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CH11. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()()0.210.520.33f x xx x δδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-2. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xx x f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩3.求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
解：（1）()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+-++-+--()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+-++-+--（2） X 的分布律为()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=4. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X YV X Y =+⎧⎨=-⎩。
1. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-0001)(4x x e x y x 可否是分布函数或概率密度函数？如果是分布函数求概率密度？2. 有一个离散随机变量的取值分别是-1、1、2、3，他们发生的概率分别是0.5、0.25、0.125、0.125，试写出该随机变量的均值、方差、概率密度和分布函数。
3. 设X 和Y 是相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0005)(5y y e y f yY 求（1）X 和Y 的联合概率密度。
（2）求}{X Y P ≤。
4. 已知随机变量（X,Y ）的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=其它,010,10),2(6),(y x y x xy y x f 求：（1）条件概率密度)/(/y x f Y X ，)/(/x y f X Y （2）问X 和Y 是否相互独立。
5. 设X 和Y 是相互独立的随机变量，概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其它0101)(x x f X ⎩⎨⎧≤>=-000)(y y e y f y Y 试求随机变量Y X Z +=的概率密度。
6. 设X 为泊松随机变量 ,2,1,0,!}{===-k e k k X P kλλ（1）证明：X 的特征函数为)}1(exp{)(-=ωλωφj X e （2）利用特征函数求X 的均值和方差。
7. 电路由电池A 与两个并联的电池B 及C 串联而成。
设电池A 、 B 、C 损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率。
答案：1.是分布函数，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00041)(4x x e x f x2. 0.375、 2.234)3(125.0)2(125.0)1(25.0)1(5.0)(-+-+-++=x u x u x u x u x F )3(125.0)2(125.0)1(25.0)1(5.0)(-+-+-++=x x x x x f δδδδ3. ⎩⎨⎧><<=-其它00,2.0025),(5y x e y x f yXY 10.200),(}{-==≤⎰⎰e dydx y x f X Y P XY x4. 当10≤<y 时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤---=01034)2(6)/(/x yy x x y x f Y X当10≤<x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤---=其它01034)2(6)/(/y xy x y x y f X Y不独立5. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=≤≤-==------⎰⎰其它,01,)1(10,1)(10)(0)(z e e dx e z e dx e z f z x z z z x z Z 6. )]1(exp[!)(!)(00-=⋅==⋅=Φ-∞=--∞=∑∑ωλλωλωλλλλωωj e k k j k j k k X e e e k e e e e k j λ==][][X D X E7. ）0.2*0.2-1）（0.3-1（-1=0.328=0.3+0.7*0.2*0.2。
2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T<t<nT 式中电平A 或-A 以等概率独立出现，T 为正常数，以及n=0,正负1,正负2,正负3……（1）、画出一个样变函数的草图；（2）、它属于哪一类随机过程？（3）、求一、二维概率密度函数。
（1）（2） 所以是确定的。
（3）2.2 设有下列离散随机过程：X （t ）=CC 为随机变量，可能取值为1，2，3，其出现的概率分别为0.6，0.3，0.1（1） 是确定性随机过程？（2 ） 求任意时刻X(t)的一维概密。
解：（1）是（2） 1X(t)2,p(x,t)0.6(1)0.3(2)0.(3)3x x x δδδ⎧⎪==-+-+-⎨⎪⎩2.3 已知随机过程X(t)为 00),t (Xcos )t (X ωω=是标准高斯随机变量是常熟X ,，求X （t ）的一维概率密度。
解：发22x x cos(t)(,)(,)())cos(t)2cos (t)d x p x t F x t p dx ωωω'==- 2.4 利用投掷一枚硬币的实验定义随机过程为X(t)=cos πt,出现正面，2t ，出现反面，假设出现正面和反面的概论各位1/2，试确定X(t)的一维分布函数Fx(x;1/2), Fx(x;1),以及二维发布函数Fx(x1,x2;1/2,1).解： x1 x2X ：（t=1/2） 0 1Y (t=1) 1 22.5 随机过程X(t)由四条样本函数组成，如图题 2.6，出现的概论分别为p(§1)=1/8,p(§2)=1/4,p(§3)=3/8,p(§4)=1/4,求E[X(t1)],E[X(t2)],E[X(t1)X(t2)]及联合概率密度函数px(x1,x2;t1,t2)。
解：2.6 随机过程X(t)由如题 2.6图所示的三条样本函数曲线组成，并以等概率出现，试求E[X(2)], E[X(6)], E[X(2)X(6)], Fx(x;2),Fx(x;6),Fx(x1,x2;2,6).解：()A or A A A k -=-=∑∞-∞=,;nT t h )t (X k kX1 x2 x3T1=2 3 4 6E[X(2)]=313)643(31=++ E[X(6)]=314)752(31=++ E[X(2) X(6)]=155(3x54x76x2)33++= [])6x ()4x ()3x (31)x,2(f -+-+-=δδδ2．7随机过程X(t)由三条样本函数构成，cost )3,t (X sint;)2,t (X ;1)1,t (X ===ξξξ ,并以等概率出现，求E （X(t)）,和 R(t1,t2)解：2.8 已知随机过程X(t) 的均值为m(t), 协方差函数为C(t1,t2), 又知f(t)是确定的时间函数，试求随机过程Y(t)=X(t)+f(t)的均值及协方差。
合⼯⼤通信原理课件试题集1_3章⼀、填空题1、依据通信过程中信号是否离散，通信通信系统可以分为___和____。
2、对于⼴义平稳随机过程ξ(t)的 ___及__与时间t⽆关，其___只与时间间隔τ有关。
3、对于点与点之间的通信，按消息传输的⽅向与时间的关系，通信⽅式可分为___________、___________、___________。
4、已知某数字传输系统传送⼆进制码元的速率为1200B/s，码元等概率出现，该系统的信息速率为____；若该系统改成传送16进制信号码元，码元等概率出现，码元速率为2400B/s，则这时的系统信息速率为____。
5、设在125sµ内传输256个⼆进制码元，则码元传输速率为___；若该信码在2s内有3个码元产⽣错误，则误码率为___；码元速率相同时，⼋进制的信息速率是⼆进制的___倍。
6、⼀个能量信号的⾃相关函数R(τ)与能量谱密度P(w)之间的关系是_____________，R(0)的物理意义为_____________。
7、数字通信系统的有效性⽤ ___ 衡量，可靠性⽤____衡量。
8、模拟信号是指信号的参量可___取值的信号，数字信号是指信号的参量可__ 取值的信号。
9、⼴义平均随机过程的数学期望、⽅差与__⽆关，⾃相关函数只与____有关。
10、⼴义平稳随机过程的两个特点分别是（）和（）。
11、帧同步的作⽤是（）。
12、在⼋进制系统中每秒传输1000个⼋进制符号，则此系统的码速率RB为（），信息速率Rb为（）。
13、各态历经性就是____可由随机过程的任⼀实现的____来代替。
14、⼀个均值为0⽅差为2σ的窄带平稳⾼斯过程，其同相分量和正交分量是过程，均值为___，⽅差为___。
15、若线性系统的输⼊过程()tiξ是⾼斯型的，则输出()t oξ是___型的。
16、若系统功率传输函数为()ωH，则系统输出功率谱密度()()ωξOP与输⼊功率谱密度()()ωξIP关系为______。
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:（1）边沿密度)(x f X ,)(y f Y（2)条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。
(1）求Y 的可能取值 （2）确定Y 的分布. （3）求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1)X 与Y 不相关时的所有A 值。
（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量（X ，Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ,Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ，2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.从随机过程的第二种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:随机变量族2.从随机过程的第一种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:样本函数族3.（）是随机试验中的基本事件参考答案:随机试验的每一种可能结果4.若随机过程X（t），它的n维概率密度 (或n维分布函数)皆为正态分布则称之为高斯过程参考答案:正确5.正态随机过程的广义平稳与严平稳等价参考答案:正确6.平稳随机过程的相关时间，描述了平稳随机过程从完全相关到不相关所需要的时间，对吗？参考答案:正确7.两个平稳随机过程的互相关函数是偶函数，对吗？参考答案:错误8.平稳随机过程的自相关函数是一个奇函数，对吗？参考答案:错误9.对于一个遍历的噪声，可以通过均方值计算其总能量参考答案:错误10.偶函数的希尔伯特变换为参考答案:奇函数11.窄带高斯随机过程包络平方的一维概率密度为：参考答案:高斯函数12.白色随机过程中的“白色”，描述的是随机过程的（）特征参考答案:频谱13.对于具有零均值的窄带高斯随机过程，以下哪个说法正确？参考答案:相位的一维概率密度为均匀分布_包络的一维概率密度为瑞利分布_包络和相位的一位概率密度是相互独立的14.一个实值函数的希尔伯特变换是将其与【图片】的卷积参考答案:正确15.对一个信号的希尔伯特变换，再做一次希尔伯特变换可以得到原信号本身。
参考答案:错误16.连续型随机变量X的概率密度函数fX(x)的最大取值是1?参考答案:错误17.随机变量数学期望值是随机变量取值的中值。
参考答案:错误18.问题：①客观世界中可以设计出理想带通滤波器，②理想白噪声也是存在的。
以上说参考答案:①②均错误19.具有平稳性和遍历性的双侧随机过程经过连续时不变线性系统后，输出随机过程参考答案:平稳、遍历20.正态随机过程具有以下那些性质？参考答案:若正态过程X(t)是宽平稳的，则它也是严平稳的_正态随机过程经过线性系统后其输出仍为正态随机过程。
CH11. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()()0.210.520.33f x xx x δδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-2. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xx x f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩3.求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
解：（1）()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+-++-+--()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+-++-+--（2） X 的分布律为()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=4. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X YV X Y =+⎧⎨=-⎩。
（1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ； （2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为()()22221,,,2x y XY f x y e x y R π+-=∈由反函数 22u v x u vy +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，1112211222J ==--， ()()22241,,,4u v UV f u v e u v R π+-=∈（2）由于, 222244414uv u v eπ+---⎛⎫⎛⎫=⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎭()()()()2,,UV U V f u v f u f v u v R =∈所以随机变量U 与V 相互独立。
5. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=，又设3U X Y =+，2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和(,)Cov U V 。
解：首先，22()()5EX D X EX =+=， 22()()25EY D Y EY =+=。
又因为()(,)7E XY Cov X Y EX EY EX EY ρ=+⨯=⨯=。
于是(3)36EU E X Y EX EY =+=+=， (2)25EV E X Y EX EY =-=-=-22222()()(96)()76D U EU EU E X XY Y EU =-=++-= 22222()()(44)()52D V EV EV E X XY Y EV =-=-+-=[]22()(3)(2)(352)70E UV E X Y X Y E X XY Y =+-=--=-(,)()40Cov U V E UV EU EV =-⨯=-CH 21. 设质点运动的位置如直线过程0()X t Vt X =+，其中(1,1)V N 与0(0,2)X N ，并彼此独立。
试问：（1） t 时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？ （2） 它是可预测的随机信号吗？解：（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布00[()][][][]E X t E Vt X tE V E X t =+=+=2200[()][][][]2D X t D Vt X t D V D X t =+=+=+ 所以它的一维概率密度函数为:22()()}2(2)X x t f x t -=-+ (2) 此信号是可预测随机信号2. 给定随机过程()X t 和常数a ，试以()X t 的自相关函数来表示差信号()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。
2.10 解：由题意可得：(,)[()()]{[()()][()()]}[()()][()()][()()][()()](,)(,)(,)(,)Y X X X X R s t E Y s Y t E X s a X s X t a X t E X s a X t a E X s a X t E X s X t a E X s X t R s a t a R s a t R s t a R s t ==+-+-=++-+-++=++-+-++3.两个随机信号X(t)=Asin(ωt+Θ)与Y(t)=Bcos(ωt+Θ)，其中A 与B 为未知随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，A 、B 与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，（1）两个随机信号的互相关函数),(21t t R XY ；（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）与统计独立性；题2.11解：（1）()()()()()121212,sin sin XY R t t X t Y t A t B t ωω=E =E +Θ⨯+Θ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦[][]()()()()12121c o s c o s 22A B t t t t ωω⎡⎤=E ⨯E ⨯E --++Θ⎣⎦[][]()()()(){}12121cos cos 22A B t t t t ωω⎡⎤⎡⎤=E E --E ++Θ⎣⎦⎣⎦因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以()()12cos 20t t ω⎡⎤E ++Θ=⎣⎦， 上式()[][]()()12121,cos 2XY R t t A B t t ω⎡⎤=E E -⎣⎦； （2）①如果E[A]或E[B]为0，则()12,0XY R t t =，随机信号X(t)与Y(t)正交 ； ②因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以有()()sin 0X t A t ωE =E +Θ=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()cos 0Y t B t ωE =E +Θ=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()()12121212,,,XY XY XY C t t R t t X t Y t R t t =-E E =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，如果E[A]或E[B]为0，则()()1212,,0XY XY R t t C t t ==，X(t)与Y(t)互不相关；如果E[A]与E[B]均不为0，则()()1212,,0XY XY R t t C t t =≠，X(t)与Y(t)相关；综上，X(t)与Y(t)的正交性与互不相关性等价；③因为随机信号X(t)与Y(t)中都有随机变量Θ，所以X(t)与Y(t)一般不会相互独立。
4. 零均值高斯信号()X t 的自相关函数为12()0.5et t X R τ--=，求()X t 的一维概率密度解：(1) 因为()0X m t =，()(0)(0)0.5X X X D t C R ===，所以一维概率密度函数为：()[]{}22(),2()X X X x m t f x t D t x ⎧⎫-⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭=-5. 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。
解：()X t 与()Y t 各自平稳，设X m =[()]E X t ，Y m =[()]E Y t ，()[X()X()]X R E t t ττ=+，()[Y()Y()]Y R E t t ττ=+Z ()[Z()][()Y()][()][()]X Y m t E t E X t t E X t E Y t m m ===⨯=，为常数(,)[Z()Z()][()Y()()Y()][X()()][Y()()]()()()Z X Y Z R t t E t t E X t t X t t E t X t E t Y t R R R τττττττττ+=+=++=+⨯+=⨯=∴()Z R τ仅与τ有关，故Z()t =()Y()X t t 也是平稳过程。
6. 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变量。
若()X t 通过平方律器件，得到2()()Y t X t =，试求： （1）()Y t 的均值；（2）()Y t 的相关函数；（3）()Y t 的广义平稳性。
解：(1)2200[Y()][X ()][100sin ()]50[1cos(22)]50E t E t E t E t ωθωθ==+=-+=()222200000002(,)[Y()Y()][X ()X ()][100sin ()100sin ()]2500[1cos(2)cos(424)]2500[1cos(2)]Y R t t E t t E t t E t t E t E τττωθωωτθωτωωτθωτ+=+=+=+⨯++=--++=-∴()Z R τ仅与τ有关，且均值为常数，故Y()t 是平稳过程。
7.给定随机过程()()()00cos sin X t A t B t ωω=+，其中0ω是常数，A 和B 是两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为2σ。
证明()X t 是广义平稳而不是严格平稳的。
证明： X 00()[X()][cos()sin()]0m t E t E A t B t ωω==+=000000220000002200000020(,)[X()X()]{[cos()sin()][cos()sin()]}[cos()cos()sin()sin()]11[cos(2)cos()][cos()cos(2)]22cos()X R t t E t t E A t B t A t B t E A t t B t t E t E t ττωωωωτωωτωωωτωωωτσωωτωτσωτωωτσωτ+=+=+⨯+++=⨯++⨯+=+++-+=由于均值是常数，且相关函数只与τ有关，故X()t 是广义平稳过程。
