2018年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)

2018广东省一模-理科数学(含答案)(word版可编辑修改)
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2018广东省一模-理科数学(含答案)(word版可编辑修改)。

2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．204．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣ C．+D．2+5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0 D．17．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈8．（5分）已知a=log 52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．110．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A．4πB．3πC．8πD．12π11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有种结果．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF 的面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0且满足a n=2S n﹣﹣（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}={x∈Z|﹣＜x＜}={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}，故选：B．2．（5分）已知复数z=1﹣i，则下列命题中正确的个数为：（）①|z|=；②=1+i；③z的虚部为﹣i．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵z=1﹣i，∴|z|=，故①正确；，故②正确；z的虚部为﹣1，故③错误．∴正确命题的个数为2个．故选：C．3．（5分）向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），⊥，则（+）（﹣）=（）A．﹣15 B．15 C．﹣20 D．20【解答】解：向量=（1，x+1），=（1﹣x，2），若⊥，则•=（1﹣x）+2（x+1）=x+3=0，解可得x=﹣3，则=（1，﹣2），=（4，2），（+）=（5，0），（﹣）=（﹣3，﹣4）；则（+）（﹣）=﹣15；故选：A．4．（5分）△ABC中，tanA=，AC=2，BC=4，则AB=（）A．2﹣B．﹣ C．+D．2+【解答】解：已知tanA=，由于：0＜A＜π，解得：A=，利用余弦定理：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA，解得：AB=（负值舍去）．故选：C．5．（5分）将一根长为6m的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：绳子的长度为6m，折成两段后，设其中一段长度为x，则另一段长度6﹣x，记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A，则A={x|}={x|0＜x＜2或4＜x≤6}，∴P（A）=，故选：B．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=cos+cosπ+…+cos的值，∵y=cos的周期为4，2017=504×4+1∴输出S=504×（cos+cosπ+cos+cos2π）+cos=0故选：C7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．12立方丈【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．∴三棱柱的体积V=．两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1．∴体积V==2．该刍甍的体积为：3+2=5．故选：B．8．（5分）已知a=log 52，b=log73，c=log3，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵c=log3=log 53＞log73，b=log 73＞=，a=log52＜=，则a，b，c的大小关系为：a＜b＜c．故选：A．9．（5分）已知P（x，y）为平面区域内的任意一点，当该区域的面积为3时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．3 C．2 D．1【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，a），D（a，a），B（a+1，a+1），C（a+1，﹣a﹣1）由该区域的面积为3时，×1=3，得a=1．∴A（1，1），C（2，﹣2）化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过C点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）A．4πB．3πC．8πD．12π【解答】解：三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，∴共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：，半径为，外接球的表面积为：4π×（）2=3π．故选：B．11．（5分）若圆（x﹣）2+（y﹣1）2=9与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）经过二、四象限的渐近线，交于A，B两点且|AB|=2，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0，∵|AB|=2，圆的圆心为（，1），半径为3，∴圆心到渐近线的距离为=，即=，解得b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e==．故选：A．12．（5分）对于实数a、b，定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1•x2•x3取值范围为（）A．（0，3） B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）【解答】解：∵a⊗b=，∴f（x）=（2x﹣3）⊗（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2•x3=k，故x1•x2•x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1•x2•x3∈（﹣3，0），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）若sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，则cos2β=﹣．【解答】解：∵sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ=，则cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2•=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）4名同学去参加3 个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社会团体，则共有54种结果．【解答】解：根据题意，先计算4名同学去参加3 个不同的社团组织的情况数目，4个同学中每人可以在3 个不同的社团组织任选1个，即每人有3种不同的选法，则4人有3×3×3×3=81种情况，再计算甲乙参加同一个社团组织的情况数目，若甲乙参加同一个社团组织，甲乙两人有3种情况，剩下的2人每人有3种不同的选法，则剩下的2人有3×3=9种情况，则甲乙参加同一个社团组织的情况有3×9=27种；则甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有81﹣27=54种；故答案为：54．15．（5分）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f（3）=0．【解答】解：由f（x）=f（4﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x≤2时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f（3）=f（1）=e，f′（3）=﹣f′（1）=﹣e，故f′（3）+f（3）=0，故答案为：0．16．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|=2|BF|，则三角形CDF 的面积为3．【解答】解：如图，抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l为x=﹣1，设l所在直线方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x1x2=1，①∵|AF|=2|BF|，∴x1+1=2（x2+1），②由①②解得x2=，x1=2，或x1=﹣1，x2=﹣1（舍去）∴y1=2，y2=﹣，∴|CD|=y1﹣y2=3，∵|FG|=1+1=2，=×|CD|×|FG|=×3×2=3，∴S△CDF故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0且满足a n=2S n﹣﹣（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，解得a1=1；由a n=2S n﹣﹣，整理得，①∴，②②﹣①得：，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n+1﹣a n﹣2=0，即a n﹣1﹣a n=2．∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（Ⅱ）=，③，④③﹣④得：==．∴．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，∴AB⊥DE，又∵F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DF∩DE=E，且DF、DE⊂平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF；解：（Ⅱ）∵DE⊥平面ABC，∴AC⊥DE，又∵DA=DC，∴E为AC中点，∵F是AB中点，∴EF∥BC，由（Ⅰ）知AB⊥EF，∴AB⊥BC，又∵∠BAC=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，AC=4，∴AB=BC=DA=DB=DC=2，取BD中点G，连结AG、CG，则AG⊥DB，CG⊥DB，∴∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在△AGC中，cos∠AGC==﹣，∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为﹣．19．（12分）某市市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列，（Ⅰ）求a，b，c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数；（Ⅱ）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为多少立方米？（精确到小数掉后2位）（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）∵前四组频数成等差数列，∴所对应的频率也成等差数列，设a=0.2+d，b=0.2+2d，c=0.2+3d，∴0.5（a+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1）=1，解得d=0.1，a=0.3，b=0.4，c=0.5．居民月用水量介于2～2.5的频率为0.25．居民月用水量介于2～2.5的频数为0.25×100=25人．（Ⅱ）由图可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应定为ω=2.5+≈2.83立方米．（Ⅲ）将频率视为概率，设A代表居民月用水量，由图知：P（A≤2.5）=0.7，由题意X～B（3，0.7），P（X=0）==0.027，P（X=1）==0.189，P（X=2）==0.441，P（X=3）==0.343．∴X的分布列为：∵X～B（3，0.7），∴E（X）=np=2.1．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD的面积最大？并求出最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点，离心率等于，∴设椭圆方程为，根据题意得：，解得：所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x0，y0），则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|由，得，∴==﹣（﹣2）2+1，∴时，（）max=1，∴S max=4×1=4，此时r2==．即r=．21．（12分）设函数f（x）=xlnx﹣ax+1，g（x）=﹣2x3+3x2﹣x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[，e]上有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）+ax＞g（x）．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx﹣ax+1=0，得：a=lnx+，问题转化为a=lnx+在[，e]上有2个不同的解，令h（x）=lnx+，x∈[，e]，则h′（x）=，令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，而h（1）=1，h（）=e﹣1，h（e）=1+＜e﹣1，故a的范围是（1，1+）；（Ⅱ）要证f（x）+ax≥g（x），只要证明xlnx+1≥g（x），先证xlnx+1≥x，构造函数F（x）=xlnx+1﹣x，∵F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，x=1时，F′（x）=0，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，x＞1时，F′（x）＞0，故F（x）在[0，1]递减，在[1，+∞）递增，故F（x）≥F（1）=0，即证xlnx+1≥x，等号成立当且仅当x=1，再证明x∈[，+∞）时，g（x）≤x，构造函数G（x）=x﹣g（x）=2，∵G′（x）=6≥0，∴G（x）在[，+∞）递增，∴G（x）≥G（）=0，即证明g（x）≤x，等号成立当且仅当x=，故x∈（0，）时，构造函数φ（x）=f（x）+ax=xlnx+1，∵φ′（x）=1+lnx，∴x=时，φ′（x）=0，当0＜x＜时，φ′（x）＜0，当＜x＜时，φ′（x）＞0，即φ（x）在（0，）递减，在（，）递增，∴x∈（0，）时，φ（x）≥φ（）=1﹣，∵g′（x）=﹣6+1，x∈（0，）时，﹣＜g′（x）＜1，又g′（0）=﹣＜0，g′（）=1＞0，存在x0∈（0，），使得g′（x0）=0，且g（x）在（0，x0）递减，在（x0，）递增，故x∈（0，）时，g（x）＜max{g（0），g（）}=，∴g（x）＜＜1﹣≤φ（x），综上，对任意x＞0，f（x）+ax＞g（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．即：，故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≥M恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≤2恒成立，﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≤2，解得：﹣2≤x＜3，x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≤2，无解，综上，f（x）≤2的解集是{x|x≥﹣2}；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，易知函数的最大值是8，若x2+2x+m≥8恒成立，得m≥﹣x2﹣2x+8恒成立，即m≥﹣（x+1）2+9，故m≥9．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

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2018年广东省佛山市高考一模数学理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数15122i z i -+＝的实部为( )解析：()()()()151221212525222i i i i i z i i i i i -----==-++-+＝＝＝，∴复数1122iz i++＝的实部为0.答案：B2.已知全集U=R ，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x 2-2x ＞0}，则图1中阴影部分表示的集合为( )A.{0，1，2}B.{1，2}C.{3，4}D.{0，3，4}解析：∵全集U=R ，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x 2-2x ＞0}={x|x ＞2或x ＜0}， ∴C U B={x|0≤x ≤2}，∴图中阴影部分表示的集合为A ∩(C U B)={0，1，2}. 答案：A3.若变量x ，y 满足约束条件0210430y x y x y ≤--≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩，则z=3x-2y 的最小值为( )解析：画出变量x ，y 满足约束条件0210430y x y x y ≤--≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩可行域如图阴影区域：目标函数z=3x-2y 可看做3122y x z =-，即斜率为32，截距为12z-的动直线， 数形结合可知，当动直线过点A 时，z 最小 由 210430x y x y --⎧⎨--⎩＝＝得A(-1，-1)∴目标函数z=3x-2y 的最小值为z=-3×0+2×1=-1. 答案：A4.已知x ∈R ，则“x 2=x+2”是“x =( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：“x 2=x+2”，解得x=2或-1.由“x =”，解得x=2.∴“x 2=x+2”是“x =.答案：B5.把曲线()12sin 6C y x π-：＝上所有点向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2，则C 2( ) A.关于直线4x π＝对称 B.关于直线512x π＝对称C.关于点(12π，0)对称D.关于点(π，0)对称解析：把曲线()12sin 6C y x π-：＝上所有点向右平移6π个单位长度，可得()()2sin 2sin 663y x x πππ=--=-的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2：()2sin 23y x π=-的图象，对于曲线C 2：y=2sin(2x-3π)： 令4x π＝，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线4x π＝对称，故A 错误； 令512x π＝，y=2，为最值，故它的图象关于直线4x π＝对称，故B 正确；令12x π＝，y=-1，故它的图象不关于点(12π，0)对称，故C 错误；令x=π，y=-，故它的图象不关于点(π，0)对称，故D 错误.答案：B6.已知1tan 4tan θθ+＝，则()2cos 4πθ+=( )A.12 B.13 C.14 D.15解析：由1tan 4tan θθ+＝，得sin cos 4cos sin θθθθ+＝，即22sin cos 4sin cos θθθθ+＝， ∴sinθcosθ=14，∴()()21cos 21221sin 212sin cos cos 422244211πθπθθθθ++-⨯--+===＝＝. 答案：C7.当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )解析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60.答案：C8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.212 C.332解析：由题意可知几何体的直观图为：多面体：A′B′C′-ABCD 几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为3，高为3， 上底边长为1，几何体的体积为：V 棱柱-V 棱锥=1313333331311222238+⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=.答案：C9.已知()22x xa f x +＝为奇函数，g(x)＝bx-log 2(4x +1)为偶函数，则f(ab)=( )A.174 B.52 C.154-D.32-解析：根据题意，()22x xa f x +＝为奇函数，则有f(-x)+f(x)=0，即()()22022x x xx a a --+++=，解可得a=-1， g(x)＝bx-log 2(4x+1)为偶函数，则g(x)=g(-x)，即bx-log 2(4x +1)=b(-x)-log 2(4-x+1)， 解可得b=1， 则ab=-1，f(ab)=f(-1)=1113222=-﹣﹣﹣. 答案：D10.△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若115cos 314a B A π＝，＝，＝，则△ABC 的面积S=( )C.D.解析：若115cos 314a B A π＝，＝，＝，可得sinA ==，由正弦定理可得5sin 7sin aB b A ===， 111214+=，则△ABC 的面积为S=11sin 5722ab C =⨯⨯=答案：C11.已知三棱锥P-ABC 中，侧面PAC ⊥底面ABC ，∠BAC=90°，AB=AC=4，PC=，则三棱锥P-ABC 外接球的表面积为( ) π π π π解析：取BC 中点D ，连结AD ，过P 作PE ⊥平面ABC ，交AC 于E ，过E 作EF ∥BC ，交AD 于F ，以D 为原点，DB 为x 轴，AD为y 轴，过D 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则DA DB DC ======解得AE=3，CE=1，PE=1，，则B(0，0)，P(1)，设球心O(0，0，t)，则OB=OP，=解得t=-1，∴三棱锥P-ABC外接球半径，∴三棱锥P-ABC外接球的表面积为：S=4πR2=4π×9=36π.答案：D12.设函数f(x)=x3-3x2+2x，若x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)=f(x)-λx的两个极值点，现给出如下结论：①若-1＜λ＜0，则f(x1)＜f(x2)；②若0＜λ＜2，则f(x1)＜f(x2)；③若λ＞2，则f(x1)＜f(x2).其中正确结论的个数为( )解析：函数g(x)=f(x)-λx，∴g′(x)=f′(x)-λ，令g′(x)=0，∴f′(x)-λ=0，即f′(x)=λ有两解x1，x2，(x1＜x2)∵f(x)=x3-3x2+2x，∴f′(x)=3x2-6x+2，分别画出y=f′(x)与y=λ的图象如图所示：①当-1＜λ＜0时，则f(x 1)＞f(x 2)； ②若0＜λ＜2，则f(x 1)＞f(x 2)； ③若λ＞2，则f(x 1)＜f(x 2). 答案：B二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.设a r =(1，2)，b r =(-1，1)，c a b λ=+r r r ，若a c ⊥r r，则实数λ的值等于____.解析：c a b λ=+r r r=(1，2)+λ(-1，1)=(1-λ，2+λ)， ∵a c ⊥r r ，∴a c ⋅r r=1-λ+2(2+λ)=0， 则实数λ=-5 答案：-514.已知a ＞0，(ax-1)4(x+2)展开式中x 2的系数为1，则a 的值为____.解析：(ax-1)4(x+2)=(1-ax)4(x+2)=(1-4ax+6a 2x 2+…)(x+2)；其展开式中x 2的系数为-4a+12a 2=1，即12a 2-4a-1=0，解得a=12或a=16-(不合题意，舍去)； ∴a 的值为12.答案：1215.设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为____. 解析：袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分， 现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球， 基本事件总数n=6×6=36，取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12， 取出此2球所得分数之和为3分的概率为123613m p n ===.答案：1316.双曲线C ：22221y x a b-＝(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距2c ，以右顶点A 为圆心，半径为2a c+的圆过F 1的直线l 相切与点N ，设l 与C 交点为P ，Q ，若2PQ PN uuu r uuu r ＝，则双曲线C 的离心率为____.解析：由2PQ PN uuu r uuu r＝，可得N 为PQ 的中点，AN ⊥PQ ，在直角三角形F 1AN 中，AF 1=a+c ， AN=2a c+， 即有∠NF 1A=30°，直线PQ AN 的斜率为由F 1(-c ，0)，A(a ，0)， 可得直线PQ 的方程为(x+c)， 代入双曲线的方程可得 (3b 2-a 2)x 2-2ca 2x-a 2c 2-3a 2b 2=0， 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，可得2122223a c x x b a+=-， PQ 的中点N 的横坐标为22223a c b a -，2223a c b a c ⎫=⎪⎝⎭+-，由0N AN N y k x a-==-= 即为a 2c-3a(c 2-a 2)+a 3=-c(c 2-a 2)，化为(c-2a)2=0，即c=2a ，可得e=ca=2. 答案：2三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知各项均不为零的等差数列{a n }的前n 项和S n .且满足2S n ＝2n a +λn ，λ∈R. (1)求λ的值； (2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n .解析：(1)利用等差数列的通项公式以及数列的求和公式，利用待定系数法求解即可.(2)利用裂项相消法求解数列的和即可.答案：(1)因为数列{a n }为等差数列，设a n =An+B ，因为{a n }的公差不为零，则()2n n A B A B n S +++＝，所以()222n nS A A B n ++＝，因为2S n ＝2n a +λn ，λ∈R ，所以An 2+(A+2B)n=A 2n 2+(2AB+λ)n+B 2，所以22122001A A A AB AB B B A λλ⎧⎧⎪++⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎪≠⎩＝＝＝＝＝＝. (2)由(1)知a n =n ， 所以()()()212111111221212121n n a a n n n n -+--+-+＝＝， 所以()()()()11111112212122111121335n n T n n n n ⎡⎤⎢-+-+⋯+---+++⎥⎣⎦＝＝＝.18.有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下： 甲公司职位 A B C D月薪/元6000 7000 8000 9000 获得相应职位概率乙公司职位 A B C D月薪/元5000 7000 9000 11000 获得相应职位概率(1)根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；(2)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：人员结构选择意愿40岁以上(含40岁)男性40岁以上(含40岁)女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司110 120 140 80选择乙公司150 90 200 110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-++++＝P(K2≥k)k解析：(1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，计算E(X)和E(Y)的值，比较即可得出结论；(2)根据题意填写选择意愿与性别两个分类变量的列联表，计算K2，对照临界值表得出结论. 答案：(1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E(X)=6000×+7000×+8000×+9000×=7000，E(Y)=5000×+7000×+9000×+11000×=7000，D(X)=(6000-7000)2×+(7000-7000)2×+(8000-7000)2×+(9000-7000)2×=10002，D(Y)=(5000-7000)2×+(7000-7000)2×+(9000-7000)2×+(11000-7000)2×=20002，则E(X)=E(Y)，D(X)＜D(Y)，我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；(2)因为k1=＞，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250 350 600女200 200 400总计450 550 1000计算()22100025020035020020006.734600400450550297K⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，且K2=＞，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为，由＜，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大.19.如图，已知四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=3，CD=4，AD=AP=4，∠PAB=∠PAD=60°.(1)证明：顶点P在底面ABCD的射影在∠BAD的平分线上；(2)求二面角B-PD-C的余弦值.解析：(1)设点O为点P在底面ABCD的射影，连接PO，AO，则PO⊥底面ABCD，分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂直分别为M，N，连接PM，PN，证明PO⊥AB，结合OM⊥AB，推出AB⊥平面OPM，可得AB⊥PM，AD⊥PN，证明△AMP≌△ANP，Rt△AMO≌Rt△ANP，得到∠OAM=∠OAN，推出AO为∠BAD的平分线.(2)以O为原点，分别以OM，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，求出平面BPD的一个法向量，平面PDC的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角B-PD-C的余弦值即可.答案：(1)证明：设点O为点P在底面ABCD的射影，连接PO，AO，则PO⊥底面ABCD，分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂直分别为M，N，连接PM，PN，因为PO⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，所以PO⊥AB，又OM⊥AB，OM∩OP=O，所以AB⊥平面OPM，PM?平面OPM，所以AB⊥PM，同理AD⊥PN，即∠AMP=∠ANP=90°，又∠PAB=∠PAD，PA=PA，所以△AMP≌△ANP，所以AM=AN，又AO=AO，所以Rt△AMO≌Rt△ANO，所以∠OAM=∠OAN，所以AO为∠BAD的平分线.(2)以O为原点，分别以OM，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，因为PA=4，所以AM=2，因为AB ⊥AD ，AO 为∠BAD 的平分线，所以452OAM OM AM AO ∠︒＝，＝＝，＝PO则B(2，1，0)，P(0，0，，D(-2，-2，0)，C(-2，4，0)，所以()(43()022060DB DP DC u u u r u u u r u u u r＝，，，＝，，＝，， 设平面BPD 的一个法向量为()1111n x y z u r＝，，，则1111111430220n DB x y n DP x y ⎧⋅+⋅⎪⎨⎪⎩++u r u u u r u r u u u r ＝＝＝＝，可取()1n -u r ＝， 设平面PDC 的一个法向量为()2222n x y z ＝，，，则由22211160220n DC y n DP x y ⎧⎪⎨⎪⎩⋅⋅++u u r u u u r u u r u u u r ＝＝＝＝，可取)21n -u u r ＝，，所以121212cos n n n n n n ⋅⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，， 所以二面角B-PD-C20.已知椭圆C 1：22221y x a b+＝(a ＞b ＞0)的焦点与抛物线C 2：2y ＝的焦点F 重合，且椭圆C 1的右顶点P 到F的距离为3-； (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 与椭圆C 1交于A ，B 两点，且满足PA ⊥PB ，求△PAB 面积的最大值. 解析：(1)利用已知条件转化求解椭圆的几何量，求解椭圆方程即可；(2)设出直线方程，利用直线与椭圆方程联立，利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解即可.答案：(1)设椭圆C 1的半焦距为c ，依题意，可得a ＞b ，且()331F c a c a b --，＝＝＝，＝，所以椭圆C 1的方程为2219x y +＝. (2)依题意，可设直线PA ，PB 的斜率存在且不为零， 不妨设直线PA ：y=k(x-3)，则直线PB ：()13y x k--＝，联立：()22319y k x x y ⎧-⎪⎨+⎪⎩＝＝得(1+9k 2)x 2-54k 2x+(81k 2-9)=0，则26PA＝同理可得：222661919k PB k k ++⋅，所以△PAB的面积为：()()()()()2222222222218118118113281999164k k k k k k S PA PB k k k k +++≤++++＝＝＝＝， 当且仅当3(k 2+1)=8k ，即k 是面积取得最大值38.21.已知函数f(x)=(x-a)lnx+12x ，(其中a ∈R) (1)若曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为y=12x ，求a 的值； (2)若12a e＜＜为自然对数的底数)，求证：f(x)＞0.解析：(1)求出定义域，求出导函数，利用切线方程列出方程组求解即可. (2)令()()3ln 2a g x f x x x '-+＝＝，则()21a g x x x'+＝，推出g(x)在(0，+∞)上递增，证明在g(x)区间()22a a ，上有唯一的零点x 0，推出f(x)取得最小值即()()()00001202a f x x a x x --＝＞，即可.答案：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，()3ln 2a f x x x '-+＝， 由题意知()00000000121ln 231ln 22y x y x a x x a x x ⎧⎪⎪⎪-+⎨⎪⎪-+⎪⎩＝＝＝，则()0000ln ln 100x a x a x x -⎧=⎪⎨-+⎪⎩＝， 解得x 0=1，a=1或x 0=a ，a=1，所以a=1.(2)令()()3ln 2a g x f x x x '-+＝＝，则()21a g x x x'+＝，因为12a e ＜＜()20x a g x x+'＝＞，即g(x)在(0，+∞)上递增， 以下证明在g(x)区间()22a a ，上有唯一的零点x 0， 事实上()()313ln ln 2ln 2ln 2122222222a a a a a gg a a a a a -+--++＝＝，＝＝，因为12a e ＜＜()()()1102ln 210222a g g a e ⋅+＜＝，＞＝，由零点的存在定理可知，g(x)在()22a a ，上有唯一的零点x 0， 所以在区间(0，x 0)上，g(x)=f'(x)＜0，f(x)单调递减； 在区间(x 0，+∞)上，g(x)=f'(x)＞0，f(x)单调递增， 故当x=x 0时，f(x)取得最小值()()00001ln 2f x x a x x-+＝， 因为()0003ln 02a g x x x -+＝＝，即003ln 2a x x -＝，所以()()20000000315222a af x x a x x x x x ⎛⎫---- ⎪⎝+⎭＝＝，即()()()00001202a f x x a x x --＝＞.∴f(x)＞0.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα+⎧⎨⎩＝＝(t 为参数，0≤α＜π)，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y ββ⎨⎩+⎧＝＝(β为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设C 与l 交于M ，N 两点(异于原点)，求|OM|+|ON|的最大值.解析：(1)曲线C 的参数方程消去参数β，得曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程.(2)由直线l 的参数方程可知，直线l 必过圆C 的圆心(0，2)，则2MON π∠＝，设()()122M N πρθρθ+，，，，则|OM|+|ON|=()4πθ+，当4πθ＝，|OM|+|ON|取得最大值为答案：(1)∵曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y ββ⎨⎩+⎧＝＝(β为参数)，∴消去参数β，得曲线C 的普通方程为x 2+(y-2)2=4，化简得x 2+y 2=4y ，则ρ2=4ρsinθ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ. (2)∵直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα+⎧⎨⎩＝＝(t 为参数，0≤α＜π)，∴由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0，2)，也就是圆C 的圆心，则2MON π∠＝， 不妨设()()122M N πρθρθ+，，，，其中()02πθ∈，， 则()()()124sin 4sin 4sin cos 24OM ON ππρρθθθθθ++++++＝＝＝＝，所以当4πθ＝，|OM|+|ON|取得最大值为23.已知函数f(x)=x|x-a|，a ∈R.(1)若f(1)+f(-1)＞1，求a 的取值范围；(2)若a ＞0，对?x ，y ∈(-∞，a]，都有不等式()54f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.解析：(1)利用f(1)+f(-1)=|1-a|-|1+a|＞1，通过a ≤-1，-1＜a ＜1，a ≥1，分别求解即可. (2)要使得不等式恒成立，只需()max min4|5|fx y y a ≤++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦-，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可.答案：(1)f(1)+f(-1)=|1-a|-|1+a|＞1，若a ≤-1，则1-a+1+a ＞1，得2＞1，即a ≤-1时恒成立， 若-1＜a ＜1，则1-a-(1+a)＞1，得a ＜12-，即-1＜a ＜12-， 若a ≥1，则-(1-a)-(1+a)＞1，得-2＞1，即不等式无解，综上所述，a 的取值范围是()12-∞-，.(2)由题意知，要使得不等式恒成立，只需()max min4|5|fx y y a ≤++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦-，当x ∈(-∞，a]时，()()()22max 24a a f x x ax f x f ⎡⎤⎣-⎦+＝，＝＝， 因为5544y y a a ++-≥+，所以当54y a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，min55|544|4y y a a a ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦++-， 即2544a a ≤+，解得-1≤a ≤5，结合a ＞0，所以a 的取值范围是(0，5].。