成都【数学】数学圆的综合的专项培优易错试卷练习题(含答案)
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一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若tan A=1
2
,探究线段AB和BE之间的数量关系,并证明;
(3)在(2)的条件下,若OF=1,求圆O的半径.
【答案】(1)答案见解析;(2)AB=3BE;(3)3.
【解析】
试题分析:(1)先判断出∠OCF+∠CFO=90°,再判断出∠OCF=∠ODF,即可得出结论;(2)先判断出∠BDE=∠A,进而得出△EBD∽△EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出结论;
(3)设BE=x,则DE=EF=2x,AB=3x,半径OD=3
2
x,进而得出OE=1+2x,最后用勾股定理
即可得出结论.
试题解析:(1)证明:连结OD,如图.∵EF=ED,∴∠EFD=∠EDF.∵∠EFD=∠CFO,∴∠CFO=∠EDF.∵OC⊥OF,∴∠OCF+∠CFO=90°.∵OC=OD,∴∠OCF=∠ODF,
∴∠ODC+∠EDF=90°,即∠ODE=90°,∴OD⊥DE.∵点D在⊙O上,∴DE是⊙O的切线;(2)线段AB、BE之间的数量关系为:AB=3BE.证明如下:
∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO=∠BDE.∵OA=OD,∴∠ADO=∠A,
∴∠BDE=∠A,而∠BED=∠DEA,∴△EBD∽△EDA,∴DE BE BD
AE DE AD
==.∵Rt△ABD
中,tan A=BD
AD
=
1
2
,∴
DE BE
AE DE
==
1
2
,
∴AE=2DE,DE=2BE,∴AE=4BE,∴AB=3BE;
(3)设BE=x,则DE=EF=2x,AB=3x,半径OD=3
2
x.∵OF=1,∴OE=1+2x.
在Rt△ODE中,由勾股定理可得:(3
2
x)2+(2x)2=(1+2x)2,∴x=﹣
2
9
(舍)或x=2,
∴圆O的半径为3.
点睛:本题是圆的综合题,主要考查了切线的判定和性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数,相似三角形的判定和性质,勾股定理,判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键.
2.如图,A、B两点的坐标分别为(0,6),(0,3),点P为x轴正半轴上一动点,过点A作AP的垂线,过点B作BP的垂线,两垂线交于点Q,连接PQ,M为线段PQ的中点.
(1)求证:A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上;
(2)当⊙M与x轴相切时,求点Q的坐标;
(3)当点P从点(2,0)运动到点(3,0)时,请直接写出线段QM扫过图形的面积.
【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为(32,9);(3)63 8
.
【解析】(1)解:连接AM、BM,
∵AQ⊥AP,BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形,M是斜边PQ的中点
∴AM=BM=PM=QM= 1
2 PQ,
∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
(2)解:作MG⊥y轴于G,MC⊥x轴于C,
∵AM=BM
∴G是AB的中点,由A(0,6),B(0,3)可得MC=OG=4.5
∴在点P运动的过程中,点M到x轴的距离始终为4.5
则点Q到x轴的距离始终为9,即点Q的纵坐标始终为9,
当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴,作QH⊥y轴于H,
HB=9-3=6,设OP=HQ=x
由△BOP∽△QHB,得x2=3×6=8,x=2
∴点Q的坐标为(2,9)
(3)解:由相似可得:当点P在P1(2,0)时,Q1(4,9)则M1(3,4.5)当点P在P2(3,0)时,Q2(6,9),则M2(4.5,4.5)
∴M1M2=9
2
-3=
3
2
, Q1Q2=6-4=2
线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1
其面积为:1
2
×(
3
2
+2)×4.5=
63
8
.
【解析】
【分析】
根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形,再根据这个条件结合题意直接解答此题.
【详解】
(1)解:连接AM、BM,
∵AQ⊥AP,BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形,M是斜边PQ的中点
∴AM=BM=PM=QM= PQ,
∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
(2)解:作MG⊥y轴于G,MC⊥x轴于C,
∵AM=BM
∴G是AB的中点,由A(0,6),B(0,3)可得MC=OG=4.5
∴在点P运动的过程中,点M到x轴的距离始终为4.5
则点Q到x轴的距离始终为9,即点Q的纵坐标始终为9,
当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴,作QH⊥y轴于H,
HB=9-3=6,设OP=HQ=x
由△BOP∽△QHB,得x2=3×6=8,x=3
∴点Q的坐标为(3 ,9)
(3)解:由相似可得:当点P在P1(2,0)时,Q1(4,9)则M1(3,4.5)当点P在P2(3,0)时,Q2(6,9),则M2(4.5,4.5)
∴M1M2=-3=, Q1Q2=6-4=2
线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1