2.2.1直线与平面平行的判定知识点直线与平面平行的判定定理思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？答案平行．思考2如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？答案由于直线a∥b，所以两条直线共面．直线a与平面α不相交．梳理线面平行的判定定理表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α类型一直线与平面位置关系的判定例1如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是()A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α答案 D解析由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b⊂α.反思与感悟用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：(1)直线a 在平面α外，即a ⊄α； (2)直线b 在平面α内，即b ⊂α；(3)两直线a 、b 平行，即a ∥b ，这三个条件缺一不可． 跟踪训练1 下列说法正确的是( )A ．若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥αB ．若直线a 在平面α外，则a ∥αC ．若直线a ∩b ＝∅，直线b ⊂α，则a ∥αD ．若直线a ∥b ，b ⊂α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线 答案 D解析 A 错误，直线l 还可以在平面α内；B 错误，直线a 在平面α外，包括平行和相交；C 错误，a 还可以与平面α相交或在平面α内．故选D. 类型二 直线与平面平行的证明命题角度1 以锥体为背景证明线面平行例2 如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AMSM ＝DN NB.求证：MN ∥平面SBC .证明 连接AN 并延长交BC 于P ，连接SP .因为AD ∥BC ，所以DN NB ＝ANNP，又因为AM SM ＝DN NB ，所以AM SM ＝ANNP ，所以MN ∥SP ，又MN ⊄平面SBC ，SP ⊂平面SBC ， 所以MN ∥平面SBC . 引申探究本例中若M ，N 分别是SA ，BD 的中点，试证明，MN ∥平面SBC .证明 连接AC ，由平行四边形的性质可知AC 必过BD 的中点N ，在△SAC 中，M ，N 分别为SA ，AC 的中点，所以MN ∥SC ，又因为SC ⊂平面SBC ，MN ⊄平面SBC ，所以MN ∥平面SBC .反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．跟踪训练2 如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .证明 如图，取PD 的中点G ，连接GA ，GN .∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点， ∴GN ∥DC ，GN ＝12DC .∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点， ∴AM ＝12DC ，AM ∥DC ，∴AM ∥GN ，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN ∥AG . 又∵MN ⊄平面P AD ，AG ⊂平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .命题角度2 以柱体为背景证明线面平行例3 如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点，证明：BC 1∥平面A 1CD .证明如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又∵D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.∵DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD.反思与感悟证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线．跟踪训练3如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)求证：BC1∥平面AB1D1；(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.证明(1)∵BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.1．如果直线a平行于平面α，则()A．平面α内有且只有一直线与a平行B．平面α内无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a平行的直线D．平面α内的任意直线与直线a都平行答案 B2．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 D解析 由直线与平面平行的判定定理知．EF 与平面AB ′，平面BC ′，平面CD ′，平面AD ′均平行．故与EF 平行的平面有4个．3．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则A 1C 1与平面ACE 的位置关系为________．答案 平行解析 ∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴A 1C 1∥平面ACE . 4．如图，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE .证明 如图，取PC 的中点M ，连接ME 、MF ， 则FM ∥CD 且FM ＝12CD .又∵AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴FM ∥AE ，即四边形AFME 是平行四边形， ∴AF ∥ME .又∵AF ⊄平面PCE ，EM ⊂平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE .1．判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)． (2)判定定理法：(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)．(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质．(2)利用平行四边形的性质．(3)利用平行线分线段成比例定理．课时作业一、选择题1．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是()A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交答案 D解析由题意画出图形，当a，b所在平面与平面α平行时，b与平面α平行，当a，b所在平面与平面α相交时，b与平面α相交．2．若l是平面α外的一条直线，则下列条件中可推出l∥α的是()A．l与α内的一条直线不相交B．l与α内的两条直线不相交C．l与α内的无数条直线不相交D．l与α内的任意一条直线不相交答案 D解析根据直线与平面的位置关系易判断选项D正确．3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α答案 D解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等．l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α的距离相等；l与α斜交时，也只能有两点到α的距4．点E，F，G，H分别是空间四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析如图，由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.5．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内答案 C解析由平行公理知过点P作与直线a平行的直线有且只有一条，又由线面平行的判定定理得，该直线一定在平面内．6．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面()A．有且只有一个B．有无数多个C．有且只有一个或不存在D．不存在答案 A解析在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的．7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC. 其中正确的个数有()A．1 B．2 C．3 D．4解析由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故①正确；PD⊂平面PCD，OM⊄平面PDC，∴OM∥平面PCD，故②正确；同理可得：OM∥平面PDA，故③正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故④，⑤不正确．故共有3个结论正确．8．如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点，且ADDA1＝m，若AE∥平面DB1C，则m的值为()A.12B．1 C.32D．2答案 B解析如图，取CB1的中点G，连接GE，DG，当m＝1时，AD＝GE＝12BB1且AD∥GE，∴四边形ADGE为平行四边形，则AE∥DG，可得AE∥平面DB1C.二、填空题9．过平面外一点，与该平面平行的直线有________条，如果直线m平行于平面，那么在平面内有________条直线与直线m平行．答案无数无数10．考查下列两个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a、b为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________．⎭⎪⎬⎪⎫b⊂α①a∥b⇒a∥α；⎭⎪⎬⎪⎫a∥b②b∥α⇒a∥α.答案a⊄αa⊄α解析根据线面平行的判定定理知，①处横线上应填a⊄α；②处横线上应填a⊄α.11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C 的平面的位置关系是________．答案平行解析如图，连接BD，与AC交于点O，连接OE.∵OE为△BDD1的中位线，∴BD1∥OE.又BD1⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BD1∥平面AEC.三、解答题12．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．求证：PD∥平面MAC.证明如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，∴PD∥MO.∵PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，∴PD∥平面MAC.13．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.四、探究与拓展14．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 B解析①如图(ⅰ)，连接BC，则平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP，所以①正确．②如图(ⅱ)，连接底面正方形对角线，并取其中点O，连接ON，则ON∥AB，所以AB与平面PMN相交，不平行，所以②不满足题意．③AB与平面PMN相交，不平行，所以③不满足题意．④因为AB∥NP，所以AB∥平面MNP.所以④正确．故答案为①④.第 11 页 共 11 页15．如图，四边形ABCD 为正方形，△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，P 是线段CD 的中点，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE .若存在，指出点M 的位置，并证明你的结论．解如图，存在点M ，当点M 是线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE .取BE 的中点N ，连接CN ，MN ，则MN ∥12AB ∥PC ， 所以四边形MNCP 为平行四边形，所以PM ∥CN .因为PM ⊄平面BCE ，CN ⊂平面BCE ，所以PM ∥平面BCE .。
