§5-3 系统的稳定性

一般来说，生态系统中的组分越单纯，营养结构越简单， 自我调节能力就越弱，抵抗力稳定性就越低，生态平衡 就越容易被破坏；相反，生态系统中各个营养级的生物 种类越多，营养结构越复杂，自我调节能力就越强，抵 抗力稳定性就越高，生态平衡就越容易维持。
2、恢复力稳定性
恢复力稳定性是指生态系统在受ห้องสมุดไป่ตู้外界干扰因素的 破坏后恢复到原状的能力。
增强最初发生变化的那 种成分所发生的变化
注意：
生态系统的自我调节能力不是无限的，当外界干扰因 素的强度超过一定限度时，生态系统的自我调节能力 就会迅速丧失，生态系统就到了难以恢复的程度。
二、抵抗力稳定性和恢复力稳定性
1、抵抗力稳定性
抵抗力稳定性是指生态系统抵抗外界干扰并使自身的 结构与功能保持原状的能力。生态系统的抵抗力稳定 性与生态系统自我调节能力的大小有关。
（3）实验流程
制作生态缸框架 缸底部的铺垫
注入水
放入动植物 密封生态缸
标准：100cmX70cmX50cm
花土在下，一边高，一边低；沙土在上， 沙土层厚5~10cm
注意：从缸内低处注入
水中放浮萍、水草、小乌龟 沙土上移植仙人掌（或仙人球） 花土上移植蕨类植物和杂草 花土上放置蚯蚓、蜗牛
用胶带将生态缸密封
生态系统的稳定性
一、生态系统的自我调节能力
1、生态系统的稳定性
（1）概念： 生态系统所具有的保持或恢复自身结构 和功能相对稳定的能力。
（2）原因： 生态系统具有自我调节能力。 （3）表现： 生态系统的结构稳定性和功能稳定性。
2、生态系统的自我调节能力
不同的生态系统都具有在一定范围内消除外来干扰的 能力，即自我调节能力。 一般来说，生态系统的组成成分越多，营养结构越复 杂，其自我调节能力越强；相反，组成成分越少，营 养结构越简单，其自我调节能力越弱。自我调节能力 的基础是负反馈调节。

Wang Yu


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例1、系统特征方程为：
4 3 2
Ds s 2 s 3 s 4 s 3 0 判断系统稳定性
解：满足必要条件
s s s s s
4 3 2 1 0
1 2
1 -2
3
3 4
3
3 0
劳斯阵列第一列 符号改变2 次， Ds 有 2 个右根， 系统不稳定。
b arg s s tg 2 a
' 1 1



a
s1 '
2
0

28
tg
1
b a
jb
Wang Yu
§5-4 乃奎斯特稳定判据
复数根总是共轭出现的
' arg s s1 arg s s1
1 b 1 b tg tg 2 a 2 a 2 2
作业题2-15
1、以Xi(s)为输入 N(s)=0
求Xo(s)/ Xi(s)、Y(s)/ Xi(s)、B(s)/ Xi(s)、E(s)/ Xi(s) 2、以N(s)为输入 Xi(s)=0 求Xo(s)/ N(s)、Y(s)/ N(s)、B(s)/ N(s)、E(s)/ N(s)
E (s) X i ( s ) -1 G1 ( s ) B( s)
Wang Yu
10
§5-3代数稳定判据
为避开对特征方程的直接求解，就
只好讨论特征根的分布，看其是否全部
具有负实部，并以此来判断系统的稳定
性。这就产生了一系列稳定判据。
劳斯(Routh)判据
Wang Yu
11
§5-3 代数稳定判据

第五章 系统的稳定性
例： 已知单位反馈系统开环传递函数 2 = GK s s- 1 试判别系统闭环后的稳定性 解：由GK(s)得，开环系统有 一正极点 ∴开环系统不稳定 P=1 GK(j)的N氏图如右。
GK(j)正向包围(-1,jo)点半圈 N = 1= P
=o (-1,jo)
Im
o =
L
第五章 系统的稳定性
D1=an-1>0
an-1 D2 = an an-3 >0 an-2
Dn>0
an-1 an-3 an-5 D3 = an-2 an-4 an-6 >0 0 an-1 an-3
Hurwitz行列式直接由系数排列，规律简单 而明确，因此，比列Routh表要简单些，使用也 较为方便，但对六阶以上的系统，由于行列式 计算麻烦，故应用较少。对于简单形式：
n = 2 : a2 > 0 n = 3 : a3 > 0 n = 4 : a4 > 0 a1 > 0 a2 > 0 a3 > 0 a0 > 0 a1 > 0 a2 > 0 a0 > 0 a1 > 0 a 2 a1 - a 0 a 3 > 0 a0 > 0
2 >0 a1 a 2 a 3 - a12 a 4 - a 0 a 3

1 ×3 - 1 ×5 = -2 1
2 + 2

5 0 0
-2 5
∵ 第一列符号改变两次
∴系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。
第五章 系统的稳定性 2）Routh表某行元素全为零：（若第k行）
处理方法： a)以上一行（k-1）行的系数构成一个辅助方程 （阶次一般为偶数）Sn-k+2

§ 5.3 稳定性判别方法1. 线性定常系统的稳定性判别 定理5.6 设()()x x =t A t . (5.11)则(i)平衡点稳定⇔ A 的所有特征值的实部非正, 且实部为零的特征值对应着一阶约当块； (ii)平衡点渐近稳定⇔ A 的所有特征值实部为负. 证 (i)因是线性系统,只需证明平衡点e x 0=的稳定性.设 11m J T AT J J -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(注:与能控标准变换不同) 其中,1,2,i J i m =为约当块，则111000e ()e e e m J tAt Jt J t x t x T T x T T x --⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 而ei J t的非零元素形如e i t λ或e i i k t t λi i i j λαβ=+−−−−→e i i t j tαβ+或ei i i k t j tt αβ+i k ≤约当块阶数减1.如10i J λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 则 1211111()e010i J ts s s s s λλλλλ---⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎛⎫--⎢⎥ ⎪==⎢⎥⎪-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦L L ee 0e tttt λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若0i α<. 则lim e0i i i k t j tt t αβ+→+∞=→ei i i k t j tt αβ+有界；若0i α=且对应一阶约当块→e i j tβ也有界.故有K > 0， 使e,0AtK t ≤≥.其中ijija∑对0ε∀>，取/K δε=. 当00x δ-<时. 有00()e Atx t x K x ε=≤<,故稳定；(ii)若全为0i α<, 则全lim e0i i i k t j tt t αβ+→+∞=→渐近稳定.例5.1 设系统矩阵分别如下：010101(1);(2);(3)000212A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 试判别e x 0=的稳定性. 解(1) 由2()λλ∆=, 得0λ=(2重), e x 0=不稳定. (2) 由()(2)λλλ∆=+, 得120λ=-<和20λ=, 因20λ=对应一阶约当块→e x 0=是稳定的.(3) 由2()(1)λλ∆=+,得1,210λ=-< e x 0=渐近稳定.若3n ≥, 常用Hurwitz 判别法(介绍).定理5.7 常系数n 次代数方程101100,(0)n n n n a a a a a λλλ--++++=>的所有根的具有负实部⇔下列不等式同时成立：1101123321325430,0,0,a a a a a a a a a a a a a ∆∆∆=>=>=> 1031021222324000200n n n n nna a a a a a a a a a a ∆----=>.其中12210n n n a a a ++-====.例5.2 验证系统矩阵为211110111A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦时, e x 0=是渐近稳定的. 证 由320211||11453,111(10)I A a λλλλλλλ+--=-+=+++--+=>.得 00a > 及1140,a∆==>10 23241170, 35a aa a∆===>332510,a∆∆==>由Hurwitz判别法→所有特征值有负实部→渐近稳定. 对非线性系统, 常用李雅普诺夫判别法.2. 稳定性的李雅普诺夫判别法(介绍)(1)李雅普诺夫第一法(一阶近似) 设n 维非线性系统为()()(),x t F x t t =, (,)0e F x t = (5.12)且n 维向量函数(),F x t 对x 有连续偏导. 将(),F x t 在e x 处展成泰勒级数, 得()[()]ee e Tx x F x x x R x x x=∂=-+-∂. (5.13)其中[]R ⋅为e x x -的高阶项, 而111122221212n n T nn n n f f f x x x f f f F x x x x f f f x x x ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂⎢⎥∂∂∂=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦称为雅可比矩阵.令e x x x =-和eT x x F A x =∂=∂, 得线性化方程：x Ax =. (5.14)李雅普诺夫给出下述结论：(i) 若A 的所有特征值实部为负,则系统在平衡点e x 是渐近稳定的, 且与[]R ⋅无关；(ii) 若A 的特征值中有一个具有正实部,则系统在平衡点e x 是不稳定的；(iii)若A 的特征值中有一个实部为零,则系统在平衡点e x 的稳定性与[]R ⋅有关.例5.3 设非线性系统为11122212,,x x x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩ 试判平衡点[]00Te x =的稳定性.解 由0e x =处的雅可比矩阵为 21210110101x x x A x x =--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦, 得121,1λλ=-= 在0e x =处不稳定.(2)李雅普诺夫第二法(虚构”能量”函数)若系统能量随时而衰, 则稳定.如 ()()()my t ky t y t μ'''=--1,1,1m k μ===−−−−−→()()()0y t y t y t '''++= → 12(),(),x y x y ='=位置速度→11220111x x x x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 这是一个在0e x =处稳定的系统.作一个”能量”函数221212((),())()()0V x t x t x t x t =+>,(正定)则 (势能, 动能) k yμm平衡线112222t V x x x x '''=+−−−−−→代入系统方程22()20V t x '=-<12(,)V x x 单调递减趋于0(因(0,0)0.V =且连续)这样的12(,)V x x 就称为李雅普诺夫函数.对一般系统, 设法构造如此标量函数()0V x >. 下面给出一般标量函数的正定、负定等概念. 设标量函数(),nV x x R ∈且(0)0V =.若对任意0x ≠, 有(i) ()0(0)V x >≥, 则称()V x 是正定的(半正定的)； (ii) ()0(0)V x <≤, 则称()V x 是负定的(半负定的)； (iii) 有()0V x >、也有()0V x <, 则称()V x 是不定的.()V x 根据系统方程, 常取为x 的二次型函数, 即()T V x x Px =.P 是实对称矩阵, 此时()V x 的正、负定性与P 一致. 而P 的正定性由其主子行列式为正负来判定 如 2112()()V x x x =-+是半负定的；222123()()V x x x x =++是半正定的.下面介绍主要结果.定理5.8 设系统为 ()0()(),,x t F x t t t t =≥. (5.15)0e x =是其平衡点.若存在标量函数()V x (具有连续的一阶偏导数), 满足 (i) ()V x 是正定的；(ii)沿着方程(5.15)计算的()V x 是半负定的.则平衡点0e x =是稳定的.定理5.9 设系统为(5.15), 平衡点为0e x =. 若有标量函数()V x (具有连续的一阶偏导), 满足 (i) ()V x 是正定的；(ii) 沿着方程(5.15)计算的()V x 是负定的；或者 (ii ’) 沿着方程(5.15)计算的()V x 是半负定的,且对0()0x t ∀≠来说,()V x 不恒为零,则平衡点0e x =是渐近稳定的.进一步, 若当x →+∞时, 有()V x →+∞, 则平衡点0e x =是全局渐近稳定的.注 对(ii ’)的说明.由于()V x 为半负定, 所以在0x ≠时, 或许有()0V x =, 可能会出现下图5.5的两种情形：2x 0x 2x 0x定理 5.10系统方程、平衡点同定理 5.9中假设相同.若标量函数()V x(具有连续的一阶偏导).满足V x是正定的；(i) ()V x也是正定的；(ii)沿着状态方程(5.15)计算的()则平衡点0e x =是不稳定的.注 上述定理条件是充分的.例5.4 设非线性系统为22121122221212()()x x x x x x x x x x ⎧=-+⎪⎨=--+⎪⎩. 试分析稳定性.解 由(,)0F x t =, 得0e x =是其唯一的平衡点.构造2212()V x x x =+.是正定的. 对()V x 关于t 求导, 得12112212d d ()22d d x x V V V x x x x x x t x t∂∂=+=+∂∂. 代入状态方程得22212()2()V xx x =-+→负定→()V x 为一李雅普诺夫函数,且当x →+∞时, 有()V x →+∞→0x=为全局渐近稳定(而且是一致的).e对线性定常系统, 有定理5.11设线性定常系统为x t Ax t=,()()x=是渐近稳定的←→则平衡点0e对任意正定阵Q, 矩阵方程T+=-(李雅普诺夫方程) (5.16)A P PA Q有唯一正定阵解P.由于必要性证明涉及过多知识, 故只证充分性. 证(充分性)由0Q ∀>, 0P ∃>满足(5.16), 作()TV x x Px =.对t 求导且将系统方程代入, 得 ()()()()T T T T T T T V x x Px x Px Ax Px x P Ax x A P PA x x Qx =+=+=+=-，.→()V x 负定,且当x →+∞时,有()V x →+∞, →平衡点0e x =为全局渐近稳定(且一致).(注: 实用中, 渐近稳定为主要特性)例5.5 设系统为01()()23x t x t ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦. 试分析0e x =的稳定性.解 设1112212210,,01p p Q P p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 代入矩阵方程(5.16)式, 得1112111221222122020110132301p p p p p p p p --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 展开并令对应元素相等, 得唯一解511411P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 它的各主子式行列式12510,044∆=>∆=>. →P 正定→0e x =是渐近稳定.且系统是线性定常的 所有平衡点是一致全局渐近稳定. 注(1) 正定阵Q的选择尽可能简单.Q>, 矩阵方程(5.16)无解,(2) 若对某0x=不是渐近稳定的.则平衡点0e(3) 可以证明: 对线性定常系统,x=是渐近稳定的,则系统必为BIBO稳定. 若平衡点0e即()()x t Ax t =渐近稳定→()()()()()x t Ax t Bu t y t Cu t =+⎧⎨=⎩BIBO 稳定 反之不一定. 如[]101,,10010A B C -⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦→1()1G s s =+ 则()()()Y s G s U s =是BIBO 稳定, 但x Ax '=是不稳定的.。