道了初始条件和输入信号，就可以使用状态方程来预测系统在任意时间点上的行为。
四、如何从状态方程求解传递函数要从状态方程求解传递函数，需要进行以下步骤：1. 将状态方程转换为拉普拉斯域方程首先，我们需要将状态方程转换为拉普拉斯域方程。
这可以通过将每个状态变量的导数替换为s乘以该变量的拉普拉斯变换来实现。
例如，如果我们有一个状态方程x' = Ax + Bu，其中x是状态向量，u是输入向量，A和B是常数矩阵，则可以得到以下拉普拉斯域方程：sX(s) - x(0) = AX(s) + BU(s)其中x(0)是初始条件。
2. 解出传递函数H(s)接下来，我们需要解出传递函数H(s)。
这可以通过将输出变量表示为输入变量和状态变量的线性组合来实现。
例如，如果我们有一个输出变量y = Cx + Du，则可以得到以下传递函数：H(s) = Y(s)/U(s) = C(sI - A)^(-1)B + D其中I是单位矩阵。
3. 化简传递函数最后，我们需要化简传递函数。
这可以通过因式分解和合并项来实现。
例如，如果我们有一个传递函数H(s) = (s+1)/(s^2+2s+1)，则可以将其化简为H(s) = 1/(s+1)，因为分母可以因式分解为(s+1)^2。
现代控制理论第三章
方法一： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
传递函数_补偿器_解释说明以及概述
传递函数补偿器解释说明以及概述1. 引言1.1 概述本篇文章旨在介绍和解释传递函数补偿器，并对其进行概述。
传递函数补偿器是一种在控制系统中广泛应用的技术，它能够通过对传递函数进行调整来改善和优化系统的性能。
本文将深入探讨传递函数补偿器的定义、作用以及设计要点，并介绍不同类型补偿器的优缺点比较。
1.2 文章结构本文共分为5个章节，具体如下：第一章是引言部分，主要概述了文章的背景和目的。
第二章将详细介绍传递函数的定义和背景知识，并阐述其在控制系统中的作用和重要性，并给出一些实际示例和应用。
第三章将对补偿器进行概述，包括其定义、分类以及作用原理的解释。
此外，还将比较不同类型补偿器之间的优缺点。
第四章将重点关注补偿器设计要点，其中包括输入信号分析和预处理要点，以及补偿器参数调整和优化方法介绍。
此外，还会通过实例分析和应用场景说明更好地理解这些设计要点。
最后一章是结论部分，总结了文章的要点并提出对未来相关领域研究方向的展望和建议。
1.3 目的本文的主要目的是介绍传递函数补偿器，并对其作用和设计要点进行说明。
通过本文的阐述，读者将能够更好地理解和应用传递函数补偿器技术，以改善系统性能并满足实际需求。
最终，我们希望本文能为读者提供有关传递函数补偿器的全面知识，并引导他们在实际应用中做出正确的决策。
2. 传递函数:2.1 定义和背景:传递函数是描述一个系统的输入和输出之间的关系的数学函数。
它将系统的输入信号转换为相应的输出信号。
传递函数常用于描述线性时不变系统，可以是连续时间系统或离散时间系统。
在控制系统中，传递函数通常用于描述开环或闭环系统中的动态行为。
它可以帮助我们分析和设计控制器以实现所需的系统响应。
2.2 传递函数的作用:传递函数提供了一种简洁而有效的方式来描述和分析控制系统的行为。
通过分析传递函数，我们可以获得以下信息：a) 频率响应: 传递函数可以告诉我们系统对不同频率输入信号的响应情况。
这对于理解系统的稳定性和抗干扰能力非常重要。
状态空间表达式求传递函数
2具有重根时设有一个q重的主根其余1211从状态空间表达式求传递函数61传递函数阵已知系统的状态空间表达式axbucxdu故ux间的传递函数为uy间的传递函数为当系统是多输入多输出系统时传递函数是一个mxr矩阵函数其中矩阵中的各元素都是标量函数表示第j个输入对第i个输出的传递关系
从状态空间表达式求传递函数
1 W ( s) = [Cadj ( sI − A) B + D sI − A ] sI − A
与经典控制理论的传递函数相比较，可得到如下结论
N ( s ) b0 s + b1s + ... + bn−1s + bn W (s) = = n n −1 D( s ) s + a1s + ... + an−1s + an
… + +
∫
xn
cn
λn
λ1 0 0 λ 2 & x= ... ... 0 0 y = [1 1 ...
...பைடு நூலகம்...
0 c1 c 0 x + 2 u ... ... ... 0 λn cn 1] x
c1
∫
x1
λ1
c2
n ci c12 c11 + ... + + +∑ ( s − λ1 ) 2 ( s − λ1 ) i =q +1 ( s − λi )
... & xq −1 = λ1 xq −1 + xq & xq = λ1 xq + u & xq +1 = λq +1 xq +1 + u ... & xn = λn xn + u y = c1q x1 + c1( q −1) x2 + ...c12 xq −1 + c11 xq + ... + cn xn
从状态空间表达式求传递函数
1 W ( s) = [Cadj ( sI − A) B + D sI − A ] sI − A
与经典控制理论的传递函数相比较，可得到如下结论
N ( s ) b0 s + b1s + ... + bn−1s + bn W (s) = = n n −1 D( s ) s + a1s + ... + an−1s + an
… + +
∫
xn
cn
λn
λ1 0 0 λ 2 & x= ... ... 0 0 y = [1 1 ...
...பைடு நூலகம்...
0 c1 c 0 x + 2 u ... ... ... 0 λn cn 1] x
c1
∫
x1
λ1
c2
n ci c12 c11 + ... + + +∑ ( s − λ1 ) 2 ( s − λ1 ) i =q +1 ( s − λi )
... & xq −1 = λ1 xq −1 + xq & xq = λ1 xq + u & xq +1 = λq +1 xq +1 + u ... & xn = λn xn + u y = c1q x1 + c1( q −1) x2 + ...c12 xq −1 + c11 xq + ... + cn xn
控制工程基础第三章系统的传递函数
如图所示为机械转动系统，由惯性负载和粘性摩擦阻 尼器构成，以转矩Ti为输入量，以角速度w为输出量
机械转动系统
dw ( t) 其运动方程式为：J + Bw ( t )= Ti ( t) dt W (s ) 1 K 其传递函数为：G ( s)= = = Ti (s ) Js + B Ts + 1 J 1 式中 T= , K = 。 B B
B
i(t)
C
uo (t)
x
机械平移系统
d 2x dx m 2 B k x f t dt dt
RLC电路
X s 1 1 2n Gs ＝ 2 F s ms Bs k k s 2 2n s 2 n
n
k m
B 2 km
C
uo (t )
其微分方程为：Ri( t)+ u0 () t = ui () t du0 () t i( t)= C dt 消去中间变量后，得 du0 () t RC + u0 () t = ui () t dt 通过拉氏变换求得电路的传递函数为： U0 (s) 1 G( s)= = Ui (s) Ts+1 式中 T=RC
4. 微分环节
输出量与输入量的微分成比例的环节，称为微分环节 dxi ( t) 其运动方程式为：x0 ( t )= TD dt 其传递函数为： G ( s)= TD s
式中 TD ─ 微分环节的时 间常数 。
当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲函数，这 在实际中是不可能的。因此，理想的微分环节不能实现，在 实际中用来执行微分作用的都是近似的，称为实际微分环节， 其传递函数具有如下形式：
一阶微分环节和二阶微分环节的微分方程分别为：
第三章 状态空间模型
x(0) = − ∫ e − Aτ Bu(τ )dτ
0
t1
f 5）当系统存在不依赖于u(t )的确定性干扰 f (t ) 时， (t )不会改变系统的能 控性。
& x = Ax + Bu + f (t )
2、能控性的判据 定理1 定理1 上述线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的 n × n 维 格拉姆矩阵满秩。 t1 T Wc [0, t1 ] = ∫ e − Aτ BBT e − A τ dτ
给出了该式的信号流图表示如下：
若选 n维状态矢量为：
x1 q x pq x = 2 = M M n −1 xn p q
系统的状态空间方程为：
Bf & x x A x1 x 2+0 f y 0] { = [b0 b1 L4 bm 0 L 3 M { 14444 244444 y C Df xn { x & x1 0 1 0 L 0 x1 0 x 0 0 1 L 0 x & 2 = 2 + 0 f M M M M L M M M & xn −a0 − a1 − a2 L − an −1 xn 1 { 1444 24444 { { 4 3
相应的传输算子为:
bm p m + bm −1 p m −1 + L + b1 p + b0 H ( p) = n p + an −1 p n −1 + an − 2 p n − 2 + L + a1 p + a0
传递函数讲解
传递函数讲解
传递函数是指在控制系统中描述输入信号与输出信号之间关系的数学函数。
它是控制系统分析和设计的重要工具之一，用于描述信号在系统中的传递、变换和处理过程。
在控制系统中，传递函数通常用拉普拉斯变换表示。
传递函数可以描述系统的频率响应特性、稳定性、动态响应等重要性能指标。
它将输入信号通过系统的传递过程转换为输出信号。
传递函数通常具有以下形式：
G(s) = N(s) / D(s)
其中，N(s)和D(s)分别是多项式形式的分子和分母函数。
传递函数的分子和分母多项式的系数决定了系统的特性。
传递函数可以用于分析系统的稳定性、频率响应、阶跃响应、脉冲响应等。
通过传递函数，可以进行系统的模拟、仿真和设计，优化控制系统的性能。
在实际应用中，传递函数可以通过系统的物理模型、数学模型或实验数据进行确定和估计。
通过分析传递函数，可以了解系统的动态特性，并根据需求进行控制器的设计和调节。
总之，传递函数是描述控制系统输入和输出之间关系的数学函数，它在控制系统分析和设计中起着重要的作用，能够帮助工程师理解和改善系统的性能。
自动控制原理第三章
单击此处添加标题
3.3.1 典型二阶系统的暂态特性
单击此处添加标题
系统的闭环特征方程：
单击此处添加标题
二阶系统的闭环传递函数为
单击此处添加标题
当 时，
特征根：
1. 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系 统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
3.3.1.1 过阻尼（ ）的情况
特点：由 明显看出，暂态响应曲线应由稳态分量和暂态分量 组成。暂态分量又包含两项衰减的指数项，衰减的快慢取决于指数的 大小。指 数大者衰减快，对最终输出影响小，若将其忽略，二阶 系统的暂态响应就近似为一阶系统。故此时电路的输出量为单调上 升曲线。
分析结论：
由上图可看出： 使得 比 响应迅速且有较大超调量。
PART ONE
闭环传递函数的标准形式如下：
2.二阶系统加极点的暂态响应
其中 是负实数极点 与共轭复数极点的负实部之比。
4） 脉冲函数
在 处的单位脉冲函数用 来表示，它满足如下条件：
单位脉冲函数可看作单位阶跃函数的倒数，即
反之，单位脉冲函数 的积分就是单位阶跃函数。
单位脉冲函数：
面积 A = 1 时脉冲函数，称为单位脉冲函数 。 其拉氏变换后的像函数为 于是，强度为A的脉冲函数 可表示为
单击此处添加大标题内容
结论（1）三阶系统的暂态响应由三部分组成，即 稳态分量 由极点 构成的指数函数项 由共轭复数极点构成的二阶系统暂态响应分量 （2）当 时，系统的暂态特性主要由 和 决 定，系统呈现二阶系统的特性。 当 时，系统的暂态特性主要由 决定， 系统呈现一阶系统特性。 （3）一般情况下， ，因此具有负实数极点的 三阶系统，其暂态特性的振荡性减弱，而 和 增长， 减小，相当于系统的惯性增加了。
3.3.1 典型二阶系统的暂态特性
单击此处添加标题
系统的闭环特征方程：
单击此处添加标题
二阶系统的闭环传递函数为
单击此处添加标题
当 时，
特征根：
1. 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系 统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
3.3.1.1 过阻尼（ ）的情况
特点：由 明显看出，暂态响应曲线应由稳态分量和暂态分量 组成。暂态分量又包含两项衰减的指数项，衰减的快慢取决于指数的 大小。指 数大者衰减快，对最终输出影响小，若将其忽略，二阶 系统的暂态响应就近似为一阶系统。故此时电路的输出量为单调上 升曲线。
分析结论：
由上图可看出： 使得 比 响应迅速且有较大超调量。
PART ONE
闭环传递函数的标准形式如下：
2.二阶系统加极点的暂态响应
其中 是负实数极点 与共轭复数极点的负实部之比。
4） 脉冲函数
在 处的单位脉冲函数用 来表示，它满足如下条件：
单位脉冲函数可看作单位阶跃函数的倒数，即
反之，单位脉冲函数 的积分就是单位阶跃函数。
单位脉冲函数：
面积 A = 1 时脉冲函数，称为单位脉冲函数 。 其拉氏变换后的像函数为 于是，强度为A的脉冲函数 可表示为
单击此处添加大标题内容
结论（1）三阶系统的暂态响应由三部分组成，即 稳态分量 由极点 构成的指数函数项 由共轭复数极点构成的二阶系统暂态响应分量 （2）当 时，系统的暂态特性主要由 和 决 定，系统呈现二阶系统的特性。 当 时，系统的暂态特性主要由 决定， 系统呈现一阶系统特性。 （3）一般情况下， ，因此具有负实数极点的 三阶系统，其暂态特性的振荡性减弱，而 和 增长， 减小，相当于系统的惯性增加了。
2-2 传递函数及方块图
1 R1C1s 1
1 R2C2s 1
C (s)
R1C2 s
(b)
13
2－3
方块图
（C） 消除主反馈回路
R(s) 1 R1C1R2C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) s 1 C (s)
可以看出：方块图的化简方法不是唯一 的，人们应充分地利用各种变换技巧，选择最 简捷的路径，以达到省力省时的目。
B
C + A BC
2
比较点分解
A
+
A BC
A +
-
+
B
+ AG B
A +
-
AG B G
1 G
3
比较点前移
A
G
B
AG BG
B
A 4 比较点后移 + B A AG BG
A B
G
G
+ -
G
5
分支点前移
G
AG
AG
A
G G
AG AG
10
6
分支点后移
A
G
AG
A
AG
G
1 G
A
B
A
A B
方块图
C N (s) G 2 (s) N(s) 1 G 1 (s)G 2 (s)H(s)
G1(s)H(s) 1
当 此时扰动的影响可被抑制 。 设扰动信号N（s）=0
R (s)
时，
C N (s) 0 N(s)
C R (s) G 1 (s)G 2 (s) R(s) 1 G 1 (s)G 2 (s)H(s)
21
4
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一、状态-输入间的传递函数
[例] 判断下列系统的能控性，并求状态-输入间的传递函数。
[解] 因为
u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011310301100321321 []⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=321210x x x y []
22103111012=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---==rank b A Ab b rank rankQ c
所以系统是不完全能控的。
状态-输入间的传递函数
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+---=--132)1(113423)1(10113103110)()
()(22231
1s s s s s s s s s s s s b A sI s U s X ＝＝ ------------------------------------------------------------------------------
由此例可以看出，系统不完全能控，在求状态-输入间的传递函数时，出现了零极点对消现象，显然此时系统的传递函数b A sI c 1
)(--中必会出现零极点对消现象。
定理 对单输入系统，b A sI 1
)(--无零极点对消是系统完全能控的充分必要条件。
注意，此定理对多输入系统仅是必要条件。
------------------------------------------------------------------------------ [例] 判断下列系统的能控性，并求状态-输入间的传递函数和系统的传递函数。
x y u x x ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100001,010010100240231 [解] 因为
301010101002001101210=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=rank rankQ c
所以系统是状态完全能控的。
其状态-输入间的传递函数为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡----------=-=-040242
)4)(1(1010010)4)(1(00)1(2)1(0)1(2)
1(3)4)(1()4()1(1)()()(2
21s s s s s s s s s s s s s s B A sI s U s X
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--0442)4)(1(1
010010)4)(1(00)1(2)1(0)1(2)1(3)4)(1(100001)4()1(1)(221s s s s s s s s s s s s s s B A sI C ------------------------------------------------------------------------------
从本例可以看出，系统是完全能控的，但在求状态-输入间的传递函数和系统的传递函数时发生因子对消，因此，对于多输入系统来说，上述定理不是系统完全能控的充分必要条件。
二、系统的等价变换
设系统的状态空间方程为
Du Cx y Bu Ax x
+=+=, 引入坐标变换x P x ~
=，且0det ≠P ，代入上式，得到变换后的状态空间方程为 u D x C y u B x A x ~~~,~~~~+=+=
且有如下关系成立
D D CP C B P B AP P A ====--~
,~,~,~11
(1)
结论 如果两个状态空间描述之间存在(1)式的关系，则称它们是代数等价的；变换x P x ~=称为线性非奇异等价变换，简称等价变换。
坐标变换的实质是换基底，这种变换改变了系统的数学模型的形式，而不改变系统的固有内在性质。
这里所提到的内在性质至少包含以下内容：
1） 变换前后，系统的特征值不变，即)~
det()det(A sI A sI -=-
2）变换前后，系统的传递函数阵不变，即B A sI C B A sI C ~
)~(~)(11---=-
3) 变换前后，系统的能控性与能观测性不变，即
]~~~
~~[][11B A B A B rank B A AB B rank n n --=
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥
⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--11~~~~~n n A C A C C rank CA CA C rank
三、最小实现
实现问题的定义 1 定义
对于线性定常系统，给定其传递函数阵)(s G ，若可以找到),,,(D C B A ∑，使下式成立
D B A sI C s G +-=-1)()(
则称此状态空间描述),,,(D C B A ∑为给定传递函数矩阵)(s G 的一个实现。
所谓实现问题，就是由表征系统外部因果关系的传递函数阵，来确定表征系统内部结构特性的状态空间描述。
由前述介绍可知，同一个系统的实现有多种形式。
2可实现的条件
对于线性定常系统，如果其传递函数阵)(s G 为m p ⨯维，则传递函数阵可实现的充分
必要条件是
m p s G s ⨯=∞
→)(lim 的常数阵
即)(s G 是真的有理分式，此常数即为系统的关联矩阵D ；若0)(lim =∞
→s G s ，则)(s G 是严
格真的有理分式。
以下在研究实现问题时，均考虑)(s G 是严格真的有理分式，若不是，则应先转化为严格真的再实现。
3 最小实现
由前述介绍可知，同一个系统的实现有多种形式；且传递函数矩阵只反映能控且能观测部分，同一个)(s G 还能导出A 具有不同维数的实现，这些不同的方程表示了系统的不同物理结构。
在众多实现中，维数最小的实现称为最小实现，它能以最简单的状态空间结构去获取等价的外部传递特性。
关于最小实现，有如下一些重要的结论。
结论 1 设),,(C B A ∑为严格真的传递函数矩阵)(s G 的一个实现，则其为最小实现的
充分必要条件是),,(C B A ∑为完全能控且完全能观的。
结论2 若),,(111C B A ∑与),,(222C B A ∑均为给定传递函数矩阵)(s G 的最小实现，则它们一定是代数等价的，即存在一个非奇异矩阵T 使下面式子成立。
T C C B T B T A T A 12112112,,===--
最小实现不唯一，实现的方法也很多。
对单变量系统，在此举一例。
------------------------------------------------------------------------------ [例] 设系统的传递函数为
6
1162
2)(23++++=
s s s s s G
试求系统的1）能控性实现；2）能观测性实现；3）对角形实现；4）最小实现；并画出相应的方框图。
[解] 1） 能控标准型表述的描述一定能控，故其能控性实现的一种形式为
u x x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1006116100010 []x y 022=
能控性实现的方框图如图3-8所示。
2） 能观测标准型表述的描述一定能观测，故其能观测性实现的一种形式为
u x x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡---=0226101101600 []x y 100=
能观测性实现的方框图如图3-9所示。
图3-8能控性实现方框图
3） 因为
3
2
2210611622)(23+-++++=++++=
s s s s s s s s G
故系统的对角形实现为
[]x
y u x x 111220321=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=
对角形实现的方框图如图3-10所示。
4） 由 )
3)(2)(1()
1(2611622)(2
3++++=++++=
s s s s s s s s s G 可以看出，传递函数有相消项，故所描述的系统不是既能控又能观测的，所以其实现不是最小实现，对消去公因子后
)
3)(2(2
611622)(23++=++++=
s s s s s s s G
所描述的系统是既能控又能观测的，因此对它的任意一种实现均为最小实现。
下面以对角形式给出最小实现
[]x
y u x x 112221=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
图3-10 对角形实现方框图
图3-9能观测性实现方框图。