七年级(上)培优讲义第13讲一元一次方程

一元一次方程的认识和解法一、重难点知识归纳及讲解1、有关方程的概念用等号“ =”来表示相等关系的式子，叫做等式.含有未知数的等式叫做方程.只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1的方程，叫做一元一次方程.使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根.求得方程的解的过程，叫做解方程.2、等式的基本性质性质 1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式，即：若 a=b，则a＋m=b＋m，a－m=b－m.性质 2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式，即：若 a=b，则am=bm，.此外等式还有两条性质.性质 3：若a=b，则b=a（等式的对称性）.性质 4：若a=b，b=c，则a=c（等式的传递性）.3、移项法则方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，这个法则叫做移项法则。

所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这方程的一边变换两项的位置。

移项时要变号，不变号不能移项。

4、解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的基本思路是通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边，最终把方程转化到 x=a的形式。

解一元一次方程的一般步骤是：（1）去分母：根据等式基本性质2，在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；（2）去括号：利用去括号法则、分配律，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；（3）移项：根据等式基本性质1，利用移项法则，把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；（4）合并同类项：利用合并同类项法则，把方程化成ax=b的形式；(a≠0).（5）系数化为1：根据等式基本性质2，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=ba 在解方程时，根据具体情况，有些步骤可能用不上，有些步骤可以前后顺序颠倒，有些步骤可以省略，有些步骤可以合并简化.5、方程的检验检验某数是不是原方程的解，应将该数分别代入原方程的左边和右边，看两边的值是否相等.如果相等，说明该数是原方程的解，否则就不是.检验时应代入原方程的左边和右边，而不是变形后的方程的左边和右边.6、列简易方程解应用题解应用题时，关键是列出简易方程，解应用题时列方程的一般步骤是：（1）设未知数，一般是求什么就设什么为x；（2）分析已知量和未知量的关系，找出相等关系；（3）把相等关系的左、右两边的量用含x的代数式表示出来，即得方程.二、典型例题剖析例 1、判断下列各式哪些是方程，哪些是一元一次方程.=3（7）2x=1 （8）（1）x－1=1－x （2）x3=2x（3）xy－x=0 （4）6x－x－1（5）5－2=3 （6）- 8xx2＋1>2x分析：判断一个式子是不是方程，只需看两点：①是等式；②含有未知数，二者缺一不可；判断一个方程是不是一元一次方程，也有两个条件：①只含一个未知数；②未知数的次数是 1，两个条件缺一不可。

第13讲一元一次方程应用——和差倍分、行程、轮船、劳动力调配、增长率问题【思维入门】1．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是鸡有23只，兔有12只．现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是鸡有____只，兔有____只．2．某校九年级一学生家长准备中考后全家3人去旅游，计划花费20 000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5 000元用于购物和品尝美食．根据题意，列出方程为________．3．某公路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36 m，为节约用电，现计划全部更换为新型节能灯，且相邻两盏灯的距离变为54 m，则需要更换节能灯____盏．4．旅行社组织200人到A地和B地旅游，到B地的人数是到A地的人数的2倍少1人，则到两地旅游的人数各是多少人？5．某特产商店销售甲、乙两种保鲜人参，甲种人参每棵100元，乙种人参每棵70元．王叔叔用1 200元在此特产商店购买这两种人参共15棵，求王叔叔购买每种人参的棵数．6．自西双版纳州启动农村义务教育学生营养改善计划以来，某校根据上级要求配备了一批营养早餐．某天早上七年级(1)班分到牛奶、面包共7件，每件牛奶24元，每件面包16元，共需144元．求这天早上该班分到多少件牛奶？多少件面包？7．为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，某市正在修建贯穿金城南北、东西的地铁1，2号线．已知修建地铁1号线24 km和2号线22 km共需投资265亿元．若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．(1)求1号线、2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？(2)除1、2号线外，市政府规划到2018年还要再建91.8 km的地铁线网．据估算，这91.8 km地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？【思维拓展】8．A，B两地间的距离为448 km，一列慢车从A站出发，每小时行驶60 km，一列快车从B站出发，每小时行驶80 km.问：(1)两车同时出发，相向而行，出发后多长时间相遇？(2)两车相向而行，慢车先开28 min，那么快车开出多长时间后两车相遇？9．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图5－13－1两种方法裁剪(裁剪后边角不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．图5－13－1(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？10．某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一．记时制：2.8元/h，包月制：16元/月．此外，每一种上网方式都加收通讯费1.2元/h.(1)某用户上网20 h，选用哪种上网方式比较合算？(2)当上网时间在多少小时时，两种上网费用一样多？【思维升华】11．8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人(不包括司机)．其中一辆小汽车在距火车站10 km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28 min.这时唯一可以利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60 km/h.人步行的平均速度是5 km/h.试设计一种方案，通过计算说明这8人能够在停止检票前赶到火车站．第13讲一元一次方程应用——和差倍分、行程、轮船、劳动力调配、增长率问题【思维入门】1．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是鸡有23只，兔有12只．现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是鸡有__22__只，兔有__11__只．2．某校九年级一学生家长准备中考后全家3人去旅游，计划花费20 000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5 000元用于购物和品尝美食．根据题意，列出方程为__3x＋5__000＝20__000__．3．某公路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36 m，为节约用电，现计划全部更换为新型节能灯，且相邻两盏灯的距离变为54 m，则需要更换节能灯__71__盏．4．旅行社组织200人到A地和B地旅游，到B地的人数是到A地的人数的2倍少1人，则到两地旅游的人数各是多少人？解：假设到A地的旅游人数为x人，根据题意，得x＋(2x－1)＝200，解得x＝67，则到B地旅游的人数为2x－1＝133(人)，答：到A地和B地旅游的人数分别是67人和133人．5．某特产商店销售甲、乙两种保鲜人参，甲种人参每棵100元，乙种人参每棵70元．王叔叔用1 200元在此特产商店购买这两种人参共15棵，求王叔叔购买每种人参的棵数．解：设王叔叔购买甲种人参x棵，则购买乙种人参(15－x)棵，根据题意，得100x＋70(15－x)＝1 200，解得x＝5，则15－x＝10(棵)．答：王叔叔购买甲种人参5棵，乙种人参10棵．6．自西双版纳州启动农村义务教育学生营养改善计划以来，某校根据上级要求配备了一批营养早餐．某天早上七年级(1)班分到牛奶、面包共7件，每件牛奶24元，每件面包16元，共需144元．求这天早上该班分到多少件牛奶？多少件面包？解：设这天早上该班分到x 件牛奶，(7－x )件面包，根据题意，得24x ＋16(7－x )＝144， 解得x ＝4.当x ＝4时，7－x ＝3.答：这天早上该班分到4件牛奶，3件面包．7．为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，某市正在修建贯穿金城南北、东西的地铁1，2号线．已知修建地铁1号线24 km 和2号线22 km 共需投资265亿元．若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．(1)求1号线、2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？(2)除1、2号线外，市政府规划到2018年还要再建91.8 km 的地铁线网．据估算，这91.8 km 地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？解：(1)设1号线每千米的平均造价是x 亿元，则2号线每千米的平均造价是(x －0.5)亿元，根据题意，得24x ＋22(x －0.5)＝265，解得x ＝6.所以x －0.5＝5.5(亿元)． 答：1号线、2号线每千米的平均造价分别是6亿元、5.5亿元．(2)91.8×6×1.2＝660.96(亿元)．【思维拓展】8．A ，B 两地间的距离为448 km ，一列慢车从A 站出发，每小时行驶60 km ，一列快车从B 站出发，每小时行驶80 km.问：(1)两车同时出发，相向而行，出发后多长时间相遇？(2)两车相向而行，慢车先开28 min ，那么快车开出多长时间后两车相遇？解：(1)设出发后x h 两车相遇，则慢车行驶的路程为60x km ，快车行驶的路程为80x km ，由题意，得60x ＋80x ＝448，解得x ＝3.2.答：出发后3.2 h 两车相遇．(2)设快车开出y h 后两车相遇，则快车行驶的路程为80y km ，慢车行驶的路程为60⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋715 km. 由题意，得80y ＋60⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋715＝448， 解得y ＝3.答：快车开出3 h 后两车相遇．9．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图5－13－1两种方法裁剪(裁剪后边角不再利用)．A 方法：剪6个侧面；B 方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x 张用A 方法，其余用B 方法．图5－13－1(1)用x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？解：(1)裁出的侧面个数为6x ＋4(19－x )＝(2x ＋76)个；裁出的底面个数为5(19－x )＝(－5x ＋95)个．(2)由题意，得2x ＋763＝－5x ＋952， 解得x ＝7.当x ＝7时，2x ＋763＝30， 答：能做30个盒子．10．某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一．记时制：2.8元/h ，包月制：16元/月．此外，每一种上网方式都加收通讯费1.2元/h.(1)某用户上网20 h ，选用哪种上网方式比较合算？(2)当上网时间在多少小时时，两种上网费用一样多？解：(1)当上网时间为20 h ，记时制的费用为：(2.8＋1.2)×20＝80(元)；包月制的费用为：16＋1.2×20＝40(元)，答：上网时间20 h 时，选择包月制比较合算．(2)设当上网时间在x h 时，两种上网费用一样多，(2.8＋1.2)x ＝16＋1.2x ，解得x ＝407.答：当上网时间在407 h 时，两种费用一样多．【思维升华】11．8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人(不包括司机)．其中一辆小汽车在距火车站10 km 的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28 min.这时唯一可以利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60 km/h.人步行的平均速度是5 km/h.试设计一种方案，通过计算说明这8人能够在停止检票前赶到火车站．解：当汽车出现故障时，乘这辆车的4人下车步行，另一辆车将自己车内的4人送到车站再回来接步行的4人再送至火车站． 设出现故障后乘这辆车的4人下车步行的距离为x ，根据题意得：x 5＝10＋10－x 60，解得x ＝2013，则步行的4人到达车站的用时为2013÷5＋⎝⎛⎭⎪⎫10－2013÷60＝3578(h)＝261213(min)． ∵261213 min ＜28 min ，∴此方案可行．此题还可有其他方案，只要满足出现故障后先步行的4人到达车站总共的用时不超28 min ，则方案可行．。

第13讲实际问题与一元一次方程〔2〕一、知识梳理工程问题：工作量=工效·工时工时工作量工效=工效工作量工时=. 【例1】某制造工厂方案假设干天完成一批玩具的订货任务，如果每天生产玩具20个，那么就比订货任务少生成100个；如果每天生产玩具23个，那么就可超过订货任务20个，求原方案几天完成任务？【变式训练1】.现有120台大小两种型号的挖掘机同时工作，大型挖掘机每小时可挖掘土方360立方米，小型挖掘机每小时可挖掘土方200立方米，20小时共挖掘土方704000立方米，求大小型号的挖掘机各多少台？【例2】.整理一批图书，由一个人做需要120h 完成，先方案由一局部人先做12h ，然后再增加5人与他们一起做8个小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应该先安排多少人工作？【变式训练2】.一项工程，甲队单独施工需要15天完成，乙队单独施工需要9天完成．现在由甲队先工作3天，剩下的由甲、乙两队合作，还需要几天才能完成任务？【例3】.某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在18天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？【变式训练3】.新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产1000个口罩面或1200根耳绳．一个口罩面需要配两根耳绳，为使每天生产的口罩面与耳绳刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面？二、课堂训练1．某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有7名工人，每人每天可制作甲配件900个或者乙配件1200个．应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？2．一项工程，甲队单独完成需要40天，乙队单独完成需要50天，现甲队单独做4天后两队合作． 〔1〕求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程．〔2〕在〔1〕的条件下，甲队每天的施工费为3000元，乙队每天的施工费为3500元，求完成此项工程需付给甲乙两队共多少元．3．“机器人〞的研发和运用，有效地节省了劳动力．某制造“机器人〞的车间有28名工人，每人每天可以生产“机器人〞的机壳500个或机脚800个．1个机壳需要配4个机脚，为使每天生产的机壳和机脚刚好配套．应安排生产机壳和机脚的工人各多少名？三、课后稳固1．中国宝武马鞍山钢铁集团第二炼铁厂接到一批原料加工任务425吨，现打算调用甲、乙两条生产线完成．甲生产线平均每天比乙生产线多加工5吨．假设甲生产线独立加工20天后，乙生产线参加，两条生产线又联合加工5天，刚好全部加工完毕．甲生产线加工一吨需用电40度，乙生产线加工一吨需用电25度．求完成这批加工任务需用电多少度？2．为打造运河风光带，现有一段河道治理任务由A、B两个工程队完成．A工程队单独治理该河道需16天完成，B 工程队单独治理该河道需24天完成，现在A工程队单独做6天后，B工程队参加合作完成剩下的工程，问B工程队工作了多少天？3．某车间有84名工人，每人每天可以生产16个大齿轮或10个小齿轮，1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，为使每天生产的大齿轮和小齿轮刚好配套，应安排生产大齿轮和小齿轮的工人各多少名？一共可以配成多少套？。

（6）3b-3<10 ；
例2 若关于x的方程 2x n 1 9 0 是一元一次方程，则 n 的值为 2或－2. 变式：方程 (m 1)x m 1 0是关于x的一元一次方程，则
m= 1 .
方法：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件： ①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0.
考考你 1.方程3x5-2k -8=0是关于x的一元一次方程，则k=__2___. 2.方程x|m| +4=0是关于x的一元一次方程，则m=_1_或__-1_. 3.方程(m-1)x -2=0是关于x的一元一次方程，则m__≠_1__.
解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60-x）支. 等量关系：x支铅笔的售价+（60-x）支圆珠笔的售价=87
列方程：1.2 0.8x 2 0.960 x 87 .
思考：1. 怎样将一个实际问题转化为方程问题？ 2. 列方程的依据是什么？
抓关键句子找等量关系
实际问题
一元一次方程
设未知数列方程
试一试 根据下列问题，设出未知数，列出方程： (1)某长方形足球场的周长为310米，长和宽之差为25 米，求这个足球场的宽．
等量关系：女生人数- 男生人数=8， 列方程：0.52x- (1-0.52)x=8.
例4 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售 价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动， 铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果 两种笔共卖出60支，卖得金额87元.求卖出铅笔的支数.
买甲种共用的钱+买乙种共用的钱=9元 甲种支数+乙种支数=20支
解：设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20-x)支. 0.3x+0.6(20－x)=9