最短距离问题

人教版初二数学上册《最短距离问题》教案一、教学目标1. 理解最短距离的概念和计算方法；2. 能够运用最短距离的概念和计算方法解决简单的实际问题；3. 发展学生的逻辑思维和解决问题的能力。

二、教学内容1. 最短距离的定义及计算方法；2. 实际问题中的最短距离应用。

三、教学过程步骤一：引入1. 明确本节课的教学目标：研究最短距离的概念和计算方法，能够运用最短距离解决实际问题。

2. 列举一些现实生活中常见的最短距离问题，引起学生的兴趣和思考。

步骤二：概念讲解1. 通过图示和实例向学生介绍最短距离的概念，解释最短距离的含义和计算方法。

2. 引导学生通过几个简单的实例计算最短距离，并与同学讨论解决过程和答案。

步骤三：练和应用1. 给学生分发练题，让他们独立完成。

2. 学生完成练后，互相交流答案，并讨论解题过程中的思路和方法。

步骤四：拓展应用1. 引导学生思考如何应用最短距离的概念来解决更复杂的实际问题。

2. 提供一些挑战性的问题，让学生尝试解决并与同学分享思路和答案。

步骤五：总结反思1. 回顾本节课所学的最短距离概念和计算方法。

2. 学生进行自我评价，讨论在解题过程中遇到的困难和收获。

3. 教师对学生的研究情况进行总结和评价。

四、教学资源1. 教材：人教版初二数学上册。

2. 练题和案例：教师自行准备。

五、教学评价1. 学生在课堂练和应用中的表现。

2. 学生对最短距离概念的理解程度。

3. 学生的解题思路和方法是否合理。

六、拓展延伸1. 学生可以通过实际观察和测量，找出身边更多的最短距离问题，并进行解决。

2. 学生可以运用数学软件或在线工具来进一步探索最短距离的计算方法和应用。

以上为《最短距离问题》教案的简要内容，希望能够帮助到您。

有关最短距离问题
例1.在河的同旁有A、B两个村庄，现在要在河边修一个供水站给A、B两村供水，问在那个位置修能使到A、B两村距离最短。

P B
A
这是课本中的一道题，做法相信大家都知道。

其实，这种方法还可以和其他知识合起来变形应用。

例2.要在一条河上修一座垂直于河岸的桥，河岸两旁有A、B两村，要使从A到B的距离最短，桥应该修在那个位置。

A
解：过点B做河岸的垂线,并截取BC,使BC等于河岸的宽度，连接AC交下边河岸于点P，则P点为所求的点。

做法如上图。

例3.在锐角三角形中求一点P，使P到此三角形三个顶点的距离和最短，求点P的位置。

E
D
P
C
B
A
解：假设P点在上图位置，连接PA、PB、PC,将⊿PAB逆时针方向旋转0
60.
在⊿PBD 中PB=DB ,∠PBD=060.所以⊿PBD 为正三角形。

所以PB=BD=PD.
由旋转性质知：PA=DE 。

所以PA+PB+PC=PC+PD+DE
由两点之间线段最短知，当E 、D 、P 、C 在同一直线上时，PA 、PB 、PC 距离之和最短。

所以∠EDB=∠BPC=0120 即∠BPA=∠BPC=∠APC=0120
因此，点P 在使∠BPA=∠BPC=∠APC=0120的位置时，到三角形三顶点的距离之和最短。

第三讲最短距离问题一、知识梳理几何模型1条件：如图，、是直线同旁的两个定点．问题：在直线上确定一点，使的值最小．方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小几何模型2条件：如图，、是直线异侧的两个定点．且A、B到距离不相等问题：在直线上确定一点，使的值最大方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小二、方法归纳对于几何模型1，近年来，除了常见的“一个动点”外，出现了“两个动点”、“三个动点”等变式问题的问题，而解决此类问题的关键在于：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。

对于几何模型2，近年出现的中考题都是直接应用。

三、课堂精讲例题（一）、题中出现一个动点。

例1、在正方形ABCD中，点E为BC上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。

【难度分级】A类〖试题来源〗经典例题〖选题意图〗使学生掌握几何模型1的应用〖解题思路〗作关于对称点,可以证明在上，易求解：作关于对称点四边形ABCD是正方形在上，且即是的最小值【搭配课堂训练题】1、已知：抛物线的对称轴为x=-1与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标【难度分级】A类〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。

〖答案〗解：（1）由题意得解得∴此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为例2：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．【难度分级】A类〖试题来源〗2009眉山中考数学真题〖选题意图〗使学生掌握几何模型2的应用〖解题思路〗直接应用几何模型2，由于B是C关于对称轴的对称点，所以连接AB，则AB与对称轴的交点M即为所求。

八年级数学中的最短路径问题，通常涉及到几何图形中的点、线、面等元素，需要利用一些基本的几何知识和数学原理来求解。

以下是一些常见的最短路径题型及其解题方法：1.两点之间的最短距离：题型描述：在平面上给定两点A和B，求A到B的最短距离。

解题方法：直接连接A和B，线段AB的长度即为最短距离。

2.点到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一条直线l，求P到l的最短距离。

解题方法：作点P到直线l的垂线，垂足为Q，则PQ的长度即为最短距离。

3.直线到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定两条直线l1和l2，求l1到l2的最短距离。

解题方法：如果l1和l2平行，则它们之间的距离即为最短距离；如果l1和l2不平行，则作l1到l2的垂线，垂足所在的线段即为最短4.点到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一个圆O，求P到圆O的最短距离。

解题方法：如果点P在圆O内，则最短距离为P到圆心的距离减去圆的半径；如果点P在圆O外，则最短距离为P到圆心的距离；如果点P在圆O上，则最短距离为0。

5.圆到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定两个圆O1和O2，求O1到O2的最短距离。

解题方法：如果两圆外离，则它们之间的最短距离为两圆的半径之和；如果两圆外切，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差；如果两圆相交或内切，则它们之间的最短距离为0；如果两圆内含，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差减去两圆半径之和的绝对值。

6.多边形内的最短路径：题型描述：在一个多边形内给定两个点A和B，求A到B的最短解题方法：通常需要将多边形划分为多个三角形，然后利用三角形内的最短路径（即连接两点的线段）来求解。

7.立体几何中的最短路径：题型描述：在立体图形中给定两点A和B，求A到B的最短路径。

解题方法：通常需要将立体图形展开为平面图形，然后利用平面几何中的最短路径原理来求解。

在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：准确理解题目要求，确定需要求的是哪两点之间的最短距离。

【初二】最短距离问题总结在初二数学课程中，最短距离问题是一个常见的问题类型。

本文将对最短距离问题进行总结和简要解析。

最短距离问题定义最短距离问题是指在给定的条件下，求解两个点之间最短路径的问题。

该问题常见于几何、图论和最优化等领域，在实践中具有广泛的应用。

最短距离问题解决方法1. 直线距离计算最简单的情况是直线距离计算。

当两个点在平面直角坐标系中给出时，可以使用勾股定理（即直角三角形斜边长度公式）计算两点之间的直线距离。

2. 曼哈顿距离计算曼哈顿距离是指在矩形网格中，从一个点到达另一个点所需要的最小移动次数（只能上下左右移动，不能斜向移动）。

曼哈顿距离计算可以通过两点横纵坐标的差值相加得到。

3. 最短路径算法对于复杂的情况，如图论中求解两点之间的最短路径，可以使用最短路径算法。

常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd Algorithm）等。

这些算法可以在给定网络、权重或距离信息的情况下，计算出两点之间最短路径的长度和路径。

最短距离问题应用举例最短距离问题在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 导航系统：导航系统通过计算起点和终点之间的最短路径，为驾驶员提供最优的导航路线。

2. 物流配送：物流公司需要计算货物从起点到终点的最短路径，以最大程度地减少运输成本和时间。

3. 网络通信：计算机网络中的路由算法使用最短路径算法来确定数据包传输的最佳路径。

4. 旅行规划：旅行者可以使用最短路径算法规划旅游路线，使得行程更加紧凑和高效。

总结最短距离问题是初二数学课程中的一个重要内容。

通过不同计算方法和最短路径算法，可以有效地解决两点之间最短路径的问题。

最短距离问题在实际中有许多应用场景，涉及导航、物流、网络通信和旅行规划等领域。

将军饮马最短距离原理1.引言1.1 概述将军饮马最短距离原理是一种常见的数学问题，根据传说中的典故“将军饮马”，通过解决这个问题我们可以得到最短距离的最优解。

这个问题在数学领域中被广泛研究和应用，尤其在图论、最优路径规划、网络优化等领域中具有重要的意义。

将军饮马最短距离问题可以简单描述为：一个将军要从指定位置A饮马到指定位置B，同时他必须经过多个中间位置，并且需要选择经过这些中间位置的最短路径。

这个问题可以用图论中的有权有向图来模拟和解决。

每个位置可以看作图中的一个节点，将军的移动可以看作是节点之间的有向边，每条边的权值表示将军从一个位置到另一个位置的移动距离。

通过这个问题的求解，我们可以找到从起点到终点的最短路径，即将军饮马的最短距离。

将军饮马最短距离原理的研究不仅可以用于解决实际问题，还可以用来优化和改进一些相关算法和模型。

例如，在网络优化中，我们可以利用这个原理来找到网络中数据传输的最短路径，从而提高网络的传输效率。

此外，通过将军饮马问题的研究，还可以挖掘和发现一些潜在的规律和规划策略，进一步推动相关领域的发展。

本文将从将军饮马最短距离原理的背景和原理解析两个方面进行详细探讨，通过对相关理论和算法的介绍和分析，旨在增加对这一原理的理解和认识。

同时，本文还将探讨将军饮马最短距离原理的应用价值和未来发展方向，以期为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行叙述和分析将军饮马最短距离原理：1. 引言：为了引出将军饮马最短距离原理的背景和意义，概述本文将要介绍的内容。

2. 正文：2.1 将军饮马最短距离原理的背景：详细介绍将军饮马最短距离原理的起源和历史背景，包括相关的故事或传说，以便读者能够更好地理解该原理。

2.2 将军饮马最短距离原理的原理解析：深入分析将军饮马最短距离原理的具体原理，包括数学模型和算法等相关内容。

通过展示相关的数学推导或图表，让读者理解这一原理的运作机制。

八年级数学最短距离问题最短距离；对称；平移；展开初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的。

初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开。

一、利用“对称”解决最短路线问题。

对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称轴垂直平分这条对应点连线段”。

而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点到两端点的距离相等”。

所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的。

例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远。

分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案。

如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’B，与CD的交点P 即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’B2=AG2+BG2，A’B=13公里。

二、利用“平移”解决最短路线问题例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸。

请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短。

分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线。

分别是A点到河岸+桥长+河岸到B 点。

因为桥长是垂直于桥且长度固定，等于河宽，所以我们可以作A点垂直于河岸的垂线，量出AC=EF，如图。

就相当于先过河（AC长），再求C点到B点的最短距离，即线段CB。

数学考点---最短距离问题1.我们常利用“两点之间线段最短”解决两条线段和最小的相关问题，下面是熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB'．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB'，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是；操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）2.作图题（不写作法，保留作图痕迹）：（1）如图①，点A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（2）如图②，点A、B在直线l的同一侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小；（3）如图③，点A是锐角三角形MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B、C，与点A组成三角形，使三角形周长最小；（4）如图④，AB是锐角三角形MON内部一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C、D组成四边形，使四边形周长最小；（5）如图，连结M、N与直线l相交于点O，当两直线的夹角等于450，且OM=6，MN=2时，PM+PN的最小值是3.（1）如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使得四边形APBC的周长最小，请写出作法（2）AB是锐角MON内部一条线段，在角MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形，使四边形周长最小．（如图所示）4.已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（）D．（）5.(1)如图，A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现要在河上垂直于河岸建一座桥.问：应把桥建在什么位置，才能使A村经过这座桥到B村的路程最短？请画出草图，并简要说明作法及理由(2)A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC=40米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来6.在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，求m／n 的值7.如图，已知平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3）、B（4，﹣1）．（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最短时，求x值；（2）若C（a，0）、D（a+3，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周长最短时，求a的值；（3）设M、N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和（0，π），使四边形ABMV周长最短，若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由8.在平面直角坐标系中，点A（2，1）、B（4，2），坐标原点为O点．（1）在y轴上有一动点C，求当AC+BC最小时，C点的坐标；（2）在直线y=x上有一动点D，求当AD+BD最小时，D点的坐标；（3）在x轴上有两个点E（m，0）、F（m+1，0），求当四边形CEFD周长最小时，m的值9.已知线段AB在x轴上（A在B的左边），且AB=3，点C（2，-4）、点D（4，-1），当AC+BD最小时，点A的坐标是（） A（0,0） B（1，0） C（1.2,0） D（2，0）10.如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（结果保留根号）11.如图1，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B 处．（1）如图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P，使蚂蚁沿A-P-B路线爬行，距离最短．（2）结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长12.如图，长方体的长BE=5cm，宽AB=3cm，高BC=4cm，一只小蚂蚁从长方体表面由A点爬到D点去吃食物，则小蚂蚁走的最短路程是 cm13.如图，长方体的长BE=7，宽AB=5，高BC=5，一只小蚂蚁从A点爬到棱BC上，再爬到D点去吃糖，则小蚂蚁走的最短路程是14.如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=6，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为15.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，=6，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值（）A．8 B．6 C．2+2D．416.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（2，0），B（6，0）是x轴上的两点，则PA+PB 的最小值为17.如图，∠MON=90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为18.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）A． B．C．2 D．数学考点---最短距离问题答案1.解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE=；（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，则AC'与x轴的交点即为点D的位置，∵点C'坐标为（0，﹣2），点A坐标为（6，4），∴直线C'A的解析式为：y=x﹣2，故点D的坐标为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A'、关于ON的对称点A''，连接A'A''，则A'A''与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点．2.解：（1）如图①，连接两点与直线的交点即为所求作的点P，则点P即为所求；（2）如图②，过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′交直线l于P点，则点P即为所求；（3）作A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，与OM、ON相交于B、C，连接AB，BC，AC，则△ABC即为所求三角形；（4）作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，则四边形ABCD即为所求；（5）作出点M关于直线l的对称点M′，连结M′N交直线l于点P；∵两直线的夹角等于45°，且OM=6，MN=2，∴∠MOP=45°，OM=OM′=6，NO=8，∴∠NOM′=90°，∴M′N==10，故答案为：103.解：(1)作点A关于直线l的对称点A′，②连接A′B于直线l交于P，则点P就是所求作的点．(2)解：如图，作A关于OM的对称点E,再作B关于ON的对称点F，连接EF即可．如图．ABCD便是周长最小的．4.解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短，由B 与B′关于x轴对称，B（2，2），所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），则直线AB′的方程为y+2=（x﹣2）化简得：y=﹣2x+2，令y=0，解得x=1，所以M（1，0）故选：B5.(1)先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．(2)解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．（2）作MH⊥BC垂足为H．两村A、B之间的最短路程=AN+KN+BK，∵四边形AMKN是平行四边形，∴AN=MK，在RT△BMH中，∵BH=70，MH=40，∴BM==10，∴AN+KN+BK=BM+KN=10+30，∴两村的最短路程为（10+30）米6.解：根据题意，作出如图所示的图象,过点B作B关于y轴的对称点B′、过点A关于x轴的对称点A′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点即为所求．设过A′与B′两点的直线的函数解析式为y=kx+b．∵A（﹣8，3），B（﹣4，5），∴A′（﹣8，﹣3），B′（4，5），依题意得：，解得，所以，C（0，n）为（0，）．D（m，0）为（﹣，0）所以，=﹣．故答案为﹣7.解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），设直线AB'的解析式为y=kx+b，把A （2，﹣3），B'（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0，得x=，即当△PAB的周长最短时，x=．（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．直线A'F 的解析式为y﹣1=•（x﹣1），即y=4x﹣5，∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，∴0=4a﹣5，解得a=．∴当四边形ABDC的周长最短时，a=．（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．∴m=，n=﹣8.解：（1）如图1，作A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于C，∴AC=A′C，∴AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，∵点A（2，1），∴A′（﹣2，1），∵B（4，2），设直线A′B的解析式为y=kx+b，∴-2k+b=1,4k+b=2，解得k=1／6，b=4／3．∴直线A′B的解析式为y=x+，∴C （0，）；（2）如图2，作A点关于直线y=x的对称点A″，连接A″B，交直线y=x于D，∴AD=DA″，∴AD+BD=DA″+BD=A″B，根据两点之间线段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，∵点A（2，1），∴A″（1，2），∵B（4，2），∴直线BA″∥x轴，∴y=2，代入y=x中得x=2，∴D（2，2）；（3）作点C关于x轴的对称点C′，则C′的坐标为（0，﹣），把C′向右平移1个单位得到点D'（1，﹣），连接DD′，与x轴交于点F，如图3，∴C′E=CE，又∵点E（m，0）、F（m+1，0），∴EF=1，∴C′D′∥EF，∴四边形C′D′FE为平行四边形，∴C′E=D′F，∴CE=D′F，∴CE+DF=DD′，此时CE+DF最小，而CD与EF的长一定，∴此时四边形CEFD周长最短．设直线DD′的解析式为y=k′x+n，把D（2，2）、D′（1，﹣）分别代入得2k′+n=2，k′+n= -4／3，解得k′=，n=﹣，∴直线DD′的解析式为y=x﹣，令y=0，则x ﹣=0，解得x=，∴D点坐标为（，0），∴m+1=，∴m=10.解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2=A′D2+CD2=82+122=208，∴CA′=4cm答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是4cm12.解：（1）如图（1），AD==；（2）如图（2），AD==；（3）如图（3），AD===4．可见，AD的最小值为．故选C．13.解：AE=AB+BE=5+7=12．DE=BC=5．AD===13．蚂蚁爬的最短路径长为1314.解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵AB=8，AE=6，∴DE=BQ+QE==10，∵AB=8，AE=6，∴BE=2，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=10+2=1215.解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，连接OC交C′D于N，连接OD，∵AB是⊙O的直径，=6，∴，∵，∴，∴OC⊥C′D，C′D=2DN，∴∠COD=60°，∴∠D=30°，∵AB=8，∴OD=4，∴DN=OD•sin60°=2，∴C′D=4．∴CM+DM的最小值=4．故选：D16.解：如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，∵OA′=2，BO=6，∴PA+PB=A′B==2．故答案为：217.解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵△ABC是等边三角形，∴CD==2，∵∠MON=900，∴OD=AB==2，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为2+2．故答案为：2+218.解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，∵∠MON=90°，∴OE=AE=AB=×2=1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=，在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，即=，解得DF=，∵OD=3，∴点F是OD的中点，∴AF垂直平分OD，∴OA=AD=．故选：B．。

三角形最短距离问题三角形最短距离问题是一个常见的几何问题，它涉及到如何找到三角形内两个点之间的最短距离。

在解决这个问题之前，我们首先需要了解一些基本概念和定理。

我们来回顾一下三角形的基本定义。

三角形是由三条线段组成的图形，它们的端点连接起来形成一个封闭的图形。

三角形有三个顶点和三条边，其中任意两条边的交点称为顶点。

根据三角形的边长关系，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

在解决三角形最短距离问题时，我们通常会遇到以下几种情况：1. 在一般三角形中，我们需要找到两个点之间的最短距离。

这个问题可以通过计算两个点之间的直线距离来解决。

我们可以使用勾股定理来计算两点之间的距离，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别表示两个点的坐标。

2. 在等腰三角形中，我们需要找到顶点到底边的最短距离。

根据等腰三角形的性质，顶点到底边的最短距离是底边中点到顶点的距离。

因此，我们可以通过计算底边中点的坐标来解决这个问题。

3. 在等边三角形中，我们需要找到任意两个点之间的最短距离。

由于等边三角形的三条边相等，任意两个点之间的最短距离是等边三角形边长的一半。

因此，我们可以通过计算等边三角形的边长来解决这个问题。

除了上述情况外，我们还可以通过其他方法解决三角形最短距离问题，如使用向量法、坐标轴法等。

这些方法可以根据具体情况选择使用，以求解问题的简洁和高效。

总结起来，三角形最短距离问题是一个几何问题，涉及到三角形内两个点之间的最短距离。

通过运用几何定理和方法，我们可以有效地解决这个问题。

在实际应用中，三角形最短距离问题经常出现，比如在计算机图形学、建筑设计和地理测量等领域。

因此，掌握解决这个问题的方法对于我们的学习和工作都具有重要意义。

在解决这个问题时，我们应该注重思维的灵活性和问题的实际应用，以期得到准确和有效的解答。

最短距离求解题技巧最短距离求解问题是在计算机科学和运筹学中非常重要的一个问题。

它在许多领域中都有广泛的应用，包括路径规划、网络优化、数据挖掘等。

在本文中，我将介绍一些求解最短距离问题的常用技巧。

1. Dijkstra算法Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的一种经典算法。

它通过逐步确定从源点到其他节点的最短路径，并使用一个优先级队列来选择下一个最近的节点。

Dijkstra算法的时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V是节点数，E是边数。

2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是求解单源最短路径问题的另一种经典算法。

与Dijkstra算法不同的是，Bellman-Ford算法可以处理图中存在负权边的情况。

Bellman-Ford算法通过对所有边进行V-1轮的松弛操作来逐步确定最短路径。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V是节点数，E是边数。

3. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是求解全源最短路径问题的一种经典算法。

它通过动态规划的方式计算从任意两个节点之间的最短路径。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是节点数。

Floyd-Warshall算法的优势是可以处理有向图或无向图中存在负权边的情况。

4. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，用于求解从起点到终点的最短路径。

它综合使用节点距离和启发式函数来评估节点的优先级，以选择下一个节点进行扩展。

A*算法通常在路径规划和游戏AI中使用。

A*算法的时间复杂度取决于启发函数的复杂度。

5. 最小生成树算法最小生成树算法是一种用于求解无向图的最短路径问题的算法。

它通过选择边来构建一个连通的生成树，使得树的权重和最小。

常见的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法的时间复杂度为O(ElogV)，Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。

点到圆的最小距离问题
在几何学中，点到圆的最小距离问题是一个常见的数学问题。

该问题的目标是
确定一个给定点与一个给定圆之间的最短距离。

我们需要明确一些基本概念和公式。

一个圆由圆心和半径定义。

给定圆的圆心
坐标为(x₀, y₀)，半径为r。

而点的坐标为(x, y)。

我们需要找到点到圆的最小距离，即 d。

对于点到圆的最小距离问题，我们可以利用以下公式来计算：
d = |√((x - x₀)² + (y - y₀)²) - r|
其中，(x - x₀)²表示点横坐标与圆心横坐标的差的平方，(y - y₀)²表示点纵坐标与圆心纵坐标的差的平方，√表示开方运算，|…|表示绝对值运算。

我们可以通过计算上述公式，找到给定点与给定圆之间的最小距离。

但需要注
意的是，如果点位于圆内部，这个最小距离则为负数，表示点到圆的距离为负，即点在圆内。

通过求解点到圆的最小距离问题，我们可以在几何学、物理学和工程学等领域
中应用。

例如，在导航系统中，我们可以利用这个问题来确定两个点之间的最短路径，或者在建筑设计中，可以使用这个问题来确定物体与圆形结构之间的最小间隙。

点到圆的最小距离问题是一个基本且常见的数学问题。

通过利用相关公式，我
们可以准确计算出给定点与给定圆之间的最短距离，并在不同领域中应用这个问题的解决方法。

例谈平行线上两动点之间距离的最短问题
平行线上两动点距离最短：从奇技淫巧中寻找答案。

对于平行线上两动点之间距离的最短问题，下面总结几点：
1. 平行线是无限长度的直线，处于同一水平线，不发生相交。

2. 两动点之间距离为最短时，代表这两条平行线之间没有空隙。

3. 两动点之间距离最短的可能性，取决于两动点分别所在直线的位置，要建立一条穿过两个点的直线，作为间距的限制条件。

4. 要计算两动点之间的距离最短，需要先行假定一条直线，再通过计
算直线上两个点的距离，以及假定的直线与两条平行线的距离总和，
获得距离的最小值。

总而言之，要求出平行线上两动点之间的最短距离，需要首先假定一
条直线，然后依据其位置计算两个点之间的距离，以及假定的直线与
两条平行线的距离总和。

最终结果，就是获得平行线上两动点之间最
短距离。

空间与图形 专题1-2—最短距离问题一．知识内容 考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段”，“点关于直线对称”，“线段的平移”。

原型来源于： “建奶站”，“造桥选址”等问题。

背景变式有：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

二．原题呈现： 1.书P123页 问题解决：A,B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A,B 到它的距离最短？2. 造桥选址问题：a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？3.升学指导54页例2： 6cm ，5cm ，4cm ，现有一只蜘蛛由A 点出发去捕食G 处的昆虫，则这只蜘蛛的最短爬行路线是多少厘米？4. 升学指导166页14题（2008年青岛中考第14题）：EF 长为10cm ．母线OE(OF)长为10cm ．在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且FA=2cm ，一只蚂 蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm ．5. 升学指导175页14题（2009年青岛中考第14题）：长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．居民区B居民区A 街道 G A Ａ ＦＥ Ｏ第3题图 第4题图6.升学指导256页14题（2012年青岛中考第14题）：4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ． 三．变式拓展：1.如图，AC 、BD 为边长为2cm 的正方形ABCD 的对角线，相交于点O,点D 为BC 边的中点，请在BD 上找一点P ，使DP+CP 之和最小，最小为 。

2.如图2，E 是边长为4cm 的正方形ABCD 边CD 上的一点，且DE=1，试在AC 上确定一点P ，使PD+PE 的和最小，最小为 。

球面上最短航线
在地球表面上，两地之间的最短距离是通过这两点的大圆的劣弧段。

其中赤道、经线圈、晨昏线都是大圆。

1、若两点在赤道上，则两点间最短航线应是沿着赤道朝两点间的劣弧方向运动，即向东或向西。

2、若两点在同一条经线上，则两点间最短航线应是沿着经线朝两点间的劣弧方向运动，即向北或向南。

3、若两地的经度差等于180，则经过这两点大圆是经线圈。

这两点间的最短距离是经过极点。

①同在北半球，最短航线必须经过北极点，其航行方向一定是先向正北，过北极点后再向正南。

②同在南半球，最短航线必须经过南极点，其航行方向一定是先向正南，过南极点后再向正北。

③两地位于不同半球，这时需要考虑经过北极点为劣弧，还是经过南极点为劣弧，然后确定最短航线的走向和航程。

4、若两地的经度差不等于180，则经过这两点大圆不是经线圈，而是与经线圈斜交，其最短航线不经过极点，具体分为两种情况：
①甲地位于乙地的东方，从甲到乙最短航程为：同在北半球，先向西北，再向西，最后向西南；同在南半球，先向西南，再向西，最后向西北；位于不同半球时，需要讨论哪一段为劣弧段。

②甲地位于乙地的西方，从甲到乙最短航程为：同在北半球，先向东北，再向东，最后向东南；同在南半球，先向东南，再向东，最后向东北；位于不同半球时，需要讨论哪一段
为劣弧段。

5、俯视图，经过两点的大圆的劣弧部分形状可视为两点间的直线（如图）。

间）。

点到面的最短距离引言在数学和计算机科学中，点到面的最短距离是一个常见的问题。

该问题可以在二维或三维空间中进行求解，其应用广泛，包括计算机图形学、机器人路径规划、物理模拟等领域。

点到面的最短距离问题可以被描述为：给定一个点P和一个由若干个点组成的面A，求点P到面A的最短距离。

在解决这个问题时，我们需要考虑点和面的几何性质，以及如何有效地计算最短距离。

点到平面的最短距离首先，我们来讨论点到平面的最短距离。

一个平面可以由一个法向量和一个过平面上一点的位置向量来表示。

假设平面的法向量为n，平面上一点的位置向量为p，点P的位置向量为q。

点到平面的最短距离可以通过计算点P到平面的投影来得到。

点P在平面上的投影点为P’，我们可以通过以下公式计算点P到平面的最短距离：distance = |(q - p) · n| / |n|其中，·表示向量的点乘运算，|v|表示向量v的模。

这个公式的推导可以通过点P到平面的垂直距离等于点P与平面法向量的夹角的正弦值乘以点P到平面的距离得到。

点到三角形的最短距离接下来，我们来讨论点到三角形的最短距离。

点到三角形的最短距离是点到面的最短距离的一个特例。

一个三角形可以由三个顶点的位置向量来表示。

假设三角形的三个顶点分别为a、b和c，点P的位置向量为q。

点到三角形的最短距离可以通过计算点P到三角形所在平面的最短距离以及点P到三角形的边的最短距离来得到。

首先，我们可以通过点到平面的最短距离公式计算点P到三角形所在平面的最短距离。

假设三角形所在平面的法向量为n，平面上一点的位置向量为p，则点P到三角形所在平面的最短距离为：distance_plane = |(q - p) · n| / |n|然后，我们需要计算点P到三角形的边的最短距离。

点P到三角形的边的最短距离可以通过点P到三角形的三条边的垂直距离来计算。

具体来说，我们可以通过以下步骤来计算点P到三角形的边的最短距离：1.计算点P到三角形的每条边的垂直距离。

中考数学专题---最短距离问题考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

问题原型：“饮马问题”，“造桥选址问题”。

出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于 点P ，则PA PB A B '+=的值最小模型转化应用：在锐角三角形中探求线段和的最小值如图1，在锐角三角形ABC 中，AB =24,∠BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ．在等边三角形中探求线段和的最小值（2010 山东滨州）如图2所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE =2,EM+CM 的最小值为 . 在直角梯形中探求线段和的最小值（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．在等腰梯形中探求线段和的最小值如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC =60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ． 在菱形中探求线段和的最小值如图5菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD =60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 ． 在正方形中探求线段和的最小值如图6所示，已知正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM =2，N 是AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为 ．A B A '′ P l（2009达州）如图7，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为 cm ．（结果不取近似值）．在圆背景下探求线段和的最小值（2010年荆门）如图8，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为________ 在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值 （2010山东济宁）如图9，正比例函数x y 21=的图象与反比例函数)0(≠=k xky 在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知三角形OAM 的面积为1.如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小,则点P 坐标为_________. 在二次函数背景下探求线段和的最小值（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，3） ，△AOB 的面积是3.在过点A 、O 、B 的抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的 坐标；若不存在，请说明理由；在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值 （2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边OB 的中点.（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.ADE PBC 经典考题如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是_______.如图2，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，则PQR △周长的最小值为_________．(2009年抚顺)如图3所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ） A ．3 B ．26 C ．3 D 6(2009年鄂州) 如图3所示，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、17172B 、17174 C 、 17178D 、3 如图，四边形ABCD 是正方形， 10AB cm =，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，则PC PE +的最小值为____________.如图，若四边形ABCD 是菱形,10AB cm =，45ABC ∠=°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，则PC PE +的最小值为_____________.如图，若四边形ABCD 是矩形，10AB cm =，20BC cm =，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，则PC PE +的最小值为_____________.OAB PRQ 图2AB EC P 图1A DBCADBCEPACDAC NME O PF D B（2009陕西）如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是_________．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。

三角形最短距离问题三角形最短距离问题是一个经典的几何问题，它涉及到如何确定平面上两个三角形之间的最短距离。

在解决这个问题之前，我们需要先了解一些基本概念和定义。

我们来定义一下什么是三角形。

三角形是由三条线段组成的图形，每条线段称为三角形的边，而连接边的端点称为三角形的顶点。

根据边的长度，三角形可以分为等边三角形（三边长度相等）、等腰三角形（两边长度相等）和普通三角形（三边长度都不相等）。

在解决三角形最短距离问题时，我们通常会遇到两种情况。

第一种情况是两个三角形不相交，也就是说它们没有共同的顶点或边。

在这种情况下，最短距离就是两个三角形之间所有顶点之间的最小距离。

我们可以通过计算每个顶点的欧几里得距离来找到最小值。

第二种情况是两个三角形相交，也就是说它们至少有一个共同的顶点或边。

在这种情况下，最短距离就是两个三角形之间的最短边长。

我们可以通过计算每个三角形的边长来找到最小值。

除了以上两种情况，有时候我们也会遇到特殊情况，比如两个三角形重合在一起或者其中一个三角形完全包含另一个三角形。

在这些情况下，最短距离就是0，因为它们之间没有距离。

为了更好地理解这个问题，我们可以通过一个具体的例子来说明。

假设我们有两个三角形ABC和DEF，它们的顶点分别为A、B、C 和D、E、F。

我们需要求解的就是三角形ABC和DEF之间的最短距离。

我们先计算出每个顶点之间的距离，即AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF的长度。

然后，我们找到其中的最小值，即为最短距离。

如果两个三角形相交，我们还需要计算出每个三角形的边长，即AB、AC、BC和DE、DF、EF的长度。

然后，我们找到其中的最小值，即为最短距离。

通过上述的分析，我们可以看出，求解三角形最短距离问题实际上就是求解几个线段之间的最短距离。

我们可以通过计算每个线段的长度来找到最小值，从而得到最短距离。

总的来说，三角形最短距离问题是一个基于几何概念的问题，它涉及到如何确定平面上两个三角形之间的最短距离。

初中最短距离问题的几种好嘞，今天咱们聊聊初中里的最短距离问题。

这可是个很有意思的话题，听起来好像很高深，但其实它就藏在咱们的日常生活中，嘿嘿。

想象一下，咱们要从家里到学校，得走多远？这个问题可是值得思考的。

别看这事儿简单，里面可是藏着不少学问呢。

谁都知道，走路不可能像飞一样直接，但如果你想省点力气，那就得好好琢磨一下最短的路线了。

最短距离问题，简单说就是找出两点之间最省事的路径。

比如说，咱们要从客厅到厨房，直接穿过去就好了。

可要是有个沙发挡着，嘿，那就得绕一下。

这样一来，大家都开始捉摸起这个问题的解决方案。

有些人可能会说，直接就走最短的路呗，没啥好考虑的。

可实际情况可复杂得多，走这条路的时候，可能会遇到大大的麻烦，比如小狗在那儿趴着，或者有个玩具挡路。

真是让人又想笑又想哭。

再比如，咱们要去个商场，前面堵车堵得严严实实，咋办呢？你肯定不会傻傻坐在车里等，肯定会想，换条路试试。

走得越多，咱们就越聪明。

就像我有个朋友，他每次去学校都爱换路线，老是找新路。

第一次我还以为他是在逗我，结果一问，发现他早就把那些小巷子都摸得一清二楚。

人家就是这么机灵，心里想的可不是单纯的走，而是找出那条省时又省力的路。

说到这里，大家可能会想，这个最短距离问题跟学习有什么关系呢？嘿，关系可大了去了。

就像咱们学习知识一样，不是所有的知识都得像书本上那样逐字逐句地啃。

有些捷径能让你事半功倍。

你可能会想，学数学的路上，有时候绕来绕去，最终发现直接用公式就能解决问题，这就是最短距离的另一种体现。

其实在生活中，最短距离的问题无处不在。

你有没有想过，咱们每天做的决定，也是在寻找最短路径？比如说，今天想吃什么，往往一开始脑海里会蹦出好多种选择。

可是等你想了半天，最后还是回到了最爱的那个地方。

就是那种感觉，绕来绕去，最后还是回到了起点。

这就是生活给我们的小调皮，让我们在最短的时间内做出最好的选择。

最短距离问题在团队协作中也同样重要。

想象一下，几个同学一起做项目，大家都在忙着各自的部分，但如果没人理清楚路线，最后的成果可就得打折扣。