第五章一元一次方程

第五章一元一次方程
1.一元一次方程
1.定义（1）含有未知数的等式就叫做方程.
（2）一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的最高次数都是1，系数不为0，这样的方程叫做一元一次方程. （例如：1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.）
2.标准形式：ax+b=0（其中a≠0,a,b都是已知数）
3.最简形式：ax=b(其中a≠0,a,b都是已知数)
2.等式的性质
性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.
用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c
(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么a
c = b c
3.一元一次方程的解：
使一元一次方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解.
注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.
⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.
解方程的一般步骤:
a. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
b. 去括号(按去括号法则和分配律)
c. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)
d. 合并同类项(把方程化成ax = b (a≠0)形式)
e. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b a )
4.一元一次方程的应用
（1）用方程思想解决实际问题的一般步骤
1. 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．
2. 设：设未知数(可分直接设法，间接设法)
3. 列：根据题意列方程．
4. 解：解出所列方程．
5. 检：检验所求的解是否符合题意．
6. 答：写出答案(有单位要注明答案)
（2）有关常用应用类型题及各量之间的关系
1. 和、差、倍、分问题：
（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.
（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
2. 等积变形问题：
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变；
②原料体积＝成品体积.
3.调配问题：
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变
（1）有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果是甲工程队的
人数是工程队人数的2倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？
（2）某班同学利用假期参加夏令营活动，分成几个小组，若每组7人还余1人，若每组8人还缺6人，问该班分成几个小组，共有多少名同学？
4. 数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c.
（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示. （1）已知三个连续偶数的和是2004，求这三个偶数各是多少？
（2）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小5，若此两位数的两个数字位置交换，得一新两位数，那么新两位数与原两位数大45，求新两位数与原两位数的积是多少？
5. 工程问题：
工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间
工程问题有三个基本量：工作量、工作时间、工作效率，其基本关系为：工作
量=工作效率×工作时间；．一般情况下把全部工作量看作1．
（1）一个水池安有甲乙丙三个水管，甲单独开12h注满水池，乙单独开8h注满,丙单独开24h可排掉满池的水，如果三管同开，多少小时后刚好把水池注满水？
（2）某工程，甲单独完成续20天，乙单独完成续12天，甲乙合干6天后，再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程?
6.行程问题：
（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间.
（2）基本类型有
①相遇问题；
②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题. 水上（空中）问题．
此类问题主要涉及四个量：静水船速、水速、逆水船速、顺水船速．基本关系为：顺水船速=静水船速+水速；逆水船速=静水船速－水速．
（1）甲乙两个人在400米的环形跑道上同时同点出发，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，乙跑几圈后，甲可超过乙一圈？
（2）甲乙两站相距300km，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行40km，一列快车从乙站开往甲站，每小时行80km，已知慢车先行1.5h，快车
7. 商品销售问题
有关关系式：
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
再开出，问快车开出多少小时后与慢车相遇？
（1）某产品按原价提高40%后打八折销售，每件商品赚270元，问该商品原标价多少元？现销售价是多少？
（2）甲乙两件衣服的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元？
8. 储蓄问题
⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税
⑵利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
9、增长率问题（降低率）
增长率问题有三个基本量：净增量、基础量、增长率，
基本关系。