同济大学高等数学教案第八章无穷级数教学内容

第四篇 无穷级数第七章 无穷级数无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数.第1节 常数项级数的概念与性质1.1常数项级数的概念一般的，给定一个数列,,,,,321n u u u u则由这数列构成的表达式+++++n u u u u 321叫做（常数项）无穷级数, 简称（常数项）级数, 记为∑∞=1n n u , 即3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n u u u u u ,其中第n 项n u 叫做级数的一般项.作级数∑∞=1n n u 的前n 项和n ni i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211称为级数∑∞=1n n u 的部分和. 当n 依次取1,2,3…时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，…，12...n n s u u u =+++，…根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。

定义 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞→lim , 则称无穷级数∑∞=1n nu 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和, 并写成3211+++++==∑∞=n n n u u u u u s ;如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞=1n n u 发散.当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和n s 是级数∑∞=1n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值12n n n n r s s u u ++=-=++叫做级数∑∞=1n n u 的余项.例1 讨论等比级数（几何级数）n n aq ∑∞=0(a ≠0)的敛散性.解 如果1≠q , 则部分和qaq q a q aq a aqaq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 12. 当1<q 时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1.当1>q 时, 因为∞=∞→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0发散.如果1=q , 则当1=q 时, n s na =→∞ , 因此级数n n aq ∑∞=0发散;当1-=q 时, 级数n n aq ∑∞=0成为+-+-a a a a ,因为n s 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零, 所以n s 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞=0发散.综上所述, 如果1<q , 则级数nn aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1; 如果1≥q , 则级数n n aq ∑∞=0发散.例2 判别无穷级数∑∞=+1)11ln(n n 的收敛性. 解 由于n n nu n ln )1(ln )11ln(-+=+=,因此)1(ln )ln )1(ln( )ln3ln4()ln2ln3()1ln 2(ln +=-++⋅⋅⋅+-+-+-=n n n s n ,而 ∞=∞→n n S lim ，故该级数发散.例3 判别无穷级数∑∞=+1)1(1n n n 的收敛性. 解 因为111)1(1+-=+=n n n n u n ,所以)1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n , 从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n , 所以这级数收敛, 它的和是1.1.2 收敛级数的基本性质根据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质.性质1如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks .证明 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 的部分和分别为n s 与n σ, 则) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞→∞→lim ) (lim 21,这表明级数∑∞=1n n ku 收敛, 且和为ks .性质2 如果级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1n n n v u ±∑∞=也收敛, 且其和为σ±s .证明 如果∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 、)(1n n n v u ±∑∞=的部分和分别为n s 、n σ、n τ， 则)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+⋅⋅⋅+±+±=∞→∞→τ)] () [(lim 2121n n n v v v u u u +⋅⋅⋅++±+⋅⋅⋅++=∞→σσ±=±=∞→s s n n n )(lim .性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.比如, 级数)1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 是收敛的;级数)1(1 43132121110000⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+n n 也是收敛的;级数)1(1 541431⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n 也是收敛的.性质4 如果级数∑∞=1n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数（1-1)+（1-1) +⋅ ⋅ ⋅收敛于零, 但级数1-1+1-1+⋅ ⋅ ⋅却是发散的.推论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则它的一般项n u 趋于零, 即0lim 0=→n n u .证明 设级数∑∞=1n n u 的部分和为n s , 且s s n n =∞→lim , 则0lim lim )(lim lim 110=-=-=-=-∞→∞→-∞→→s s s s s s u n n n n n n n n n .注: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例6 证明调和级数13121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n是发散的.证明 假若级数∑∞=11n n收敛且其和为s , ns 是它的部分和.显然有s s n n =∞→lim 及s s n n =∞→2lim . 于是0)(lim 2=-∞→n n n s s .但另一方面,2121 212121 21112=+⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++++=-n n n n n n s s n n ,故0)(lim 2≠-∞→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑∞=11n n必定发散.习题7-11. 写出下列级数的前四项:（1） ∑∞=1!n n n n ； （2）∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---121)1(1)1(n n n n . 2. 写出下列级数的一般项（通项）:（1） -+-+-8141211 ； （2）+-+-97535432a a a a ； （3） ++++7151311. 3. 根据级数收敛性的定义，判断下列级数的敛散性: （1）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n ; （2） ++++6sin 62sin 6sin πππn . 4. 判断下列级数的敛散性: （1）∑∞=+131n n ; （2） +++++n 31916131; （3）∑∞=+112n n n （4） +-+-+-+-2)1(2222n.第2节 常数项级数的收敛法则2.1 正项级数及其收敛法则现在我们讨论各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数. 设级数+++++n u u u u 321 （7-2-1）是一个正项级数，它的部分和为n s .显然，数列{}n s 是一个单调增加数列，即：≤≤≤≤n s s s 21如果数列{}n s 有界，即n s 总不大于某一常数M ，根据单调有界的数列必有极限的准则，级数（7-2-1）必收敛于和s ，且M s s n ≤≤. 反之，如果正项级数（7-2-1）收敛于和s .根据有极限的数列是有界数列的性质可知，数列{}n s 有界. 因此，有如下重要结论：定理 1 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是它的部分和数列{n s }有界.定理2 (比较审敛法) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且n n u v ≤ ),2,1( =n . 若级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 发散.证明 设级数∑∞=1n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞=1n n u 的部分和),2,1(21321 =≤++≤++++=n v v v u u u u s n n n σ即部分和数列{}n s 有界, 由定理1知级数∑∞=1n n u 收敛.反之, 设级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 必发散. 因为若级数∑∞=1n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞=1n n u 也收敛, 与假设矛盾.推论 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞=1n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当N n ≥时有)0(>≤k kv u n n 成立, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 如果级数∑∞=1n n v 发散, 且当N n ≥时有)0(>≥k kv u n n 成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论p -级数1 413121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=∑∞=pp p p p n n n 的收敛性, 其中常数0>p .解 设1≤p . 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n 发散, 由比较审敛法知, 当1≤p 时级数pn n 11∑∞=发散.设1>p . 此时有⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=≤=----⎰⎰11111)1(111111p p n n p n n p p n n p dx x dx n n ),3,2( =n . 对于级数⎪⎪⎭⎫⎝⎛----∞=∑1121)1(1p p n n n , 其部分和 111111)1(11)1(11 3121211------+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p p p p p p n n n n s . 因为1)1(11lim lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-∞→∞→p n n n n s . 所以级数⎪⎪⎭⎫⎝⎛----∞=∑1121)1(1p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数pn n 11∑∞=当1>p 时收敛.综上所述, p -级数p n n11∑∞=当1>p 时收敛, 当1≤p 时发散.例2 证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的. 证明 因为11)1(1)1(12+=+>+n n n n , 而级数 11 3121111⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+∑∞=n n n 是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.定理3 （比较审敛法的极限形式)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果)0(lim +∞<<=∞→l l v u n nn , 则级数∑∞=1n n u 和级数∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散.证明 由极限的定义可知, 对l 21=ε, 存在自然数N , 当N n >时, 有不等式l l v ul l n n 2121+<<-, 即n n n lv u lv 2321<<.再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论.例3 判别级数∑∞=11sinn n的收敛性. 解 因为111sin lim =∞→nn n , 而级数∑∞=11n n 发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=11sin n n 发散.用比较审敛法审敛时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数∑∞=1n nv作为比较的基准.最常选用做基准级数的是等比级数和p -级数.定理4 (比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 的后项与前项之比值的极限等于ρ，即ρ=+∞→n n n u u 1lim,则当1<ρ时级数收敛;当1>ρ (或∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散; 当1=ρ时级数可能收敛也例4 判别级数∑∞=1!1n n 收敛性. 解 因为1011lim !1)!1(1lim lim1<=+=+=∞→∞→+∞→n n n u u n n nn n , 根据比值审敛法可知，所给级数收敛. 例5 判别级数∑∞=13!n n n 的收敛性. 解 因为,31lim 3!3)!1(lim lim11+∞=+=+=∞→+∞→+∞→n n n u u n nn n nn n ,根据比值审敛法可知,所给级数发散. 定理5 (根值审敛法, 柯西判别法)设∑∞=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项n u 的n 次根的极限等于ρ，即ρ=∞→n n n u lim ,则当1<ρ时级数收敛; 当1>ρ (或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散; 当1=ρ时级数可能收敛也可能发散.定理6（极限审敛法）设∑∞=1n n u 为正项级数，（1）如果0lim >=∞→l nu n n （或+∞=∞→n n nu lim ），则级数∑∞=1n n u 发散；（2）如果1>p ，而l u n n pn =∞→lim （+∞<≤l 0），则级数∑∞=1n n u 收敛.证明 （1）在极限形式的比较审敛法中，取n v n 1=，由调和级数∑∞=11n n发散，知结论成立.（2）在极限形式的比较审敛法中，取p n n v 1=，当1>p 时，p -级数∑∞=11n p n收敛，例6 判定级数)11ln(12∑∞=+n n的收敛性. 解 因)(1~)11ln(22+∞→+n nn ，故 11lim )11ln(lim lim 22222=⋅=+=∞→∞→∞→n n n n u n n n n n ，根据极限审敛法，知所给级数收敛.2.2 交错级数及其审敛法则下列形式的级数,4321 u u u u -+-称为交错级数. 交错级数的一般形式为n n n u ∑∞=--11)1(, 其中0>n u .定理7（莱布尼茨定理）如果交错级数n n n u ∑∞=--11)1(满足条件:(1) 1(1,2,3,)n n u u n +≥= ;(2) 0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和1u s ≤, 其余项n r 的绝对值1+≤n n u r .证明 设前n 项部分和为n s ，由)()()(21243212n n n u u u u u u s -+-+-=- ,及n n n n u u u u u u u u s 21222543212)()()(--+-+--=-- ，看出数列{}n s 2单调增加且有界)(12u s n ≤, 所以收敛.设)(2∞→→n s s n , 则也有)(12212∞→→+=++n s u s s n n n ,所以)(∞→→n s s n ，从而级数是收敛的, 且1u s <.因为 +-≤++21n n n u u r |也是收敛的交错级数, 所以1+≤n n u r .2.3 绝对收敛与条件收敛对于一般的级数：,21 ++++n u u u若级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu绝对收敛；若级数∑∞=1n nu收敛， 而级数∑∞=1n nu发散, 则称级数∑∞=1n nu条件收敛.级数绝对收敛与级数收敛有如下关系： 定理8 如果级数∑∞=1n nu绝对收敛, 则级数∑∞=1n nu必定收敛.证明 令)(21n n n u u v +=),2,1( =n . 显然0≥n v 且n n u v ≤ ),2,1( =n .因级数∑∞=1n nu收敛，故由比较审敛法知道，级数∑∞=1n nv，从而级数∑∞=12n nv也收敛.而n n n u v u -=2，由收敛级数的基本性质可知：∑∑∑∞=∞=∞=-=1112n n n n n nu v u，所以级数∑∞=1n nu收敛.定理8表明，对于一般的级数∑∞=1n nu，如果我们用正项级数的审敛法判定级数∑∞=1n nu收敛，则此级数收敛.这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛性判定问题.一般来说，如果级数∑∞=1n nu发散, 我们不能断定级数∑∞=1n nu也发散. 但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞=1n nu发散, 则我们可以断定级数∑∞=1n nu必定发散. 这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而n u 也不趋向于零, 因此级数∑∞=1n nu也是发散的.例7 判别级数∑∞=12sin n nna 的收敛性. 解 因为|221|sin n n na ≤, 而级数211n n ∑∞=是收敛的, 所以级数∑∞=12|sin |n nna 也收敛, 从而级数∑∞=12sin n nna 绝对收敛.例8 判别级数∑∞=13n nna （a 为常数）的收敛性.解 因为)(1)1(33311∞→→⎪⎭⎫⎝⎛+=+=++n a a n n n a n au u n n nn ,所以当1±=a 时，级数∑∞=±13)1(n n n均收敛；当1≤a 时，级数∑∞=13n nn a 绝对收敛；当1>a 时，级数∑∞=13n nna 发散.习题7-21. 用比较审敛法判定下列级数的收敛性： （1）∑∞=+12121n n； （2）∑∞=++1)2)(1(1n n n ；（3）∑∞=+11n n n； （4）∑∞=12sin n n π； （5）∑∞=>+1)0(11n na a.2. 用比值审敛法判定下列级数的敛散性:（1）∑∞=1!2n n n ; （2）∑∞=⋅1!3n nn n n ; （3）∑∞=+1)12(n n n n ; （4）∑∞=+112tan n n n π.3. 判定下列级数的敛散性:（1）∑∞=12n n n ; （2）∑∞=+1)1(n nn n ;（3）∑∞=13sin 2n n nπ; （4）∑∞=14!n n n ;（5）∑∞=++121)1(n n n n . 4. 判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ （1）∑∞=+-111)1(n n n; （2）∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n ;（3）∑∞=--111sin )1(n n n ; （4）∑∞=--11ln )1(n n n n.第3节 幂级数3.1 函数项级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列{})(x u n , 由这函数列构成的表达式+++++)()()()(321x u x u x u x u n ,称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞=1)(n n x u .对于区间I 内的一定点0x , 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛, 则称点0x 是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞=10)(n nx u发散, 则称点0x 是级数∑∞=1)(n n x u 的发散点.函数项级数∑∞=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域.在收敛域上, 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和是x 的函数)(x s , )(x s 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞==1)()(n n x u x s . 函数项级数)(x u n ∑的前n 项的部分和记作)(x s n , 即)()()()()(321x u x u x u x u x s n n ++++= .在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→.函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数)(x s 与部分和)(x s n 的差)()()(x s x s x r n n -=叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项. 并有0)(lim =∞→x r n n .3.2 幂级数及其收敛性函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是+++++=∑∞=n n n n nx a x a x a a x a22100,其中常数 ,,,,,210n a a a a 叫做幂级数的系数.定理1（阿贝尔定理) 对于级数∑∞=0n n nx a，当)0(00≠=x x x 时收敛, 则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当0x x =时发散, 则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是幂级数∑∞=0n nn x a的收敛点, 即级数∑∞=0n nnx a 收敛. 根据级数收敛的必要条件,有0lim 0=∞→nn n x a , 于是存在一个常数M , 使),2,1(0 =≤n M x a nn .这样级数∑∞=0n n nx a的的一般项的绝对值n n nn n n nn nn x x M x x x a x x x a x a ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=.因为当0x x <时, 等比级数nn x x M ||00⋅∑∞=收敛, 所以级数∑∞=0||n n n x a 收敛, 也就是级数∑∞=0n n nx a绝对收敛. 定理的第二部分可用反证法证明.倘若幂级数当0x x =时发散而有一点1x 适合01x x >使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当0x x =时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.推论 如果级数∑∞=0n n nx a不是仅在点0=x 一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R 存在, 使得 当R x <时, 幂级数绝对收敛; 当R x >时, 幂级数发散;当R x =与R x -=时, 幂级数可能收敛也可能发散. 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径. 开区间),(R R -叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛区间. 再由幂级数在x R =±处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数∑∞=0n nnx a的收敛域是),(R R -或),[R R -、],(R R -、],[R R -之一.若幂级数∑∞=0n nnx a只在0=x 收敛, 则规定收敛半径0=R , 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径+∞=R , 这时收敛域为),(+∞-∞.定理2 如果ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 其中n a 、1+n a 是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R .证明|| ||||lim ||lim 111x x a a x a x a nn n n n n n n ρ=⋅=+∞→++∞→.(1) 如果+∞<<ρ0, 则只当1<x ρ时幂级数收敛, 故ρ1=R .(2) 如果0=ρ, 则幂级数总是收敛的, 故+∞=R .(3) 如果+∞=ρ, 则只当0=x 时幂级数收敛, 故0=R .例1 求幂级数 ∑∞=12n nnx 的收敛半径与收敛域.解 因为1)1(lim lim 221=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ,所以收敛半径为11==ρR . 即收敛区间为)1,1(-.当1±=x 时, 有221)1(n n n =±，由于级数∑∞=121n n 收敛，所以 级数∑∞=12n n nx 在1±=x 时也收敛.因此, 收敛域为]1,1[-.例2 求幂级数∑∞=0!1n nx n = !1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x 的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim ||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ,所以收敛半径为+∞=R , 从而收敛域为),(+∞-∞.例3 求幂级数∑∞=0!n nxn 的收敛半径.解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为0=R , 即级数仅在0=x 处收敛. 例4 求幂级数∑∞=022)!()!2(n nx n n 的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径:幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当142<x即21||<x 时级数收敛; 当142>x 即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R .3.3 幂级数的运算 设幂级数∑∞=0n nn xa 及∑∞=0n n n x b 分别在区间),(R R -及),(R R ''-内收敛, 则在),(R R -与),(R R ''-中较小的区间内有加法:∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n nn n nn x b a x b x a .减法: ∑∑∑∞=∞=∞=-=-00)(n n n n n nn n nn x b a x b x a .乘法: )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n nn x b x a ++++++=2021120011000)()(x b a b a b a x b a b a b a+++++-n n n n x b a b a b a )(0110.除法: .221022102210+++++=++++++++++n n nn n n x c x c x c c x b x b x b b x a x a x a a 关于幂级数的和函数有下列重要性质：性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数)(x s 在其收敛域I 上连续.性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数)(x s 在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xnn xn nn x x n a dx x a dx x a dx x s )(I x ∈,逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数)(x s 在其收敛区间),(R R -内可导, 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x s ()x R <,逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数∑∞=+011n nx n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为)1,1[-. 设和函数为)(x s , 即∑∞=+=011)(n n x n x s , )1,1[-∈x .显然1)0(=s . 在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得：()x x x n x xs n n n n -=='⎪⎭⎫⎝⎛+='∑∑∞=∞=+1111)(001.对上式从0到x 积分, 得)1ln(11)(0x dx xx xs x--=-=⎰.于是, 当0≠x 时, 有)1ln(1)(x xx s --=. 从而[)()⎪⎩⎪⎨⎧=⋃∈--=,0 1 ,1,01,0- )1ln(1)(x x x xx s . 提示: 应用公式)0()()(0F x F dx x F x-='⎰, 即⎰'+=xdx x F F x F 0)()0()(.11132++++++=-n x x x x x. 习题7-31．求下列幂级数的收敛区间（1）∑∞=1n nnx ； （2）∑∞=-1)1(n nn x n ；（3）∑∞=⋅+12)2(n nn n x ； （4）∑∞=++-11212)1(n n n n x ； （5）∑∞=-1)5(n n n x ； （6）∑∞=+1212n n nx n ；（7）∑∞=-1)1(2n nn x n ； （8）∑∞=-1)5(n n n x . 2. 利用逐项求导法或逐项积分法，求下列级数的和函数 （1）∑∞=-1122n n nx1<x ; （2）∑∞=--11212n n n x .第4节 函数展开成幂级数4.1函数展开成幂级数给定函数)(x f , 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数)(x f . 如果能找到这样的幂级数, 我们就说,函数)(x f 能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数)(x f .如果)(x f 在点0x 的某邻域内具有各阶导数),(),(x f x f ''' ),()(x f n ，则当∞→n 时, )(x f 在点0x 的泰勒多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)( )(!2)())(()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+=成为幂级数)(!2)())(()(200000⋅⋅⋅+-''+-'+x x x f x x x f x f )(!)(00)(⋅⋅⋅+-+n n x x n x f这一幂级数称为函数)(x f 的泰勒级数.显然, 当0x x =时,)(x f 的泰勒级数收敛于)(0x f .需要解决的问题: 除了0x x =外, )(x f 的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于)(x f ?定理 设函数)(x f 在点0x 的某一邻域)(0x U 内具有各阶导数, 则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(x f 的泰勒公式中的余项)(x R n 当n →∞时的极限为零, 即lim ()0 n n R x →∞= 0(())x U x ∈.证明 先证必要性. 设)(x f 在)(0x U 内能展开为泰勒级数, 即)(!)( )(!2)())(()()(00)(200000⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f , 又设)(1x s n +是)(x f 的泰勒级数的前1+n 项的和,则在)(0x U 内)(1x s n +)(x f →)(∞→n .而)(x f 的n 阶泰勒公式可写成)()()(1x R x s x f n n +=+，于是=)(x R n 1()()0n f x s x +-→)(∞→n .再证充分性. 设)(0)(∞→→n x R n 对一切)(0x U x ∈成立.因为)(x f 的n 阶泰勒公式可写成)()()(1x R x s x f n n +=+, 于是=+)(1x s n )(x f )()(x f x R n →-，即)(x f 的泰勒级数在)(0x U 内收敛, 并且收敛于)(x f .在泰勒级数中取00=x , 得⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+ !)0( !2)0()0()0()(2nn x n f x f x f f ,此级数称为)(x f 的麦克劳林级数.要把函数)(x f 展开成x 的幂级数，可以按照下列步骤进行： 第一步 求出)(x f 的各阶导数: ),(,),(),(),()(x f x f x f x f n ''''''.第二步 求函数及其各阶导数在00=x 处的值:),0(,),0(),0(),0()(n f f f f '''''' .第三步 写出幂级数!)0( !2)0()0()0()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+nn x n f x f x f f ,并求出收敛半径R .第四步 考察在区间(),(R R -内时是否)(0)(∞→→n x R n .1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ 是否为零. 如果)(0)(∞→→n x R n , 则)(x f 在),(R R -内有展开式!)0( !2)0()0()0()()(2+++''+'+=nn x n f x f x f f x f )(R x R <<-.例1 试将函数x e x f =)(展开成x 的幂级数. 解 所给函数的各阶导数为),2,1()()( ==n e x f x n , 因此),2,1(1)0()( ==n f n .得到幂级数⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ !1 !2112n x n x x , 该幂级数的收敛半径+∞=R .由于对于任何有限的数ξ,x (ξ介于0与x 之间), 有)!1(||)!1( |)(|1||1+⋅<+=++n x e x n e x R n x n n ξ, 而0)!1(||lim1=++∞→n x n n , 所以0|)(|lim =∞→x R n n , 从而有展开式 2111 2!!x n e x x x n =+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ()x -∞<<+∞. 例2 将函数x x f sin )(=展开成x 的幂级数. 解 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2 sin )()(πn x x fn ),2,1( =n ,所以)0()(n f顺序循环地取),3,2,1,0(,1,0,1,0 =-n , 于是得级数⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+--- )!12()1( !5!312153n x x x x n n , 它的收敛半径为+∞=R .对于任何有限的数ξ,x (ξ介于0与x 之间), 有11(1)sin ||2|()| 0(1)!(1)!n n n n x R x x n n πξ+++⎛⎫+⎪⎝⎭=≤→++ n →∞.因此得展开式35211sin(1)3!5!(21)!n n x x x x x n --=-+-+-+- ()x -∞<<+∞.例3 将函数m x x f )1()(+=展开成x 的幂级数, 其中m 为任意常数. 解 )(x f 的各阶导数为1)1()(-+='m x m x f,)1)(1()(2-+-=''m x m m x f,)1)(1()2)(1()()(n m n x n m m m m x f -++---=所以),1()2)(1()0(,),1()0(,)0(,1)0()(+---=-=''='=n m m m m f m m f m f f n且()0n R x → 于是得幂级数++-⋅⋅⋅-++-++nx n n m m m x m m mx !)1( )1( !2)1(12. 以上例题是直接按照公式计算幂级数的系数，最后考察余项是否趋于零.这种直接展开的方法计算量较大，而且研究余项即使在初等函数中也不是一件容易的事.下面介绍间接展开的方法，也就是利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项.例4 将函数x x f cos )(=展开成x 的幂级数. 解 已知)!12()1( !5!3sin 12153 +--+-+-=--n x x x x x n n )(+∞<<-∞x .对上式两边求导得)( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞+-+-+-=x n x x x x n n . 例5 将函数)1ln()(x x f +=展开成x 的幂级数. 解 因为x x f +='11)(, 而x +11是收敛的等比级数∑∞=-0)1(n n n x )11(<<-x 的和函数:)1( 11132⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-=+n n x x x x x. 所以将上式从0到x 逐项积分, 得)1ln()(x x f +=⎰⎰+='+=xx dx xdx x 0011])1[ln(∑⎰∑∞=+∞=+-=-=01001)1(])1([n n nx n nn n x dx x )11(≤<-x . 上述展开式对1=x 也成立, 这是因为上式右端的幂级数当1=x 时收敛, 而)1ln(x +在1=x 处有定义且连续.常用展开式小结:211 1n x x x x=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- (11)x -<<, 2111 2!!xn e x x x n =+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ()x -∞<<+∞,35211sin (1) 3!5!(21)!n n x x x x x n --=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅- ()x -∞<<+∞,242cos 1 (1) 2!4!(2)!n n x x x x n =-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅ ()x -∞<<+∞, 2341ln(1) (1) 2341n n x x x x x x n ++=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+ (11)x -<≤,!2)1(1)1(2⋅⋅⋅+-++=+x m m mx x m (1) (1) !n m m m n x n -⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅(11)x -<<4.2 幂级数的展开式的应用4.2.1 近似计算有了函数的幂级数展开式，就可以用它进行近似计算，在展开式有意义的区间内，函数值可以利用这个级数近似的按要求计算出来.例6 计算5245的近似值(误差不超过410-).解 因为5/15555)321(323245+=+=, 所以在二项展开式中取51=m , 532=x , 即]. )32)(151(51!2132511[32452555⋅⋅⋅+-⋅-⋅+=.这个级数从第二项起是交错级数， 如果取前n 项和作为5245的近似值, 则其误差(也叫做截断误差),1+≤n n u r 可算得,103258352243||4910222-<⨯=⨯⨯⨯⨯=u 为了使误差不超过410-, 只要取其前两项作为其近似值即可. 于是有.0049.3)2432511(32455≈⋅+≈.例7 利用3!31sin x x x -≈ 求 9sin 的近似值, 并估计误差. 解 首先把角度化成弧度,91809⨯=π (弧度)20π=(弧度),从而()320!312020sin πππ-≈ . 其次, 估计这个近似值的精确度. 在x sin 的幂级数展开式中令20π=x , 得20!7120!5120!312020sin 753⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππππ.等式右端是一个收敛的交错级数, 且各项的绝对值单调减少. 取它的前两项之和作为20sin π的近似值, 起误差为3000001)2.0(120120!51||552<⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛≤πr . 因此取157080.020≈π, 003876.0203≈⎪⎭⎫ ⎝⎛π.于是得 15643.09sin ≈ ，这时误差不超过510-. 例8 计算定积分dx e x ⎰-2122π的近似值, 要求误差不超过410-（取56419.01≈π）.解 将xe 的幂级数展开式中的x 换成2x -, 得到被积函数的幂级数展开式!3)(!2)(!1)(1322222⋅+-+-+-+=-x x x ex 20(1) !n n n x n ∞==-∑ ()x -∞<<+∞. 于是, 根据幂级数在收敛区间内逐项可积, 得dx x n dx n x dx e n n n n n n x ⎰∑⎰∑⎰∞=∞=--=-=102010201!)1(2]!)1([222πππ) !3721!25213211(1642 +⋅⋅-⋅⋅+⋅-=π. 前四项的和作为近似值, 其误差为900001!49211||84<⋅⋅≤πr ,所以5295.0)!3721!25213211(12642212≈⋅⋅-⋅⋅+⋅-≈⎰-ππdx e x .例9 计算积分dx x⎰+5.00411的近似值, 要求误差不超过410-.解 因为+-+-+-=+n n x x x x x)1(11132. 所以)1( 111412844+-++-+-=+nn x x x x x对上式逐项积分得dx x⎰+5.00411=dx x x x x n n ])1(1[412845.00 +-++-+-⎰ 5.0014139514)1(1319151⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++-+-=+ n n x n x x x x++-++-+-=+141395)5.0(14)1()5.0(131)5.0(91)5.0(515.0n n n . 上面级数为交错级数，所以误差14)5.0(141++<n n n r ，经试算 00625.0)5.0(515≈⋅，00022.0)5.0(919≈⋅，000009.0)5.0(13113≈. 所以取前三项计算，即≈+⎰dx x5.004110.49400.493970.0002200625.0-0.50000≈=+.4.2.2 欧拉公式设有复数项级数为,)()()(2211 +++++++n n iv u iv u iv u （7-4-1）其中n n v u , ),3,2,1( =n 为实常数或实函数.如果实部所成的级数++++n u u u 21 （7-4-2）收敛于和u ，并且虚部所成的级数++++n v v v 21 （7-4-3）收敛于和v ，就说级数（1）收敛且其和为iv u +.如果级数（7-4-1）各项的模所构成的级数+++++++2222222121n n v u v u v u收敛，则称级数（7-4-1）绝对收敛.如果级数（1）绝对收敛，由于),,2,1(,,2222 =+≤+≤n v u v v u u n n n n n n那么级数（7-4-2），（7-4-3）绝对收敛，从而级数（7-4-1）收敛.考察复数项级数+++++n z n z z !1!2112 )(iy x z += （7-4-4） 可以证明级数（7-4-4）在整个复平面上是绝对收敛的.在x 轴上)(x z =它表示指数函数xe ，在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记作ze ，于是ze 定义为=z e +++++n z n z z !1!2112 )(∞<z （7-4-5） 当0=x 时，z 为纯虚数iy ，（7-4-5）式成为 ++++++=n iyiy n iy iy iy e)(!1)(!31)(!21132-++--+=5432!51!41!31!211y i y y i y iy )!51!31()!41!211(5342 -+-+-+-=y y y i y y y i y sin cos +=把y 换写为x ，上式变为x i x e ixsin cos += （7-4-6）这就是欧拉公式. 应用公式（7-4-6），复数z 可以表示为指数形式：,)sin (cos θρθθρi e i z =+= （7-4-7）其中z =ρ是z 的模，z arg =θ是z 的辐角在（7-4-6）式中把x 换成x -，又有x i x e ix sin cos -=-与（7-4-6）相加、相减，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--i e e x e e x ix ix ixix 2sin 2cos （7-4-8）这两个式子也叫做欧拉公式.（7-4-6）式或（7-4-8）式揭示了三角函数与复变量指数函数之间的一种联系.最后，根据定义式（7-4-5），并利用幂级数的乘法，我们不难验证2121z z z z e e e =+.特殊地，取1z 为实数x ，2z 为纯虚数iy ，则有).sin (cos y i y e e e e x iy x iy x +==+这就是说，复变量指数函数ze 在iy x z +=处的值是模为xe 、辐角为y 的复数.习题7-41.将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1）xa y = )1,0(≠>a a ; （2）2)1(1x y +=;（3）3sin xy =; （4）)2ln(x y -=; （5）211xy -=; （6）)1ln()1(x x y ++=.2.将函数x x f ln )(=展开成)1(-x 的幂级数.3.将函数xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数. 4.利用函数的幂级数展开式求3ln 的近似值（误差不超过0.0001）5.利用欧拉公式将函数x e xcos 展开成x 的幂级数.第5节 傅里叶级数5.1三角级数 三角函数系的正交性正弦函数是一种常见而简单的周期函数.例如描述简谐振动的函数)sin(ϕ+=wt A y ,就是一个以ωπ2为周期的正弦函数，其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为角频率，ϕ为初相.在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦函数的周期函数，它们反应了较复杂的周期运动.如电子技术中常用的周期为T 的矩形波,就是一个非正弦周期函数的例子.为了深入研究非正弦周期函数，联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数,我们也想将周期为T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数)sin(n n t n A ϕω+组成的级数来表示，记为)sin()(10n n nt n AA t f ϕω++=∑∞= （7-5-1）其中 ),3,2,1(,,0 =n A A n n ϕ都是常数.将周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明确的，这就是把一个比较复杂的周期运动看作是许多不同频率的简谐振动的叠加.在电工学上，这种展开称为是谐波分析.其中常数项0A 称为是)(t f 的直流分量；)sin(11ϕω+t A 称为一次谐波；而)sin(22ϕω+t A , ),sin(33ϕω+t A依次称为是二次谐波，三次谐波，等等.为了以后讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+按三角公式变形，得)sin(n n t n A ϕω+=t n A n n ωϕcos sin +t n A n n ωϕsin cos ，并且令002A a =，n n n A a ϕsin =，n n n A b ϕcos =，l πω=，则（1）式右端的级数就可以改写为∑∞=++10)sin cos (2n n n ltn b l t n a a ππ （7-5-2）形如（7-5-2）式的级数叫做三角级数，其中),3,2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数. 令,x lt=π（7-5-2）式成为 ,)sin cos (210∑∞=++n n n nx b nx a a （7-5-3）这就把以l 2为周期的三角级数转换为以π2为周期的三角级数.下面讨论以π2为周期的三角级数（7-5-3）.我们首先介绍三角函数系的正交性. 三角函数系:,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x （7-5-4） 在区间],[ππ-上正交，就是指在三角函数系（7-5-4）中任何不同的两个函数的乘积在区间],[ππ-上的积分等于零，即 ⎰-=ππ0cos nxdx ),2,1( =n , ⎰-=ππ0sin nxdx ),2,1( =n , ⎰-=ππ0cos sin nxdx kx ),2,1,( =n k , ⎰-=ππ0sin sin nxdx kx ),,2,1,(n k n k ≠= ,⎰-=ππ0cos cos nxdx kx ),,2,1,(n k n k ≠= .三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间],[ππ-上的积分不等于零, 即 ⎰-=πππ212dx ,⎰-=πππnxdx 2cos ),2,1( =n ,⎰-=πππnxdx 2sin ),2,1( =n .5.2 函数展开成傅里叶级数设)(x f 是周期为π2的周期函数, 且能展开成三角级数:∑∞=++=10)sin cos (2)(k k k kx b kx a a x f . （7-5-5）那么系数 ,,,110b a a 与函数)(x f 之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分, 则]cos sin cos cos [cos 2cos )(1⎰⎰∑⎰⎰--∞=--++=ππππππππnxdx kx b nxdx kx a nxdx a nxdx x f k k k =πn a类似地⎰-=πππn b nxdx x f sin )(，可得⎰-=πππdx x f a )(10,⎰-=ππnxdx x f a n cos )(1, ),2,1( =n ,⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1, ),2,1( =n .系数 ,,,110b a a 叫做函数)(x f 的傅里叶系数.由于当0=n 时，n a 的表达式正好给出0a ，因此，已得结果可合并写成1()cos ,(1,2,),1()sin ,(1,2,).n n a f x nxdx n b f x nxdx n ππππππ--⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎰⎰ （7-5-6）将傅里叶系数代入（5）式右端，所得的三角级数∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a 叫做函数)(x f 的傅里叶级数.一个定义在),(∞+-∞上周期为π2的函数)(x f , 如果它在一个周期上可积, 则一定可以作出)(x f 的傅里叶级数. 然而, 函数)(x f 的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛, 它是否一定收敛于函数? 一般来说, 这两个问题的答案都不是肯定的.定理1 （收敛定理, 狄利克雷充分条件) 设)(x f 是周期为π2的周期函数, 如果它满足: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则)(x f 的傅里叶级数收敛, 并且当x 是)(x f 的连续点时, 级数收敛于)(x f ;当x 是)(x f 的间断点时, 级数收敛于)]()([21+-+x f x f .由定理可知，函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多，若记⎭⎬⎫⎩⎨⎧+==+-)]()([21)(|x f x f x f x C ，在C 上就成立)(x f 的傅里叶级数展开式C x nx b nx a a x f n n n ∈++=∑∞=,)sin cos (2)(10. （7-5-7）例1 设)(x f 是周期为π2的周期函数, 它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x f 0 1 01)(， 将)(x f 展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件, 它在点πk x = ),2,1,0( ±±=k 处不连续, 在其它点处连续, 从而由收敛定理知道)(x f 的傅里叶级数收敛, 并且当πk x =时收敛于0)11(21)]0()0([21=+-=++-x f x f , 当πk x ≠时级数收敛于)(x f . 傅里叶系数计算如下:⎰⎰⎰=⋅+-==--πππππππ00cos 11cos )1(1cos )(1nxdx nxdx nxdx x f a n ),2,1( =n ;⎰⎰⎰⋅+-==--πππππππ0sin 11sin )1(1sin )(1nxdx nxdx nxdx x f b n]1cos cos 1[1]cos [1]cos [100+--=-+=-πππππππn n n n nx n nx πn 2=[1-(-1)n ]⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=⋅⋅⋅== 6, 4, 2, 0 ,5 ,3 ,1 4n n n π.于是)(x f 的傅里叶级数展开式为] )12sin(121 3sin 31[sin 4)(⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅++=x k k x x x f π),2,,0;( ππ±±≠+∞<<-∞x x .例2 设)(x f 是周期为π2的周期函数, 它在],(ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<<-≤≤=000 )(x x x x f ππ. 将)(x f 展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件, 它在点π)12(+=k x ),2,1,0( ±±=k 处不连续, 因此, )(x f 的傅里叶级数在π)12(+=k x 处收敛于2)0(21)]0()0([21ππ=+=+-+-x f x f . 在连续点x ))12((π+≠k x 处级数收敛于)(x f . 傅里叶系数计算如下:21)(10ππππππ===⎰⎰-xdx dx x f a ; ⎰⎰==-πππππ0cos 1cos )(1nxdx x nxdx x f a n ππ02cos sin 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=n nx n nx x )1(cos 12-=ππn n ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-= 6, 4, 2,,5 ,3 ,1 22n n n π. πππππππ20sin cos 1sin 1sin )(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-===⎰⎰-n nx n nx x nxdx x nxdx x f b nnn πcos -=n n 1)1(+-=),2,1( =n . )(x f 的傅里叶级数展开式为。

高数大一第八章知识点近年来，数学在大学教育中的地位越来越重要，尤其是高等数学这门课程。

高等数学作为一门综合性的数学课程，不仅为学生提供了数学基础知识，也对他们培养了逻辑思维和解决问题的能力。

在大一的课程中，第八章是高等数学的重要一环。

本文将介绍高数大一第八章的知识点。

第八章主要内容为无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。

首先，我们来看无穷级数的概念。

无穷级数是由一连串的数相加（或相减）所得到的无穷和。

其中，部分和是指对级数中的前n 项（n是一个整数）进行求和。

当部分和的极限存在时，我们称此无穷级数是收敛的；当部分和的极限不存在或正负无穷大时，我们称此无穷级数是发散的。

接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性判别法。

在第八章中，我们学习了几种常见的判别法，比如比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。

这些判别法可以帮助我们判断一个无穷级数是收敛还是发散，并且有时还可以估计出它的收敛域。

在学完无穷级数之后，我们来了解一下幂函数的泰勒展开。

泰勒展开是一种用无穷级数表示函数的方法，通过将一个函数表示成一系列的多项式来近似描述函数的行为。

泰勒展开的核心思想是将函数在某个点x=a处展开为幂级数。

通过求导和求导数值的换元，我们可以推导出求幂函数的泰勒展开的方法，并运用它来计算函数的近似值。

除了以上介绍的知识点，第八章还包括对数函数和指数函数的性质以及它们的图像、对数级数和指数级数等内容。

这些内容都是为了加深对高等数学的理解和应用。

总结来说，高数大一第八章是无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。

通过研究这些知识点，我们可以理解数列的收敛性质，掌握无穷级数的收敛性判别法，学会求解幂函数的泰勒展开，进而提高数学推理和解题的能力。

这些知识点不仅对高等数学的学习有帮助，也对其他数学学科的学习有重要意义。

在实际应用中，第八章的知识点在物理学、工程学和经济学等学科中起着重要作用。

通过无穷级数的理论，我们可以对物理学中的波动和振动进行分析；通过幂函数的泰勒展开，我们可以在工程学中进行精确计算；通过收敛性的判别法，我们可以在经济学中对收益和成本进行预测和分析。

第四篇无穷级数第七章无穷级数无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具.本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数.第1节常数项级数的概念与性质1.1常数项级数的概念一般的，给定一个数列则由这数列构成的表达式叫做（常数项）无穷级数,简称（常数项）级数,记为,即,其中第项叫做级数的一般项.作级数的前项和称为级数的部分和.当n依次取1,2,3…时，它们构成一个新的数列，，，…，，…根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。

定义如果级数的部分和数列有极限,即,则称无穷级数收敛,这时极限叫做这级数的和,并写成;如果没有极限,则称无穷级数发散.当级数收敛时,其部分和是级数的和的近似值,它们之间的差值叫做级数的余项.例1讨论等比级数（几何级数）(a≠0)的敛散性.解如果,则部分和.当时,因为,所以此时级数收敛,其和为.当时,因为,所以此时级数发散.如果,则当时,,因此级数发散;当时,级数成为,因为随着为奇数或偶数而等于或零,所以的极限不存在,从而这时级数发散.综上所述,如果,则级数收敛,其和为;如果,则级数发散.例2判别无穷级数的收敛性.解由于,因此,而，故该级数发散.例3判别无穷级数的收敛性.解因为,所以,从而,所以这级数收敛,它的和是1.1.2收敛级数的基本性质根据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质.性质1如果级数收敛于和,则它的各项同乘以一个常数所得的级数也收敛,且其和为.证明设与的部分和分别为与,则,这表明级数收敛,且和为.性质2如果级数、分别收敛于和、,则级数也收敛,且其和为.证明如果、、的部分和分别为、、，则.性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.比如,级数是收敛的;级数也是收敛的;级数也是收敛的.性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.应注意的问题:如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如,级数（1-1)+（1-1)+⋅⋅⋅收敛于零,但级数1-1+1-1+⋅⋅⋅却是发散的.推论如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.性质5如果收敛,则它的一般项趋于零,即.证明设级数的部分和为,且,则.注:级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例6证明调和级数是发散的.证明假若级数收敛且其和为,是它的部分和.显然有及.于是.但另一方面,,故,矛盾.这矛盾说明级数必定发散.习题7-11.写出下列级数的前四项:（1）；（2）.2.写出下列级数的一般项（通项）:（1）；（2）；（3）.3.根据级数收敛性的定义，判断下列级数的敛散性:（1）;（2）.4.判断下列级数的敛散性:（1）;（2）;（3）（4）.第2节常数项级数的收敛法则2.1正项级数及其收敛法则现在我们讨论各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数.设级数（7-2-1）是一个正项级数，它的部分和为.显然，数列是一个单调增加数列，即：如果数列有界，即总不大于某一常数，根据单调有界的数列必有极限的准则，级数（7-2-1）必收敛于和，且.反之，如果正项级数（7-2-1）收敛于和.根据有极限的数列是有界数列的性质可知，数列有界.因此，有如下重要结论：定理1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列{}有界.定理2(比较审敛法)设和都是正项级数,且.若级数收敛,则级数收敛;反之,若级数发散,则级数发散.证明设级数收敛于和,则级数的部分和即部分和数列有界,由定理1知级数收敛.反之,设级数发散,则级数必发散.因为若级数收敛,由上已证明的结论,将有级数也收敛,与假设矛盾.推论设和都是正项级数,如果级数收敛,且存在自然数N,使当时有成立,则级数收敛;如果级数发散,且当时有成立,则级数发散.例1讨论p-级数的收敛性,其中常数.解设.这时,而调和级数发散,由比较审敛法知,当时级数发散.设.此时有.对于级数,其部分和.因为.所以级数收敛.从而根据比较审敛法的推论1可知,级数当时收敛.综上所述,p-级数当时收敛,当时发散.例2证明级数是发散的.证明因为,而级数是发散的,根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.定理3（比较审敛法的极限形式)设和都是正项级数,如果,则级数和级数同时收敛或同时发散.证明由极限的定义可知,对,存在自然数N,当时,有不等式,即.再根据比较审敛法的推论1,即得所要证的结论.例3判别级数的收敛性.解因为,而级数发散,根据比较审敛法的极限形式,级数发散.用比较审敛法审敛时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准.最常选用做基准级数的是等比级数和p-级数.定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)若正项级数的后项与前项之比值的极限等于，即,则当时级数收敛;当(或)时级数发散;当时级数可能收敛也可能发散.例4判别级数收敛性.解因为,根据比值审敛法可知，所给级数收敛.例5判别级数的收敛性.解因为,根据比值审敛法可知,所给级数发散.定理5(根值审敛法,柯西判别法)设是正项级数,如果它的一般项的n次根的极限等于，即,则当时级数收敛;当(或)时级数发散;当时级数可能收敛也可能发散.定理6（极限审敛法）设为正项级数，（1）如果（或），则级数发散；（2）如果，而（），则级数收敛.证明（1）在极限形式的比较审敛法中，取，由调和级数发散，知结论成立.（2）在极限形式的比较审敛法中，取，当时，p-级数收敛，故结论成立.例6判定级数的收敛性.解因，故，根据极限审敛法，知所给级数收敛.2.2交错级数及其审敛法则下列形式的级数称为交错级数.交错级数的一般形式为,其中.定理7（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件:(1) ;(2) ,则级数收敛,且其和,其余项的绝对值.证明设前项部分和为，由,及，看出数列单调增加且有界,所以收敛.设,则也有,所以，从而级数是收敛的,且.因为|也是收敛的交错级数,所以.2.3绝对收敛与条件收敛对于一般的级数：若级数收敛，则称级数绝对收敛；若级数收敛，而级数发散,则称级数条件收敛.级数绝对收敛与级数收敛有如下关系：定理8如果级数绝对收敛,则级数必定收敛.证明令.显然且.因级数收敛，故由比较审敛法知道，级数，从而级数也收敛.而，由收敛级数的基本性质可知：，所以级数收敛.定理8表明，对于一般的级数，如果我们用正项级数的审敛法判定级数收敛，则此级数收敛.这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛性判定问题.一般来说，如果级数发散,我们不能断定级数也发散.但是,如果我们用比值法或根值法判定级数发散,则我们可以断定级数必定发散.这是因为,此时|u n|不趋向于零,从而也不趋向于零,因此级数也是发散的.例7判别级数的收敛性.解因为|,而级数是收敛的,所以级数也收敛,从而级数绝对收敛.例8判别级数（为常数）的收敛性.解因为,所以当时，级数均收敛；当时，级数绝对收敛；当时，级数发散.习题7-21.用比较审敛法判定下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.2.用比值审敛法判定下列级数的敛散性:（1）;（2）;（3）;（4）.3.判定下列级数的敛散性:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）.4.判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）;（2）;（3）;（4）.第3节幂级数3.1函数项级数的概念给定一个定义在区间I上的函数列,由这函数列构成的表达式,称为定义在区间上的(函数项)级数,记为.对于区间内的一定点,若常数项级数收敛,则称点是级数的收敛点.若常数项级数发散,则称点是级数的发散点.函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所有发散点的全体称为它的发散域.在收敛域上,函数项级数的和是的函数,称为函数项级数的和函数,并写成.函数项级数的前项的部分和记作,即.在收敛域上有.函数项级数的和函数与部分和的差叫做函数项级数的余项.并有.3.2幂级数及其收敛性函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数,这种形式的级数称为幂级数,它的形式是,其中常数叫做幂级数的系数.定理1（阿贝尔定理)对于级数，当时收敛,则适合不等式的一切R使这幂级数绝对收敛.反之,如果级数当时发散,则适合不等式的一切使这幂级数发散.证先设是幂级数的收敛点,即级数收敛.根据级数收敛的必要条件,有,于是存在一个常数,使.这样级数的的一般项的绝对值.因为当时,等比级数收敛,所以级数收敛,也就是级数绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明.倘若幂级数当时发散而有一点适合使级数收敛,则根据本定理的第一部分,级数当时应收敛,这与所设矛盾.定理得证.推论如果级数不是仅在点一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数存在,使得当时,幂级数绝对收敛;当时,幂级数发散;当与时,幂级数可能收敛也可能发散.正数通常叫做幂级数的收敛半径.开区间叫做幂级数的收敛区间.再由幂级数在处的收敛性就可以决定它的收敛域.幂级数的收敛域是或、、之一.若幂级数只在收敛,则规定收敛半径,若幂级数对一切都收敛,则规定收敛半径,这时收敛域为.定理2如果,其中、是幂级数的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径.证明.(1)如果,则只当时幂级数收敛,故.(2)如果,则幂级数总是收敛的,故.(3)如果,则只当时幂级数收敛,故.例1求幂级数的收敛半径与收敛域.解因为,所以收敛半径为.即收敛区间为.当时,有，由于级数收敛，所以级数在时也收敛.因此,收敛域为.例2求幂级数=的收敛域.解因为,所以收敛半径为,从而收敛域为.例3求幂级数的收敛半径.解因为,所以收敛半径为,即级数仅在处收敛.例4求幂级数的收敛半径.解级数缺少奇次幂的项,定理2不能应用.可根据比值审敛法来求收敛半径:幂级数的一般项记为.因为,当即时级数收敛;当即时级数发散,所以收敛半径为.3.3幂级数的运算设幂级数及分别在区间及内收敛,则在与中较小的区间内有加法:.减法:.乘法:.除法:关于幂级数的和函数有下列重要性质：性质1幂级数的和函数在其收敛域上连续.性质2幂级数的和函数在其收敛域上可积,并且有逐项积分公式,逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3幂级数的和函数在其收敛区间内可导,并且有逐项求导公式,逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6求幂级数的和函数.解求得幂级数的收敛域为.设和函数为,即,.显然.在的两边求导得：.对上式从到积分,得.于是,当时,有.从而.提示:应用公式,即..习题7-31．求下列幂级数的收敛区间（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.2.利用逐项求导法或逐项积分法，求下列级数的和函数（1）;（2）.第4节函数展开成幂级数4.1函数展开成幂级数给定函数,要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”,就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数.如果能找到这样的幂级数,我们就说,函数能展开成幂级数,而该级数在收敛区间内就表达了函数.如果在点的某邻域内具有各阶导数，则当时,在点的泰勒多项式成为幂级数这一幂级数称为函数的泰勒级数.显然,当时,的泰勒级数收敛于.需要解决的问题:除了外,的泰勒级数是否收敛?如果收敛,它是否一定收敛于?定理设函数在点的某一邻域内具有各阶导数,则在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是的泰勒公式中的余项当时的极限为零,即.证明先证必要性.设在内能展开为泰勒级数,即,又设是的泰勒级数的前项的和,则在内.而的阶泰勒公式可写成，于是.再证充分性.设对一切成立.因为的阶泰勒公式可写成,于是，即的泰勒级数在内收敛,并且收敛于.在泰勒级数中取,得,此级数称为的麦克劳林级数.要把函数展开成的幂级数，可以按照下列步骤进行：第一步求出的各阶导数:.第二步求函数及其各阶导数在处的值:.第三步写出幂级数,并求出收敛半径R.第四步考察在区间(内时是否.是否为零.如果,则在内有展开式.例1试将函数展开成的幂级数.解所给函数的各阶导数为,因此.得到幂级数,该幂级数的收敛半径.由于对于任何有限的数(介于0与之间),有,而,所以,从而有展开式.例2将函数展开成的幂级数.解因为,所以顺序循环地取,于是得级数,它的收敛半径为.对于任何有限的数(介于0与之间),有.因此得展开式.例3将函数展开成R的幂级数,其中为任意常数.解的各阶导数为所以且于是得幂级数.以上例题是直接按照公式计算幂级数的系数，最后考察余项是否趋于零.这种直接展开的方法计算量较大，而且研究余项即使在初等函数中也不是一件容易的事.下面介绍间接展开的方法，也就是利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项.例4将函数展开成的幂级数.解已知.对上式两边求导得.例5将函数展开成的幂级数.解因为,而是收敛的等比级数的和函数:.所以将上式从0到逐项积分,得.上述展开式对也成立,这是因为上式右端的幂级数当时收敛,而在处有定义且连续.常用展开式小结:,,,,,4.2幂级数的展开式的应用4.2.1近似计算有了函数的幂级数展开式，就可以用它进行近似计算，在展开式有意义的区间内，函数值可以利用这个级数近似的按要求计算出来.例6计算的近似值(误差不超过).解因为,所以在二项展开式中取,,即.这个级数从第二项起是交错级数，如果取前项和作为的近似值,则其误差(也叫做截断误差)可算得为了使误差不超过,只要取其前两项作为其近似值即可.于是有.例7利用求的近似值,并估计误差.解首先把角度化成弧度,(弧度) (弧度),从而.其次,估计这个近似值的精确度.在的幂级数展开式中令,得.等式右端是一个收敛的交错级数,且各项的绝对值单调减少.取它的前两项之和作为的近似值,起误差为.因此取,.于是得，这时误差不超过.例8计算定积分的近似值,要求误差不超过（取）.解将的幂级数展开式中的换成,得到被积函数的幂级数展开式.于是,根据幂级数在收敛区间内逐项可积,得.前四项的和作为近似值,其误差为,所以.例9计算积分的近似值,要求误差不超过.解因为.所以对上式逐项积分得=.上面级数为交错级数，所以误差，经试算，，.所以取前三项计算，即.4.2.2欧拉公式设有复数项级数为（7-4-1）其中为实常数或实函数.如果实部所成的级数（7-4-2）收敛于和，并且虚部所成的级数（7-4-3）收敛于和，就说级数（1）收敛且其和为.如果级数（7-4-1）各项的模所构成的级数收敛，则称级数（7-4-1）绝对收敛.如果级数（1）绝对收敛，由于那么级数（7-4-2），（7-4-3）绝对收敛，从而级数（7-4-1）收敛.考察复数项级数（7-4-4）可以证明级数（7-4-4）在整个复平面上是绝对收敛的.在轴上它表示指数函数，在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记作，于是定义为（7-4-5）当时，为纯虚数，（7-4-5）式成为把换写为，上式变为（7-4-6）这就是欧拉公式.应用公式（7-4-6），复数可以表示为指数形式：（7-4-7）其中是的模，是的辐角在（7-4-6）式中把换成，又有与（7-4-6）相加、相减，得（7-4-8）这两个式子也叫做欧拉公式.（7-4-6）式或（7-4-8）式揭示了三角函数与复变量指数函数之间的一种联系.最后，根据定义式（7-4-5），并利用幂级数的乘法，我们不难验证.特殊地，取为实数，为纯虚数，则有这就是说，复变量指数函数在处的值是模为、辐角为的复数.习题7-41.将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间：（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）.2.将函数展开成的幂级数.3.将函数展开成的幂级数.4.利用函数的幂级数展开式求的近似值（误差不超过0.0001）5.利用欧拉公式将函数展开成的幂级数.第5节傅里叶级数5.1三角级数三角函数系的正交性正弦函数是一种常见而简单的周期函数.例如描述简谐振动的函数,就是一个以为周期的正弦函数，其中表示动点的位置，表示时间，为振幅，为角频率，为初相.在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦函数的周期函数，它们反应了较复杂的周期运动.如电子技术中常用的周期为的矩形波,就是一个非正弦周期函数的例子.为了深入研究非正弦周期函数，联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数,我们也想将周期为的周期函数用一系列以为周期的正弦函数组成的级数来表示，记为（7-5-1）其中都是常数.将周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明确的，这就是把一个比较复杂的周期运动看作是许多不同频率的简谐振动的叠加.在电工学上，这种展开称为是谐波分析.其中常数项称为是的直流分量；称为一次谐波；而,依次称为是二次谐波，三次谐波，等等.为了以后讨论方便起见，我们将正弦函数按三角公式变形，得=+，并且令，，，，则（1）式右端的级数就可以改写为（7-5-2）形如（7-5-2）式的级数叫做三角级数，其中都是常数.令（7-5-2）式成为（7-5-3）这就把以为周期的三角级数转换为以为周期的三角级数.下面讨论以为周期的三角级数（7-5-3）.我们首先介绍三角函数系的正交性.三角函数系:（7-5-4）在区间上正交，就是指在三角函数系（7-5-4）中任何不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零，即,,,,.三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间上的积分不等于零,即,,.5.2函数展开成傅里叶级数设是周期为的周期函数,且能展开成三角级数:.（7-5-5）那么系数与函数之间存在着怎样的关系?假定三角级数可逐项积分,则=类似地，可得,,,,.系数叫做函数的傅里叶系数.由于当时，的表达式正好给出，因此，已得结果可合并写成（7-5-6）将傅里叶系数代入（5）式右端，所得的三角级数叫做函数的傅里叶级数.一个定义在上周期为的函数,如果它在一个周期上可积,则一定可以作出的傅里叶级数.然而,函数的傅里叶级数是否一定收敛?如果它收敛,它是否一定收敛于函数?一般来说,这两个问题的答案都不是肯定的.定理1（收敛定理,狄利克雷充分条件)设是周期为的周期函数,如果它满足:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,在一个周期内至多只有有限个极值点,则的傅里叶级数收敛,并且当是的连续点时,级数收敛于;当是的间断点时,级数收敛于.由定理可知，函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多，若记，在上就成立的傅里叶级数展开式.（7-5-7）例1设是周期为的周期函数,它在上的表达式为，将展开成傅里叶级数.解所给函数满足收敛定理的条件,它在点处不连续,在其它点处连续,从而由收敛定理知道的傅里叶级数收敛,并且当时收敛于,当时级数收敛于.傅里叶系数计算如下:;[1-(-1)n].于是的傅里叶级数展开式为.例2设是周期为的周期函数,它在上的表达式为.将展开成傅里叶级数.解所给函数满足收敛定理的条件,它在点处不连续,因此,的傅里叶级数在处收敛于.在连续点处级数收敛于.傅里叶系数计算如下:;..的傅里叶级数展开式为.设只在上有定义,我们可以在或外补充函数的定义,使它拓广成周期为的周期函数,在内,.按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓.例3将函数展开成傅里叶级数.解所给函数在区间上满足收敛定理的条件,并且拓广为周期函数时,它在每一点处都连续,因此拓广的周期函数的傅里叶级数在上收敛于.傅里叶系数为:;;.于是的傅里叶级数展开式为.5.3正弦级数和余弦级数对于周期为的函数，它的傅里叶系数计算公式为,,,.由于奇函数在对称区间上的积分为零，偶函数在对称区间上的积分等于半区间上积分的两倍，因此，当为奇函数时,是奇函数,是偶函数,故傅里叶系数为,.因此奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数.当为偶函数时,是偶函数,是奇函数,故傅里叶系数为,b n=0.因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数.例4设是周期为的周期函数,它在[-π,π)上的表达式为将展开成傅里叶级数.解首先,所给函数满足收敛定理的条件,它在点不连续,因此的傅里叶级数在函数的连续点收敛于,在点收敛于.其次,若不计),则是周期为的奇函数.于是,而.的傅里叶级数展开式为.设函数定义在区间上并且满足收敛定理的条件,我们在开区间内补充函数的定义,得到定义在上的函数,使它在上成为奇函数(偶函数).按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓).限制在上,有.例5将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.解先求正弦级数.为此对函数进行奇延拓.,函数的正弦级数展开式为.在端点及处,级数的和显然为零,它不代表原来函数的值.再求余弦级数.为此对进行偶延拓.,.函数的余弦级数展开式为.5.4周期为的周期函数的傅里叶级数我们所讨论的周期函数都是以为周期的.但是实际问题中所遇到的周期函数,它的周期不一定是.怎样把周期为的周期函数展开成三角级数呢？问题:我们希望能把周期为的周期函数展开成三角级数,为此我们先把周期为的周。

第十一章 无穷级数教学目的：1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

教学重点 ：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。

教学难点：1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11. 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数: 给定一个数列u 1, u 2, u 3, ⋅ ⋅ ⋅, u n , ⋅ ⋅ ⋅,则由这数列构成的表达式u 1 + u 2 + u 3 + ⋅ ⋅ ⋅+ u n + ⋅ ⋅ ⋅叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为∑∞=1n n u , 即3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n u u u u u ,其中第n 项u n 叫做级数的一般项.级数的部分和: 作级数∑∞=1n n u 的前n 项和n n i i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211称为级数∑∞=1n n u 的部分和.级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞→lim ,则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,并写成3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞=n n n u u u u u s ;如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞=1n n u 发散.余项: 当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞=1n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ⋅ ⋅ ⋅叫做级数∑∞=1n n u 的余项.例1 讨论等比级数(几何级数)20⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n aq aq aq a aq的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公比.例1 讨论等比级数n n aq ∑∞=0(a ≠0)的敛散性.解 如果q ≠1, 则部分和 qaq q a q aq a aq aq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 12. 当|q |<1时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1. 当|q |>1时, 因为∞=∞→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0发散. 如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na →∞, 因此级数n n aq ∑∞=0发散;当q =-1时, 级数n n aq ∑∞=0成为a -a +a -a + ⋅ ⋅ ⋅,时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零,所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞=0也发散.综上所述, 如果|q |<1, 则级数nn aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1; 如果|q |≥1, 则级数n n aq ∑∞=0发散. 仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞=0a ≠0)收敛, 其和为qa -1. 例2 证明级数1+2+3+⋅ ⋅ ⋅+n +⋅ ⋅ ⋅是发散的.证 此级数的部分和为 2)1( 321+=+⋅⋅⋅+++=n n n s n . 显然, ∞=∞→n n s lim , 因此所给级数是发散的.例3 判别无穷级数 )1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 的收敛性.解 由于 111)1(1+-=+=n n n n u n , 因此 )1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n 111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n 从而 1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n , 所以这级数收敛, 它的和是1.例3 判别无穷级数∑∞=+1)1(1n n n 的收敛性. 解 因为 )1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n 111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n , 从而 1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n , 所以这级数收敛, 它的和是1.提示: 111)1(1+-=+=n n n n u n .二、收敛级数的基本性质性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks .性质1 如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks .性质1 如果s u n n =∑∞=1, 则ks ku n n =∑∞=1.这是因为, 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞→∞→lim ) (lim 21. 这表明级数∑∞=1n n ku 收敛, 且和为ks .性质2 如果级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1n n n v u ±∑∞=也收敛, 且其和为s ±σ.性质2 如果s u n n =∑∞=1、σ=∑∞=1n n v , 则σ±=±∑∞=s v u n n n )(1.这是因为, 如果∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 、)(1n n n v u ±∑∞=的部分和分别为s n 、σn 、τn , 则)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+⋅⋅⋅+±+±=∞→∞→τ )] () [(lim 2121n n n v v v u u u +⋅⋅⋅++±+⋅⋅⋅++=∞→ σσ±=±=∞→s s n n n )(lim . 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.比如, 级数)1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 是收敛的, 级数 )1(1 43132121110000⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+n n 也是收敛的, 级数 )1(1 541431⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n 也是收敛的. 性质4 如果级数∑∞=1n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数1-1)+1-1) +⋅ ⋅ ⋅收敛于零, 但级数1-1+1-1+⋅ ⋅ ⋅却是发散的.推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.级数收敛的必要条件:性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则它的一般项u n 趋于零, 即0lim 0=→n n u .性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则0lim 0=→n n u .证 设级数∑∞=1n n u 的部分和为s n , 且s s n n =∞→lim , 则0lim lim )(lim lim 110=-=-=-=-∞→∞→-∞→→s s s s s s u n n n n n n n n n . 应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4 证明调和级数 1 3121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n nn 是发散的. 例4 证明调和级数∑∞=11n n 是发散的.证 假若级数∑∞=11n n 收敛且其和为s , s n 是它的部分和. 显然有s s n n =∞→lim 及s s n n =∞→2lim . 于是0)(lim 2=-∞→n n n s s . 但另一方面, 2121 212121 21112=+⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++++=-n n n n n n s s n n , 故0)(lim 2≠-∞→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑∞=11n n 必定发散.§11. 2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n }有界.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ). 若级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 发散.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (k >0, ∀n ≥N ).若∑∞=1n n v 收敛, 则∑∞=1n n u 收敛; 若∑∞=1n n u 发散, 则∑∞=1n n v 发散.设∑u n 和∑v n 都是正项级数, 且u n ≤kv n (k >0, ∀n ≥N ). 若级数∑v n 收敛, 则级数∑u n 收敛; 反之, 若级数∑u n 发散, 则级数∑v n 发散.证 设级数∑∞=1n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞=1n n u 的部分和s n =u 1+u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n ≤v 1+ v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),即部分和数列{s n }有界, 由定理1知级数∑∞=1n n u 收敛.反之, 设级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 必发散. 因为若级数∑∞=1n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞=1n n u 也收敛, 与假设矛盾.证 仅就u n ≤v n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )情形证明. 设级数∑v n 收敛, 其和为σ, 则级数∑u n 的部分和 s n =u 1+ u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ + u n ≤v 1+v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),即部分和数列{s n }有界. 因此级数∑u n 收敛.反之, 设级数∑u n 发散, 则级数∑v n 必发散. 因为若级数∑v n 收敛, 由上已证明的结论, 级数∑u n 也收敛, 与假设矛盾.推论 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞=1n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 如果级数∑∞=1n n v 发散, 且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 发散. 例1 讨论p -级数 1 413121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=∑∞=pp p p p n n n 的收敛性, 其中常数p >0.例1 讨论p -级数)0( 11>∑∞=p n p n 的收敛性. 解 设p ≤1. 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n 发散, 由比较审敛法知, 当p ≤1时级数p n n11∑∞=发散. 设p >1. 此时有 ]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n p n n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 对于级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n , 其部分和 111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s . 因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s . 所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数p n n 11∑∞=当p >1时收敛.综上所述, p -级数p n n 11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散.解 当p ≤1时, n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n发散, 由比较审敛法知, 当p ≤1时级数p n n 11∑∞=发散. 当p >1时, ]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n p n n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 而级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 是收敛的, 根据比较审敛法的推论可知, 级数p n n 11∑∞=当p >1时收敛. 提示: 级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 的部分和为 111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s . 因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s , 所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛. p -级数的收敛性: p -级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 例2 证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的. 证 因为11)1(1)1(12+=+>+n n n n ,而级数 11 3121111⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+∑∞=n n n 是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果l v u nnn =∞→lim(0<l <+∞),则级数∑∞=1n n u 和级数∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散.定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,(1)如果l v u n nn =∞→lim (0≤l <+∞), 且级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; (2)如果+∞=>=∞→∞→n nn n n n v u l v u lim 0lim 或, 且级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1n n u 发散. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑u n 和∑v n 都是正项级数,(1)如果lim(u n /v n )=l (0≤l <+∞), 且∑v n 收敛, 则∑u n 收敛; (2)如果lim(u n /v n )=l (0<l ≤+∞), 且∑v n 发散, 则∑u n 发散.证明 由极限的定义可知, 对l 21=ε, 存在自然数N , 当n >N 时, 有不等式l l v u l l n n2121+<<-, 即n n n lv u lv 2321<<, 再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数∑∞=11sinn n的收敛性.解 因为111sin lim =∞→nn n , 而级数∑∞=11n n发散,根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=11sinn n发散. 例4 判别级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性. 解 因为11)11ln(lim22=+∞→n n n , 而级数211n n ∑∞=收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=+12)11ln(n n 收敛. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)若正项级数∑∞=1n n u 的后项与前项之比值的极限等于ρ:ρ=+∞→nn n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=+∞→nn n u u 1lim, 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散. 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=+∞→n n n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.例5 证明级数 )1( 3211 3211211111⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅++n 是收敛的. 解 因为101lim 321)1( 321lim lim1<==⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→+∞→nn n u u n n n n n ,根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数10! 10321102110132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+nn 的收敛性.解 因为∞=+=⋅+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010)!1(lim lim11n n n u u n nn n n n n ,根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数∑∞∞→⋅-n n n 2)12(1的收敛性.解 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n .这时ρ=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 解 因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211nn ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.提示: 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n , 比值审敛法失效.因为212)12(1nn n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.定理5(根值审敛法, 柯西判别法)设∑∞=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于ρ:ρ=∞→nn n u lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim)时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=∞→nn n u lim, 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或+∞=∞→nn n u lim)时级数发散. 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=∞→nn n u lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.例8 证明级数 1 3121132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn 是收敛的. 并估计以级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差. 解 因为01lim 1lim lim ===∞→∞→∞→nn u n nn n n n n ,所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.以这级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差为 )3(1)2(1)1(1||321⋅⋅⋅++++++=+++n n n n n n n r )1(1)1(1)1(1321⋅⋅⋅++++++<+++n n n n n n + nn n )1(1+=. 例6判定级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解 因为 21)1(221limlim =-+=∞→∞→n n n n n n u ,所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛. 定理6(极限审敛法) 设∑∞=1n n u 为正项级数,(1)如果)lim (0lim +∞=>=∞→∞→n n n n nu l nu 或, 则级数∑∞=1n n u 发散;(2)如果p >1, 而)0( lim +∞<≤=∞→l l u n n p n , 则级数∑∞=1n n u 收敛.例7 判定级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性.解 因为)(1~)11ln(22∞→+n n n , 故 11lim )11ln(lim lim 22222=⋅=+=∞→∞→∞→nn n n u n n n n n ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.例8 判定级数)cos 1(11nn n π-+∑∞=的收敛性.解 因为 222232321)(211lim )cos 1(1limlimπππ=⋅+=-+=∞→∞→∞→n n n n n n n u n n n nn ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.二、交错级数及其审敛法交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为∑∞=--11)1(n n n u , 其中0>n u .例如, 1)1(11∑∞=--n n n 是交错级数, 但 cos 1)1(11∑∞=---n n n n π不是交错级数. 定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:(1)u n ≥u n +1 (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅); (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1. 定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足: (1)1+≥n n u u ; (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1.简要证明: 设前n 项部分和为s n .由s 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n 1-u 2n ), 及 s 2n =u 1-(u 2-u 3)+(u 4-u 5)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n -2-u 2n -1)-u 2n 看出数列{s 2n }单调增加且有界(s 2n <u 1), 所以收敛.设s 2n →s (n →∞), 则也有s 2n +1=s 2n +u 2n +1→s (n →∞), 所以s n →s (n →∞). 从而级数是收敛的, 且s n <u 1.因为 |r n |=u n +1-u n +2+⋅ ⋅ ⋅也是收敛的交错级数, 所以|r n |≤u n +1. 例9 证明级数 1)1(11∑∞=--n n n收敛, 并估计和及余项.证 这是一个交错级数. 因为此级数满足 (1)1111+=+>=n n u n n u (n =1, 2,⋅ ⋅ ⋅), (2)01lim lim ==∞→∞→nu n nn ,由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s <u 1=1, 余项11||1+=≤+n u r n n .三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛:若级数∑∞=1||n n u 收敛, 则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛; 若级数∑∞=1n n u收敛, 而级数∑∞=1||n n u 发散, 则称级∑∞=1n n u 条件收敛.例10 级数∑∞=--1211)1(n n n 是绝对收敛的, 而级数∑∞=--111)1(n n n 是条件收敛的.定理7 如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定收敛.值得注意的问题:如果级数∑∞=1||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞=1n n u 也发散.但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞=1||n n u 发散,则我们可以断定级数∑∞=1n n u 必定发散.这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞=1n n u 也是发散的.例11 判别级数∑∞=12sin n nna 的收敛性.解 因为|221|sin n n na ≤, 而级数211n n ∑∞=是收敛的, 所以级数∑∞=12|sin |n n na 也收敛, 从而级数∑∞=12sin n nna 绝对收敛.例12 判别级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 的收敛性.解: 由2)11(21||n nn n u +=, 有121)11(lim 21||lim >=+=∞→∞→e n u n n n nn ,可知0lim ≠∞→n n u , 因此级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 发散.§ 11. 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x )+ ⋅ ⋅ ⋅称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞=1)(n n x u .收敛点与发散点:对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛, 则称点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的发散点.收敛域与发散域:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域.和函数:在收敛域上, 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ),s (x )称为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞==1)()(n n x u x s .∑u n (x )是∑∞=1)(n n x u 的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x ).在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )→s (x )(n →∞) .余项:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n .二、幂级数及其收敛性 幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ ,其中常数a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n , ⋅ ⋅ ⋅叫做幂级数的系数. 幂级数的例子:1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅ ,!1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x . 注: 幂级数的一般形式是a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n (x -x 0)n + ⋅ ⋅ ⋅ , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n t n + ⋅ ⋅ ⋅ . 幂级数1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |≥1时, 它是发散的. 因此它的收敛 域为(-1, 1), 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑a n x n 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式 |x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑a n x n 当 x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散. 提示: ∑a n x n是∑∞=0n n n x a 的简记形式.证 先设x 0是幂级数∑∞=0n nn xa 的收敛点, 即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有0lim 0=∞→nn n x a , 于是存在一个常数M , 使| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值n n n n n nn n n n x x M x x x a x x x a x a ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=. 因为当|x |<|x 0|时, 等比级数n n x x M ||00⋅∑∞=收敛, 所以级数∑∞=0||n nn x a 收敛, 也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.简要证明 设∑a n x n 在点x 0收敛, 则有a n x 0n →0(n →∞) , 于是数列{a n x 0n }有界, 即存在一个常数M , 使| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).因为 n n n n n n n n n n x x M x x x a x x x a x a || |||| || ||00000⋅≤⋅=⋅=, 而当||||0x x <时, 等比级数n n x x M ||0⋅∑∞=收敛, 所以级数∑|a n x n |收敛, 也就是级数∑a n x n 绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.推论 如果级数∑∞=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R 存在, 使得当|x |<R 时, 幂级数绝对收敛;当|x |>R 时, 幂级数发散;当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径. 开区间(-R , R )叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛区间. 再由幂级数在x =±R 处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R , R ]、[-R , R ]之一.规定: 若幂级数∑∞=0n n n x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径R =+∞, 这时收敛域为(-∞, +∞).定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R .定理2如果幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R .定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 则幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R 为: 当ρ≠0时ρ1=R , 当ρ=0时R =+∞, 当ρ=+∞时R =0.简要证明: || ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→. (1)如果0<ρ<+∞, 则只当ρ|x |<1时幂级数收敛, 故ρ1=R . (2)如果ρ=0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+∞.(3)如果ρ=+∞, 则只当x =0时幂级数收敛, 故R =0.例1 求幂级数 )1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑nx x x x n x n n n n n 的收敛半径与收敛域.例1 求幂级数∑∞=--11)1(n n n nx 的收敛半径与收敛域. 解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a a n n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n !1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x 的收敛域.例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n 的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim ||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞).例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解 因为 +∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛.例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n n x n n 的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径:幂级数的一般项记为n n x n n x u 22)!()!2()(=. 因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→,当4|x |2<1即21||<x 时级数收敛; 当4|x |2>1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R . 提示: 2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n x n n x n n x u x u n n n n +++=++=++. 例5 求幂级数∑∞=-12)1(n n nn x 的收敛域. 解 令t =x -1, 上述级数变为∑∞=12n n n nt .因为 21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径R =2.当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n , 此级数收敛. 因此级数∑∞=12n n n nt 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算设幂级数∑∞=0n n n x a 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有加法: ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,减法: ∑∑∑∞=∞=∞=-=-000)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n ,减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .乘法: )()(00∑∑∞=∞=⋅n n n n n n x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+(a 0b n +a 1b n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n b 0)x n + ⋅ ⋅ ⋅性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R , R ))连续.性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式 ∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===01000001)()(n n n n x n n x n n n x x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='1100)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质1 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.性质2 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式 ∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===01000001)()(n n n n x n n x n n n x x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式 ∑∑∑∞=-∞=∞=='='='0100)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然s (0)=1.在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得 x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001. 对上式从0到x 积分, 得)1ln(11)(0x dx x x xs x--=-=⎰. 于是, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x x x s --=. 从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s . 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(11000x dx x dx x x x n n --=-==⎰⎰∑∞=, 所以, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x xx s --=, 从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设幂级数的和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s , x ∈[-1, 1).显然S (0)=1. 因为 ⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )11( )1ln(11000<<---=-==⎰⎰∑∞=x x dx x dx x x x n n , 所以, 当1||0<<x 时, 有)1ln(1)(x xx s --=. 从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .由和函数在收敛域上的连续性, 2ln )(lim )1(1==-+-→x S S x . 综合起来得⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0 1)1 ,0()0 ,1[ )1ln(1)(x x x x x s .提示: 应用公式)0()()(0F x F dx x F x -='⎰, 即⎰'+=xdx x F F x F 0)()0()(. 11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.例7 求级数∑∞=+-01)1(n nn 的和. 解 考虑幂级数∑∞=+011n n x n , 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和函数为s (x ), 则∑∞=+-=-01)1()1(n nn s . 在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1)=ln2, 21ln )1(=-s , 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n n n .§11. 4 函数展开成幂级数一、泰勒级数要解决的问题: 给定函数f (x ), 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f (x ). 如果能找到这样的幂级数, 我们就说, 函数f (x )在该区间内能展开成幂级数, 或简单地说函数f (x )能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数f (x ).泰勒多项式: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内f (x )近似等于 )(!2)())(()()(200000⋅⋅⋅+-''+-'+=x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, 其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ介于x 与x 0之间). 泰勒级数: 如果f (x )在点x 0的某邻域内具有各阶导数f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ ,f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , 则当n →∞时, f (x )在点x 0的泰勒多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)( )(!2)())(()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+= 成为幂级数 )(!3)()(!2)())(()(300200000⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+x x x f x x x f x x x f x f )(!)(00)(⋅⋅⋅+-+n n x x n x f 这一幂级数称为函数f (x )的泰勒级数. 显然, 当x =x 0时, f (x )的泰勒级数收敛于f (x 0).需回答的问题: 除了x =x 0外, f (x )的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f (x )? 定理 设函数f (x )在点x 0的某一邻域U (x 0)内具有各阶导数, 则f (x )在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f (x )的泰勒公式中的余项R n (x )当n →0时的极限为零, 即))(( 0)(lim 0x U x x R n n ∈=∞→.证明 先证必要性. 设f (x )在U (x 0)内能展开为泰勒级数, 即 )(!)( )(!2)())(()()(00)(200000⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f , 又设s n +1(x )是f (x )的泰勒级数的前n +1项的和, 则在U (x 0)内s n +1(x )→ f (x )(n →∞).而f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是R n (x )=f (x )-s n +1(x )→0(n →∞).再证充分性. 设R n (x )→0(n →∞)对一切x ∈U (x 0)成立.因为f (x )的n 阶泰勒公式可写成f (x )=s n +1(x )+R n (x ), 于是s n +1(x )=f (x )-R n (x )→f (x ),即f (x )的泰勒级数在U (x 0)内收敛, 并且收敛于f (x ).麦克劳林级数: 在泰勒级数中取x 0=0, 得 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+ !)0( !2)0()0()0()(2n n x n f x f x f f , 此级数称为f (x )的麦克劳林级数.展开式的唯一性: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f (x )的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f (x )在点x 0=0的某邻域(-R , R )内能展开成x 的幂级数, 即 f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ ,那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导, 有f '(x )=a 1+2a 2x +3a 3x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+na n x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ ,f ''(x )=2!a 2+3⋅2a 3x + ⋅ ⋅ ⋅ + n ⋅(n -1)a n x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ ,f '''(x )=3!a 3+ ⋅ ⋅ ⋅+n ⋅(n -1)(n -2)a n x n -3 + ⋅ ⋅ ⋅ ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅f (n )(x )=n !a n +(n +1)n (n -1) ⋅ ⋅ ⋅ 2a n +1x + ⋅ ⋅ ⋅ ,于是得a 0=f (0), a 1=f '(0), !2)0(2f a ''=, ⋅ ⋅ ⋅, !)0()(n f a n n =, ⋅ ⋅ ⋅. 应注意的问题: 如果f (x )能展开成x 的幂级数, 那么这个幂级数就是f (x )的麦克劳林级数. 但是, 反过来如果f (x )的麦克劳林级数在点x 0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f (x ). 因此, 如果f (x )在点x 0=0处具有各阶导数, 则f (x )的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f (x )却需要进一步考察.二、函数展开成幂级数展开步骤:第一步 求出f (x )的各阶导数: f '(x ), f ''(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )(x ), ⋅ ⋅ ⋅ .第二步 求函数及其各阶导数在x =0 处的值:f (0), f '(0), f ''(0), ⋅ ⋅ ⋅ , f (n )( 0), ⋅ ⋅ ⋅ .第三步 写出幂级数 !)0( !2)0()0()0()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+n n x n f x f x f f , 并求出收敛半径R .第四步 考察在区间(-R , R )内时是否R n (x )→0(n →∞). 1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ 是否为零. 如果R n (x )→0(n →∞), 则f (x )在(-R , R )内有展开式 !)0( !2)0()0()0()()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+=n n x n f x f x f f x f (-R <x <R ). 例1 将函数f (x )=e x 展开成x 的幂级数.解 所给函数的各阶导数为f (n )(x )=e x (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 因此f (n )(0)=1(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 于是得级数 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ !1 !2112n x n x x , 它的收敛半径R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有 )!1(|| |)!1(| |)(|1||1+⋅<+=++n x e x n e x R n x n n ξ,而0)!1(||lim 1=++∞→n x n n , 所以0|)(|lim =∞→x R n n , 从而有展开式 )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x . 例2 将函数f (x )=sin x 展开成x 的幂级数.解 因为)2sin()()(π⋅+=n x x f n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 所以f (n )(0)顺序循环地取0, 1, 0, -1, ⋅ ⋅ ⋅ ((n =0, 1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 于是得级数 ⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+--- )!12()1( !5!312153n x x x x n n , 它的收敛半径为R =+∞.对于任何有限的数x 、ξ (ξ介于0与x 之间), 有 )!1(|| |)!1(]2)1(sin[| |)(|11+≤+++=++n x x n n x R n n n πξ→0 (n →∞). 因此得展开式 )( )!12()1( !5!3sin 12153+∞<<-∞⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--x n x x x x x n n . )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x . 例3 将函数f (x )=(1+ x )m 展开成x 的幂级数, 其中m 为任意常数. 解: f (x )的各阶导数为f '(x )=m (1+x )m -1,f ''(x )=m (m -1)(1+x )m -2,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,f (n )(x )=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1)(1+x )m -n ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,所以 f (0)=1, f '(0)=m , f ''(0)=m (m -1), ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(0)=m (m -1)(m -2)⋅ ⋅ ⋅(m -n +1), ⋅ ⋅ ⋅ 于是得幂级数 !)1( )1( !2)1(12⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++n x n n m m m x m m mx . 可以证明)11( !)1( )1( !2)1(1)1(2<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+-++=+x x n n m m m x m m mx x n m .间接展开法: 例4 将函数f (x )=cos x 展开成x 的幂级数.解 已知 )!12()1( !5!3sin 12153⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--n x x x x x n n (-∞<x <+∞). 对上式两边求导得 )( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n . 例5 将函数211)(x x f +=展开成x 的幂级数. 解 因为)11( 1112<<-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-x x x x xn , 把x 换成-x 2, 得 )1( 1112422⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=+n n x x x x (-1<x <1). 注: 收敛半径的确定: 由-1<-x 2<1得-1<x <1.例6 将函数f (x )=ln(1+x ) 展开成x 的幂级数.解 因为xx f +='11)(, 而x +11是收敛的等比级数∑∞=-0)1(n n n x (-1<x <1)的和函数: )1( 11132⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-=+n n x x x x x. 所以将上式从0到x 逐项积分, 得 )11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n . 解: f (x )=ln(1+x )⎰⎰+='+=x x dx xdx x 0011])1[ln( ∑⎰∑∞=+∞=+-=-=01001)1(])1([n n nx n n n n x dx x (-1<x ≤1). 上述展开式对x =1也成立, 这是因为上式右端的幂级数当x =1时收敛, 而ln(1+x )在x =1处有定义且连续.例7 将函数f (x )=sin x 展开成)4(π-x 的幂级数. 解 因为 )]4sin()4[cos(22)]4(4sin[sin ππππ-+-=-+=x x x x , 并且有 )( )4(!41)4(!211)4cos(42+∞<<-∞⋅⋅⋅--+--=-x x x x πππ, )( )4(!51)4(!31)4()4sin(53+∞<<-∞⋅⋅⋅--+---=-x x x x x ππππ, 所以 )( ] )4(!31)4(!21)4(1[22sin 32+∞<<-∞⋅⋅⋅+-----+=x x x x x πππ. 例8 将函数341)(2++=x x x f 展开成(x -1)的幂级数. 解 因为 )411(81)211(41)3(21)1(21)3)(1(1341)(2-+--+=+-+=++=++=x x x x x x x x x f ∑∑∞=∞=-----=004)1()1(812)1()1(41n n nn n n n n x x )31( )1)(2121()1(0322<<----=∑∞=++x x n n n n n . 提示: )211(2)1(21-+=-+=+x x x ,)411(4)1(43-+=-+=+x x x . ∑∞=<-<---=-+0)1211( 2)1()1(2111n n n n x x x , ∑∞=<-<---=-+0)1411( 4)1()1(4111n n n n x x x , 收敛域的确定: 由1211<-<-x 和1411<-<-x 得31<<-x .展开式小结:)11( 1112<<-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-x x x x xn , )( !1 !2112+∞<<-∞⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++=x x n x x e n x , )( )!12()1( !5!3sin 12153+∞<<-∞⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+-=--x n x x x x x n n , )( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=x n x x x x n n , )11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n , !2)1(1)1(2⋅⋅⋅+-++=+x m m mx x m )11( !)1( )1(<<-⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅-+x x n n m m m n .§11. 5 函数的幂级数展开式的应用一、近似计算例1 计算5240的近似值, 要求误差不超过0.0001.例1 计算5240的近似值(误差不超过10-4).解 因为5/1455)311(33243240-=-=, 所以在二项展开式中取51=m , 431-=x , 即得 ) 31!3594131!254131511(32401238245⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅-=. 这个级数收敛很快. 取前两项的和作为5240的近似值, 其误差(也叫做截断误差)为 ) 31!451494131!3594131!2541(3||164123822⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=r ] )811(8111[31!25413282⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅<200001402725181111312568<⋅⋅=-⋅⋅=. 于是取近似式为)31511(324045⋅-≈, 为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过10-4, 计算时应取五位小数, 然后四舍五入. 因此最后得 9926.22405≈.例2 计算ln 2的近似值, 要求误差不超过0.0001.例2 计算ln 2的近似值(误差不超过10-4).解 在上节例5中, 令 x =1可得 1)1( 312112ln 1⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=-n n .如果取这级数前n 项和作为ln2的近似值, 其误差为 11||+≤n r n . 为了保证误差不超过410-, 就需要取级数的前10000项进行计算. 这样做计算量太大了, 我们必需用收敛较快的级数来代替它.把展开式 )11( 1)1( 432)1ln(1432≤<-⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-+-=++x n x x x x x x n n 中的x 换成-x , 得 )11( 432)1ln(432<≤⋅⋅⋅-----=-x x x x x x , 两式相减, 得到不含有偶次幂的展开式: )1ln()1ln(11lnx x x x --+=-+)11( ) 5131(253<<-⋅⋅⋅+++=x x x x . 令211=-+xx , 解出31=x . 以31=x 代入最后一个展开式, 得 ) 31713151313131(22ln 753⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+=. 如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为。

《高等数学》教学大纲《高等数学》课程教学大纲一、课程的性质、目的和任务高等数学是工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3. 常微分方程；4.向量代数和空间解析几何；5.多元函数微积分学；6.无穷级数(包括傅立叶级数)等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

二、课程教学的基本要求及基本内容说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。

高等数学(上)一、函数、极限、连续1. 理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

2. 理解复合函数和反函数的概念。

3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。

4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。

5. 理解极限的概念(对极限的-N、-定义不作高要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。

6. 理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，掌握运用两个重要极限求极限的方法。

7. 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。

会用等价无穷小求极限。

8. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

9. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最6. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功等)的方法。

四、常微分方程 1. 了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

会解齐次方程方程，了解用变量代换求方程的思想。

3. 会用降阶法解下列方程：。

4. 理解二阶线性微分方程解的结构。

5. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

高数大一知识点第八章总结第八章高数大一知识点总结在大学的数学课程中，高数是一门重要且基础的学科。

第八章是高数课程中的一部分，涉及到了一些重要的知识点。

本文将对这些知识点进行总结和概述。

1. 无穷级数无穷级数是指由无数个项组成的级数。

常见的无穷级数有等比级数和调和级数等。

等比级数是指每一项与前一项之比都相等的级数，调和级数是指每一项与自然数之和之倒数成反比的级数。

对于一个无穷级数，我们可以通过数列收敛的性质来判断它是否收敛。

当级数的各项趋近于0，并且无穷级数的部分和能够趋近于一个有限的值时，我们说这个无穷级数是收敛的；当部分和趋近于无穷大时，我们说这个无穷级数是发散的。

2. 幂级数幂级数是指以一个变量为自变量，以系数递增的幂为函数表达式的级数。

常见的幂级数有收敛半径有限的幂级数和收敛半径为无穷的幂级数等。

对于一个幂级数，我们需要确定它的收敛半径。

根据柯西-阿达玛公式，我们可以通过计算级数的极限值来确定收敛半径。

3. 泰勒级数泰勒级数是一种特殊的幂级数，是用幂次递增的项来表示一个函数的级数展开式。

泰勒级数可以用来近似计算一个函数的值，并且在数学和物理领域中有着广泛的应用。

对于一个函数，我们可以通过求导和代入极限的方法来计算它的泰勒级数展开式。

当给定某个函数在某个点的无穷次导数时，我们可以通过泰勒级数来近似计算函数在该点附近的值。

4. 常微分方程常微分方程是指一个函数和它的导数之间的关系式。

在实际问题中，常微分方程可以用来描述各种动态变化的现象。

常微分方程可以分为一阶和二阶常微分方程。

一阶常微分方程是指一个未知函数的导数只出现一次的方程，而二阶常微分方程是指一个未知函数的二阶导数只出现一次的方程。

求解常微分方程的方法主要有分离变量法、线性微分方程的常系数法以及变量变换法等。

通过这些方法，我们可以得到常微分方程的解析解。

5. 空间解析几何空间解析几何是研究空间中点、直线、平面和曲线等几何对象的位置关系和性质的数学分支。