人教版高中数学选修二课时作业14.docx

课时分层作业(十四)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N ＋)，第一步验证( )A ．n ＝1B ．n ＝2C ．n ＝3D ．n ＝4[解析] 由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立．[答案] C2．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[解析] 结合f (n )中各项的特征可知，分子均为1，分母为n ，n ＋1，…，n 2的连续自然数共有n 2－n ＋1个，且f (2)＝12＋13＋14.[答案] D3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N ＋)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2[解析] 当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，故选D.[答案] D4．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均为f (k )≥k 2成立[解析] 对于A ，若f (3)≥9成立，由题意只可得出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错；对于B ，若f (5)≥25成立，则当k ≥5时均有f (k )≥k 2成立，故B 错；对于C ，应改为“若f (7)≥49成立，则当k ≥7时，均有f (k )≥k 2成立．”[答案] D5．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上评述( )A ．命题、推理都正确B ．命题正确、推理不正确C ．命题不正确、推理正确D ．命题、推理都不正确[解析] 推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没有用到假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.[答案] B二、填空题6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．[解析] ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.[答案] f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)27．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是______________________________________________．[解析] 当n ＝k ＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. [答案] 122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋38．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是__________．[解析] 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12， 所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.[答案] (k ＋1)2＋k 2三、解答题9．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N ＋)．[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2，那么，当n ＝k ＋1时，1＋3＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋[2(k ＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.这就是说，当n＝k＋1时等式成立．根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．10．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n∈N＋，n>1)．[证明](1)当n＝2时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k－1<k，则当n＝k＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1<k＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1<k＋1×2k2k＝k＋1，所以当n＝k＋1时不等式成立．由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．[能力提升练]1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋1时正确D．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋2时正确[解析]∵n为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.[答案] B2．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[解析]n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求．故选D.[答案] D3．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________．[解析]当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.[答案]25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋24．设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式，并用数学归纳法加以证明．[解](1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明．当n＝1时，f(1)＝1满足条件．假设当n＝k(k∈N＋)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.。

第二章一、选择题(每小题分，共分)．若的分布列为，则()＝( )解析：由题意知＋＝，∴＝，()＝×＋＝＝.答案：．已知ξ～，η～，且(ξ)＝，则(η)等于( )．．．．解析：(ξ)＝＝，∴＝.∴η～，∴(η)＝×＝.答案：．已知＝＋，()＝，则()的值为( )．．．．解析：∵()＝(＋)＝()＋＝，∴()＝.答案：．设件产品中有件次品，从中抽取件进行检查，则查得次品数的均值为( )解析：设取得次品数为ξ(ξ＝)，则(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，∴(ξ)＝×＋×＋×＝.答案：二、填空题(每小题分，共分)．(·威海高二检测)某种种子每粒发芽的概率为，现播种了粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种粒，补种的种子数记为，则的数学期望为．解析：由题意可知，补种的种子数记为，服从二项分布，即～()，所以的数学期望()＝×＝.答案：．随机变量ξ的概率分布列由下表给出：则随机变量ξ解析：(ξ)＝×＋×＋×＋×＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．一个盒子里装有张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字；另一个盒子也装有张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字.现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为，记随机变量η＝＋，求η的分布列和数学期望．解析：依题意，随机变量η＝，…，，则有(η＝)＝＝，(η＝)＝，(η＝)＝，(η＝)＝，(η＝)＝，(η＝)＝，(η＝)＝，∴η的分布列为(η)＝×＋．甲、乙两人各进行次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.记甲击中目标的次数为ξ，乙击中目标的次数为η.()求ξ的分布列；()求ξ和η的数学期望．解析：()(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝.ξ的分布列为()由题意可得，ξ～，η∴ξ＝×＝＝，η＝×＝.。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题课时分层作业(十四) 综合法和分析法(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．证明命题“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝e x＋1e x ，∴f′(x)＝e x－1e x.∵x>0，∴e x>1,0<1e x<1∴e x－1e x>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．他使用的证明方法是( )【导学号：31062147】A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是A[该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故选A.]2．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，那么P，Q，R的大小关系是( ) A．P＞Q＞R B．P＞R＞QC．Q＞P＞R D．Q＞R＞PB[先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(3＋6)．又(7＋2)2－(3＋6)2＝214－218＜0，∴Q＜R，由排除法可知，选B.]3．要证3a－3b＜3a－b成立，a，b应满足的条件是( )A．ab＜0且a＞b B．ab＞0且a＞b C．ab＜0有a＜bD ．ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且a ＜b D [要证3a －3b ＜3a －b ， 只需证(3a －3b )3＜(3a －b )3， 即证a －b －33a 2b ＋33ab 2＜a －b ， 即证3ab 2＜3a 2b ，只需证ab 2＜a 2b ，即证ab (b －a )＜0. 只需ab ＞0且b －a ＜0或ab ＜0，且b －a ＞0. 故选D.]4．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－⎝⎛⎭⎪⎫a －122≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2.∴应选C.]5．若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )【导学号：31062148】A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)B [∵x >0，y >0，1x ＋4y＝1，∴x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝2＋y 4x ＋4x y≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立， ∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.] 二、填空题6．如图2­2­2所示，四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．图2­2­2[解析] 要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C . 因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ， 即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C . [答案] AC ⊥BD (答案不唯一)7．已知sin α＋sin β＋sin r ＝0，cos α＋cos β＋cos r ＝0，则cos(α－β)的值为________.【导学号：31062149】[解析] 由sin α＋sin β＋sin r ＝0，cos α＋cos β＋cos r ＝0，得sin α＋sin β＝－sin r ，cos α＋cos β＝－cos r ，两式分别平方，相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，所以cos(α－β)＝－12. [答案] －128．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．[解析] ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0.∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．[答案] ≤ 三、解答题9. 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证：a x ＋c y＝2.[证明] 由已知条件得b 2＝ac ， 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c . ①要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy . ②由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证． 10. 设a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ，求证： (1)c 2＞ab ；(2)c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab .[证明] (1)∵a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ≥2ab ， ∴c ＞ab ， 平方得c 2＞ab ；(2)要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 只要证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab . 即证|a －c |＜c 2－ab ， 即(a －c )2＜c 2－ab ，∵(a －c )2－c 2＋ab ＝a (a ＋b －2c )＜0成立， ∴原不等式成立．[能力提升练]1．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤AA [ a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b .即A ≤B ≤C .]2．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．(a ＋b ＋c )2≥3 C.1a ＋1b ＋1c≥2 3D ．abc (a ＋b ＋c )≤13B [∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3.] 3．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.【导学号：31062150】[解析] 若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x >0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞. 4．已知x 1是方程x ＋2x＝4的根，x 2是方程x ＋log 2x ＝4的根，则x 1＋x 2的值是________． [解析] ∵x ＋2x＝4，∴2x＝4－x ，∴x 1是y ＝2x与y ＝4－x 交点的横坐标． 又∵x ＋log 2x ＝4，∴log 2x ＝4－x ，∴x 2是y ＝log 2x 与y ＝4－x 交点的横坐标． 又y ＝2x与y ＝log 2x 互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－x ，y ＝x得x ＝2，∴x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝4.[答案] 45．求证抛物线y 2＝2px (p ＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切.【导学号：31062151】[证明] 如图，作AA ′、BB ′垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |，由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切.。

§2.4 抛物线2．4.1 抛物线及其标准方程一、选择题1．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116 2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4 4．已知抛物线C 1：y ＝2x 2与抛物线C 2关于直线y ＝x 对称，则C 2的准线方程是( )A ．x ＝18B ．x ＝12C ．x ＝－18D ．x ＝－125．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值是( ) A.3－1 B.102－1 C ．2 D.112－1 6．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( ) A.254B.252C.258D ．25 二、填空题7．以坐标原点为顶点，(－1,0)为焦点的抛物线的方程为____________________．8．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．9．已知抛物线y 2＝2x 上一点P (m,2)，则m ＝________，点P 到抛物线的焦点F 的距离为________．10．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________．三、解答题11．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，而且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线和双曲线的方程．12.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还可多装1000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？请说明理由．13．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程．[答案]精析1．B 2.B 3.C 4.C 5.D 6.A7．y 2＝－4x 8.y 2＝16x 9.2 5210.32411．解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点⎝⎛⎭⎫32，6代入方程得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .准线方程为x ＝－1，由此可知双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1，0)，(1,0)，点⎝⎛⎭⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1. 12．解 如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，则A (10，－2)在抛物线上，即－2＝(10)2a ，∴a ＝－150，即抛物线的方程为 y ＝－150x 2. 让货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时，y ＝－150×82 ＝－1.28(米)．又船体在x ＝±8之间通过，即B (8，－1.28)，此时B 点离水面高度为6＋(－1.28)＝4.72(米)，而船体水面高度为5米，所以无法直接通过．又5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，而150×7＝1050(吨)，又1050>1000，所以用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降．13．解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0), 则其准线方程为x ＝－p 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AF |＋|BF |＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8， 即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴|QA |＝|QB |， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2 ＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0.∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4.从而抛物线方程为y 2＝8x .。