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分式方程的解法及其典例分析一、内容综述：1．解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程2．解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。
所以，必须验根。
产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．检验根的方法：（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。
（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。
必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．用去分母法解分式方程的一般步骤：(i)去分母，将分式方程转化为整式方程；(ii)解所得的整式方程；(iii)验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．用换元法解分式方程的一般步骤：(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；(iv)检验做答．注意：（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。
它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。
小专题(十七) 分式方程的解法归类类型1 利用常规步骤解分式方程1．解分式方程：(1) 5x －2＝3x； 解：方程两边同乘以x (x －2)，得5x ＝3(x －2)，解得x ＝－3.检验：当x ＝－3时，x (x －2)≠0，所以x ＝－3是原方程的解．(2) 42x ＋1＝x 2x ＋1＋1； 解：方程两边同乘以(2x ＋1)，得4＝x ＋2x ＋1，解得x ＝1.检验：当x ＝1时，(2x ＋1)＝3≠0，所以x ＝1是原方程的解．(3) 1x －2＝1－x 2－x－3； 解：方程两边同乘以(x －2)，得1＝x －1－3x ＋6，解得x ＝2.检验：x ＝2时，x －2＝0，所以x ＝2是增根，原方程无解．(4) 2＋x 2－x ＋16x 2－4＝－1； 解：原方程可化为x ＋2x －2－16x 2－4＝1. 方程两边同乘以(x ＋2)(x －2)，得(x ＋2)2－16＝(x ＋2)(x －2)．整理，得4x ＝8，解得x ＝2.检验：当x ＝2时，(x ＋2)(x －2)＝0，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．(5) 2x ＋2x －x ＋2x －2＝x 2－2x 2－2x. 解：方程两边同乘以x (x －2)，得(x －2)(2x ＋2)－x (x ＋2)＝x 2－2，解得x ＝－12. 检验：当x ＝－12时，x (x －2)≠0， 所以x ＝－12是原方程的解．类型2 列项相消法解分式方程2．解方程：1x （x ＋1）＋1（x ＋1）（x ＋2）＋1（x ＋2）（x ＋3）＝1x ＋3. 解：原方程变形为1x －1x ＋1＋1x ＋1－1x ＋2＋1x ＋2－1x ＋3＝1x ＋3.整理，得1x －2x ＋3＝0， 去分母，得x ＋3－2x ＝0，解得x ＝3.经检验，x ＝3是原分式方程的解．3．解方程：1x （x ＋3）＋1（x ＋3）（x ＋6）＋1（x ＋6）（x ＋9）＝32x ＋18. 解：原方程变形为13(1x －1x ＋3)＋13(1x ＋3－1x ＋6)＋13(1x ＋6－1x ＋9)＝32x ＋18. 整理，得1x －1x ＋9＝92（x ＋9）， 去分母，得2(x ＋9)－2x ＝9x ，解得x ＝2.经检验，x ＝2是原分式方程的解．类型3 两边通分法解分式方程4．解方程：1x －4－1x －5＝1x －7－1x －8. 解：两边通分，得（x －5）－（x －4）（x －4）（x －5）＝（x －8）－（x －7）（x －7）（x －8）， －1x 2－9x ＋20＝－1x 2－15x ＋56，6x ＝36，x ＝6.经检验，x＝6是原分式方程的解．5．解方程：1x＋1＋1x＋4＝1x＋2＋1x＋3.解：移项，得1x＋1－1x＋2＝1x＋3－1x＋4，两边通分，得1x2＋3x＋2＝1x2＋7x＋12，x2＋3x＋2＝x2＋7x＋12，－4x＝10，x＝－2.5. 经检验，x＝－2.5是原分式方程的解．。
2014—2015学年八年级数学（上）周末辅导资料（17）
德尔教育培训中心 学生姓名： 得分：
一、知识点梳理：
1、解分式方程的步骤：
（1）去分母；（2）解整式方程；（3）验根。
（4）下结论。
2、列分式方程解应用题的步骤：（1）审题； （2）找相等关系； （3）列代数式，列方程；
（4）解方程； （5）检验； （6）作答。
例1、（1）分式方程10060=20+v 20v
-的解是( ) A.v=－20 B. v =5 C. v =－5 D. v =20
（2）若关于x 的分式方程2m x 21x 3x
+-=-无解，则m 的值为( ) A ．一l.5 B ．1 C ．一l.5或2 D ．一0.5或一l.5
【课堂练习1】
(1)方程13x 12x 3
=-+的解是 (2)已知关于x 的分式方程
a 1=1x 2-+无解，则a= 。
例2、解下列分式方程:
(1) 2
112-=-x x ． (2) x 61+=x+3x 3x 9--
【课堂练习2】解下列分式方程:
（1）
． （ 2）2x 81x 2x 4
-=--．
例3、甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．则甲、乙两班每天各植树多少棵？
【课堂练习3】
为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．
三、强化训练：
1、把分式方程21=x+4x
转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ） A ．x B ．2x C ．x ＋4 D ．x(x ＋4)
2、分式方程12x +2x 1x+1
=-的解是（ ） A ．1 B ．－1 C ．3 D ．无解
3、对于分式方程3233
x x x =+--,有以下说法: ① 最简公分母为(x －3)2；②转化为整式方程x ＝2＋3，解得x ＝5；③原方程的解为x ＝3；④原方程无解，其中，正确说法的个数为 （ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4、用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x
-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）
A ．230y y +-=
B ．2310y y -+=
C ．2310y y -+=
D ．2310y y --= 5、已知
322=+-y x y x ，则x y 的值为（ ） A.-54 B. 5
4 C.1 D.
5 6、某市为处理污水需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务。
设原计划每天铺设管道x 米，则可得方程（ ）
A .400040002010x x -=- B.400040002010
x x -=- C.400040002010x x -=+ D.400040002010
x x -=+ 7、某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 （ ）
（A ）18%)201(400160=++x x （B ）18%)201(160400160=+-+x
x （C ）
18%20160400160=-+x x （D ）18%)201(160400400=+-+x x 8、用科学记数法表示：-0.000 00251=_____________。
9、已知关于x 的方程22
x m x +-＝3的解是正数，则m 的取值范围是____________。
10、计算：（1）()3322232n m n
m --∙ （2）()1521023231-+⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-
11、解下列分式方程：
（1）
2123442+-=-++-x x x x x （2）
12、有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？
13、甲、乙二人分别加工1500个零件.由于乙采用新技术，在同一时间内，乙加工的零件数是甲加工零件数的3倍，因此，乙比甲少用20小时加工完，问他们每小时各加工多少个零件？
14、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
