圆系方程的应用

圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：1．以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22+0x y Dx Ey F +++=同心的圆系方程为：22+0x y Dx Ey λ+++=2．过直线:0l ax by c ++=与圆22:+0C x y Dx Ey F +++=交点的圆系方程为：22++0x y Dx Ey F ax by c R λλ+++++=∈（）（）（1）当直线l 与圆C 交于,A B 两点时，圆系中的所有圆是以AB 为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦AB 的垂直平分线上；（2）当直线l 与圆C 切于点A 时，这时圆系的圆心(,)22D aE b M λλ++--， (,)(,)(,)(,)2222222D aE b D E a b CM OM OC a b λλλλλ++=-=-----=--=- 而直线l 的法向量(,)n a b =，∴=2CM n λ-，∴n ∥CM 因此，CM l ⊥，且直线l 为圆C 的过点A 的切线．又∵CA l ⊥（过切点的半径与切线垂直），∴CA 与CM 重合．由此可知，圆系中的所有圆（除圆C 外）与圆C 内切或外切于点A ，直线l 是它们的公切线， 圆心都在直线CA 上．3．过两圆221111:+0C x y D x E y F +++=与222222:+0C x y D x E y F +++=交点的圆系方程为：()()2222111222++01x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++=≠-．可知，圆心1212(,)2(1)2(1)D DE E M λλλλ++--++, 121211212111()()(,)(,)(,)2(1)2(1)222(1)2(1)D DE E D E D D E E C M OM OC λλλλλλλλ++--=-=-----=--++++ 22112112[(,)(,)]()1222211D E D E OC OC C C λλλλλλ=-----=-=+++ 因此，点12,,M C C 共线，即圆系的所有圆的圆心M 都在已知两圆的连心线12C C 上．（1）当圆1C 与圆2C 相交于,A B 两点时，则12AB C C ⊥（即连心线与公共弦垂直），且弦AB 为所有圆的公共弦；（2）当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，则M 在过切点A 的连心线12C C 上，圆系的所有圆都与已知的圆1C 及圆2C 在点A 处内切或外切．注意：（1）此圆系不含圆222222:+0C x y D x E y F +++=；（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=（3）特别地，当1λ=-时，上述方程()121212()()()0*D D x E E y F F -+-+-=称为根轴方程． 根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．①当两已知圆1C 与圆2C 于,A B 两点时，方程(*)表示公共弦AB 所在直线的方程；②当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，方程(*)表示过（内或外）公切点A 的公切线方程．这时，除点A 外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．二．圆系方程在解题中的应用例1．求经过两圆22320x y x y ++--=和2233210x y x y ++++=交点和坐标原点的圆的方程．解：设所求圆的方程为：()22223233210x y x y x y x y λ++--+++++= ∵点()0,0在所求的圆上，将0x y ==代入，得20λ-+=，解得2λ=故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。

圆系方程
1．圆系方程
【知识点的知识】
所谓圆系方程指的是所有的圆都有相同的圆心，但圆的半径不同的圆的总和，还可以是圆的半径相同，但圆心
不同，我们把满足这两种情况的圆的总和就叫做圆系方程；除了圆系，还有直线系（过某一定点）等等．
【例题解析】
例：已知圆系方程x2+y2+2kx+（4k+10）y+5k2+20k＝0（k∈R），是否存在斜率为 2 的直线l 被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值45？如果存在，试求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
解：假设存在满足条件的直线方程为y＝2x+m，
圆的方程配方可得：（x+k）2+（y+2k+5）2＝25．
所以圆心到直线的距离d =1
5|―2푘+2푘+5+푚|=
|5+푚|
，
5
|5+푚|
由垂径定理可得：(2=52―(25)2，
5)
解得m＝0 或m＝﹣10，
故存在满足条件的直线方程，方程为y＝2x 或y＝2x﹣10．
这个题可以看出，遇到圆系方程的题，只需知道其概念就可以了，关键还是看圆心、半径、圆心到直线的距离这三个因素，常用的方法就是待定系数法．
【考点分析】
本考点也是在初中就已经学过，对于高考来说，算是个冷门，但也偶尔会考，还是希望大家了解这些基本的概念，争取不漏死角．
1/ 1。

圆系方程的简单应用一种不求交点求方程的思路首先，我们来看精炼上的一道题目：由点p（3,2）引圆x^2+y^2=4的两条切线pa，pb，a，b为切点，求直线ab的方程。

这道题，第一次看见大致思路就是这样的：设立直线为k(x-3)=y-2，然后直线至圆心的距离为圆的半径2。

这样算出两交点后，再求出直线。

这也就是最难想起，也就是通常的方法。

然而，提炼后给的答疑却是十分精妙的：设a(x1,y1),b(x2,y2)，因为圆的切线方程为x0x+y0y=r^2。

p点，a点代入获得：3x1+2y1=4;p点,b点代入获得：3x2+2y2=4。

似乎，这就是同一条直线！于是直线a，b的方程即3x+2y=4。

这种不求交点，而是巧妙利用交点所在直线来简化思维与运算的方法，正是本文章着重讨论的。

再来看一道题：谋经过直线2x+y+4=0和圆x^2+y^2+2x-4y+1=0的两个交点，并且面积最轻的圆的方程。

首先，我建议大家可以自己做一下，因为这题并不算很难。

自己尝试一下可以更好的理解接下来的内容。

仍然先了解通常的方法：两方程阿提斯鲁夫尔谷，谋出来交点。

因为面积最轻，易知圆心正是在两交点连线的中点。

算是出来圆心后再求出半径，得出结论方程。

自己尝试过此方法的同学可以体会至，其中的运算若没计算器辅助还是颇为繁杂的。

下面了解不排序交点的数学分析。

首先，我们要说明一个类似“废话”的定理：若(m,n)同时满足方程f(x,y)=0与g(x,y)=0，那么(m,n)满足f(x,y)+k*g(x,y)=0（你可以在精练的43页找到它）。

有了这一条定理，我们可以做如下的假设：设立所求方程为x^2+y^2+2x-4y+1+a(2x+y+4)=0,经过一定的配方和化简，可以获得：r^2=(a+1)^2+((a-4)/2)^2-4a-1,进一步化简，获得r^2=(5a^2)/4-4a+4,利用对称轴，可以得出结论r获得最小值时，a=8/5,代入假设的方程本题就顺利完成了（当然你还可以再化简一下,最后答案为5x^2+5y^2+26x-12y+37=0）。

高中数学解题中圆系方程的应用分析获奖科研报告摘要：高中数学具有较强的逻辑性要求，题目的综合性比较明显，将圆系方程运用于高中数学解题过程中，能够在一定程度上降低数学题的难度，帮助理解和分析题干，进而提升学生的解题正确率.本文主要探讨圆系方程在实际数学解题过程中的运用，列举了几个高中数学的经典题型，进行详细分析.关键词：高中数学解题圆系方程应用圆系方程的主要运用方式是将参数与图像相结合，以便于加深学生对题干的理解.在几何题解题过程中，适合既定条件的圆构成了一个圆系，一个圆系的共同形式的方程称之为圆系方程.将圆系方程运用于高中几何题型中，能帮助有效解决几何问题，提高解题效率.因此，有必要对圆系方程在数学解题中的具体应用进行研究和探讨.一、借助圆系方程求圆的方程高中数学具有一定的逻辑性和抽象性，学生在学习过程中若不是全身心投入，则很容易将各项概念和性质等混淆，导致教学效率不高.教材中关于求圆的方程式的内容和经典题型比较多，但一般的解题思路是通过已知条件求得圆的半径和圆心标之后，再得出圆的方程式.这种方法的操作比较麻烦，不利于学生在考试过程中使用.并且过长的计算时间容易导致学生在解题过程中出现计算错误或常识性失误等.若借助圆系方程，则可首先假设适合已知条件的圆系方程，列出含有未知数l的相关参数，并依据题干给出的条件进行运算，求出直径l的值，这样，运算量明显减少.在给出的解题参考中，先对两圆的交点坐标进行求解，再假设方程，将已知的点直接代入，借助待定系数法求得待定系数的值，最后得出圆的方程.相比之下，圆系方程的运用，减少了解题耗费的时间.需注意的是，实际解题过程中，学生切不可不认真审题就直接采用圆系方程求解.使用圆系方程的基本前提是了解题干及潜在解题条件，充分分析完题干，再选择求解方式.二、求两圆的公共弦或两圆的公切线方程针对这一类型数学题，一般解题思路是将两圆的方程看做F（x，y）+λG（x，y）=0，取λ的值为-1，则可解答方程，这种解题方式相对比较简单.由于教材中没有涉及具体圆系方程的知识点，可将其转换为一般式方程之后联立，将两个方程式相减，可得到两圆的公切线方程.一般情况下，借助圆系方程解决此类问题，需首先确定两圆的位置关系，再进行下一步的计算.例2：已知圆C：x+y+2x+8y-8=0，圆C：x+y-4x-4y-2=0，求两圆的位置关系.根据教材内容可知，两圆存在不止一个公共点.此题的解题关键是确定两圆的位置关系，在清楚了位置关系之后，即可借助圆系方程，求出两圆的公共直线的方程式.此时可知公共弦的方程式为x+2y-1=0.此时需注意的是，若无法准确判断两圆的位置关系，经过计算所得的直线方程，不能直接将其界定为公共弦，或者公切线方程.学生在实际解题过程中应认真理解题干和要求，有效利用已知条件及蕴含条件进行解题.通过圆系方程的运用，简化了原本需要联立方程式和计算的过程，大大缩短了解题时间.同时，此题运用圆系方程解题的正确率更高，学生不易由于数字特征而产生常识性失误.三、借助圆系方程判断直线与圆的位置关系高中数学中，要求对直线与圆的位置关系进行判断，是比较常见的题型.教材中给出了代数解题法和几何解题法两种，代数法需要对方程进行消元处理，继而得到一元二次方程，这一方法的计算量比较大，学生容易在解题过程中发生计算错误等问题.因此，解题过程中可尽量不用代数法.几何法相对更简单一些，首先求出圆心距直线的距离d，再将半径r与直线d进行大小判断，通过两者的关系确认，进而判断圆与该直线的位置关系.但几何法大多运用于比较简单的问题.针对部分比较难的问题，借助圆系方程进行解答准确性更高，也更简便.例3：圆系方程x+y+2kx+（4k+10）y+10k+20=0（k∈R，k≠-1）中，求任意两个圆的位置关系.此题中的圆系方程可转换为x+y+10y+20+k（2x+4y+10）=0；由方程2x+4y+10=0，以及x+y+10y+20=0，可知该方程表示的直线与圆呈相切的关系.因此，可得该圆系方程表示的两个圆有一个公共点.四、借助圆系方程求最小面积的圆的方程高中数学中，求最小面积或最大面积的圆的方程的题型比较常见，常规的解题方法也相似，即只要知道满足圆的最小面积的半径的方程式即可.而将圆系方程运用于这类题型中，解题过程则更加简单.例4：求经过两圆x+y=5，（x-1）+（y-1）=16的交点，且面积最小的圆的方程.此题若采用常见的解题方法，需首先联立方程，求得两圆的交点.再设所求的对象圆的方程，在其中发现各项变量之间的关系，最终获得半径的最小值.这类解题方法有一定的可行性，但解题所需时间较多.借助圆系方程则可减少运算所需的时间，提高解题效率.两圆相交直线的方程式为2x+2y-11=0，则经过直线2x+2y-11=0与圆x+y=5相交的点的圆系方程为x+y-25+l（2x+2y-11）=0，为了求得最小半径，两圆的相交直线须为所求的圆的直径；因此圆心坐标为（-1，-1），在弦2x+2y-11=0上，所以l=-，所求的圆的方程表示为（x-）+（y-）=.需注意的是，在高中数学题中，通常求最小面积的圆的方程与求最大面积的圆的方程的题型比较多，两者有相似之处.高中数学题一般具有较强的综合性，对学生逻辑思考能力和解题思维都有所要求.将圆系方程运用于高中数学解题过程中，通过简化题干、设已知条件等方式，不仅能够减少解题所耗费的时间，简化解题程序，还能够促使学生能够在更短的时间内完成解题.并且，在不断的训练和解题过程中，学生逐渐养成较强的逻辑思维和解题习惯，进而促进数学成绩的提高.此外，教师应引起注意，积极寻找解决该类问题的途径，从而使学生在考试当中获得理想的成绩.。

聚焦直线系、圆系方程的应用【直线系方程的应用】一、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．练习： 过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 二、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1， 此时所求直线方程为：20x y -=； 当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-， 令y =0，解得x =121λλ+-+， 由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=. 三、求直线系方程过定点问题例3 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法. 解析：（恒等式法）直线方程化为:(1)10x m y -+-=,∵m ∈R, ∴1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得，1x =，1y =，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.（特殊直线法）取m =0，m =1得，1y =，20x y +-=，联立解得，1x =，1y =， 将（1,1）代入10mx y m +--=检验满足方程，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R ，则恒等式个系数为0，列出关于,x y 的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.【圆系方程的应用】常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=一、利用圆系方程求圆的方程：例１、求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程． 解：方法3：由题可设所求圆的方程为：（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０ ∵（0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋λ＝０． 从而λ＝２故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x 即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。

1 r= 2
(-14+λλ)2-4(-1+1λ)
=
4λ2+λ+1, |1+λ|
圆心到直线x- 3y-6=0的距离
d=
12+λλ-6 3+1
=| 22 |λ1++λ3| |.
因为所求 圆 与 直 线 x- 3y-6=0 相 切, 所 以 d=r,即
|22|λ1++λ3| |= 4|λ12++λλ|+1⇒λ=-181, 所以所求圆的方程为
(1)当圆 C1 与圆 C2 相 交 于 A,B 两 点 时, 则 AB⊥C1C2(即 连 心 线 与 公 共 弦 垂 直),且 弦 AB 为所有圆的公共弦;
(2)当 圆 C1 与 圆 C2 内 切 或 外 切 于 A 点 时,则 M 在 过 切 点 A 的 连 心 线C1C2 上,圆 系 的所有圆都与已 知 的 圆 C1 及 圆 C2 在 点 A 处 内切或外切.
高中数学人教版 A 版教材中关于求圆的 方程 式 的 内 容 和 经 典 题 型 比 较 多,但 一 般 的 解 题思路是通过已知条件求得圆的半径和圆心坐 标 之 后 ,再 得 出 圆 的 方 程 式 .这 种 方 法 思 路 紧 扣 教 材 基 础 内 容 ,但 实 际 操 作 和 运 算 比 较 麻 烦 ,并 且过长的计算时间容易导致学生在解题过程中 出现 计 算 错 误 或 常 识 性 失 误 等.若 借 助 圆 系 方 程,思路会更 加 简 洁,运 算 量 明 显 减 少.现 就 将 过两圆交点的圆系方程及简单的应用进行研究 与探讨.
x2+y2-3x+y-1=0. 例3 求过 两 圆 x2 +y2 =1 和 x2 +y2 -

圆系方程及其应用圆系方程是指与圆相关的数学方程，主要用于描述圆的几何特征和性质。

圆系方程的应用十分广泛，涉及到许多领域，如数学、物理、工程等。

本文将围绕圆系方程及其应用展开探讨。

我们来了解一下常见的圆系方程。

在平面直角坐标系中，圆的方程可以有不同的形式。

其中最常见的是标准方程和一般方程。

标准方程是指以圆心为原点的圆方程，形式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。

标准方程可以直观地描述圆的位置、大小和形状。

通过标准方程，我们可以求出圆心坐标和半径长度，进而确定圆的几何特征。

一般方程是指一般形式的圆方程，形式为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。

一般方程可以通过变换和配方的方法化简为标准方程，从而得到圆的几何特征。

一般方程更加灵活，可以描述各种位置和形状的圆。

在实际应用中，圆系方程有着广泛的用途。

首先，圆系方程在几何学中用于解决与圆相关的问题。

例如，我们可以利用圆系方程求解两个圆的交点、切点以及相切、相离等几何关系。

圆系方程也可以用于求解与圆相关的角度、面积和弧长等问题，从而帮助我们更好地理解和应用圆的性质。

圆系方程在物理学中也有重要的应用。

例如，在动力学中，我们可以利用圆系方程描述物体的运动轨迹。

当物体做圆周运动时，其运动轨迹可以表示为一个圆，其方程即为圆系方程。

通过分析圆系方程，我们可以确定物体的运动速度、加速度和运动方向等信息，从而帮助我们研究物体的运动规律。

圆系方程还在工程领域得到广泛应用。

例如，在建筑设计中，我们经常需要绘制圆形结构，如圆形建筑物的平面布局、圆形池塘的设计等。

通过圆系方程，我们可以确定结构的大小和位置，从而满足设计要求。

在电子工程中，圆系方程也常用于分析电路中的环形电感、电容等元件，帮助设计师进行电路布局和优化。

圆系方程是描述圆的重要工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

第五讲、直线系方程和圆系方程的应用1．过两直线的交点的直线方程设：l 1:A 1x+B 1y+C 1=0l 2: A 1x+B 1y+C 1=0过两直线的交点的直线为l,则l 方程为: A 1x+B 1y+C 1+λ（ A 1x+B 1y+C 1）=0例1．已知直线经过直线7x+7y=24及x-y=0的交点且和原点的距离为512，求直线方程。

解：设所求直线为7x+7y-24+λ(x-y)=0,变型为（7+λ）x+(7-λ)y-24=0由点到直线距离公式得：d=22)7()7(24λλ-++=512,解得λ=±1 故所直线方程为：4x+3y-12=0或x+4y-12=0。

2．过两圆的交点的圆系方程设：O 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0O 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0过两圆的交点的圆系方程为O,则O 为(x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1)+λ（ x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2）=0例2．求圆心在直线3x+4y-1=0上且过两圆x 2+y 2-x+y-2=0与x 2+y 2=5交点的圆的方程。

解：设方程为x 2+y 2-x+y-2+λ( x 2+y 2-5)=0， 变型为：0152111122=++-+++-+λλλλy x y x 故圆心为（)1(21,)1(21λλ+-+），代入直线方程得，01_)1(24)1(23=+-+λλ，解得23-=λ所求为：x 2+y 2+2x-2y-11=03．过一圆和一直线的交点的圆系方程设：O:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0l :Ax+By+C=0 则过这个圆和这条直线的交点的圆系方程为O,则O 为(x 2+y 2+Dx+Ey+F)+λ（ Ax+By+C ）=0例3．求过圆x 2+y 2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点，圆心在y 轴上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为x 2+y 2-2x+λ（x+2y-3）=0变型为x 2+y 2-(2-λ)x+2λy-3λ=0 圆心为（22λ-，-λ）因为圆心在y 轴，故λ=2，所求圆的方程为x 2+y 2+4y-6=0 上述方程的应用，可以起到化繁为简，化难为易的效果。

原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴 )对称、简洁.
2、怎么嫁接已知条件与欲求问题之间的桥梁？
解：由题意知： OB＝OA＝½ AB=15；ON＝9；OG＝2. 以AB中点O为坐标原点，建立如图所示的 直角坐标系。 设 M的半径为r，则OM=r－9,BM=r.
y N P (2, ?)
OM 2 OB 2 BM 2 (r 9) 2 152 r 2 r 17 圆Ｍ的半径r 17,圆心M (0,8)
§8.4.5
圆的方程应用举例
( x a)2 ( y b)2 r 2 .其中圆心坐标为（ａ,ｂ）； 圆的标准方程： 半径为ｒ. 2 2 2 特别地；当圆心在坐标原点上，则圆的方程：x y r
知 识 回 顾
例：如图所示，一圆形拱桥，现时的水面宽为30m,拱高为9m，一艘船 高7.5m，船宽4m,问：该船能安全从拱桥通过吗？ ( 285 16.88) ｙ Ｎ Ｐ(2, ) 分析：欲使船安全通过该圆拱桥，
A
O M
G 2
x B
则圆Ｍ的方程： x 2 ( y 8) 2 289 点P在圆Ｍ上且其横坐标为 2, 当x 2时，y 8.88或 y 24.88(舍去) P (2,8.88) 又 7.5 8.88 此船能够安全通过该拱 桥.
反思与总结
1、如何建立合适的直角坐标系？
动 脑 思 考 探 索 新 知
9m
船应当从拱桥正中间驶入拱桥。
2Hale Waihona Puke ＡＯMｘ Ｂ
解题关键：(1)怎么建立合适的直 角坐标系；(2)怎么判断船能不能 通过该拱桥。 解题思路：建立合适的坐标系求 出圆的方程，再计算出圆上点P

即半 径 最 小 ” 这 个 条 件 来 确 定 的 值 ， 从而得
到该 圆 的方程 。
Ｄ。 ＋ Ｅ ｚ ｙ＋ Ｆ ｚ ） 一０ （ ≠ 一 １ ） 。
特别 地 ， 当 一 一 １时 ， 若 两 圆相 交 ， ｌ 贝 Ｊ ｌ 此
（ 法 １ ） 设 此 圆方 程 为 ｚ ＋ ｙ ＋ ２ ｘ 一
Ｊ
有 的参数 较 少 ， 因 此 灵 活 利 用 圆 系 方 程 求 解 圆方 程 问 题 ， 则可 减少 运算 量 ， 从 而 使 问 题 迅
速获解 。下面 介绍 常见 的几 种 圆系方 程及
用
所 以当 一导时， 半径 ｒ 取得最小值 ， 即
此 时 圆的 面积最 小 。
～ …
一
程 ～ 为 ＼ 一 。 ／。 ＋ （ ＼ ／ 一５ 。
（ 法 ２ ） 设 所求 圆的方程 为 － ｚ 。 ＋ ＋ ２ ｘ一 ４ ＋ １＋ （ ２ ｘ ＋ ｙ ＋ ４）一 ｏ， 即 ｚ。 ＋ Ｙ。 ＋
２ （ １ ＋ ） ＋ （ 一 ４ ） ＋ （ １ ＋４ Ａ ） 一 ０。
２ ｘ十 １ ０ ｙ一 ０同 心 的 圆 Ｃ 的 方 程 。
解 ： 与圆 ｚ ＋ ｙ 一 ２ ｘ＋ ｌ Ｏ ｙ — ｏ 同 心 的
欲使所 求 圆的 面 积 最 小 ， 只 需 圆 的 半 径
圆 Ｃ 的方程 可 设 为 ｚ ｚ ＋ｙ ２ —２ ． ｚ十 ｌ Ｏ ＋ 一
ｏ， 把点 Ｍ （ ２ ， 一１ ） 代 入 此 方 程 可 得 一 ９ 。 所 以 所 求 圆 Ｃ 的 方 程 为 ｚ 。 ＋ 。 一２ ｘ＋
４ ＋ １＋ （ ２ ｘ＋ ＋ ４ ）一 ０，即 ｚ ＋ Ｙ 。＋ ２ （ １ ＋ ） ＋ 一 ４ ） ｙ＋ ｌ ＋４ Ａ一 ０ ， 由 此 方 程

圆系方程及其应用圆系方程是描述平面上所有圆的方程。

圆是由与固定点之间的距离保持不变的所有点组成的集合。

圆系方程可以用来解决各种几何问题，如确定圆的位置、分析圆与其他几何图形的关系等。

一、圆的方程1.标准方程圆的标准方程是以中心坐标和半径为变量的方程，形式如下：(x-h)^2+(y-k)^2=r^2其中，圆心坐标为(h,k)，半径为r。

2.参数方程圆的参数方程是以圆周上的点的坐标为变量的方程，形式如下：x = h + r*cosθy = k + r*sinθ其中，θ是圆周上的一个参数，范围为0到2π。

3.一般方程圆的一般方程形如：Ax^2+Ay^2+Bx+Cy+D=0其中，A、B、C、D是常数，圆心坐标可以通过一般方程中B、C的系数求出。

二、圆系方程的应用1.圆的位置通过圆系方程可以判断圆的位置。

当一般方程中的B和C的系数为零时，圆位于x轴或y轴上；当A和D的系数为零时，圆位于原点；当一般方程中B和C的系数不为零时，可以通过圆心坐标(-B/2A,-C/2A)来确定圆的位置。

2.圆与直线的关系通过圆系方程可以分析圆与直线的关系。

当圆的一般方程与直线的一般方程相交时，可以通过求解联立方程来确定相交点；当一般方程中A、B、C的系数满足一些条件时，圆与直线相切或相离。

3.圆与圆的关系通过圆系方程可以分析圆与圆的关系。

当两个圆的一般方程相交时，可以通过求解联立方程来确定相交点；当一般方程中A、B、C的系数满足一些条件时，圆与圆相切或相离。

4.圆的切线通过圆系方程可以确定圆的切线。

给定圆(y-k)^2=r^2和一直线Ax+By+C=0，可以通过求解联立方程确定圆上的一个点，然后通过推导求出该点处的切线方程。

以上是圆系方程及其应用的简要介绍。

圆系方程不仅可以帮助我们确定圆的位置和分析圆与其他几何图形的关系，还可以应用于解决实际问题，如地图上两个位置之间最短距离、圆形物体的表面积和体积等。

掌握圆系方程的应用技巧，对于解决几何问题与实际应用将大有裨益。

题醉了
二、典型例题 例题 1 求证：无论 m 取何实数时，直线
2(m + 1)x + (m - 1)y - (m + 3) = 0
恒过定点，并求出定点的坐标.
【规律方法】 （1）分离系数法：一般，去了括号后，根据是否含有 m 的项分组，得
(2x - y - 3) + m(2x + y - 1) = 0 ì ï 2x - y - 3 = 0 从中可得到两个直线方程， 最后， 联立解方程组 í 可得定点坐标； ï î 2x + y - 1 = 0
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的同心圆系方程： x2 + y2 +Dx +Ey + λ = 0 .
2 2 Ax + By + C = 0 x + y +Dx +Ey +F = 0 交点的圆系方程为： 2.过直线 与
x2 + y2 +Dx +Ey +F + λ(Ax +By + C) = 0(λ ? R) ；
m(x + 2y + 3) + n(2x + y - 5) = 0 .
4.一个二次方程表示两个直线方程：例如
(x + 2y) ? (2x y - 5) = 0 就表示两条直线 x + 2y = 0 和 2x + y - 5 = 0 亦即二次方程
2x2 + 2y2 + 6xy - 5x - 10y = 0 就表示以上两条直线.
堂练习
1.方程 x2 - y2 = 0表示的图形是 两条直线x +y = 0和x - y = 0 . 2. 直线系2x - y +m = 0 中任意一条直线与直线系2x + 4y +n = 0 中的任意一条 直线的位置关系是 垂直 . 3.方程 x + y - 6 x + y +3m = 0表示两条直线，求 m 的取值范围.

过直线与圆交点的圆系方程在平面几何中，圆系方程是一种用于描述圆的方程。

它可以用来表示圆的位置、大小和形状等信息。

而过直线与圆交点的圆系方程则是一种特殊的圆系方程，它描述的是一个圆与一条直线相交的情况。

我们来看一下圆系方程的一般形式。

设圆的方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²其中，(a,b)为圆心坐标，r为半径。

这个方程可以表示平面上所有以(a,b)为圆心，r为半径的圆。

现在，我们考虑一个圆与一条直线相交的情况。

假设直线的方程为：ax + by + c = 0其中，a、b、c为常数。

我们可以将这个方程写成一般式：y = (-a/b)x - c/b这个方程表示的是平面上所有斜率为-a/b，截距为-c/b的直线。

现在，我们来考虑圆与直线相交的情况。

假设圆与直线的交点为(x0,y0)。

那么，这个点既满足圆的方程，也满足直线的方程。

即：(x0-a)² + (y0-b)² = r²ax0 + by0 + c = 0我们可以将第二个方程中的y0用第一个方程中的x0表示出来，得到：y0 = (-a/b)x0 - c/b将其代入第一个方程中，得到：(x0-a)² + [(-a/b)x0 - c/b - b]² = r²这个方程就是过直线与圆交点的圆系方程。

它描述的是所有与直线相交，并且交点为(x0,y0)的圆。

需要注意的是，这个方程中的x0和y0是未知数，需要通过解方程组得到。

一般来说，这个方程比较复杂，不容易直接求解。

因此，我们通常会采用其他方法来求解过直线与圆交点的圆系方程。

过直线与圆交点的圆系方程是一种用于描述圆与直线相交的情况的方程。

它可以帮助我们更好地理解圆与直线的关系，进而解决相关的几何问题。

专题7.5：圆系方程问题的研究与拓展【课本溯源】（1）已知一个圆经过直线l ：240x y ++=与圆C ：222410x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程.（2）求圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆226280x y y ++-=的交点的圆的方程.【问题提出】问题1：过直线与圆的交点的圆系方程问题知识点睛：过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程为： ()()220x y Dx Ey F Ax By C ,R λλ+++++++=∈.问题2：过两圆交点的圆系方程问题知识点睛：经过两圆221110x y D x E y F ++++=与222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为：()()222211122201x y D x E y F x y D x E y F R,λλλ+++++++++=∈≠-.特别的，当1λ=-时，上式为()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=，其表示两圆的相交弦或公切线所在的直线。

问题3：一些特殊的运用技巧（1）点圆——半径为0的圆；（2）想像圆——直角三角形的外接圆.【探究拓展】探究1：求过直线l ：240x y ++=与圆1C ：2242130x y x y +++-=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积.变式1：一圆过圆2220x y x +-=与直线230x y +-=的交点，且圆心在y 轴上，求这个圆的方程．变式2：求过两圆1C ：2242130x y x y +++-=与2C ：22240x y y +--=的交点且圆心在直线l ：2410x y +-=上的圆的方程为______________________________.变式3：求经过两圆1C ：22410x y x y ++++=及2C ：222210x y x y ++++=的两个交点且半径最小的圆的方程.变式4：过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为____________. 变式5：过原点O 作圆C ：2268200x y x y +--+=的两条切线,设切点分别为点P 、Q ,则线段PQ 的长为 .探究2：已知动圆C ：224220200x y ax ay a +-++-=，a R ∈，证明不论a 取任何实数值，动圆C 恒过一个定点.变式1：求证：对任意实数k ，()222262310x y kx k y k +--+--=恒过两个定点. 变式2：已知曲线020202422=-++-+m my mx y x . （1）求证无论m 取何实数，曲线C 过一定点；（2）证明当2≠m 时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条定直线上.探究3：求与圆C ：2248150x y x y +--+=相切于点()36P ,且过点()56Q ,的圆的方程.探究4：已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=相交于P 、Q 两点，O 是坐标原点，若OP OQ ⊥，求实数m 的值.变式：已知圆C ：222440x y x y +-+-=.是否存在斜率为1的直线l 被圆C 截得的弦为 AB ，使得OA OB ⊥ (O 为原点)？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，说明理由.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。

倒 ， 已知 圆 ｚ 。 ＋ｙ 。 ＋ｚ一 ６ ｙ＋Ｔ ｎ一０与直 线 ． ｚ ＋２ ｙ一３ —０相 交 于 Ｐ， Ｑ两点 ， ０ 为 坐标 原 点 ， 若 ＯＰ上ＯＱ， 求实数 ｍ 的值 。 解： 若 ＯＰ上 Ｏ Ｑ， 则 过 Ｏ， Ｐ， Ｑ 三点可作 圆， 该
圆 在 过 两 交 点 Ｐ， Ｑ 的 圆系方 程为 ｚ ＋ ｙ ＋ ｚ一
０ ， 即 一一÷。故过 原点 的圆的方 程为 ＋ｙ 。 ＋
３ １ ７ ｚ 一 ＝０ ｏ
（ 一 ， 一
） 在 公 共 弦 上 。
因 为 点 Ｍ 在 直 线 ２ ｘ － ｙ 一 。 上 ， 所 以 ２ （ 一 ）
一
（ ２ ） 当圆心 在直 线 ２ ｌ ｚ ＋ ＋４ —０上时 （ 即以两 交 点所 在 的 弦 为 直 径 ） ， 圆的面积 最小， 而 圆 心 为
３ Ａ， 得 ｍ一３ 。
一
１ 薜 － ２ ２
２ Ｉ － Ａ 。
理 丫 匕
解 上述 方程 得 一１ （ 一一１不合题 意 ， 舍去 ） 。 故 所求 圆的方程 为 ｚ ＋ 一ｚ一２ ｙ一０ 。 侧
高
倒 ２ 求 过直 线 ２ － ｚ＋ｙ＋４ —０和 圆 Ｘ ＋ｙ 。 ＋ ２ ｚ一４ ＋１ —０的交 点 ， 并 满 足 下 列条 件 之 一 的 圆 的
毒
一
■江苏
含有 参 数 的 圆 的方 程 叫 做 圆 系 方 程 ， 它 表示 具
二、 过 两 圆 Ｃ１ ： ｚ 。 ＋ｙ 。 ＋Ｄｌ ｚ＋ Ｅ１ Ｙ＋ Ｆｌ 一０ ，
麟
蒋 庆富
有某 种共 同 性 质 的 圆 的集 合 ， 称 为 圆系 。在 处 理 有 关 圆 的方 程 问题 时 ， 如 果 能用 圆系 方程 解 题 ， 则 可 以 简化 运算 ， 优化解题过程 ， 能使 问题 得 到巧 妙 解 决 。 下 面就 常见 的两种 类 型 ， 举 例说 明 。

2 2 2 2
圆的方程：
1
4 1 整理得x y x 0 1 1
2 2
2 2 4 1 2 配方得(x ) y 2 1 (1 ) 圆与直线 3 y 0相切，
2
2 1 3 0 6 4 2 1 2 (1 ) 1 3 8 化简得11 +8=0 =11
∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，
∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0．
练习：
1、求过圆 x 2 + y 2 －6x －8y + 20 = 0 和 x 2 + y 2 －10x + 4y + 4 = 0 的交点，且过点 ( 3 , －1 ) 的圆方程。
2、求过圆 x 2 + y 2－2y = 0 和直线 2x + y －3 = 0的交点，且圆心在 x 轴上的圆方程。 3、求过圆 x 2 + y 2 = 4 和 x 2 + y 2－2x－4y + 4=0 的交点，且和直线 x + 2y = 0 相切的 圆方程。
例5：求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2： x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的 方程．
相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．
∵所求圆以AB为直径， 于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25 .
解法二： 设所求圆的方程为： x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0
2 1 由圆心( , )代入2 x 4 y 1 1 1 1 3

1. 引子 题: 求经过两条曲线x 2+y 2+3x y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0交点的直线方程. 常规解法是: 联立方程 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++)2(0233)1(032222y x y x y x y x求方程组解 )3(047)2(3)1(=--⨯y x 得 得代入即),1(,47x y = .137134;003134,0,0473164922112122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==-===-++y x y x x x x x x x ），得分别代入（解得 即两交点坐标为 A(0,0), ).137,134(--B 过两交点的直线方程为 7x 4y=0. (4)观察分析以上解题过程,可发现所得结果(4)与中间状态(3)是一样的.这个是不是普遍规律,本质是什么2. 曲线系方程由上面(1),(2)得到(3),这是解方程的基本步骤,这一步的几何意义是什么呢我们可得以下结论结论1: 如果两条曲线方程是 f 1(x,y)=0 和 f 2(x,y)=0, 它们的交点是P(x 0,y 0),则方程 f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0的曲线也经过P(x 0,y 0) (是任意常数).此结论即由联立方程⎩⎨⎧==)6(0),()5(0),(21y x f y x f 得到 )7(0),(),(21=+y x f y x f λ 只须将（x 0,y 0）代入（7），可立即证明。

有了这个结论，有些题目可快速求解。

过两圆交点的公共弦所在直线方程就是将两圆方程联立消去二次项所得方程。

例 2 (课本题) 求经过两圆x 2+y 2+6x 4=0和x 2+y 2+6y 28=0的交点,并且圆心在直线x y 4=0上的圆的方程.解: 构造方程 x 2+y 2+6x 4+λ(x 2+y 2+6y 28)=0即 (1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x+6λy (4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(λλλ+-+-当该圆心在直线x y4=0上时,即 .7,041313-==-+++-λλλλ得 ∴ 所求圆方程为 x 2+y 2x+7y 32=0例3：（题）求证：两椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2, a 2x 2+b 2y 2=a 2b 2的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆方程。