八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.1矩形19.1.1矩形的性质作业pdf无答案

第19章矩形、菱形与正方形19.1.1.1 矩形的性质1．下列说法错误的是( )A．矩形的对角线互相平分B．矩形的对角线相等C．有一个角是直角的四边形是矩形D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2．如图是一张矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝4.若用剪刀沿∠ABC的平分线BE剪下，则DE的长等于( )A．4B．5C．6D．73．如图，在矩形ABCD中，AB<BC，AC、BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是____．4．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，点E为AD的中点，CE＝5，则AD＝____．5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AB＝AO. 求∠ABD的度数．6．[xx·洛宁县期末]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD＝15 cm，求AC、AB的长．7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点M、N分别为OA、OD的中点．求证：BM＝CN.8．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，连结AF、CE.求证：(1)△BEC≌△DFA；(2)四边形AECF是平行四边形．9．[xx·九台区期末]如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF＝90°，AD＋CD＝10，AE＝2.求AD的长．10．[xx·渝北区期末]如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC 交BC于点E，连结OE，且∠ODE＝15°.(1)求证：CO＝CE；(2)求∠OED的度数．11．柳北区校级模拟]如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC的延长线上，AE＝BF.(1)求证：四边形ABFE是平行四边形；(2)若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．参考答案1． C 2． C 3． 4 4． 65．解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AO ＝BO . 又∵AB ＝AO ， ∴AB ＝AO ＝BO ， ∴△ABO 为等边三角形， ∴∠ABD ＝60°.6．解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ＝15 cm ， ∵OA ＝12AC ，OB ＝12BD ，∴OA ＝OB ＝7.5 cm. ∵AE 垂直且平分线段BO ， ∴AB ＝OA ＝7.5 cm.7．证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ， ∴OA ＝OC ＝OD ＝OB .∵点M 、N 分别是OA 、OD 的中点，即AM ＝OM ，ON ＝DN ， ∴OM ＝ON .在△BOM 和△CON 中，⎩⎨⎧OM ＝ON ，∠MOB ＝∠NOC ，BO ＝CO ，∴△BOM ≌△CON ，∴BM ＝CN . 8．证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠EBC ＝∠FDA ＝90°. 又∵E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，∴BE＝DF.在Rt△BEC 和Rt△DFA 中，⎩⎨⎧BC ＝DA ，BE ＝DF ，∴△BEC ≌△DFA .(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD . ∵点E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴AE ＝12AB ，CF ＝12CD ，∴AE ＝CF .∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形． 9．解：设AD ＝x .∵△DEF 为等腰三角形， ∴DE ＝EF ，∠FEB ＋∠DEA ＝90°. 又∵∠AED ＋∠ADE ＝90°. ∴∠FEB ＝∠EDA .又∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠A ＝90°， ∴△ADE ≌△BEF (AAS )， ∴AD ＝BE ，∴AD ＋CD ＝AD ＋AB ＝x ＋x ＋2＝10. 解得x ＝4.即AD ＝4.10．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，DE 平分∠ADC ， ∴∠CDE ＝∠CED ＝45°， ∴EC ＝DC .又∵∠BDE ＝15°， ∴∠CDO ＝60°.又∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴OD ＝OC ，∴△OCD 是等边三角形， ∴OC ＝CD ， ∴CO ＝CE .(2)∵△COD 是等边三角形，∴∠OCD＝60°，∠OCB＝90°－∠DCO＝30°.∵∠CDE＝∠CED＝45°，又∵CD ＝CE ＝CO ， ∴∠COE ＝∠CEO ，∴∠CEO ＝(180°－30°)÷2＝75°， ∴∠OED ＝∠CEO －∠CED ＝30°. 11．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，∠D ＝∠BCD ＝90°.∴∠BCF ＝180°－∠BCD ＝180°－90°＝90°. ∴∠D ＝∠BCF .在Rt△ADE 和Rt△BCF 中，⎩⎨⎧AE ＝BF ，AD ＝BC .∴Rt△ADE ≌Rt△BCF ， ∴∠1＝∠F ， ∴AE ∥BF . ∵AE ＝BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形． (2)∵∠D ＝90°，∴∠DAE ＋∠1＝90°. ∵∠BEF ＝∠DAE ，∴∠BEF ＋∠1＝90°. ∵∠BEF ＋∠1＋∠AEB ＝180°， ∴∠AEB ＝90°.在Rt△AEB 中，AE ＝3，BE ＝4， ∴AB ＝AE 2＋BE 2＝32＋42＝5. ∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴EF ＝AB ＝5.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

华师大版八年级下册数学第19章矩形、菱形与正方形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为点G，连接CG，下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值﹣1．其中正确的说法有（）个．A.4B.3C.2D.12、顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所构成的四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.不确定3、已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形4、平行四边形ABCD的两条对角线相等，则平行四边形ABCD一定是（）.A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形5、如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm6、如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（）A.7B.8C.9D.107、下列性质中，矩形不一定具有的是( )A.对角线相等B.对角线互相平分C.4个内角相等D.一条对角线平分一组对角8、学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是（）A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙、丁D.甲、乙、丙、丁9、用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：(1)平行四边形，(2)矩形，(3)菱形，(4)正方形，(5)等腰三角形，(6)等边三角形，一定可以拼成的图形是( )A.(1)(4)(5)B.(2)(5)(6)C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(5).10、如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形11、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE 折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（）A.1或2B.2或3C.3或4D.4或512、如图，是△EBD以正方形ABCD的对角线BD为边的正三角形，EF⊥DF，垂足为F，则∠AEF的度数是（）A.15°B.30°C.45°D.60°13、平面内有一个角是60°的菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A.90°B.180°C.270°D.360°14、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A.1.2B.1.3C.1.4D.2.415、下列条件中，能判定一个四边形为矩形的条件是( )A.对角线互相平分的四边形B.对角线相等且平分的四边形C.对角线相等的四边形D.对角线相等且互相垂直的四边形二、填空题(共10题，共计30分)16、已知矩形的面积是，其中一边长为，则对角线长为________．17、如图，矩形中，，，是边上一点，将沿翻折，点恰好落在对角线上的点处，则的长为________．18、如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为________．19、如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE等于________度20、已知菱形的边长为4,∠A=60°，则菱形的面积为________．21、如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB=2cm．则图中阴影部分面积为________ ．22、如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B．二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为________．（填一般式）23、如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为________24、如图，在中，，点的坐标为，点在轴上，轴.将沿翻折得到，直线过点，则四边形的面积为________.25、如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B 在y轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，点M、N在▱ABCD的对角线AC上，且AM=CN，求证：四边形BMDN是平行四边形．27、如图，科博会上某公司展示了研发的绘图智能机器人，该机器人由机座、手臂和末端操作器三部分组成，底座AE⊥直线EL且AE＝25 cm，手臂AB＝BC ＝60 cm，末端操作器CD＝35 cm，AF∥直线EL.当机器人运作时，∠BAF＝45°，∠ABC＝75°，∠BCD＝60°，求末端操作器节点D到地面直线EL的距离．(结果保留根号)28、如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．29、如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）30、在矩形中，已知，在边上取点，使，连结，过点作，与边或其延长线交于点．猜想：如图①，当点在边上时，写出线段与的大小关系。

矩形的性质（30分钟 50分）一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2013·包头中考)如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( )A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.3S1=2S22.(2013·南充中考)如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是( )A.12B.24C.12D.163.如图，长方形ABCD中，E为BC中点，作∠AEC的平分线交AD于点F.若AB=6，AD=16，则FD的长度为( )A.4B.5C.6D.8二、填空题(每小题4分，共12分)4.如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE= cm.5.矩形ABCD中，AB=2，BC=5，MN∥AB交AD于M，交BC于N，在MN上任取两点P，Q，那么图中阴影部分的面积是.6.如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1S2(填“>”或“<”或“=”).三、解答题(共26分)7.(8分)(2013·湘西中考)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，连结AF，CE .(1)求证：△BEC≌△DFA.(2)求证：四边形AECF是平行四边形.8.(8分)已知：如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，若∠EAO=15°，求∠BOE的度数.【拓展延伸】9.(10分)阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小.(3)若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.答案解析1.【解析】选B.矩形ABCD的面积S1=2S△ABC，而S△ABC=S2，所以S1=S2.2.【解析】选D.由两直线平行，内错角相等，知∠DEF=∠EFB=60°，∴∠AEF=∠A′EF=120°，∴∠A′EB′=60°，A′E=AE=2，求得A′B′=2，∴AB=2，矩形ABCD的面积为S=2×8=16.3.【解析】选C.∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=16，又E为BC的中点，∴BE=BC=×16=8.在Rt△ABE 中，AE2=AB2+BE2=62+82=100，即AE=10.由四边形ABCD是矩形，得AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，又∠AEC的平分线交AD于点F，∴∠AEF=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AF=AE=10，∴FD=AD-AF=16-10=6.4.【解析】因为按如题图方式折叠后点B与点D重合，所以DE=BE.设DE=xcm，则AE=AB-BE=AB-DE=(10-x)cm.在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即42+(10-x)2=x2，解得x=5.8cm.答案：5.85.【解析】∵MN∥AB，四边形ABCD是矩形，∴四边形ABNM、四边形MNCD是矩形.∴AB=MN=CD，AM=BN，MD=NC.即阴影部分的面积为：S矩形ABCD-S△ABP-S△CDQ=5×2-×AB×BC=10-×2×5=5.答案：56.【解析】MN和PQ分别平行于矩形的两边，所以四边形AMKP、四边形MBQK、四边形QCNK、四边形PKND 都是矩形.又矩形的对角线平分矩形的面积，S△MBK=S△QBK，S△PKD=S△NKD，所以S1=S△ABD-S△MBK-S△PKD，S2=S△CBD-S△QBK-S△NKD，即S1=S2.答案：=7.【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC.又∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴BE=DF，∵在△BEC和△DFA中，∴△BEC≌△DFA.(2)由(1)得，CE=AF，又CF=AE，故可得四边形AECF是平行四边形.8.【解析】∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE.∵∠BAD=90°，∠BAE=∠EAD，∴∠BAE=45°.∵∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°.∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴BO=AB.∵AB=BE，∴BO=BE，∴∠BOE=∠BEO.∵∠ABE=90°，∠ABO=60°，∴∠OBE=30°.在△BOE中，∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180°，∴∠BOE=(180°-∠OBE)=75°.9.【解析】(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2)此时共有2个“友好矩形”，如图，矩形BCAD，矩形ABEF.易知，矩形BCAD，矩形ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.(3)此时共有3个“友好矩形”，如图中矩形BCDE，矩形CAFG及矩形ABHK，其中矩形ABHK的周长最小.证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S.设矩形BCDE，矩形CAFG及矩形ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c.∴L1-L2=-=2(a-b)×，而ab>S，a>b，∴L1- L2>0，即L1> L2.同理可得，L2> L3，∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小.。

第19章　矩形、菱形与正方形19.1　矩形基础过关全练知识点1　矩形的定义与性质1.(2022江西上饶期末)如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,AC=4,则OB的长为( )A.8B.4C.3D.22.(2022安徽中考)两个矩形的位置如图所示,若∠1=α,则∠2=( )A.α-90°B.α-45°C.180°-αD.270°-α3.(2022河南南阳邓州期末)关于矩形的性质,下列说法不正确的是( ) A.四个角都是直角 B.对角线相等C.对角线互相垂直D.是中心对称图形4.【教材变式·P100T2变式】(2022河南信阳潢川期中)一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°,对角线长为16 cm,则这个矩形较短边的长为( ) A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm5.(2022重庆巴蜀中学期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BD交BD于点E,∠AOB=110°,则∠DAE的度数为( )A.40°B.35°C.30°D.25°6.【教材变式·P101T3变式】如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC、BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A、D重合),过点P 作AC和BD的垂线,垂足分别为E、F,则PE+PF的值是( )A.2.4B.1.2C.0.6D.37.(2021湖南株洲中考)如图所示,线段BC为等腰△ABC的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O,若OD=2,则AC= .8. (2022北京海淀实验中学期中)在矩形ABCD中,AD=12 cm,AB=18 cm,按如图所示的方式折叠,使点B与点D重合,点C落在点C'处,折痕为EF,则DE= cm.9.(2021广西贺州中考)如图,在矩形ABCD中,E,F分别为BC,DA的中点,以CD为斜边作Rt△GCD,GD=GC,连结GE,GF.若BC=2GC,则∠EGF= .10.(2022重庆中考B卷)我们知道,矩形的面积等于这个矩形的长乘宽,ah.想法小明想用其验证一个底为a,高为h的三角形的面积公式为S=12是以BC为边作矩形BCFE,点A在边FE上,再过点A作BC的垂线,将其转化为证三角形全等,由全等图形面积相等来验证,按以上思路完成下面的作图与填空.证明:过点A作BC的垂线AD交BC于点D.(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵∠F=90°,∴ ① ,∵EF∥BC,∴ ② ,又∵ ③ ,∴△ADC ≌△CFA (A.A.S.).同理可得, ④ .∴S △ABC =S △ADC +S △ABD =12S 矩形ADCF +12S 矩形AEBD =12S 矩形BCFE =12ah.11.(2022福建泉州实验中学月考)如图,在矩形ABCD 中,点M 在DC 上,AM =AB ,且BN ⊥AM ,垂足为N.(1)求证:△ABN ≌△MAD ;(2)若AD =3,AN =4,求四边形BCMN 的面积.12.【新独家原创】如图,四边形ABCD 各内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ,若四边形EFGH 是矩形,试判断四边形ABCD 的形状,并说明理由.知识点2　矩形的定义判定法13.如图,要使平行四边形ABCD是矩形,需要添加的条件是( )A.∠A+∠B=180°B.∠C+∠B=180°C.∠A=∠BD.∠B=∠D14.(2022福建福州屏东中学期末)如图,在平行四边形ABCD中,DE⊥AB,点F在AB的延长线上,且CF⊥AB.求证:四边形CDEF是矩形.15.(2022山东青岛胶州二模)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,直线GH经过点O,分别与BA、DC的延长线交于点G、H,与AD、CB交于点E、F.(1)求证:△BOG≌△DOH.(2)连结AH、CG、GD,若GH=GD,当点C位于DH上的什么位置时,四边形AHCG是矩形?请说明理由.知识点3　矩形的判定定理116.(2022湖南娄底模拟)如图,点A在∠MON的边ON上,AB⊥OM于点B,AE=OB,DE⊥ON于点E,AD=AO,DC⊥OM于点C.求证:四边形ABCD是矩形.17.【新独家原创】如图,已知MD∥NB,AC分别交NB、MD于点A、C,∠DCA、∠BAC的平分线相交于点E,∠MCA、∠NAC的平分线相交于点F.求证:四边形AECF是矩形.知识点4　矩形的判定定理218.(2022四川绵阳三台期末)如图,用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底边都垂直,只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC,BD的长就可以判断,其判断依据是　( )A.矩形的对角线相等B.矩形的四个角是直角C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线相等的平行四边形是矩形19.(2022河南平顶山一模)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,添加下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( )A.AC⊥BDB.AB⊥BCC.AC=BDD.∠1=∠220.(2022福建厦门逸夫中学期中)如图,在四边形ABCD 中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求证:四边形ABCD是矩形.21.(2021天津静海联考)如图,在▱ABCD中,将边AB延长至点E,使AB=BE,连结DE,EC,BD,DE交BC于点O,且∠BOD=2∠A.求证:四边形BECD是矩形.22.(2022江苏南京玄武二模)如图,在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,连结CE并延长,与BA的延长线交于点F.(1)求证:EF=EC;(2)连结AC,DF,若CA平分∠FCB,求证:四边形ACDF为矩形.能力提升全练23.(2022湖南邵阳中考,15,)已知矩形的一边长为6 cm,一对角线长为10 cm,则矩形的面积为 cm2.24.【新考法】(2022湖南株洲中考,16,)如图所示,矩形ABCD的顶点A、D在y轴上,顶点C在第一象限内,x轴为该矩形的一条对称轴,的图象经过点C,则k的值且矩形ABCD的面积为6.若反比例函数y=kx为 .25.(2022四川内江中考,25,)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E、F分别是AB、DC上的动点,EF∥BC,则AF+CE的最小值是 .26.(2022吉林长春高新区一模,20,)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连结AE并延长交DC的延长线于点F,连结BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.27.【方程思想】(2022浙江丽水中考,22,)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.(1)求证:△PDE≌△CDF;(2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC的长.素养探究全练28.【推理能力】已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图1所示)时,易证PA2+PC2=PB2+PD2,请你探究,当点P分别在图2、图3中的位置时,PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系.请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图2、图3证明你的结论.图1 图2 图3答案全解全析基础过关全练BD,∴OB=2,故选D.1.D　∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=4,OB=122.C　如图,∵∠3+∠4=90°,∠2+∠4=90°,∴∠2=∠3,∵∠1+∠3=180°,∴∠3=180°-∠1=180°-α,∴∠2=180°-α.故选C.3.C　矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等且互相平分,矩形是中心对称图形,但矩形的对角线不一定互相垂直.故选C.4.C　如图,∵四边形ABCD是矩形,对角线长为16 cm,∴AC=BD=16 cm,∴AO=BO=8 cm,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=AO=BO=8 cm,故矩形较短边的长为8 cm.故选C.5.B　∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,OA=OB,∵∠AOB=110°,∴∠ABO=∠OAB=35°,∵AE⊥BD,∴∠BAE=90°-35°=55°,∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-55°=35°,故选B.6.A 如图所示,连结OP ,过点A 作AG ⊥BD 于G ,∵AB =3,AD =4,∴BD =32+42=5,∵S △ABD =12AB ·AD =12BD ·AG ,∴12×3×4=12×5×AG ,解得AG =2.4,∵四边形ABCD 是矩形,∴OA =OD ,∵S △AOD =12OA ·PE +12OD ·PF =12OD ·AG ,∴PE +PF =AG =2.4.7.答案　4解析　∵四边形ADBE 是矩形,∴AB =DE =2OD =4,∵△ABC 为等腰三角形,∴AB =AC =4.8.答案　13解析　∵四边形ABCD 是矩形,∴∠DAE =90°,根据折叠的性质得,DE =BE ,设DE =BE =x cm,∵AB =18 cm,∴AE =(18-x )cm .在Rt △ADE 中,AD 2+AE 2=DE 2,即122+(18-x )2=x 2,解得x =13,即DE =13 cm .9.答案　45°解析　∵以CD 为斜边作Rt △GCD ,GD =GC ,∴∠GDC =∠GCD =45°,∠DGC =90°,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ADC =∠DCB =90°,AD =BC ,∴∠FDG =∠FDC +∠CDG =90°+45°=135°,∠ECG =∠DCB +∠DCG =90°+45°=135°,∵E ,F 分别为BC ,DA 的中点,BC =2GC ,∴DF =DG ,CE =CG ,∴∠DGF =∠DFG =12(180°-∠FDG )=12×45°=22.5°,∠EGC =∠GEC =12(180°-∠ECG )=12×45°=22.5°,∴∠EGF =∠DGC -∠DGF -∠EGC =90°-22.5°-22.5°=45°.10.解析　作图如下:①∠F =∠ADC ;②∠1=∠2;③AC =AC ;④△ADB ≌△BEA (A.A.S.).11.解析　(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D =90°,DC ∥AB ,∴∠BAN =∠AMD ,∵BN ⊥AM ,∴∠BNA =90°,在△ABN 和△MAD 中,∠BNA =∠D =90°,∠BAN =∠AMD ,AB =AM ,∴△ABN ≌△MAD (A.A.S.).(2)∵△ABN≌△MAD,∴BN=AD,∵AD=3,∴BN=3,∵BN⊥AM,AN=4,∴AB2=AN2+BN2=32+42=25=52,∴AB=5,∴S矩形ABCD=AD·AB=3×5=15.AN·BN=6,∵S△ABN=12∴S△MAD=S△ABN=6,∴S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD=3.12.解析　四边形ABCD是平行四边形,理由如下:∵四边形EFGH是矩形,∴∠HEF=90°,∴∠AED=∠HEF=90°,∴∠EAD+∠EDA=90°.∵DF、AH分别平分∠ADC、∠DAB,∴∠ADC=2∠EDA,∠DAB=2∠EAD,∴∠ADC+∠DAB=2(∠EDA+∠EAD)=180°,∴AB∥DC.同理,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.13.C　A.当∠A+∠B=180°时,不能判定平行四边形ABCD是矩形,不符合题意;B.当∠C+∠B=180°时,不能判定平行四边形ABCD是矩形,不符合题意;C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,若∠A=∠B,则∠A=∠B=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,符合题意;D.当∠B=∠D时,不能判定平行四边形ABCD是矩形,不符合题意.故选C.14.证明　∵DE⊥AB,CF⊥AB,∴∠DEA=∠CFB=90°,DE∥CF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴四边形DEFC是平行四边形,∵∠CFB=90°,∴四边形DEFC是矩形.15.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AB∥CD,∴∠G=∠H,在△BOG与△DOH中,∠G=∠H,∠BOG=∠DOH, OB=OD,∴△BOG≌△DOH(A.A.S.).(2)当C为DH的中点时,四边形AHCG是矩形.理由:如图,∵△BOG≌△DOH,∴BG=DH,∵AB=CD,∴AG=CH,又∵AG∥CH,∴四边形AHCG是平行四边形.∵GH=GD,C为DH的中点,∴GC⊥CD,∴∠GCH=90°,∴四边形AHCG是矩形.16.证明　∵AB⊥OM,DC⊥OM,ED⊥ON,∴∠ABC =∠ABO =∠DCB =∠DEA =90°,∵AO =AD ,OB =AE ,∴Rt △ABO ≌Rt △DEA (H.L.),∴∠AOB =∠DAE.∵∠AOB +∠OAB =90°,∴∠DAE +∠OAB =90°,∴∠BAD =180°-(∠DAE +∠OAB )=90°,∴∠BAD =∠ABC =∠DCB =90°,∴四边形ABCD 是矩形.17.证明　∵MD ∥NB ,∴∠MCA +∠NAC =180°,∵∠MCA 、∠NAC 的平分线相交于点F ,∴∠FAC =12∠NAC ,∠FCA =12∠MCA ,∴∠FAC +∠FCA =12(∠NAC +∠MCA )=90°,∴∠CFA =180°-(∠FAC +∠FCA )=90°,同理,∠AEC =90°,∠FCE =90°,∴∠CFA =∠AEC =∠FCE =90°,∴四边形AECF 是矩形.18.D 四边形ABCD 是平行四边形,若对角线AC =BD ,则根据对角线相等的平行四边形是矩形可判定四边形ABCD 是矩形.19.A A.由四边形ABCD 是平行四边形,AC ⊥BD 不能判定四边形ABCD 是矩形,故选项A 符合题意;B.∵AB ⊥BC ,∴∠ABC =90°,∴平行四边形ABCD 是矩形,故选项B 不符合题意;C.∵AC =BD ,∴平行四边形ABCD 是矩形,故选项C 不符合题意;D.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA =OC ,OB =OD ,∵∠1=∠2,∴OA=OD,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故选项D不符合题意.故选A.20.证明　∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AC=2AO,BD=2OD,∵OA=OD,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.21.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD,∴BE∥CD.∵AB=BE,∴BE=DC,∴四边形BECD为平行四边形,∴OD=OE,OC=OB.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD.∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,∠A=∠OCD,∴∠OCD=∠ODC,∴OC=OD,∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED,∴平行四边形BECD为矩形.22.证明　(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠EAF=∠EDC,∵E是AD的中点,∴AE=DE,∵∠FEA=∠DEC,∴△EAF≌△EDC(A.S.A.),∴EF=EC.(2)如图,∵EF=EC,AE=DE,∴四边形ACDF是平行四边形,∵CA平分∠FCB,∴∠ACE=∠BCA,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,∴∠ACE=∠DAC,∴AE=CE,∴AD=FC,∴四边形ACDF为矩形.能力提升全练23.答案　48解析　如图,在矩形ABCD中,BC=6 cm,AC=10 cm,∴在Rt△ABC中,AB=102―62=8 cm,∴S矩形ABCD=AB·BC=8×6=48 cm2.24.答案　3解析　如图所示,设BC与x轴交于点E,∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴,且矩形ABCD的面积为6,∴四边形DOEC是矩形,且矩形DOEC的面积是3.设C(m,n),则OE=m,CE=n,mn=3,∵点C在反比例函数y=k的图象上,x,∴k=mn,∴n=km∴k=3.25.答案　10解析　如图,延长BC到G,使CG=EF,连结FG,∵EF∥BC,EF=CG,∴四边形EFGC是平行四边形,∴CE=FG,∴AF+CE=AF+FG,∴当A、F、G三点共线时,AF+CE的值最小,为AG的长,由勾股定理得,AG=AB2+BG2=62+(4+4)2=10,∴AF+CE的最小值为10.26.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD=BC,∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE,∵E为BC的中点,∴EB=EC,∴△ABE≌△FCE(A.A.S.),∴AB=CF.∴四边形ABFC是平行四边形,∵AD=BC,AD=AF,∴BC=AF,∴四边形ABFC是矩形.27.解析　(1)证明:由题意得,∠P=∠PDF=∠B=∠ADC=∠C=90°,PD =AB =CD ,∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,即∠PDE =∠CDF ,∴△PDE ≌△CDF (A.S.A.).(2)如图,过点E 作EG ⊥BC 于点G ,∴∠EGC =90°,EG =CD =4 cm,在Rt △EGF 中,EG 2+GF 2=EF 2,∵EF =5 cm,∴GF =3 cm .设CF =x cm,易得BG =AE =PE =CF =x cm,∴DF =BF =(x +3)cm,在Rt △CDF 中,CF 2+CD 2=DF 2,即x 2+42=(x +3)2,解得x =76.∴BC =BG +GF +CF =2×76+3=163 cm .素养探究全练28.解析　结论均是PA 2+PC 2=PB 2+PD 2.证明如下:如图1,过点P 作MN ∥AB ,交AD 于点M ,交BC 于点N ,则四边形ABNM 和四边形NCDM 均为矩形,由题意可得,在矩形ABNM 中,PA 2+PN 2 =PB 2+PM 2,在矩形NCDM 中,PC 2+PM 2=PD 2+PN 2,两式相加得,PA 2+PN 2+PC 2+PM 2=PB 2+PM 2+PD 2+PN 2,∴PA 2+PC 2=PB 2+PD 2.如图2,过点P 作MN ∥AD ,交BA 的延长线于点M ,交CD 的延长线于点N ,则四边形BCNM 和四边形ADNM 均为矩形,由题意可得,在矩形BCNM中,PC2+PM2=PB2+PN2,在矩形ADNM中,PA2+PN2=PD2+PM2,两式相加得,PA2+PN2+PC2+PM2=PD2+PM2+PB2+PN2,∴PA2+PC2=PB2+PD2.图1 图2。