完全平方公式的灵活应用

完全平方公式的综合应用例1：矩形面积最大问题假设一个菜农要栽种一片长方形菜田，如果他只有一定长度的篱笆，那么他应该怎样才能使得菜田的面积最大呢？解法：设菜田的长度为x，宽度为y，根据题意我们可以得到一个方程：2x+y=200（因为需要两条边之和等于篱笆的长度）现在我们要找到这个方程的最大值，首先将方程变形为：y=200-2x 接下来我们可以使用完全平方公式来求解最大值。

根据完全平方公式，这是一个开口向下的抛物线，所以我们可以知道最大值是在顶点处取得的。

所以矩形的长度为50，宽度为100，当且仅当菜田是一个正方形时，面积最大。

例2：解一元二次方程假设有一个一元二次方程x^2+8x+16=0，我们需要求解它的解。

解法：首先，我们观察这个方程可以发现它可以化简为一个完全平方形式。

将方程变形为：(x+4)^2=0根据完全平方公式，我们知道只有当一个数的平方等于0时，这个数才能等于0。

所以，我们可以得到：x+4=0或x=-4所以方程的解为x=-4例3：求两点之间的距离假设有两个点A(5,7)和B(9,3)，我们需要求解它们之间的距离。

解法：我们可以利用两点之间的距离公式来求解。

根据两点之间的距离公式，我们可以得到：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)将点A的坐标代入为x1=5，y1=7，将点B的坐标代入为x2=9，y2=3，带入方程可得：d=√((9-5)^2+(3-7)^2)d=√(4^2+-4^2)d=√(16+16)d=√32所以点A和点B之间的距离为√32通过以上例子，我们可以看到完全平方公式在解决不同类型的问题时起到了非常重要的作用。

无论是求解最值问题、解一元二次方程还是求解两点之间的距离，完全平方公式都是一个非常有用的工具。

在实际生活中，完全平方公式也有很多其他应用，比如在物理学中的运动学问题、在经济学中的成本最小化问题等等。

因此，熟练掌握完全平方公式的应用是非常有价值的。

完全平方公式变形的应用完全平方公式是解二次方程的重要基础工具，可以将一个二次方程转化为一个完全平方的形式。

在实际应用中，完全平方公式变形主要用于简化计算、求解函数极值、确定函数性质等方面。

下面我们将具体介绍完全平方公式变形的应用。

一、解析几何中的应用1.完全平方公式变形常用于求解平面上的曲线的性质，如拟合圆弧、确定形状等。

例如，在平面几何中，如果已知一个椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，要求椭圆上两点之间的距离，可以利用完全平方公式将方程变形为$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1$，即$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$。

然后，通过参数方程求解两点之间的距离。

2.完全平方公式变形也常用于解决计算几何中的问题。

例如，在计算几何中，如果已知一个长方形的面积为$8$平方单位，要求长方形的长和宽的和，可以利用完全平方公式将面积写成方程$x^2+lx-8=0$，其中$l$为长方形的长和宽的和。

然后，通过求解这个方程，即可得到长方形的长和宽的和的值。

二、实际问题中的应用1.完全平方公式变形可用于优化问题中的求解。

例如，在生产实践中，工厂生产其中一种产品，设产量为$x$件/天。

已知每件产品的销售价格为$p$元/件，每件产品的生产成本为$c$元/件，则销售收入$R$与生产成本$C$之间的关系可以表示为$R=px$，$C=cx$。

要使得利润最大化，即$R-C$最大化，可以通过完全平方公式变形求得产量$x$的最优值，进而计算出最大利润。

2.完全平方公式变形可用于求解抛物线的最值问题。

例如，在物理学中，一个抛体的运动轨迹为抛物线，设该抛物线的方程为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为常数。

要求抛物线的顶点坐标，可通过完全平方公式将方程变形为$y=a(x-\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$，即可得到顶点坐标$(\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$。

完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。

掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。

一. 完全平方公式常见的变形有a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ，a 2+b 2=（a-b ）2+2ab ，（a+b ）2-（a-b ）2=4ab ，a 2+b 2+c 2=（a+b+c ）2-2（ab+ac+bc ）二. 乘法公式变形的应用例1： 已知：x 2+y 2+4x-6y+13=0，x 、y 均为有理数，求x y 的值。

分析：逆用完全乘方公式，将x 2+y 2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x 与y 的值即可。

解：∵x 2+y 2+4x-6y+13=0，（x 2+4x+4）+（y 2-6y+9）=0，即（x+2）2+（y-3）2=0。

∴x+2=0，y=3=0。

即x=-2，y=3。

∴x y =（-2）3=-8。

例已知，试求的值。

21612242a a a a a a ++=++分析：本题巧妙地利用a a a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a 222222422222112160161111561111111156136113311+=+-++=≠=++=++∴+=-∴++=++=+-=--=-=-()()()进行运算。

解：由，可知，因此可得，。

例3 已知：a+b=8，ab=16+c 2，求（a-b+c ）2002的值。

分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c ）2002的值，可利用（a-b ）2=（a+b ）2-4ab 确定a-b 与c 的关系，再计算（a-b+c ）2002的值。

解：（a-b ）2=（a+b ）2-4ab=82-4（16+c 2）=-4c 2。

即：（a-b ）2+4c 2=0。

∴a-b=0，c=0。

∴（a-b+c ）2002=0。

例4 已知：a 、b 、c 、d 为正有理数，且满足a 4+b 4+C 4+D 4=4abcd 。

完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解 由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解 设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。

高考数学中的完全平方公式运用高考数学中的完全平方公式是指$x^2+2abx+b^2=(x+a)^2$和$x^2-2abx+b^2=(x-a)^2$两个公式的应用。

这里的$a,b$为实数。

这个公式是一种因式分解方法，可以将一个二次函数的平方差分解为两个一次函数的平方。

下面将通过实例，详细介绍完全平方公式在高考数学中的运用。

首先，我们来看一个最简单的例子，求解$x^2+6x+9$。

根据完全平方公式，我们可以将$x^2+6x+9$分解为$(x+3)^2$。

这里$a=3,b=3$，代入公式即可得到原式。

接下来，我们来看一个更加复杂的例子，求解$x^2+5x-14$。

这个二次函数无法直接通过提取公因式、配方法等基本方法进行因式分解，但可以通过完全平方公式进行分解。

首先，我们可以通过观察发现，$5x$项的系数为5，其两倍为10。

而余项为$-14$，其平方根为$\sqrt{14}$。

因此，我们可以令$a=5,b=\sqrt{14}$，代入完全平方公式即可得到$(x+5)^2-(\sqrt{14})^2=(x+5)^2-14$。

至此，我们已将原二次方程分解为了$(x+5)^2-14$。

在实际计算中，可以进一步把$(x+5)^2-14$化简成标准形式$x^2+10x+11$。

同样，我们也可以通过完全平方公式进行二次函数的乘法运算。

例如，计算$(x+3)(x+5)$。

根据完全平方公式，我们可以将$(x+3)(x+5)$展开为$x^2+8x+15$。

这里$a=4,b=3$，代入公式，将得到$(x+3)(x+5)=(x+4)^2-1$。

除了以上的基础应用，完全平方公式还能够在高考数学中推导一些重要的公式，比如二次函数的最值问题以及图像问题。

下面以一个例子进一步说明。

问题：若函数$y=ax^2+bx+c$的图像经过点$(2,-3)$和$(4,5)$，求$a,b,c$的值。

解析：由于图像经过给定两个点，那么这两个点满足二次函数的方程。

完全平方公式用法小结完全平方公式是中学阶段一个非常重要的公式，它的变化较多，且在好多题中都常用到，熟练掌握其变形特点，并灵活应用，能巧妙地解决很多问题。

下面结合实例对它的应用做一个小小的总结。

一、熟记公式及其变形（a±b）?=a?±2ab+b?a?+b?=（a+b）? - 2ab ，a?+b?=（a-b）2+ 2ab（a+b）? - （a-b）? =4ab（a+b）? + （a-b）? = 2（a?+b?）这几个公式逆用也可以，所以在做题时，要根据实际情况灵活选择。

二、运用公式解决有关问题1、直接运用公式计算多项式的乘法。

只要你能记住公式，这种题型相对来说较为简单。

其中需要特别注意的是这两种情况。

如计算（-2x+y）2 ，（-3a-2b）2不少学生在计算时常会因符号问题出现错误，所以在计算时可让学生先进行一下变形，再进行计算，这样就可以减少错误的发生。

即：（-2x+y）2 =（y-2x）2 ，（-3a-2b）2 =（3a+2b）22、运用平方数的非负性解题例1已知（2a+b）2+（a+1）2=0，求ab解：∵（2a+b）2+（a+1）2=0∴2a+b =0 a+1 =0解得a=-1，b=2∴ab=（-1）2=1变形：（1）已知x2+y2-2x-4y+5=0，求x，y的值。

（2）试说明无论x，y取什么值，代数式x2+2y2-2xy-6y+9的值总是非负数。

分析：这两个题需要运用拆项的方法，将多项式配成两个完全平方式的形式，然后再运用平方的非负性解题。

解（1）x2+y2-2x-4y+5=0（x2-2x+1）+（y2-4y+4）=0（x-1）2+（y-2）2=0x-1=0 y-2 =0解得x=1，y=2（2）x2+2y2-2xy-6y+9= （x2+y2-2xy）+（y2-6y+9）=（x-y）2+（y-3）2∵（x-y）2≥0，（y-3）2≥0∴（x-y）2+（y-3）2≥0所以无论x，y取什么值，代数式x2+2y2-2xy-6y+9的值总是非负数。

完全平方公式的应用：学习目标：1、能灵活应用公式进行计算。

2、通过对公式进行变形解决有关问题。

练习1：1.计算：（直接用公式）•（1）（x-4)2(2)(x-3y)2•(3)(-x+2y)2(4)(-2x-3y)2•(5)（3m-2n)2(6)(2x 2-1)22.计算：（用公式进行简便计算）（1）10022（2）99823计算：（要用到添括号法则）(1)(x+2y-z)(x-2y+z)(2)(a+b+c)2公式中的字母a 和b 可以是单项式，也可以是多项式。

练习2：（熟练掌握）1.计算：（1）(m-n+1)(m-n-1)(2)(m-n+1)(m+n+1)(3)(m-n+1)(-m-n+1) 2.计算：(1)(2m-n+1)2(2)(m-2n+1)2(3)(m-n-2)2变式（一）(a+b)2=a2+2ab+b2 ---------①(a-b)2=a2-2ab+b2 ---------②由①得：a2+b2=(a+b)2-2ab -----移一移由②得：a2+b2=(a-b)2+2ab练习：（1）已知a+b=5,ab=2,求a2+b2的值。

（2）已知a-b=5,ab=2,求a2+b2的值。

1 、已知a+ =5,求a 2+ 的值。

2、已知a-=5,求a 2+ 的值。

3、已知a 2-5a+1=0,求a 2+ 的值。

4、已知a 2-5a-1=0,求a 2+ 的值。

a 1a 121a 21a 变式练习：21a21a(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ---------①(a-b)2=a 2-2ab+b 2 ---------②①+②得:(a+b)2+(a-b)2=2a 2+2b 2=2(a 2+b 2)所以a 2+b 2= [(a+b)2+(a-b)2]练习：（1）已知：(x+y)2=5, (x-y)2=2, 求x 2+y 2的值。

（2）已知：x+y=5, x-y=2, 求x 2+y 2的值。

21-----加一加41(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ---------①(a-b)2=a 2-2ab+b 2 ---------②①-②得:(a+b)2-(a-b)2=4ab ---------减一减可变为：ab= [ (a+b)2-(a-b)2]练习：（1）已知：(x+y)2=5, (x-y)2=2, 求xy 的值。

完全平方公式及其应用完全平方公式是数学中一个重要的公式，利用它可以快速计算一个二次多项式的解，也可以应用于各种数学和科学领域中。

一、完全平方公式的定义完全平方公式表明，任意一个二次多项式都可以表示为一个完全平方加上一个常数项。

具体地讲，对于形如ax²+bx+c的二次多项式，其完全平方公式为：ax²+bx+c = a(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a其中，x是未知数，a、b、c均为实数且a不等于0。

二、完全平方公式的应用1. 求二次函数的零点对于形如ax²+bx+c=0的二次方程，可以利用完全平方公式解出其根。

ax²+bx+c = a(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a = 0解得：x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a这就是二次函数的根，也叫做零点。

2. 计算几何中的面积利用完全平方公式，可以计算各种几何图形的面积。

比如，对于一个正方形，其对角线的长度可以表示为边长的根号2倍，即：d = a√2其中，a为正方形的边长。

根据勾股定理，任意一个直角三角形的斜边也可以用完全平方公式表示。

3. 计算概率完全平方公式还可以应用于概率计算中。

比如，正态分布的概率密度函数服从下面的公式：f(x) = 1/√(2πσ²) * e^-(x-μ)²/2σ²其中，e是自然对数的底数，μ是正态分布的均值，σ²是方差。

这个公式中的(x-μ)²可以用完全平方公式表示为一个完全平方加上一个常数项。

4. 计算物理量在物理中，完全平方公式也有巨大的应用价值。

比如，牛顿第二定律可以表示为：F = ma其中，F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体所受的加速度。

根据质能方程E=mc²，物体的质量也可以用能量的形式表示为E/c²。

完全平方公式的配方应用完全平方公式是一个常用的配方，可以用来进行简化和加速代数表达式的计算。

该公式指出：(a+b)² = a² + 2ab + b²该公式可以应用于以下情况：1. 因式分解如果一个代数表达式可以表示为 (a+b)²的形式，那么我们可以使用完全平方公式将其展开，并将其移到一个更简单的形式。

例如，考虑将以下代数表达式因式分解：x² + 8x + 16这个表达式可以表示为 (x+4)²，应用完全平方公式：(x+4)² = x² + 2(4)x + 4² = x² + 8x + 16因此，我们可以将 x² + 8x + 16 因式分解为 (x+4)²。

2. 完成平方如果有一个简单的代数表达式，我们可以使用完全平方公式将其转化为更简单的形式，这个过程被称为“完成平方”。

例如，考虑将以下代数表达式完成为平方：x² + 6x + 5这个表达式可以表示为 (x+3)² - 4，应用完全平方公式：(x+3)² - 4 = x² + 2(3)x + 3² - 4 = x² + 6x + 5因此，我们可以将 x² + 6x + 5 完成为平方形式 (x+3)² - 4。

3. 解一元二次方程一元二次方程的标准形式为：ax² + bx + c = 0 ，其中a、b、c为常数，x为未知数。

我们可以使用完全平方公式来解一元二次方程。

例如，考虑解方程 x² - 4x - 5 = 0，我们可以将其变形为 (x-2)² - 9 = 0，应用完全平方公式：(x-2)² - 9 = 0(x-2)² = 9x-2 = ±√9x = 2±3因此，方程的根为 x = 2+3 或 x = 2-3，即 x = 5 或 x = -1。

完全平方公式的几个拓展应用完全平方公式是任何一个学生学习数学的一个重要部分。

这个公式通常被用于简化在数学中的一些复杂的运算。

然而，除了简化运算，完全平方公式还有许多其他的应用。

在本文中，我们将探讨完全平方公式的几个扩展应用，这些应用可帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学运算的效率。

一、完全平方公式的扩展完全平方公式是指一个二次多项式可以以平方的形式进行展开，这个公式可以表示为：$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$这个公式的意思是，一个数的平方可以分解为两个数的积加上这两个数的平方。

这个公式不仅仅应用于求一个数的平方，也可以用于求两个数字的积。

公式中的$a$和$b$可以取任意实数或复数。

二、完全平方差公式完全平方差公式是指任何二次多项式可以写成两个完全平方的差的形式，这个公式可以表示为：$$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$$这个公式可以帮助我们简化两个数的差的运算，而不是使用大量的减法来实现计算。

例如，假设我们需要计算$8^{2}-6^{2}$，我们可以使用完全平方差公式，将其写成$(8+6)(8-6)$的形式，最终答案为$2\times14=28$。

这在计算中非常有效，可以帮助我们简化运算，提高计算效率。

三、二次多项式的因式分解完全平方公式也可以通过二次多项式的因式分解来应用。

通过考虑二次多项式的因式，我们可以将其分解成可拆分为两个完全平方差的形式。

这个应用可以帮助我们避免使用一些复杂的运算方法，例如配方法。

例如，考虑二次多项式$x^{2}+6x+9$，我们可以将其写成$(x+3)^{2}$的形式，这个公式可以帮助我们更快地对多项式进行计算。

四、三元完全平方公式在三元及更高维的方程组中，也存在一种完全平方公式，称为三元完全平方公式。

这个公式指出，一个三元多项式可以写成三个一次多项式的完全平方差的和的形式。

三元完全平方公式可以表示为：$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^{2}$$这个公式可以帮助我们解决三元及更高维的多项式方程组，从而简化复杂多项式的运算。

完全平方公式的运用完全平方公式是指一个二次方程中，如果其形式为ax^2 + bx + c = 0，那么其解可表示为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。

这个公式被广泛应用于解决与二次方程相关的问题。

下面将详细讨论完全平方公式的运用。

1.求解根最常见的运用完全平方公式是求解一个二次方程的根。

给定一个二次方程 ax^2 + bx + c = 0，我们可以直接将其参数代入公式，求出 x 的值。

需要注意的是，根的个数可以通过判别式来确定。

判别式 D = b^2 - 4ac 表示方程的解的性质，可以有以下三种情况：-当D>0时，方程有两个不同实数根。

-当D=0时，方程有两个相等的实数根。

-当D<0时，方程没有实数根，解为复数。

例如，对于方程3x^2+4x-2=0，我们可以使用完全平方公式来求解。

根据公式，我们可以得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)=(-4±√(4^2-4*3*(-2)))/(2*3)=(-4±√(16+24))/(6)=(-4±√(40))/6=(-4±2√10)/6所以，该方程的解为x=(-2±√10)/32.求解其中一边长根据矩形的面积公式A=a*b，我们可以得到二次方程a*b-A=0。

将其转化为解a的二次方程，则有a=(A/b)。

将此代入原方程，我们得到：b^2-A=0这是一个关于b的二次方程。

可以使用完全平方公式求解，得到b=±√A。

因为b作为一个长度，所以b的值应该是正数，因此b=√A。

这就解出了原问题，即给定矩形的面积，求解另一边长。

3.求解最值f(x)=a(x-h)^2+k其中h和k分别代表顶点的横坐标和纵坐标。

通过完全平方公式，我们可以得到：f(x) = a(x^2 - 2hx + h^2) + k= ax^2 - 2ahx + ah^2 + k通过比较系数，我们可以得到顶点的坐标为(h,k)=(-b/2a,f(-b/2a))。

完全平方公式综合应用完全平方公式是数学中的一种常用方法，用于求解一元二次方程的解。

它的具体形式为：若二次方程ax²+bx+c=0中的常数项c是一个完全平方数，即c=m²，那么方程的解可以表示为x=（-b±√(b²-4ac)）/2a。

通过应用完全平方公式，我们可以解决各种与二次方程相关的问题，比如求解方程的实数解、求解方程的整数解、使用完全平方公式完成平方运算等等。

下面我们将分析和解决几个关于完全平方公式的综合应用题。

1.求解一元二次方程的实数解例题：解方程x²-5x+6=0。

解：根据给定的方程，我们可以看出方程的一元二次项系数a=1，一元一次项系数b=-5，常数项c=6、根据完全平方公式的公式，我们可以代入这些系数进行计算。

首先，计算判别式D=b²-4ac。

D=(-5)²-4(1)(6)=25-24=1然后，计算方程的根，并对根进行判断。

x₁=[-(-5)+√(1)]/(2*1)=(5+1)/2=6/2=3x₂=[-(-5)-√(1)]/(2*1)=(5-1)/2=4/2=2由此可知，方程x²-5x+6=0的实数解为x=3和x=22.求解一元二次方程的整数解例题：解方程x²-7x+12=0，并求出所有满足此方程的整数解。

解：根据给定的方程，我们可知常数项c=12、我们要找到所有满足方程的整数解，即通过求解方程得到的根是整数。

根据完全平方公式的应用，我们仍然计算判别式D=b²-4ac。

D=(-7)²-4(1)(12)=49-48=1由于判别式D为一个完全平方数，即D=1=1²。

我们可以看出，方程的根取决于下面的等式：x=[-(-7)±1]/(2*1)=(7±1)/2=8/2=4或6/2=4或3因此，方程x²-7x+12=0的整数解为x=4和x=33.完全平方公式的平方运算例题：求解下面的完全平方：(x+3)²=x²+6x+9解：我们可以利用完全平方公式对方程进行平方运算。

完全平方公式的变形及其应用(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²对于给定的二次方程ax² + bx + c = 0，可以使用完全平方公式来求解其根。

下面将介绍完全平方公式的变形及其应用。

在进行完全平方公式的变形之前，首先要将一般形式的二次方程进行变形，使其具有完全平方的形式。

通过配方，将二次项与线性项合并，得到完全平方的形式。

(a+b)² = a² + 2ab + b²对于二次项 2ab，可以找到两个数 a 和 b，使得 2ab = bx。

从而将a 和b 归纳出来。

利用上面的思路，将二次方程进行配方：ax² + bx + c = a (x² + bx/a) + c = a (x² + (b/2a)² - (b/2a)²) + c = a (x + b/2a)² - (b/2a)² + c再将二次项转化成完全平方的形式，可得：ax² + bx + c = a (x + b/2a)² - (b/2a)² + c在进行完全平方公式的变形之后，我们可以使用该公式来求解二次方程的根。

例如，对于二次方程x²+6x+9=0，可以采用完全平方公式来求解。

将该方程表示为完全平方的形式，可以得到：(x+3)²=0从而可以直接得到方程的解为x=-3顶点的坐标可以通过完全平方公式得到。

对于二次函数y = ax² + bx + c，其顶点的 x 坐标为 -b/2a，将其代入函数中即可得到 y 坐标。

图像的开口方向可以通过二次项的系数a的符号来判断。

当a>0时，二次函数的图像开口朝上，当a<0时，二次函数的图像开口朝下。

最值可以通过完全平方公式和顶点坐标来求解。

完全平方公式及其应用一、公式及其变形1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2）公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

2、公式变形 (1)+（2）得:2222()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22()()4a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=-3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++二、题型题型一、完全平方公式的应用例1、计算（1）（－21ab 2－32c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k =2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N =4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k =题型三、公式的逆用1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2．5．代数式xy －x 2－41y 2等于（ ）2题型四、配方思想1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____.2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______.3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______.4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy+=_______.5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ．6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？题型五、完全平方公式的变形技巧1、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。

完全平方公式的实际问题解析完全平方公式是初中数学中非常重要的内容之一，它的应用领域非常广泛，不仅可以用来解决数学问题，还可以在现实生活中的各种实际问题中得到运用。

本文将对完全平方公式的实际问题进行深入分析和解析。

一、完全平方公式概述完全平方公式是指一个二元二次方程可以写成两个一次方程的平方和的形式，即a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。

在数学中，完全平方公式通常用于解决关于平方根的问题，包括方程的因式分解、解方程等。

二、房屋装修中的应用在现实生活中，完全平方公式可以被运用到房屋装修中。

比如，如果我们需要铺设一个长方形房间的地板，可以根据房间长度和宽度应用完全平方公式来计算所需的地板面积。

假设房间长度为a，宽度为b，则地板面积为a*b，这里a和b都是常数。

如果我们知道地板的总面积为x平方米，那么可以得到方程a*b=x。

通过完全平方公式的求解，可以得到a和b的具体数值，帮助我们合理规划房屋装修的预算和材料使用。

三、汽车行驶中的应用另外一个实际问题中完全平方公式的应用是汽车行驶中。

在汽车行驶中，速度、时间和距离之间存在着复杂的关系，而完全平方公式可以帮助我们更好地理解这些关系。

例如，如果我们知道汽车以a km/h的速度行驶了b小时，就可以通过完全平方公式计算汽车行驶的总距离。

假设汽车行驶的距离为x公里，可以得到方程a*b=x。

通过完全平方公式的运用，可以求解出汽车的行驶距离，为我们提供出行的参考依据。

四、多项式函数的图像分析除了房屋装修和汽车行驶这些实际问题，完全平方公式还可以被应用于多项式函数的图像分析中。

在数学函数的研究过程中，完全平方公式可以帮助我们快速求解函数的极值点、拐点等重要信息。

通过对多项式函数进行完全平方公式的分解，可以更清晰地了解函数的特性和规律，为数学建模和实际问题的解决提供了有效途径。

五、结语总的来说，完全平方公式在数学领域中的应用非常广泛，同时也可以在现实生活中的各种实际问题中得到有效运用。

八上完全平方公式完全平方公式是在数学中非常有用的公式之一，主要用于求解几个数的平方和。

下面将详细介绍完全平方公式的概念、应用和示例。

一、完全平方公式的基本概念完全平方公式是指：如果有一个数x，那么(a ± b)² = a²± 2ab + b²其中，a和b是两个数，表示它们之间的差或和。

这个公式可以用来求解a、b的平方和。

二、完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有很多应用，比如求多项式的平方和、解方程组等等。

其中最常见的是求解一元二次方程的根。

例如，对于方程x² + 2x + 3 = 0，可以通过求二次项系数a²和常数项b²的和的平方减去4倍的二次项系数a²来求解这个方程。

三、完全平方公式的示例以下是一些完全平方公式的示例：1. 求两个数的平方和：(3 + 4)² = 3² + 4² + 2 × 3 ×4 = 53 2. 求三个数的平方和：(1 - 2)² + (2 - 3)² + (4 -5)² = 2 - 2 × (2 × 2 +3 × 4 + 5 × 5) = -14以上这些示例说明完全平方公式不仅在求解两个数的平方和非常有用，而且也可以解决三个数的平方和的问题。

当然，当数字超过三个时，可以考虑其他数学方法。

四、总结通过上述介绍，我们了解了完全平方公式的基本概念、应用以及一些示例。

完全平方公式是数学中的一个重要工具，它能够解决许多数学问题，特别是求几个数的平方和的问题。

通过灵活运用完全平方公式，可以提高解题效率和准确性。

教学实践新课程NEW CURRICULUM完全平方公式经过变形或重组可以衍生出新的公式，灵活运用这些公式，可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

完全平方公式（a+b ）2=a 2+2a b +b 2①（a-b ）2=a 2-2a b +b2②{思想方法：1.a 和b 可以是数，可以是式子；2.要有整体观念，即把某个数或式子看成a 或b ，再运用公式；3.注意运用变形公式。

变形一：将公式①变形为a 2+b 2=（a+b ）2-2a b或ab =（a +b ）2-（a 2+b 2）2，将公式②变形为a 2+b 2=（a-b ）2+2a b或ab =（a 2+b 2）-（a -b ）22。

将（a +b ）2（或a +b ），a 2+b 2，ab 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式①及其变形公式可以直接求得第三个整体的值；同理，将（a-b ）2（或a-b ），a 2+b 2，ab 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式②及其变形公式可以直接求得第三个整体的值。

例1.已知a +b =3，ab =2，求a 2+b 2的值。

解：∵a +b =3，ab =2∴a 2+b 2=（a+b ）2-2ab =32-2×2=5变形二：由①+②得（a+b ）2+（a-b ）2=2（a 2+b 2），可变形为a 2+b 2=（a 2+b 2）+（a -b ）22。

将a+b ，a 2+b 2，a-b 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式①+②及其变形公式可以直接求得第三个整体的值。

例2.已知a+b=3，a-b=2，求a 2+b 2的值。

解：∵a+b=3，a-b=2∴a 2+b 2=（a +b ）2+（a -b ）22=32+222=132变形三：由①-②得（a+b ）2-（a-b ）2=4ab ，可变形为（a+b ）2=（a-b ）2+4ab 。

将a+b ，ab ，a-b 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式①-②及其变形公式可以直接求得第三个整体的值。

完全平方公式和平方差公式综合应用对于任意实数a和b，有(a+b)² = a² + 2ab + b²。

平方差公式如下：对于任意实数a和b，有(a-b)² = a² - 2ab + b²。

一、应用问题1：求解方程2x²+8x+8=0。

解析：我们可以将方程进行变形，以便使用完全平方公式。

首先，将方程两边同时减去8，得到：2x²+8x=-8再将方程两边同时除以2，得到：x²+4x=-4观察到该方程中，系数b等于4，我们可以看到b的两倍是4*2=8、因此，我们可以使用完全平方公式。

根据完全平方公式，我们知道这个方程可以写成：(x+2)²=-4+4=0由此可得x+2=±√0x=-2±√0由于根号0等于0，所以x=-2为方程的唯一实数解。

二、应用问题2：求证正整数(n+1)³-n³-1是一个完全平方数。

解析：我们需要证明的是(n+1)³-n³-1是一个完全平方数，即证明存在一个整数x，使得：(n+1)³-n³-1=x²通过平方差公式，我们可以简化上式为：(n+1)³-n³-1=(3n²+3n+1)=(n+1)²因此，我们可以看出，(3n²+3n+1)是一个完全平方数。

三、应用问题3：Rectangle1的长是Square1的边长的2倍，它们的面积相差180平方米。

如果将Square1的边长减少2米，而Rectangle1的长增加5米，则两个图形的面积相等。

求Rectangle1和Square1的边长。

解析：设Square1的边长为x，则Rectangle1的长为2x。

根据题意，可列方程：(2x)^2-x^2=180（相差180平方米）(2x-2)^2=(x+5)^2（面积相等）通过求解上述方程组，我们可以得到Square1的边长为10米，Rectangle1的长为20米。