6.2 立方根
一、内容和内容解析
1．内容
立方根的概念和求法．
2．内容解析
立方根有着广泛的应用，因为空间形体都是三维的，有关体积等的计算经常涉及开立方运算；立方根又是奇次方根的特例，就像平方根是偶次方根的特例一样，它对进一步研究奇次方根的性质有典型的代表意义；同时，也能丰富学生对无理数的认识．
本节在研究了平方根的内容后，研究立方根的概念和求法．类比平方根研究立方根，分析它们之间的联系与区别，在复习巩固平方根概念和求法的同时，学习立方根的概念和求法．
基于以上分析，本节课的教学重点：引导学生类比平方根学习立方根的概念和求法．
二、教材解析
教材采用了类似于平方根的方法讨论立方根．首先从典型的实际问题(已知立方体的体积求棱长)出发引出立方根的概念，再学习利用立方与开立方互为逆运算求立方根的方法，并探讨数的立方根的特征．本节充分利用了类比的方法，通过类比“平方根”展开“立方根”的内容，如类比平方根的概念的引入方式给出立方根的概念，类比开平方运算给出开立方运算，类比平方与开平方运算的互逆关系研究立方与开立方运算的互逆关系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移．
三、教学目标和目标解析
1．教学目标
(1)了解立方根的概念．
(2)会求一些数的立方根．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生了解如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根；知道正数的立方根是正数，负数的立方根是负数；0的立方根是0．
达成目标(2)的标志：对于实数a，会利用立方运算，找出数x，使得x3＝a．
四、教学问题诊断分析
本节课学习利用立方与开立方互为逆运算求立方根的方法，很多学生不适应这种通过
逆向思维解决问题的过程；另外，求一个数的立方根，实际上就是已知幂和指数求底数的问题，这一点与平方根的情况相同，所不同的是在平方根的情况下指数是2，而现在的指数是3，学生对由此带来的立方根与平方根的区别容易辨别不清．
基于以上分析，本节课的教学难点：立方根的求法，立方根与平方根的区别．
五、教学过程设计
1．复习引入
问题1 你还记得什么是平方根吗？平方根具有什么特征？
师生活动：学生口述，教师将答案写在黑板上．
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(也叫做二次方根)．即若x2＝a，那么x叫做a的平方根．
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
【设计意图】为类比平方根的概念和特征给出立方根的概念和特征作铺垫．
2．探究新知
问题 2 要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？
追问1 你还记得正方体的体积与棱长有什么关系吗?
师生活动：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长．
追问2如果设这种包装箱的棱长为x m，那么可以得到什么等式？
师生活动：学生容易得到x3＝27．
教师引导：这就是要求一个数，使它的立方等于27．因为33＝27，所以x＝3．因此这种包装箱的棱长应该是3 m．
【设计意图】创设一个学生生活实际中常常见到的问题情境，一方面让学生感受立方根在生活中有着广泛的应用，体会学习立方根的必要性；另一方面，为从特殊到一般地引出立方根的概念作铺垫．
问题3 你能类比平方根的定义给出立方根的定义吗？
师生活动：学生仿照黑板上平方根的定义给出立方根的定义．如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)．即若x3＝a，那么x叫做a的立方根．教师在板书立方根的概念时，只要将“平”字换成“立”字，将“二”字换成“三”字即可．【设计意图】让学生通过类比学习立方根的概念，体会两个概念的异同．
问题4 类比开平方运算，请你说说什么是开立方运算．
师生活动：学生回忆，求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，那么求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．
【设计意图】让学生通过类比学习新知识．
问题5 你能类比求平方根的方法，给出求立方根的方法吗？
师生活动：我们利用开平方与平方互为逆运算求一个数的平方根．类似地，可以发现开立方与立方互为逆运算，因此我们可根据这种关系求一个数的立方根．
【设计意图】让学生在类比中明确开立方与立方互为逆运算，运用这种互逆关系可求一个数的立方根．
问题6 根据立方根的意义填空．你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？ 因为23＝8，所以8的立方根是( )；
因为( )3＝0.064，所以0.064的立方根是( )；
因为( )3＝0，所以0的立方根是( )；
因为( )3＝－8，所以－8的立方根是( )；
因为( )＝－278，所以－27
8的立方根是( )． 师生活动：师生共同归纳得出立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数；0的立方根是0．教师可板书平方根的特征，然后对其相关位置的文字做修改得出立方根的特征，并适当分析结论不同的原因．
【设计意图】让学生通过探究活动经历由特殊到一般的认识过程，同时，通过类比已学过的平方根知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移．
教师讲解：一个数a 的立方根，记作a 3，读作：“三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，3不能省略．
问题7 填空，你能发现其中的规律吗？
因为8－3＝ ，8－3＝ ， 所以83；
因为27－3＝ ，27－3＝ ， 所以273； 师生活动：引导学生发现，一般地，a －3＝－a 3－．
【设计意图】让学生在练习中进一步巩固立方根的概念．由此还可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题，让学生体会这种转化的思想．
