圆系方程

第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔 等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。

确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ； 干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔 为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。

圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：1．以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22+0x y Dx Ey F +++=同心的圆系方程为：22+0x y Dx Ey λ+++=2．过直线:0l ax by c ++=与圆22:+0C x y Dx Ey F +++=交点的圆系方程为：22++0x y Dx Ey F ax by c R λλ+++++=∈（）（）（1）当直线l 与圆C 交于,A B 两点时，圆系中的所有圆是以AB 为公共弦的一系列相交圆，其圆心在公共弦AB 的垂直平分线上；（2）当直线l 与圆C 切于点A 时，这时圆系的圆心(,)22D aE b M λλ++--， (,)(,)(,)(,)2222222D aE b D E a b CM OM OC a b λλλλλ++=-=-----=--=- 而直线l 的法向量(,)n a b =，∴=2CM n λ-，∴n ∥CM 因此，CM l ⊥，且直线l 为圆C 的过点A 的切线．又∵CA l ⊥（过切点的半径与切线垂直），∴CA 与CM 重合．由此可知，圆系中的所有圆（除圆C 外）与圆C 内切或外切于点A ，直线l 是它们的公切线， 圆心都在直线CA 上．3．过两圆221111:+0C x y D x E y F +++=与222222:+0C x y D x E y F +++=交点的圆系方程为：()()2222111222++01x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++=≠-．可知，圆心1212(,)2(1)2(1)D DE E M λλλλ++--++, 121211212111()()(,)(,)(,)2(1)2(1)222(1)2(1)D DE E D E D D E E C M OM OC λλλλλλλλ++--=-=-----=--++++ 22112112[(,)(,)]()1222211D E D E OC OC C C λλλλλλ=-----=-=+++ 因此，点12,,M C C 共线，即圆系的所有圆的圆心M 都在已知两圆的连心线12C C 上．（1）当圆1C 与圆2C 相交于,A B 两点时，则12AB C C ⊥（即连心线与公共弦垂直），且弦AB 为所有圆的公共弦；（2）当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，则M 在过切点A 的连心线12C C 上，圆系的所有圆都与已知的圆1C 及圆2C 在点A 处内切或外切．注意：（1）此圆系不含圆222222:+0C x y D x E y F +++=；（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=（3）特别地，当1λ=-时，上述方程()121212()()()0*D D x E E y F F -+-+-=称为根轴方程． 根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．①当两已知圆1C 与圆2C 于,A B 两点时，方程(*)表示公共弦AB 所在直线的方程；②当圆1C 与圆2C 内切或外切于A 点时，方程(*)表示过（内或外）公切点A 的公切线方程．这时，除点A 外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．二．圆系方程在解题中的应用例1．求经过两圆22320x y x y ++--=和2233210x y x y ++++=交点和坐标原点的圆的方程．解：设所求圆的方程为：()22223233210x y x y x y x y λ++--+++++= ∵点()0,0在所求的圆上，将0x y ==代入，得20λ-+=，解得2λ=故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。

圆系方程公式圆系方程公式是圆的数学表达式，它主要用于求解圆的相关参数。

圆系方程公式一般有以下几种形式：一、标准方程形式：X² + Y² + AX + BY + C = 0这里 A 、 B、C 是常系数，X 和 Y 是变量。

通过求解上述方程，可以求出圆心坐标（h，k）和半径 r 。

二、极坐标形式：r = a (1 - cos θ)在极坐标形式中，a 是半径，θ 是角度。

三、参数方程形式：x = a cos ty = b sin t在参数方程形式中，a 和 b 分别代表圆的长轴和短轴，t 是只变量，它可以从0 到2π 依次取值。

四、中心坐标形式：(x-h)² + (y-k)² = r²这里 h 和 k 分别代表圆心的横纵坐标，r 是半径。

圆系方程公式用来描述的是一种圆形图形，它的定义为：以某一点 P 作圆心，以某一条直线 L 作圆周，并且P 点到 L 直线的距离都相等。

圆系方程公式主要用于求解圆的相关参数，如圆心坐标、半径等，它能够更加准确地描述圆形图形，常用于工程设计中。

圆系方程公式可以用来求解圆形图形的面积和周长，其求解公式分别为：面积公式：S = πr²周长公式：C = 2πR其中，S 为圆形图形的面积，C 为圆形图形的周长，r 为圆的半径，π 为圆周率。

圆系方程公式不仅用于求解圆形图形的相关参数，还可以用于求解各种圆形图形之间的关系。

如可以求解两个圆形图形的位置关系、相交情况、切点等，可以对各种圆形图形进行适当的变换，以此达到工程设计的目的。

总之，圆系方程公式是一种可以准确描述圆形图形的数学表达式，可以帮助我们更好地求解圆形图形的相关参数，以及它们之间的关系，是一种非常重要的数学工具。

圆的方程的三种形式
圆的方程有两种形式，分为标准方程、一般方程。

圆的标准方程形式为：（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程形式为：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。

和标准方程对比来看，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

圆的方程形式
圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。

和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

圆
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

圆有无数条对称轴。

在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

圆可以表示为集合{M||MO|=r}，其中O是圆心，r是半径。

圆的标准方程是(x-a)²+(y - b)² = r²，其中点(a,b)是圆心，r是半径。

圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。

初中数学圆的方程知识点
1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的'标准方程是(xa)^2+(yb)^2=r^2。

特殊地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。

2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^24F)/4.故有：
(1)、当D^2+E^24F0时，方程表示以(D/2,E/2)为圆心，以(√D^2+E^24F)/2为半径的圆;
(2)、当D^2+E^24F=0时，方程表示一个点(D/2，E/2);
(3)、当D^2+E^24F0时，方程不表示任何图形。

3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB 为直径的圆的方程为 (xa1)(xa2)+(yb1)(yb2)=0
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2
在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2 圆的方程学问在学校数学逇学习中涉及到的并不是许多，同学们把握基础就好。

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直线与圆交点的圆系方程
过直线与圆相交点AB的圆系方程,为什么是x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0
用集合论来证明就可以了,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0这个方程满足圆的一般方程,所以这个方程描述的是一个圆,而且所有同时满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0,AX+BY+C=0的点（即交点）一定满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,因为0+λ*0=0,所以,它们的交点在这个方程确定的圆上（属于这个方程描述的集合）.但是,对于不满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0和AX+BY+C=0的点,也可以满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,这些点就是这个圆上不是两个交点的其他点.我再举个例子,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）^2=0 ,这个方程描述的就是过直线和圆交点的椭圆（包括虚椭圆）.对于任意的若干个方程组,每个方程组含有若干个方程,它们的交集空间大都可以通过构造,含于满足条件特征空间之中.。

圆系方程公式
圆系方程是几何学中一类重要的概念，也是数学中最基本的概念之一。

它是由欧几里得发明的，在17世纪出现在西方数学史上。

圆系方程是一个定义了圆的数学表达式，它可以用来描述圆的形状。

它的形式是：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中a和b是圆心的坐标，r 是圆的半径。

它可以用来表示一个圆的位置，大小和形状。

圆系方程在几何学中有很多应用，如计算面积、计算周长等。

圆系方程也可以用来描述几何图形，比如圆形，椭圆形，抛物线等，这些图形可以用圆系方程来描述。

此外，圆系方程还有许多工程应用，比如建筑设计、航空航天、城市规划等，它们都需要用圆系方程来表示几何图形，以便正确处理问题。

总之，圆系方程是一类重要的数学表达式，它在几何学和工程应用中都有着重要的作用，可以用来表示几何图形和计算面积、周长等。

圆系方程的理解与推导在数学中，圆是一个非常重要的几何形状。

圆的方程描述了在平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。

圆的方程有多种形式，下面将介绍其中两种常见的形式：标准圆方程和一般圆方程。

1. 标准圆方程：标准圆方程表述为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。

这个方程说明了平面上距圆心的欧几里得距离等于半径的点构成了圆。

推导标准圆方程的方法如下：首先，假设圆心为(h, k)，半径为r。

对于任意点(x, y)位于圆上，根据欧几里得距离的定义，有：√((x - h)² + (y - k)²) = r两边平方得：(x - h)² + (y - k)² = r²这就是标准圆方程。

2. 一般圆方程：一般圆方程可以写为Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数。

这个方程描述了平面上满足该方程的点的集合构成了圆。

推导一般圆方程的方法如下：首先，假设圆心为(h, k)，半径为r。

根据圆的定义，圆上的点与圆心的距离应等于半径。

因此，我们可以得到一个方程：√((x - h)² + (y - k)²) = r两边平方后展开，并移项，可得：(x - h)² + (y - k)² - r² = 0进一步展开并整理，可得：x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0将上式与一般圆方程进行比较，我们可以得到：A = 1，B = 1，C = -2h，D = -2k，E = h² + k² - r²这就是一般圆方程。

通过推导和理解圆的方程，我们可以在平面几何中更好地描述和分析圆的性质和关系。

过两点的圆系方程
过两点的圆系方程
圆有着深深的文化内涵，它代表了和平、美好、完整。

而由两点直接表示出来
的圆，表达了一种更加个性、更加会心的为爱而围绕的状态。

通常我们都知道：“任何一个由两点直接表示出来的圆，其方程为：(x-
a)^2+(y-b)^2=R^2”，其中，“(a,b)” 是圆心的坐标，“R” 是圆的半径长度。

用一些具体的实例来说明，假如我们要构建一个由 (1,2) 和 (7,6) 两点定义
出来的圆，根据上面的方程式：(X-a)^2+(y-b)^2=R^2，我们知道，圆心坐标 (a,b) 是 (4,4)，而半径 R 是 5，那么这个圆的方程式就是：(X-4)^2+(y-4)^2=25。

由于圆的历史思想涵义深远，有时候连圆都会成为一种布局手段，因为它的完
美结构，圆环的构造也被用来构建一种意象精美的布局空间。

因此，由两点定义出来的圆具有很强的实用性，它的使用范围非常广泛，使用它可以构建出许多有趣的空间。

总的来说，由两点定义出来的圆，不仅具有文化内涵，而且实用性也非常强，
可以广泛地用于构建空间布局，起到艺术视觉的作用，让空间感觉舒适美丽，盈满生机。

经过某定点的圆系方程在数学中，圆是一种非常重要的几何图形，它具有许多特点和性质。

而当我们考虑某一个定点时，圆的方程也会因此而发生变化。

下面，我们将探讨经过某定点的圆系方程。

我们来考虑一个简单的情况。

假设我们有一个定点O，坐标为(x0, y0)，我们想要找到一个圆，使得它经过点O。

那么这个圆的方程是什么呢？根据圆的定义，一个点P(x, y)在圆上，当且仅当它到圆心的距离等于圆的半径r。

因此，我们可以得到以下方程：sqrt((x - x0)^2 + (y - y0)^2) = r这就是经过点O的圆的方程。

我们可以看到，当点P满足该方程时，它就在圆上；反之，若点P不满足该方程，则它不在圆上。

接下来，我们来考虑一个稍微复杂一些的情况。

假设我们有两个定点O1和O2，坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，我们想要找到一个圆，使得它同时经过这两个点。

那么这个圆的方程是什么呢？同样地，我们可以利用圆的定义来得到方程。

对于点P(x, y)来说，它到点O1和O2的距离应该分别等于圆的半径r。

因此，我们可以得到以下两个方程：sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2) = rsqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2) = r这就是经过点O1和O2的圆的方程。

我们可以看到，当点P满足这两个方程时，它就在圆上；反之，若点P不满足其中任意一个方程，则它不在圆上。

除了经过两个点的情况，我们还可以考虑经过三个点的圆的方程。

假设我们有三个定点O1、O2和O3，坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)和(x3, y3)，我们想要找到一个圆，使得它同时经过这三个点。

那么这个圆的方程是什么呢？同样地，我们可以利用圆的定义来得到方程。

对于点P(x, y)来说，它到点O1、O2和O3的距离应该分别等于圆的半径r。

因此，我们可以得到以下三个方程：sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2) = rsqrt((x - x2)^2 + (y - y2)^2) = rsqrt((x - x3)^2 + (y - y3)^2) = r这就是经过点O1、O2和O3的圆的方程。

圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。

3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。

圆系方程及其应用一、常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax ＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例1 求经过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，并且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程。

解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式； 2．用标准式。

（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。

）解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：1．两交点的中垂线与直线相交；2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；3．两圆心连线与直线相交。

解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。

例１、求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程． 解：方法3：由题可设所求圆的方程为：（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０∵ （0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋λ＝０． 从而λ＝２故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。

圆系方程推导圆是一个非常常见的几何图形，它具有许多有趣的性质和特点。

在代数学中，我们可以通过一些方程来描述和研究圆的性质。

本文将为您介绍圆的方程推导过程，并解释如何利用这些方程来解决一些相关的几何问题。

首先，让我们从圆的定义开始。

一个圆是由到一个固定点（圆心）距离相等的所有点组成的。

假设圆心是点（h，k），半径为r。

我们想要找到一种方程，用来表示满足这个条件的所有点。

根据勾股定理，任何一个点（x，y）到圆心的距离可以表示为√[(x-h)²+(y-k)²]。

因为圆的特点是到圆心距离相等，我们可以将这个表达式设置为半径r。

由此可得方程：√[(x-h)²+(y-k)²]=r然而，这个方程不方便用来进行计算和研究。

为了简化方程，我们可以对其进行平方操作，这样就可以消去开方运算符。

得到如下方程：(x-h)²+(y-k)²=r²这个方程就是圆的标准方程，也被称为圆的一般方程。

通过这个方程，我们可以方便地研究和描述圆的性质。

在实际应用中，我们有时需要通过已知的条件来确定一个圆。

比如已知圆心和一个点，我们需要找到圆的方程。

让我们假设圆心为点（h，k），半径为r，另外给定一个点（x₁，y₁）。

我们知道该点到圆心的距离等于半径r，因此可以得到以下方程：√[(x₁-h)²+(y₁-k)²]=r同样地，对该方程进行平方操作，可以得到：(x₁-h)²+(y₁-k)²=r²这个方程描述了过已知点的圆。

除了标准方程外，我们还可以利用其他方程形式来描述圆。

例如，我们可以使用圆的参数方程：x=h+rcosθy=k+rsinθ其中，θ是一个参数，代表圆上的一个点。

通过改变θ的取值，我们可以遍历整个圆的轮廓。

此外，我们还可以将圆的方程与直线的方程联立，从而求解圆与直线的交点。

以圆的一般方程和直线方程为例，我们可以将两个方程联立并求解x和y的值。