高三数学二项式定理3

A.1或-3 B.-1或3 C.1 D.-3
【解析】(2)令x=0,得a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9, 令x=-2,得a0-a1+a2-…-a9=m9, 又(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,即(a0+a1+a2+…+a9)·(a0-a1+a2-…-a9)=39, 即(2+m)9·m9=39,所以(2+m)m=3,解得m=1或m=-3.
答案 解析
题型三 二项式定理的应用 【例3】求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.
【解析】∵1+2+22+…+25n-1=252n−−11
=25n-1=32n-1=(31+1)n-1
=C���0���×31n+C���1���×31n-1+…+Cn-1n×31+C������������-1 =31×(C���0���×31n-1+C���1���×31n-2+…+Cn-1n), 显然C���0���×31n-1+C���1���×31n-2+…+Cn-1n为整数, ∴原式能被31整除.
C���0��� +C���2��� +C���4��� +…=C���1��� +C���3��� +C���5��� +…= 2n1
答案
基础训练
1.（2
������−
1 ������
）6
的展开式的常数项为(

奇数项系数的和等于偶数项系数的和，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋„＝Cn1 ＋Cn3＋Cn5＋„＝ 2n－1.
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1．要使C27m有最大值，则m的值是(
A．14 C．13或14 B．13 D．15
)
解析：由二项式系数的性质可知应选C. 答案：C
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答案：B
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4．设A＝37＋C7235＋C7433＋C763，B＝C7136＋C7334＋C7532＋
1，则A－B＝________.
解析：A－B＝(3－1)7＝27＝128.
答案：128
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5．已知(1－2x)7 ＝a0 ＋a1x＋a2x2 ＋„＋a7x7 ，那么a1 ＋a2 ＋a3
[思路探究] 写出通项公式，根据指定项的特点确定r的取
值．
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[课 记 堂录
r
] 1 通 公为 ) 项式 (
n－r 1 r r Tr＋1＝Cn x 3 (－2) x－3
r
1 r n－2r ＝Cn (－2) x 3 ， 因第 为 6 项 常项 为数 ，
n－2r 所 r＝5 时有 以 ， 即 0 . 3 ＝0， n＝1 n－2r 2 令 3 ＝2， ) ( 1 得 r＝2(n－6)＝2，
2≥ 1 ， r 8－r 即 1 ≥ 2 ， 7－r r＋1
13 16 解得 3 ≤r≤ 3 .
又∵r∈N，∴r＝5，∴第 6 项系 最， 的数大 展 式系 最的为 开 中数大 项 T6＝C75(2 x) ＝672x2.
5 5

绵阳市开元中学高2014级高三复习《二项式定理》 知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤 学生姓名：___________一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式． 其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n an －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n rn n C C -=(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122n n nnCC-+=取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n；C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n an －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．题型示例【题型一】求()n x y +展开特定项例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A.6B.7C.8D.9解：由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3，∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：(2014·大纲)⎝ ⎛⎭⎪⎫xy－y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________.(用数字作答)解：⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －y x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎪⎫－y x r ＝()33842281r r r r C x y ---， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70.【题型二】求()()m n a b x y +++展开特定项例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.【题型三】求()()m n a b x y +⋅+展开特定项例1：(2013·全国课标卷Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1解：(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例2：(2014·浙江卷)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( ) A ．45B ．60C ．120D ．210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C.例3：已知数列{}n a 是等差数列，且6710a a +=，则在1212()()()x a x a x a ---的展开式中，11x 的系数为_______.解：11x 的系数为121267()6()60a a a a a -+++=-+=-。

3 x
应用三：整除（求余）问题
用二项式定理证明 1110 1能被100整除
练习:今天是星期三,再过22007 天后是星期几？
课堂小结
1）区别二项式系数，项的系数
2）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2
应用一：
(1)展开：（1 2x)5
（1 2 x)5 C50 (2 x)0 C51(2 x)1 C52 (2 x)2

C
3 5
(
2
x
)3

C54 (2 x)4

C55 (2 x)5
1 10x 40x2 80x3 80x4 32x5
(特2)殊若地展: 开（1 2x)5呢？
∵(a+b)3＝ (a+b) (a+b) (a+b)
其项的形式有：a3 ,a2b,ab2, b3
①每个都不取b的情况有1种,即C30 ,所以a3的系数为C30; ②恰有1个取b的情况有C31种，所以a2b的系数为C31; ③恰有2个取b的情况有C32 种，所以ab2的系数为C32; ④恰有3个取b的情况有C33 种，所以 b3的系数为C33;
（1.把(1ab-用b2)x-n=)b5代C替nC0Ca53n50-((C22n1xaxn))-301b+CC…5514((-2+2x(-x)11))4rCCnCr52a(55n(-r2b2xr
)2
x)5
1 1+0x… +40(-x12)nC8nn0bxn3 80x4 32x5
练习：
化简：① x 14 4 x 13 6 x 12 4 x 1 1