矢量基本概念
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《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
矢量基本概念
(一) 矢量基本概念定 义 既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。
表示法定 义 有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度）AB ，a。
特殊的向量零矢量：长度为0的向量。
零向量的方向是不确定的。
单位矢量：长度为1的矢量。
向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。
反矢量：长度相同，方向相反的矢量。
共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。
共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。
关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）； 共线矢量必共面； 两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。
(二) 矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA，b AB 得一折线OAB ，从折线的端点O 到另一端点B 的矢量c OB，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c 。
矢量的和（平行四边形法则）如图示，有b a c。
一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...运算规律：1） 1） 交换律：a b b a； 2） 2） 结合律：)()(c b a c b a。
矢量的差若a c b，则称c 为矢量a与b的差，并记作b a c。
由定义，得矢量减法的几何作图法：矢量加法的性质（1）)(b a b a（2）||||||b a b a（3）||||||（4） ||||||2121a a a a a n ||n a（二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数 与矢量的乘积 是一个矢量， （1） （1） 其模为||||||a a ；（2） （2） 其方向由下列规则决定：当0 时， 与方向相同；当0 时， 与方向相反；当0 或0 时，是零向量，方向不定。
定义如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0a为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。
由定义，0|| ||0a数量乘法的运算规律 1）结合律：)()(2）第一分配律：a a a )(3）第二分配律：b a b a )(由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。
矢量控制 基本概念
41 Ns kωs1iA t ， kωs1 为基波磁动势的绕组因数。 π2 在电机学中，磁动势波形可用空间矢量来描述，记为 fA，轴线与 A 轴一致。其 表示方法如图 2- 3 所示。在以 A 轴为实轴的复平面内磁动势空间矢量 fA 可以表 示为： FA t
f A FA (t )ei 0
H g g Hg g H g g 1 N s i A 2 N i t s A
t
式中， H g 为气隙中径向磁场强度； g 为气隙长度； N s 为 A 相绕组匝数。 由于气隙均匀，且 H g 在气隙内各处相同，为均匀分布，其方向如图 2- 1 所 示。在绕组 A-X 左侧，磁场由定子内缘指向气隙，故定子左侧为 N 极；右侧磁 场尤其系指向定子内缘，故定子右侧为 S 极。 （此处 NS 极按书上未改动，但是 书上是错误的，说反了） 。 将图 2- 1 展开，A 相绕组产生的矩形磁动势波及基波分量如图 2- 3 所示。
图 2- 3
A 相绕组产生的矩形磁动势波及其基波分量
如图 2- 3 所示，A 相绕组在通入电流 iA(t)后，在气隙内形成一个矩形分布的 1 磁动势波，赋值为 NsiA t 。该磁动势课分解为基波和一系列谐波，其中基波磁 2 动势的幅值为 41 FA t Ni t s A π2 相绕组磁动势波形的实际波形取决于绕组的分布形式，与定子电流无关。 由图 2- 3 左图可以看出， 相绕组矩形波磁动势含有大量谐波， 他们同样会产 生空间谐波磁场，这回影响电机性能。为此，在电机设计中，常将这种整距集中 绕组代之以整距分布绕组或短距分布绕组。若相绕组总匝数 N s 保持不变，其基 波分量的幅值变为
磁链： = N Li
图 1- 3 主磁通
图 1- 2 漏磁通
矢量场的基本概念和算法
矢量场的基本概念和算法绪论矢量场，指任意空间位置周围的矢量组成的函数，是现代计算机图形学中重要的研究内容之一。
矢量场通常指的是二维或三维空间中的矢量场，本文主要针对这种情况进行讨论。
矢量场广泛应用于流体力学、电磁学、医学图像处理等领域，因此对其基本概念和算法的理解和掌握是非常重要的。
一、矢量场的基本概念1.1 矢量矢量是指具有大小和方向的物理量，通常用箭头表示。
在二维平面中，矢量可以表示为由其起点 $(x_0,y_0)$ 到终点$(x_1,y_1)$ 的向量 $\vec{v}$，其大小为 $|\vec{v}|=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$，方向为与 x 轴正方向的夹角 $\theta$，即$\theta=\arctan \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$。
在三维空间中，矢量可以表示为由其起点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到终点 $(x_1,y_1,z_1)$ 的向量 $\vec{v}$，其大小为$|\vec{v}|=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2}$，方向为与x 轴正方向、y 轴正方向、z 轴正方向的夹角 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$。
1.2 矢量场矢量场是指在空间任意点上有定义的矢量函数，即将每个位置$(x,y,z)$ 映射到一个矢量 $\vec{v}$ 上的函数$\vec{F}(x,y,z)=(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))$。
矢量场的一个重要性质是：在空间中任意一点上的矢量大小和方向可以确定。
1.3 梯度梯度是指矢量场瞬时变化率的向量，其大小表示矢量场在某个点上的变化率，而方向表示变化的最快方向。
在二维平面中，矢量场 $\vec{F}(x,y)=(F_x(x,y),F_y(x,y))$ 在某个点 $(x_0,y_0)$ 处的梯度可以表示为 $\nabla \vec{F}(x_0,y_0)=(\dfrac{\partialF_x}{\partial x}(x_0,y_0),\dfrac{\partial F_y}{\partial y}(x_0,y_0))$。
矢量代数的基本知识
M1
数量积的坐标表达式
A Ax i Ay j Az k ,
B B x i B y j Bz k A B ( Ax i Ay j Az k ) ( B x i B y j Bz k ) Ax Bx Ay B y Az Bz
7
矢量的加法满足下面的运算规律：
A Ax i Ay j Az k B B x i B y j Bz k A B C C xi C y j Czk A B ( Ax B x )i ( Ay B y ) j ( Az Bz )k
矢量加法在直角坐标系中的正交分解式
C x Ax B x C y A y B y C z Az Bz
2、矢量的减法运算 矢量的减法运算是加法运算的逆运算，实际上与加 法运算是一回事。 8
矢量的乘法运算 3、数量乘矢量： 实数与矢量a的乘积是一个矢量，记 做 a ,它的
矢量积的坐标表达式
k
j
i
23
a b ( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k ) k a x bx (i i ) a x b y ( i j ) a x bz ( i k ) j k a y b x ( j i ) a y b y ( j j ) a y bz ( j k ) i a z bx (k i ) a z b y (k j ) a z bz ( k k )
a
a
4
1 ei e j ij
矢量和张量
• 假设 xi 和 xi 是共原点的两个笛卡尔右
手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标 轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶 张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量， 分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量 数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量， 分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形 的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi
手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标 轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶 张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量， 分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量 数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量， 分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形 的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi
矢量发展史
这里举一个例子来讨论矢量与线性代数的关系。考虑一个长方形刚体绕轴转动的问题：一个长方形在空间坐标系初始位置如图，将该刚体分别以x轴、y轴为转动轴旋转。若将两种旋转定义为两个矢量，即矢量的方向为转轴方向，矢量大小为右手法则确定的转动角度，那么此问题中将违背矢量加法运算法则。
对于这个问题，实际上我们不可以直接采用矢量的运算来对应刚体转动的复合，而可采用线性变换的运算来解决。例如，设以刚体绕x轴转动角度为α，则对于刚体上任意一点，有
哈密尔顿试图将复数的概念推广到三维空间时，意外地发现了四元数。他提出的四元数可表示为 ，这也是第一个牺牲了乘法交换律这一性质的数学对象。在物理学应用上，四元数与电磁理论的结合是非常微妙的，因为电磁场非常自然地对应于四维时空。
哈密尔顿之后，麦克斯韦（1831~1879）在他1861年论文《论物理力线》中提出了法拉第电磁感应定律分量形式的微分方程，在1864年论文《电磁场的动力学理论》中第三节“电磁场一般方程”中包括了麦克斯韦方程组的八个方程，包括了大量的矢量分析。在此后包括洛伦兹提出的洛伦兹力公式及其建立的经典电动力学的假设证明，在四元数中乘法必须包括点乘和叉乘，即数量积和矢量积。
二、
矢量最初起源于物理学应用。
约公元前350年，伟大的古希腊哲学家、科学家的亚里士多德（前384~前322）就知道了力可以表示为矢量，但英国科学家牛顿（1642年12月25日~1727年3月31日）被认为是最先使用有向线段来表示矢量的。
矢量最基本的属性是大小、方向和起点，而牛顿将力的大小、方向与作用点概念进行形象化、几何化的处理，使用一条简单的带有箭头的线段表示表示力，这样既可以通过线段长度表示大小，又可以通过箭头指向表示方向，还可以用端点位置表示力的作用点。在牛顿所处的年代，是没有矢量这个概念的数学定义的，而他所做的仅仅是对“力”的概念的直观表现。然而，我认为，这种方法及其智慧，具有相当的优越性。
对于这个问题，实际上我们不可以直接采用矢量的运算来对应刚体转动的复合，而可采用线性变换的运算来解决。例如，设以刚体绕x轴转动角度为α，则对于刚体上任意一点，有
哈密尔顿试图将复数的概念推广到三维空间时，意外地发现了四元数。他提出的四元数可表示为 ，这也是第一个牺牲了乘法交换律这一性质的数学对象。在物理学应用上，四元数与电磁理论的结合是非常微妙的，因为电磁场非常自然地对应于四维时空。
哈密尔顿之后，麦克斯韦（1831~1879）在他1861年论文《论物理力线》中提出了法拉第电磁感应定律分量形式的微分方程，在1864年论文《电磁场的动力学理论》中第三节“电磁场一般方程”中包括了麦克斯韦方程组的八个方程，包括了大量的矢量分析。在此后包括洛伦兹提出的洛伦兹力公式及其建立的经典电动力学的假设证明，在四元数中乘法必须包括点乘和叉乘，即数量积和矢量积。
二、
矢量最初起源于物理学应用。
约公元前350年，伟大的古希腊哲学家、科学家的亚里士多德（前384~前322）就知道了力可以表示为矢量，但英国科学家牛顿（1642年12月25日~1727年3月31日）被认为是最先使用有向线段来表示矢量的。
矢量最基本的属性是大小、方向和起点，而牛顿将力的大小、方向与作用点概念进行形象化、几何化的处理，使用一条简单的带有箭头的线段表示表示力，这样既可以通过线段长度表示大小，又可以通过箭头指向表示方向，还可以用端点位置表示力的作用点。在牛顿所处的年代，是没有矢量这个概念的数学定义的，而他所做的仅仅是对“力”的概念的直观表现。然而，我认为，这种方法及其智慧，具有相当的优越性。
主矢知识点总结
主矢知识点总结矢量是一个重要的概念，在物理学、数学、工程学等各个领域都有广泛的应用。
矢量是一个同时包含大小和方向信息的量，它可以用来描述物理量的运动、力的方向和大小、电场的方向和强度等。
本文将从数学、物理和工程角度总结矢量的基本概念和相关知识点。
一、矢量的基本概念1.1 矢量的定义矢量是指具有大小和方向的物理量。
在数学上，矢量通常用箭头表示，并且箭头所指方向表示矢量的方向，箭头的长度表示矢量的大小。
1.2 矢量的表示矢量可以用不同的方式表示，最常见的表示方法有点表示、分量表示和矩阵表示。
点表示是将矢量的起点和终点坐标表示出来；分量表示是将矢量在坐标轴上的投影表示出来；矩阵表示是将矢量表示为一个列向量。
1.3 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点积等。
矢量的加法是将两个矢量的对应分量相加；减法是将一个矢量减去另一个矢量；数量乘法是将一个矢量的每个分量都乘以一个实数；点积是将两个矢量的对应分量相乘再相加。
1.4 矢量的性质矢量具有平行四边形法则、共线性、可加性等性质。
平行四边形法则指出两个矢量的和等于构成这两个矢量的两条边的平行四边形的对角线。
二、矢量的物理应用2.1 力的矢量表示在物理学中，力是一个矢量量，它包含有大小和方向的信息。
力的方向对物体的运动方向和速度有重要的影响。
2.2 运动的矢量表示在描述物体的运动时，使用矢量来表示物体的位移、速度和加速度。
位移的方向和大小都可以用矢量来表示，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。
2.3 矢量叠加原理矢量叠加原理是指当一个物体同时受到多个力的作用时，可以将这些力的矢量相加得到合力的矢量。
2.4 矢量的分解矢量的分解是指将一个矢量分解为相互垂直的两个分量的过程。
这个过程在解析力学和物体的平衡问题中经常用到。
三、工程中的矢量应用3.1 电场的矢量表示在电学中，电场是一个矢量量，它包含有方向和大小的信息。
电场矢量可以用来描述电荷粒子受到的力和电场的分布情况。
第二章矢量图基本概念精品PPT课件
分辨率=像素数/该像素数所占的长度
通常用“像素数/英寸”（Pixels per inch简 称为ppi）来定义。如72ppi、28ppi等。
假设现在有一幅图像，其分辨率为72ppi，其 尺寸为10*10英寸，则它的像素数为：
像素数=10*10*72*72=518400
注意事项：
分辨率是对点阵图而言的，对矢量图因为不 是由像素点组成，所以无意义。
字节（Byte）来表示的。不同色彩模式的图像中 每个像素所占的字节数是不同的（如灰度图像中， 一个像素占一个字节，而RGB模式中一个像素占3 个字节，而在CMYK模式中，一个像素占4个字 节）。因此一个文件的大小可以用下列公式计算 出来： 文件大小=分辨率*文件的尺寸*每一个像素所占的字节数
文件大小=像素数*每一个像素所占的字节数
意义 理解图像的色彩模式是进行图像处理
的基础K色彩模式 HSB色彩模式 Lab色彩模式 索引色彩模式 灰度模式 位图模式
1、RGB色彩模式
RGB是色光的色彩模式，这种模式是由红（Red）、 绿（Green）、蓝（Blue）三种基本颜色组成。
每一种颜色又可以有0~255共256(28)层颜色变化， 可以反映出大约(28)3=224≈16700000种颜色，也即能表 示真彩色。
为什么不是“像素每厘米”呢？ 这主要是英制单位使用范围较为广泛，我们平时所说的电视 机或者显示器的寸数也就是英寸。在出版印刷行业也是如此， 所以为了方便计算和转换，通常使用“像素每英寸”作为打 印分辨率的标准。简称为dpi，Dot(点)Per(每)Inch(英寸)。
3、文件大小 图像文件的大小是用计算机的基本存储单位
显示器也是点阵式的，包括液晶屏和等离子屏也是如此。 传统 的显像管显示器又称为CRT(学名阴极射线管)，是显示设备中 最早也最普及的种类。 显示器的点阵数是可变的，如下图所示， 目前为1024x768像素，也就是说现在显示器横方向能够显示 1024个 像素点，竖方向768个像素点。
通常用“像素数/英寸”（Pixels per inch简 称为ppi）来定义。如72ppi、28ppi等。
假设现在有一幅图像，其分辨率为72ppi，其 尺寸为10*10英寸，则它的像素数为：
像素数=10*10*72*72=518400
注意事项：
分辨率是对点阵图而言的，对矢量图因为不 是由像素点组成，所以无意义。
字节（Byte）来表示的。不同色彩模式的图像中 每个像素所占的字节数是不同的（如灰度图像中， 一个像素占一个字节，而RGB模式中一个像素占3 个字节，而在CMYK模式中，一个像素占4个字 节）。因此一个文件的大小可以用下列公式计算 出来： 文件大小=分辨率*文件的尺寸*每一个像素所占的字节数
文件大小=像素数*每一个像素所占的字节数
意义 理解图像的色彩模式是进行图像处理
的基础K色彩模式 HSB色彩模式 Lab色彩模式 索引色彩模式 灰度模式 位图模式
1、RGB色彩模式
RGB是色光的色彩模式，这种模式是由红（Red）、 绿（Green）、蓝（Blue）三种基本颜色组成。
每一种颜色又可以有0~255共256(28)层颜色变化， 可以反映出大约(28)3=224≈16700000种颜色，也即能表 示真彩色。
为什么不是“像素每厘米”呢？ 这主要是英制单位使用范围较为广泛，我们平时所说的电视 机或者显示器的寸数也就是英寸。在出版印刷行业也是如此， 所以为了方便计算和转换，通常使用“像素每英寸”作为打 印分辨率的标准。简称为dpi，Dot(点)Per(每)Inch(英寸)。
3、文件大小 图像文件的大小是用计算机的基本存储单位
显示器也是点阵式的，包括液晶屏和等离子屏也是如此。 传统 的显像管显示器又称为CRT(学名阴极射线管)，是显示设备中 最早也最普及的种类。 显示器的点阵数是可变的，如下图所示， 目前为1024x768像素，也就是说现在显示器横方向能够显示 1024个 像素点，竖方向768个像素点。
矢量运算法则
03
矢量减法
矢量减法的几何意义
• 矢量减法的几何意义 • 矢量减法表示两个矢量的头和尾相连，然后去掉第一个矢量的 尾巴 • 矢量减法的模等于两个矢量模的差 • 矢量减法的方向等于两个矢量方向的差
矢量减法的计算方法与性质
矢量减法的计算方法
• 矢量减法可以通过对应分量的相减得到 • 矢量减法的计算公式为：A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
矢量的方向
• 矢量的方向可以用矢量的单位向量表示 • 矢量的单位向量是矢量除以其模的结果
02
矢量加法
矢量加法的几何意义
• 矢量加法的几何意义 • 矢量加法表示两个矢量的头和尾相连 • 矢量加法的模等于两个矢量模的和 • 矢量加法的方向等于两个矢量方向的合成
矢量加法的计算方法与性质
矢量加法的计算方法
矢量减法的性质
• 矢量减法满足交换律：A - B = B - A • 矢量减法满足结合律：(A - B) - C = A - (B + C)
矢量减法的应用实例 • 矢 量 减 法 的 应 用 实 例 • 计算两个力的差力：F = F1 - F2 • 计算两个速度的差速度：v = v1 - v2
04
矢量运算在计算机图形学中的 应用
• 矢量运算在计算机图形学中的应用 • 计算物体的运动轨迹：s = v0t + 0.5at^2 • 计算光照和阴影：L = I * (N · L) / (N · V) • 计算物体的表面法向量：N = (A × B) / |A × B|
CREATE TOGETHER
矢量叉积的几何意义
• 矢量叉积表示两个矢量的模和角度的乘积 • 矢量叉积的结果等于两个矢量模的乘积乘以它们夹角的 余弦
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(一) 矢量基本概念定 义 既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。
表示法定 义 有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度）AB ，a。
特殊的向量零矢量：长度为0的向量。
零向量的方向是不确定的。
单位矢量：长度为1的矢量。
向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。
反矢量：长度相同，方向相反的矢量。
共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。
共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。
关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）； 共线矢量必共面； 两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。
(二) 矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA，b AB 得一折线OAB ，从折线的端点O 到另一端点B 的矢量c OB，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c 。
矢量的和（平行四边形法则）如图示，有b a c。
一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...运算规律：1） 1） 交换律：a b b a； 2） 2） 结合律：)()(c b a c b a。
矢量的差若a c b，则称c 为矢量a与b的差，并记作b a c。
由定义，得矢量减法的几何作图法：矢量加法的性质（1）)(b a b a（2）||||||b a b a（3）||||||（4） ||||||2121a a a a a n ||n a（二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数 与矢量的乘积 是一个矢量， （1） （1） 其模为||||||a a ；（2） （2） 其方向由下列规则决定：当0 时， 与方向相同；当0 时， 与方向相反；当0 或0 时，是零向量，方向不定。
定义如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0a为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。
由定义，0|| ||0a数量乘法的运算规律 1）结合律：)()(2）第一分配律：a a a )(3）第二分配律：b a b a )(由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。
例如： )()(222111b a b a22221111)()(22112211（三）两矢量的数性积一、 一、数性积的定义与性质定义),(||||b a Cos b a ，叫做矢量b a与的数性积（也称内积或点积），记为b a 。
即：),(||||b a Cos b a b a。
性质1）),(||||b a Cos b a b a =a j b b j a baPr ||Pr || 。
2）2||a a a ，叫做a 的数量乘方，并记作2a 。
3）0 b a b a。
4）||||),(b a b a b a Cos。
矢量数性积的运算规律 1） 1） 交换律： 。
2） 2） 结合律：)()()( 。
3） 3） 分配律：c b c a c b a )(。
同矢量的加，减，数乘运算一样，矢量的数性积运算，也可以象多项式的乘法那样去展开。
二、矢量的坐标表示矢量的数性积 定理在右手系直角坐标系中，),,(111z y x a ，),,(222z y x b ，则212121z z y y x x b a。
证明：k k z z j i y x i i x x k z j y i x k z j y i x b a212121222111)()( 又1 k k j j i i ，0 k j k i j i， 212121z z y y x x b a 。
三、矢量的方向角与方向余弦：定义矢量与坐标轴所成的角叫做矢量的方向角，记为 ,,。
方向角的余弦叫做矢量的方向余弦，记为 Cos Cos Cos ,,。
定理若),,(z y x a，则222||zy x x a xCos，222||zy x y a yCos，222||zy x z a zCos。
证明： Cos || ，且x ，||,||a Cos x Cos。
同理可证另两个结论。
推论1,,2220Cos Cos Cos Cos Cos Cos a 。
四、两矢量的夹角若),,(111z y x a，),,(222z y x b ，则),(b a Cos222222212121212121z y x z y x z z y y x x推论0 0212121 z z y y x x 。
（四）两矢量的矢性积一、 一、 矢量积的定义与运算性质 定义两个矢量a与b的矢性积（又叫外积，叉积）b a是这样一个矢量：（1） （1） 模长为),(||||||b a Sin b a b a ；（2）方向为：与b a ,均垂直且使),,(b a b a成右手系。
性质 1） 1） 若b a,中有一个为0，则0 b a 。
2） 2） , 共线{或平行}。
3）3） 几何意义：||b a 表示以b a ,为邻边的平行四边形的面积。
矢性积的运算规律 1） 1） 反交换律： = 。
2） 2） 结合律：)()()( 。
3）3） 分配律：b c a c b a c cb c a c b a )()(。
同矢量的加，减，数乘运算一样，矢量的数性积运算，也可以象多项式的乘法那样去展开。
二、二、坐标计算矢量的矢性积定理在右手系直角坐标系中，),,(111z y x a，),,(222z y x b ，则k y x y x j x z x z i z y z y z y x z y x k j i b a)()()(122112211221222111 。
证明：z z y x x x z y x z y x 212121222111)()(又0 k k j j i i ，j i k i k j k j i ,,，y x y x x z x z z y z y )()()(122112211221 ，用行列式可记成222111z y x z y x kj i，便于记忆。
（五）矢量的混合积定义c b a )(称为矢量的混合积，也可记为)),,(c b a c b a c b a （或或 。
(三) 矢量的线性关系与矢量的分解定义由矢量n a a a ,,,21 与数量n ,,,21 所组成的矢量n n a a a 2211，叫做矢量n a a a ,,,21 的线性组合。
或称a 可以用矢量n a a a ,,,21 线性表示。
或称a 可以分解成矢量n a a a ,,,21 的线性组合。
定义（线性相关）对于n n ()1 个矢量n a a a ,,,21 ，若存在不全为零的实数n ,,,21 ，使得02211 n n a a a ，则称矢量n a a a ,,,21 线性相关。
不是线性相关的矢量叫做线性无关，即矢量na a a ,,,21 线性无关：00212211 n n n a a a 。
定理1在2 n 时，矢量n a a a ,,,21 线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量是其余矢量的线性组合。
证明：设矢量n a a a ,,,21 线性相关，则存在不全为零的实数n ,,,21 使得02211 n n a a a ，且n ,,,21 中至少有一个不等于0，不妨设0 n ，则112211 n nn n n n a a a a；反过来，设矢量n a a a ,,,21 中有一个矢量，不妨设为n a ，它是其余矢量的线性组合，即112211 n n n a a a a ，即0)1(112211 n n n a a a a 。
因为数121,,, n ，-1不全为0，所以矢量n a a a ,,,21 线性相关。
显然，如果一组矢量中的部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关。
如果一组矢量中含有零矢量，那么这一组矢量就线性相关。
定理2若0 ，则矢量与共线x 且系数x 被,唯一确定。
证明：若e x r ，由定义知，矢量与共线。
反过来，若矢量与共线，则一定存在实数x ，使得e x r 。
如果 ，那么 0，即0 x 。
最后证明唯一性。
若x x ' ，则)'( x x ，而0 ，所以x x '。
利用矢量间的线性相关的概念，可推广到更一般的形式：定理2’两矢量与共线, 线性相关。
定理3若矢量21,e e 不共线，则矢量r 与21,e e共面21e y e x r ，且系数y x ,被r e e ,,21唯一确定。
证明省略。
推广到更一般的形式：定理3’三矢量r 与21,e e共面r e e ,,21线性相关。
定理4若矢量321,,e e e 不共面，则空间任意矢量r均可以由矢量321,,e e e 线性表示，即321e z e y e x r ，且系数z y x ,,被321,,e e e ，r唯一确定。
证明省略。
推广到更一般的形式：定理4’空间任意四个或四个以上的矢量总是线性相关的。
标架与坐标一、 一、坐标的定义在第四节，曾经有个结论：若矢量321,,e e e 不共面，则空间任意矢量r 均可以由矢量321,,e e e 线性表示，即321e z e y e x r ，且系数z y x ,,被r ，321,,e e e 唯一确定。
定义321,,;e e e O 叫做空间中的一个标架，称作仿射标架。
若321,,e e e 是单位矢量，则321,,;e e e O 叫做笛卡儿标架。
若321,,e e e 是相互垂直的笛卡儿标架，则叫做笛卡儿直角标架，简称直角标架。
定义（坐标）取定标架 321,,;e e e O ，若321e z e y e x r ，称),,(z y x 为r关于标架321,,;e e e O 的坐标。
取定标架 321,,;e e e O ，P 为任意一点，OP 称为点P 的径矢，则OP 关于标架的坐标 z y x ,,称为点P 的坐标。
由标架决定坐标系，则由仿射标架决定的坐标系叫做仿射坐标系，今后我们用的通常是空间右手直角坐标系，并记k j i,,为特定的坐标矢量。
O 称为坐标原点，Oz Oy Ox ,,称为坐标轴，yOz xOz xOy ,,称为坐标面。
三个坐标面把整个空间分成八个部分，称为八个卦限。
二、 二、 坐标表示矢量的线性运算1． 1． 矢量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标。
已知),,(),,,(222111z y x B z y x A ，证明121212,,(z z y y x x ）。
证明：由定义，),,(),,,(222111z y x z y x ，),,(121212z z y y x x 。
2． 2．若),,(),,,(222111z y x b z y x a ，则ab ),,(121212z z y y x x ，a b ),,(121212z z y y x x ， 111,,z y xa 。