连续推力最优变轨的一种优化解法

，：ｆ’ｄｔ
（２）
根据最优控制理论，引入哈密尔顿函数：
，
Ⅳ＝＾Ｖｓｉｎｙ＋南半＋以（警＋Ｇ警）＋
４怍一专）孚＋Ｇ努一厶和
（３）
共轭变量微分方程是：
警＝～等＝山号竽＋丑丁２ｓｉｎｙ—ｎ．ｒ＼＿（Ｖ２一吾粤
警一等～ ． 警＝一雾＝一五ｓｉｎｙ－如半一乃皓＋甜。旷Ｇ一肼ｓｉｎｙｃ：ｔＪ ㈤ 警＝一筹＝一≈ｃｏｓｙ＋南等ｓｉｎｙ＋知古删＋乃睁一古眵
１９９７
４ 海宁吐尔．欧天垣，曹叔维译，北京：最优化方法．机槭工业出版社ｒ １９８７． ５ Ｖｉｎｈ Ｎ Ｘ．ｏｐｔｉｍａｌ Ｔｒａｊｅｃｔｏｒｉｅｓ ｉｎ Ａｔｍｏｓｐｈｅｒｉｃ Ｆｌｉｇｈｔ．Ｅｌｓｅｖｉｅｒ Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ
一９３—
Ｃｏｍｐａｎｙ．１９８１．
６
Ｈａｉｓｓｉｎｇ Ｃ Ｍ．Ｍｃｍｓｃ Ｋ Ｄ．Ｍｉｎｉｍｕｍ－ｆｕｅｌ ＰＯｗ＊ｌｉ耐ｔｃｄ Ｔｒａｎｓｆ∞＇ｓ Ｂｅｔｗｅｅｎ Ｃｏｐｌａｎａｒ Ｅｌｌｉｐｔｉｃａｌ Ｏｒｂｉｔｓ．Ａｃｔａ
（８）
ｖ的求法见文献【７】，式（８）是完全可以取代式（７）的，这样对于状态变量，用计算代替了猜测，效
果很好。
４算例：
从停泊轨道（口＝１．０３１３６ＤＵ圆轨道）到（ａ＝３．８２１１ＤＵ，ｅ＝０．７３００８９，珊＝１８００）的目标
轨道转移。以＝４５００ｍ／ｓ，Ｇ＝０．２。（口为长半轴）
Ｆｉｇ．３ Ｖｅｌｏｃｉｔｙ Ｐｈａｓｅ Ｐｏｒｔｒｍｔ
警＝一筹＝鲁ｋ ＣＯＳＧ＋４警Ｊ
根据发动机实际工作情况．初始相对推力Ｇ在最大值Ｇ。和最小值Ｏ之间取值．因是连续推力，
所以在，∈（ｏ，ｏ Ｊ之间。Ｇ＝Ｇ。。
根据最优控制原理ｆ．１，使‘，达到最小与Ⅳ在整个最优变轨过程中必须取最小值是等价的，即当
输入达到最优
“∞＝“＋（ｆ）－ｔＥ（ｏ，ｏ）时
Ｈ０’，工（ｆ），“＋ｏ））＝嚣蕊日仁’，坝ｆ），“（ｒ）） 工＋为最优轨迹·ｕ为控制域，所以有
５结束语
本文对连续推力最优变轨问题进行了有益的探索．并给出了求解这类问题的‘个比较圆满的解决 方案．这一方法免去了对边值条件繁琐的分析、猜测，方法简便、效率高且结果令人满意。最优变轨 问题还有很多，比如开关函数控制下的变轨问题等例，这些也可以结合本文的方法进行分析。
参考文献
王明春，荆武兴，扬涤，吴瑶华．能量最省有限推力同平面轨道转移．宇航学报 王小军．吴博隆，于梦伦．最少燃料消耗的同定推力共面轨道变轨研究．宇航学报．１９９５， （４） Ｉ．Ｍｉｃｌｌａｃ】Ｒｏ站．Ｓｕｂｏｐｔｉｍａｌ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｏｒｂｉｔ Ｔｍｎｓｆｅｒ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕｉｄａｎｃｅ，Ｃｏｎｔｒｏｌ，ａｎｄ Ｄｙｎａｍｉｃｓ．Ｖ０１．２０，Ｎｏ．３，Ｍａｙ。Ｊｕｎｅ
望塑：—Ｖｃｏ—ｓｙ
ａｔ
ｒ
华：一ｓｍ＿＿Ｌ＋Ｇ ｃｏｓ口．
出
ｙ２。
ｍ
苦ｄｍ＝—睁Ｇ一廿铲，Ｇ黔
础
矿
其中．状态变量为地心距ｒ、极角臼、速度ｐ，、飞行迹角，，、和质量ｍ。Ｇ为发动机相对推力，圪
为发动机燃气喷射速度，口为攻角。要进行优化的参数是“Ｏ）。
这里研究飞行器晟优变轨方式为能耗最小变轨方式，并在连续推力情况下 则问题变为最小时间 问题，性能指标函数为
本文根据最优控制理论（４１，建立了连续推力最优变轨过程的数学模型，并简单分析了边值条件． 首先采用一阶梯度法进行粗略计算，引入影响函数．计算状态变量初值．这样可免去猜测初值的过程． 然后应用邻近极值算法进行精确计算，并获得了满意的结果。这一方法解决了求解两点边值问题中由 于初值猜测不好造成的不收敛问题，大大提高了程序的执行效率．
２、３·６１。
选择最优控制理论作为解决问题的基本原理，它是根据变分法引出来的，其主要优越性在于适应 控制参数的各种集合形式．特别是有界闭集的情况，且一般对控制参数不加限制。对于简单的情况还 可以获得解析解．而对于像空间轨迹优化这样一个多变量的复杂问题，要转化为两点边值问题，解这 类问题的数值方法很多，主要有差值法、变量法、配置法、和打靶法等。这些方法的主要困难在于首 先猜测米知状态变量的初值，而当猜测值与真值有一定差距时，计算过程往往会陷入局部极值点或使 计算过程发散。
连续推力最优变轨的一种优化藤法
赵建民 高普云
（国防科学技术大学航天与材料工程学院， 长沙４１ ００７３） 摘要：首先，根据最优控制理论设计最优控带４模型，将求解最优变轨问题转变成求解两点 边值问题（ＴＰＢＶＰ）；然后，采用一阶梯度法进行粗略计算，得到近似的初值；最后．采用邻 近极值算法进行精确计算，得到了满意的结果。 主题词：轨道转移，最优控制理论，两点边值问题，一阶梯度法，邻近极值算法．
一９Ｉ一
一９２一
以Ｆ最１】ｃ制导俸：
筹ｄ口 －０
等
拈一专＾，ｙ
㈤
飞行嚣由一轨道转移到另一轨道，必须用约束条件来确定它们，在最优控制理论中这即是边值条 件，这里终端轨道约束形式以轨道偏心律ｅ、能量亭、近地点幅角∞给出旧，则终端边值条件为：
伊。ｂ（ｆ，）＇ｏ】＝再了砑两而ｉ丙丐而叶
似…ｒ，】－㈨一删嬲唧 钆ｋｏ，Ｍ＝Ｖ２（ｔＯ～赤一白
（６）
其中Ｊ：ｒｙ ２、ｈ：，２Ｖ２ ｃｏｓ２ｙ。而终端横截条件为：
圳尊ｌ，＋瞎扣，蒜¨南¨盟Ｏｒ（ｔ１）
南（ｆ，）＝嚣ｔｔ＝ｔｓ＋ＶＴ等ｆ，叶呐
川瓠，Ⅳ鼽叫蒜十屹蒜¨蒜㈣
撕，＝舢，Ⅳ缸，叫蒜＋屿蒜
枷，）．等Ｊｒｌｒ，川嚣ｍ一１
这里≯＝Ｏ【一Ｉ，初始条件我们不以约束形式给出，而以初始轨道上一个状态点的形式给出，这样
Ｆｉｇ．１
ｔｈｅ‰ Ｐｌｏｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｔｉｍｅ ａｓ
ａｎｏｍａｌｙ ｏｎｔｈｅ ｉｎ憾蚰ｏｒｂ泌ｉｓ ｖａｆｉｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ＿ｆｒａｎｓｆｅｒ ｉｎ Ｆｉｇ．２
Ｆｉｇ．２ 一９２一
Ｔｉｍｅ ｔｆ（ＴＵ）
Ｐｌｏｔ ｏｆ Ａｎｇｌｅ Ｂｅ“＂ｅｎ Ｔｋｒｍｔ ａｎｄ Ｖｅｃｔｏｒｓ Ｖｅ玮ｕｓ
Ｔｉｍｅ ｔ，（ＴＵ）
Ｆｉｇ．４
Ｒａｄｉｏｕｓ Ｐｈａｓｅ
我们已经得到图１，所以应用邻近极值算法只在０＝１４０。的附近进行搜索计算。最终的最优初始
点是口＝１４４．５。。图２是最优攻角的变化规律即最优控制律“（，】．图３是速度．时间曲线，搁４是地心
距．时间曲线，从中我们可以看出，地心距刚开始是不断变小的，最近处是１．０２５８７ＤＵ．考虑到实际 的大气层情况．应该对虽小高度有一个限制，这就是路径受限问题了，需要进一步的研究。实际上， 本算例中由于推力作用下飞行时间过长．重力引起的速度损失是很大的．所以如果发动机的实际情况 允许也可以考虑非连续推力方式的变轨，以达到节省能量的目的。
可不必分折初始边值条件，在下文计算中会得以解决。至此最优化模型已经建立起来了。
３数值计ｌｌ［方－法及结果
初始条件为一个点，那么首先应该解决在初始轨道上从哪个点出发才是最好的。实际上我们只需 要在初始轨道上找几个点．然后描绘出曲线马上就可以看出来．图１就是算例最优初始点的拟台曲线 圉，在所搜索的范围内很明显存在一个时问最小点。这个图是用一阶梯度法计算的。
１引言 飞行器在进入目标轨道之前．一般要完成一次或几次动力变轨，因此如何设计变轨过程以达到节
省推进荆、减轻飞行器质量的目的是一个必须考虑而又十分重要的问题。随着推进技术的不断发展， 特别是电推进技术和核能推进技术的发展，有限推力或小推力变轨在上面级或星际探铡器完成欧时闻 飞行任务中越来越受到重视．采用连续小推力推进时．飞行器在空间动力飞行较长的距离，重力将引 起速度损失，因此如何控制推力矢量变化以减小速度损失引起了大家的兴趣并开展了很多研究工作ＩＩ
２建立模型
在平面极坐标系内，通常假定地球是球体，并忽略大气影响，建立飞行器运动方程【，１．将方程无 量纲化处理．这样做有两个好处，首先所有的变量是同～数量级，会提高对状态变量的积分精度·再 次边界条件接近同一数量级，也会提高计算收敛速度。在这里取正则单位进行无量纲化，运动方程如
下：
一９０一
９ｌ
鲁邛ｓｌｎｉ，
个＝一一
一９３一
一阶梯度法编制程序简单，而且在最初的迭代中有非常好的收敛性，所以这里选用它作为粗略计
算。计算时要估计一组控制变量的时间函数“∽．这里取５阶多项式，实际上，由于其良好的收敛性，
估值可取范围很大，不会遇到其它方法中的不收敛问题。引进影响函数ｐＯ）＇ＲＯ）ｍ，则
丑（ｆ）＝ｐｅ）＋月（ｆ）ｖ
Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃａ，１９９３，２９０）．
７ ＢＢｒｙ∞ｎ，Ｊｒ．Ｙｕ－Ｃｈｉ Ｈｏｔ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｏｐｔｉｍａｌ ＣｏｎＵ＇ｏＬ·Ｈ印ｌｉｓｐｈｍ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ Ｃｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ·１９７５
８ 程田采．航天飞行器最优控制理论与方法．北京：国防－ｒ、｜ｌ，ｍ版社，１９９９．
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