成都市南开为明学校2021届高三第一次调研考试数学(理)试卷

2021年高三下学期第一次调研（一）考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则的子集可以是A. B. C. D.2.若复数是虚数单位）是纯虚数，则复数的共轭复数是A. B. C. D.3．已知抛物线，则A.它的焦点坐标为B. 它的焦点坐标为C.它的准线方程是D. 它的准线方程是【答案】C【解析】试题分析：将抛物线化为标准方程得，所以其焦点坐标为 ,准线方程为.考点：抛物线的标准方程及几何性质.4．下列说法中，不正确．．．的是A.“”是“”的必要不充分条件B.命题“若都是奇数，则是奇数”的否命题是“若不都是奇数，则不是奇数”C.命题或，则使或D.命题若回归方程为，则与正相关；命题：若，则，则为真命题5.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为A. B. C. D.6．给出以下数阵，按各数排列规律，则的值为122353416164565655nA. B. C. D.326【答案】C【解析】试题分析：根据图中数字发现，这组数具备的特征是每一行的第一个数和最后一个数都是该行的行数，中间的每个数等于它肩上的上一行两个相邻数之积再加1，故．考点：归纳推理.7．运行如下程序框图：否是k=k+1结束输出Sk<n?S=S+2kk=1S=0开始若输出的的值为12，则判断框中的值可以是A.2B.3C.4D.58．已知向量()3(sin2,1),(cos2,),()2m x n x f x m n m==-=-⋅，则函数的最小正周期与最大值分别为A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：,5()()sin2(sin2-cos2)2f x x x x=-⋅+m n m=21512sin2sin4(cos4sin4)34322224x x x x xπ⎛⎫=-+=-++=-++⎪⎝⎭，故的最小正周期T=,最大值为考点：1.向量的坐标运算；2.三角函数的图象与性质.9．已知一个几何体的三图如图所示，山该几何体的体积为侧视图正视图21121A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图的定义可知，该几何体为下图中的MNC 1B 1-ADCB,其体积为1111111ABCD A B C D A A MN D NC D V V V V ---=--正方体三棱锥三棱锥31111211221273232=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.考点：三视图.10．2015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人、、、除与、与不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤.现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有 A.48种 B.36种 C.24种 D.8种 【答案】A 【解析】试题分析：五国领导人单独会晤的有AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、CD 、CE ，共八场,现在将八场会晤分别安排在两天的上午和下午进行，每个半天安排两场会晤同时进行.因为能同时会晤的共有（AB ，CD ），（AC ，BD ），（AD ，CE ），（AE ，BC ）和（AB ，CE ）、（AC ，BD ），（AD ，BC ），（AE 、CD ）两种情况，故不同的安排方法共有 考点：排列与组合.11．设分别为双曲线的左右顶点，若双曲线上存在点使得两直线斜率，则双曲线的离心率的取值范围为A. B. C. D.12．已知定义域为的函数，若对任意的，有，则称函数为“定义域上的函数”，以下五个函数：①；②；③；④；⑤，其中是“定义上的函数”的有A.2个B.3个C.4个D.5个 【答案】C 【解析】试题分析：对于①，()()()()()121212122326f x x x x f x f x x x +=++≤+=++，满足条件；对于②，()()()222212121212122,f x x x x x x f x f x x x +=+++=+，当x 1x 2>0时，不满足，故②不是“定义域上的函数”；对于③，()()()2222121212121221,2f x x x x x x f x f x x x +=++++=++，因为，所以，故，③满足条件；对于④，()()()()121212211212sin sin cos sin cos sin sin f x x x x x x x x x x f x f x +=+=+≤+=+，故④满足条件；对于⑤，()()()()()1221212212log ,log f x x x x f x f x x x +=++=，因为，所以，可得，故⑤满足条件. 是“定义域上的函数”有 ①③④⑤，共4个. 考点：1.新定义问题；2.函数性质的应用.第Ⅰ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分，请将正确答案填在题中横线上. 13.已知展开式的常数项为15，则展开式的各项系数和为 .14.已知满足，，记的最大值为，则函数（且）的图象所过定点坐标为 .【答案】【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，解方程组得边界点的坐标为A(1,3),B(2,2),C(1,1)，易知将代入时会使得目标函数取得最大值z=2×2-2=2.所以过定点(1,3).考点：线性规划.15.已知数列是等比数列，且，则.16.在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积取最大值时有 .x三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)设数列满足，且对任意，函数满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，求证：.18.(本小题满分12分)微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：（1）根据以上数据，能否有﹪的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为，试求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据：【答案】（1）没有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关；（2）2人； (3) 的分布列是的期望值是. 【解析】试题分析：（1）直接代入公式计算对照表格可知；（2）由分层抽样的比例可计算其人数；(3)先写出所有的的可能性，求出其概率，由公式计算其期望即可. 试题解析：（1）由列联表可得222()100(26203024)0.649350.708()()()()56445050n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯.(3分)所以没有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关. (4分)（2）依题意可知，所抽取的5位女性中,19.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥中，平面，底面是正方形，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值.FBDAC【答案】(1)见解析；(2). 【解析】试题分析：(1)先利用等腰三角形性质得，由线面性质垂直性质可得，又因为，20. (本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴这半径的圆与直线相切.(1)求椭圆标准方程；(2)已知点为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在点使之成立.则有11221212(,)(,)()()x m y x m y x m x m y y =--=--+)4())(2()1(22212212m k x x m k x x k ++++-+= )4(3112)2(31612)1(22222222m k k k m k k k k +++⋅+-+-⋅+= （10分）要使上式为定值，即与k 无关，则应，即，此时为定值，定点为.（12分）考点：1.椭圆的定义和性质；2.椭圆与直线的位置关系；3.向量运算.21. (本小题满分12分)已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.(1)求的值；(2)判断函数的单调性；(3)求证：当时，请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多答，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)自圆外一点引圆的两条割线和，如图所示，其中割线过圆心，.(1)求的大小；(2)分别求线段和的长度.P【答案】(1); (2) ,.【解析】试题分析：(1)由可知，所以即23. (本小题满分10分)已知在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数）.(1)以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；(2)直线的坐标方程是，且直线与圆交于两点，试求弦的长.24. (本小题满分10分)已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围；(2)当正数满足时，求的最小值.【答案】(1); （2）.【解析】试题分析：(1) 0恒成立等价于，从而可求的取值范围;n ~22100 5654 噔H225587 63F3 揳 \39791 9B6F 魯UYEzID。

2021届高三数学上学期一诊模拟试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A .3B. 6-C. 10D. 15-【答案】C 【解析】 【分析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S =-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题. 3.关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 是偶函数C. ()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D. ()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A 【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x =的图象可知，C 、D 均正确；故选A. 考点：正切函数的图象与性质.4.已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A.考点：1.不等式性质；2.充要条件.5.如果21nx ⎫-⎪⎭的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式中x 的指数为0,得到5n r =,由此可得正整数n 的最小值是5. 【详解】因为21nx ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为52121()(1)n rrn rr r rr nn T C C x x--+=-=-,(0,1,2,)r n =,令502n r-=,则5n r =,因为*n N ∈,所以1r =时,n 取最小值5. 故选:C【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于基础题.6.在约束条件：1210x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A.12B. 38C.14D.18【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）， 由(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b =-+，平移直线a zy x b b=-+，由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点(1,2)A 时直线的截距最大，此时z 最大为1．代入目标函数z ax by =+得21a b +=． 则1222a b ab =+， 则18ab当且仅当122a b ==时取等号，ab ∴的最大值等于18， 故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7.设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A.152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去），∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．8. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ） A. 288个 B. 306个 C. 324个 D. 342个【答案】C 【解析】试题分析：当个位、十位、百位全为偶数时，有3313434390C A C A -=；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有21312133434333234C C A A C C A -=，所以共有90234324+=种,故选C.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题主要考查两个基本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的标准进行，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进行.9.已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（ ） A. ()()22(2)log af f f a <<B. ()()2log (2)2af a f f <<C. ()()2log 2(2)af a f f <<D. ()()2(2)log 2af f a f <<【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->,可得()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)af a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-, 所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <, 所以()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增, 所以2x =时,函数取得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=, 所以224log 3a <-<, 所以224log 2aa <-<,所以2(4log )(2)af a f -<, 所以2(log )(2)af a f <,所以()()2(2)log 2af f a f <<.故选:D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.10.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ）A. [6,)+∞B. [4,6]-C. (4,6)-D.(,4]-∞-【答案】A 【解析】 【分析】首先将|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,转化为圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,继续转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且(349)(34)0a ---+≤,解不等式组可得答案.【详解】因为|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,所以+的取值与x ，y 无关,取值与x ，y 无关,即圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,因为圆心(1,1)到直线1;3490l x y --=21=>,所以直线1;3490l x y --=与圆相离,所以直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,1≥,且(349)(34)0a ---+≤,所以6a ≥或4a ≤- 且1a ≥, 所以6a ≥. 故选:A【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间是解题关键,属于中档题.11.若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b -⋅-的最大值为（ ） A. 10 B. 12C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =，OB b =，OC c =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值.【详解】解：设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，c b BC -=()()cos a bc b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠||||2||2a b c ===4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a bc b --=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12.已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ）A. [13,19]B. 335,195⎡⎤⎢⎥⎣ C. 335,13⎡⎤⎢⎥⎣ D.339,19⎡⎤⎢⎥⎣【答案】B 【解析】 分析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】如图所示:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =,所以1//B Q DF ; 取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ; 因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MN DF 交1DD 于N ,则四点1,,,B Q N M 共面,且123DN DD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动, 连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥,所以PC ,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以DNDQ ==所以点D 到QN的距离为1322152⨯⨯=, 所以DP,, 所以PC5=,=. 所以PC的取值范围是5⎡⎢⎣. 故选:B【点睛】本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 13.命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤ 【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”．14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600,则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】 【详解】根据题意9个小长方形面积依次为0.02,0.02,0.022,0.023,0.024,0.023,0.022,0.02,0.02d d d d d d d +++++++因为9个小长方形面积和为1，所以0.82160.1811600(0.024)36016d d d +=∴=∴⨯+= 15.设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为__________. 【答案】233【解析】【详解】试题分析：设点M 的坐标为(,)M x y ，由抛物线的定义可知，12MF x =+，则222222122411111()2224x MOx yx x x xMFx x x x x -+++====++++++， 令14t x =-，则14t >-,14x t =+,若t>02112311139933216162MO t MF t t t t =+=+≤+=++++3t 4=时等号成立， 所以MOMF的最大值为33. 考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之. 16.已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b +--的最小值为 ．【答案】424+ 【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填4243+． 【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件. 考点：基本不等式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值. 【答案】(1)3π;(2)3,23a b ==． 【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换，sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；（2）由m 与n 共线， 得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：（1）2113sin cos cos ,2cos 2122C C C C C -=-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=. （2）m 与n 共线,sin 2sin 0B A ∴-=, 由正弦定理sin sin a bA B=,得2b a =,① 3c =,由余弦定理，得2292cos3a b ab π=+-, ② 联立①②,{a b ==考点：正弦定理；余弦定理.18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635【答案】（I ）没有的把握认为“古文迷”与性别有关；（II ）“古文迷”的人数为3，“非古文迷”有2；（III ）分布列见解析，期望为95. 【解析】【详解】（I ）由列联表得所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．（II ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人（III ）因为为所抽取3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量ξ的分布列为123于是．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值为15【解析】【详解】证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接EO .因为O 为1AB 的中点，O 为EO 的中点,所以EO ∥1AB 且112OD BB =.又O 是1AB 中点， 所以AB ∥1AB 且112OD BB =,所以AB ∥EO 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥EC .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则EC ∥平面1A BE . (Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB AB ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以ABC 平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥EC ，所以CD ⊂平面11A ABB . 所以CD ⊂1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O ⋂=，EO ⊥平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB , 所以1A B ⊂平面1A BE .（Ⅲ）解: 取11A C 中点F ，连接1,?B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面1AB ⊥.因为底面1AB ⊥是正三角形，且F 是11A C 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1BB ⊥侧面11ACC A . 所以EF 是11A C 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是11A C 与平面11ACC A 所成角.111sin 5B F BE F B E ∠==20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为())12,F F ,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M . (1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论.【答案】(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到c =1b OM ==，所以a =（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++. 试题解析： （1）依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==，∴a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，y =.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，则122233222k k ++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．21.已知函数()ln ()f x tx x t =+∈R . （1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-；（2）若对于定义域内任意x ，()1xf x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围 【答案】（1）见解析 （2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证；（2）参变分离得到ln 1xx t e x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】（1）证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证 （2）原式子恒成立即ln 1xx t e x+≤-在(0,)+∞恒成立 设ln 1()xx x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x ex ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线()2:sin 0,024l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.【答案】（1） 圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 （2）【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l 与圆O 的公共点的直角坐标，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得，，解得即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．23.已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．【答案】（1）73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）6m >或2m <- 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可． 【详解】（1）原不等式为：23215x x ++-≤，当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

2021年四川成都高三一模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第1题5分设集合A={x|x2−3x−4<0}，B={x||x−1|<3,x∈N}，则A∩B=（）．A. {1,2,3}B. {0,1,2,3}C. {x|−1<x<4}D. {x|−2<x<4}2、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第2题5分2021年四川成都高三一模文科第2题5分（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）．复数z=1+2iiA. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i3、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第3题5分2021年四川成都高三一模文科第3题5分若等比数列{a n}满足a2+a3=2，a2−a4=6，则a6=（）．A. −32B. −8C. 8D. 644、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第4题5分2021年四川成都高三一模文科第4题5分甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：x1，x2分别表示甲乙两组数据的平均数，S1，S2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是（）．A. x 1=x 2，S 1>S 2B. x 1>x 2，S 1>S 2C. x 1<x 2，S 1>S 2D. x 1>x 2，S 1<S 25、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第5题5分若函数f (x )=x 3−3x 2+a 有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）． A. (−∞,0)∪(4,+∞) B. (−∞,−8)∪(0,+∞) C. [0,4] D. (−8,0)6、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第6题5分若向量a →，b →满足|a →|=2，(a →+2b →)⋅a →=6，则b →在a →方向上的投影为（ ）． A. 1B. 12C. −12D. −17、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第7题5分设a =log 2020√2021，b =ln⁡√2，c =202112020，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a8、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第8题5分 2021年四川成都高三一模文科第8题5分若α，β，γ是空间中三个不同的平面，α∩β=l ，α∩γ=m ，γ∩β=n ，则l//m 是n//m 的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第9题5分 已知平行于x 轴的一条直线与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)相交于P ，Q 两点，|PQ |=4a ，∠PQO =π3（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）．A. √62B. √52C. √6D. √510、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第10题5分 2021年四川成都高三一模文科第10题5分已知锐角φ满足√3sin⁡φ−cos⁡φ=1．若要得到函数f (x )=12−sin 2(x +φ)的图象，则可以将函数y =12sin⁡2x 的图象（ ）． A. 向左平移7π12个单位长度 B. 向左平移π12个单位长度 C. 向右平移7π12个单位长度 D. 向右平移π12个单位长度11、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第11题5分2020~2021学年四川成都温江区成都七中实验学校高二上学期期末模拟理科第11题5分 2021年四川成都高三一模文科第11题5分已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，P (0,−72)．若PB ⊥AB ，则|AF |=（ ）．A. 32B. 2 C. 52D. 312、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第12题5分已知函数f(x)=x+ln⁡(x−1)，g(x)=xln⁡x．若f(x1)=1+2ln⁡t，g(x2)=t2，则(x1x2−x2)ln⁡t的最小值为（）．A. 1e2B. 2eC. −12eD. −1e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第13题5分(√x−1x )7的展开式中x−1的系数是．（用数字作答）14、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第14题5分2017~2018学年湖南郴州嘉禾县嘉禾县第一中学高二上学期期中2017~2018学年广东深圳罗湖区菁华中英文实验中学高二上学期期中2017年高考真题新课标卷I2017~2018学年湖南郴州临武县临武县第一中学高二上学期期中设x，y满足约束条件{x+2y⩽12x+y⩾−1x−y⩽0，则z=3x−2y的最小值为．15、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第15题5分2021年四川成都高三一模文科第15题5分数列{a n}的前n项和为S n，a n+2S n=3n，数列{b n}满足3b n=12(3a n+2−a n+1)(n∈N∗)，则数列{b n}的前10项和为．16、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第16题5分在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =AB =1，AC =√2，三棱锥P −ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为 ；若点M ，N 分别是△ABC 与△PAC 的重心，直线MN 与球O 的表面相交于D ，E 两点，则线段DE 的长度为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第17题12分 2021年四川成都高三一模文科第17题12分在△ABC 中，点M 在边AC 上，CM =3MA ，tan⁡∠ABM =√35，tan⁡∠BMC =−√32． (1) 求角A 的大小．(2) 若BM =√21，求△ABC 的面积．18、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第18题12分 2021年四川成都高三一模文科第18题12分一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面2×2列联表：(1) 根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？(2) 在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：K2=a(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．19、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第19题12分如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1，AA1的中点．(1) 求证：平面B1D1E⊥平面C1MN．(2) 若平面AFM∩平面A1B1C1D1=l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值．20、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第20题12分已知函数f(x)=(x−2)e x−a2x2+ax，a∈R．(1) 讨论函数f(x)的单调性．(2) 若不等式f(x)+(x+1)e x+a2x2−2ax+a>0恒成立，求a的取值范围．21、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第21题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且直线xa+yb=1与圆x2+y2=2相切．(1) 求椭圆C的方程．(2) 设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上．记△AOM，△BOP的面积分别为S1，S2，求S1S2的取值范围．选做题（本大题共2小题，每小题10分，选做1题）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第22题10分在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=1+sin⁡α+cosαy=2+sin⁡α−cos⁡α（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin⁡(θ−π4)=√2．(1) 求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程．(2) 设点P(0,2)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求||PA|−|PB||的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2021年四川成都高三一模理科第23题10分已知函数f(x)=|3−x|+|x−m|(m>2)的最小值为1．(1) 求不等式f(x)+|x−m|>2的解集．(2) 若a2+2b2+3c2=32m，求ac+2bc的最大值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 C; 8 、【答案】 C; 9 、【答案】 D; 10 、【答案】 A; 11 、【答案】 D; 12 、【答案】 C; 13 、【答案】 −35; 14 、【答案】 −5; 15 、【答案】 65; 16 、【答案】 √32;2√63;17 、【答案】 (1) A =2π3． ; (2) 6√3． ;18 、【答案】 (1) 有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系． ;(2) ξ的分布列为∴ξ的数学期望E (ξ)=23． ;19 、【答案】 (1) 证明见解析． ; (2) √155．;20 、【答案】 (1) 当a ⩽0时，f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当0<a<e时，f(x)在(ln⁡a,1)上单调递减，在(−∞,ln⁡a)和(1,+∞)上单调递增；当a=e时，f(x)在R上单调递增；当a>e时，f(x)在(1,ln⁡a)上单调递减，在(−∞,1)和(ln⁡a,+∞)上单调递增．;(2) (1,4e32)．;21 、【答案】 (1) x26+y23=1．;(2) [√33,√63]．;22 、【答案】 (1) (x−1)2+(y−2)2=2；x−y+2=0．;(2) √2．;23 、【答案】 (1) (−∞,3)∪(133,+∞)．;(2) 3．;。

2021年高三第一次模拟诊断（12月）数学（理）试题含答案数学试题卷共2页。

考试时间120分钟。

第1至12题为选择题，60分；第13至23题为非选择题，90分。

满分150分。

注意事项:1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答第1至12题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第13至23题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）则（）A、 B、 C、 D、2．在中，“”是“”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3．已知是虚数单位，复数=（）A、B、C、D、4．已知等比数列中，若那么（）A、B、C、D、5．执行如右图所示的程序框图，如果输入，则输出的（）A、 B、 C、 D、6．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部门安排他们去其中任意3个部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A、B、C、D、7．若二项式的展开式中的系数是84，则实数（）A、 B、 C、 D、8.设，变量满足条件，若的最小值为3，则的值为（）A、1B、2C、3D、49．已知点是边长为2的正方形的内切圆内（含边界)的一动点，则的取值范围是（）A、 B、 C、 D、10. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A、B、C、D、11．设点Ｍ（,1），若在圆O:上存在点Ｎ，使得，则的取值范围是（）A、 B、 C、 D、12．已知，函数在处与直线相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数（）A、有最小值B、有最小值C、有最大值D、有最大值第Ⅱ卷本卷包括必做题和选作题两部分，第13-21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

四川省成都市2021-2022学年高三第一次诊断性检测理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|0A x x x =->，{}|e 1x B x =≥，则A B = （）A ．(),1-∞B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2．已知复数z =i2i 1-（i 为虚数单位），则|z |=（ ）AB ．15C ．125D3．函数()()sin sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ）A ．3πB ．2πC ．πD ．2π4．若实数x ，y 满足约束条件03250210x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则z =3x +y 的最大值为（ ）A ．3-B ．3C ．4-D ．45．在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，AB =BC =2.现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（ ）A ．2πB ．C ．πD ．π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．37．已知实数,a b 满足log log 221a b >>，则（ ）A ．12a b<<<B ．12a b <<<C ．12b a <<<D ．12a b <<<8．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）A ．36625B ．9125C ．108625D ．541259．已知3sin()45πα-=，则sin 1tan αα-的值为（ ）A．BC．D10．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）．A ．平均数为3，中位数为2B ．中位数为3，众数为2C ．平均数为2，方差为2.4D ．中位数为3，方差为2.811．如图，已知三棱锥A -BCD 的截面MNPQ 平行于对棱AC ，BD ，且,AC AMm n BD MB==，其中m ，n ∈（0，+∞）.有下列命题：①对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形；②当AC ⊥BD 时，对任意的m ，都存在n ，使得截面MNPQ 是正方形；③当m =1时，截面MNPQ 的周长与n 无关；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，截面MNPQ 的面积的最大值为1.其中假命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数()f x =1ln ,0,e ,0.x xx x x x +⎧>⎪⎨⎪≤⎩则关于x 的方程2()()10()ef x af x a R --=∈的解的个数的所有可能值为（ ）A ．3或4或6B ．1或3C ．4或6D ．3二、填空题13．512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为___________（用数字作答）14．已知向量,a b 满足()1,1a =r ，()23,1a b +=- ，则向量a 与b的夹角为___________.15．已知斜率为13-的直线与椭圆22+197x y =相交于不同的两点A ，B ，M 为y 轴上一点且满足|MA |=|MB |，则点M 的纵坐标的取值范围是___________.16．在ABC V 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.三、解答题17．已知等差数列{an }满足2a 2+a 5=0，a 7=2a 4-2.(1)求{an }的通项公式；(2)设bn =2n a ，求数列{bn }的前n 项和.18．某项目的建设过程中，发现其补贴额x （单位：百万元）与该项目的经济回报y （单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：补贴额x （单位：百万元）23456经济回报y （单位：千万元）2.5344.56(1)请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+；(2)为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X 表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X 的分布列与期望.参考公式：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑19．如图甲，在直角三角形ABC 中，已知AB BC ⊥，4BC =，8AB =，D ，E 分别是,AB AC 的中点.将ADE V 沿DE 折起，使点A 到达点A '的位置，且A D BD '⊥，连接,A B A C ''，得到如图乙所示的四棱锥A '-BDEC ，M 为线段A D '上一点.(1)证明：平面A DB '⊥平面BDEC ；(2)过B ，C ，M 三点的平面与线段A 'E 相交于点N ，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN 与平面A 'BC 所成角的正弦值.①BM BE =；②直线EM 与BC 所成角的大小为45︒；③三棱锥M BDE -的体积是三棱锥'E A BC -体积的1.4注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．已知抛物线C ：()220,4y px p p =>≠，过点(2,0)A 且斜率为k 的直线与抛物线C相交于P ，Q 两点.(1)设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为12,k k .若120k k +=，求点B 的坐标；(2)过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求||||||MN AP AQ ⋅的值.21．已知函数()sin 2,f x x ax a R =-∈.(1)a ≥12时，求函数f （x ）在区间[0，π]上的最值；(2)若关于x 的不等式f （x ）≤ax cos x 在区间（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos(4πρθ-=(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)已知点A 的直角坐标为（-1，3），直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，求|AE |·|AF |的值.23．已知函数()f x =|x -1|+2|x +1|.(1)求不等式()f x <5的解集；(2)设()f x 的最小值为m .若正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =m ，求3a 2+2b 2+c 2的最小值.参考答案：1．C 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，解指数函数不等式化简集合B ，再求集合的交集.【详解】{}(){}{20101A x x x x x x x x =->=->=>或}0x <，{}{}{}0|e 1|e e |0x x B x x x x =≥=≥=≥，所以{}()|11,A B x x =>=+∞I .故选：C.2．A 【解析】【分析】化简得2i5z -+=，即得解.【详解】解：由题得z =i i(2i 1)2i 2i 1(2i 1)(2i 1)5+-+==--+-，所以|z 故选：A 3．C 【解析】【分析】将函数解析式化简，利用正弦函数的周期公式可得.【详解】因为()21cos 2sin 2()sin sin cos sin sin cos 22x xf x x x x x x x -=+=+=+1224x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期22T ππ==.4．D 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．【详解】解：可行域如图所示，作出直线3y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C ．解方程组3250x yx y =⎧⎨+-=⎩得(1C ，1)，所以3114max z =⨯+=．故选：D ．5．D 【解析】【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S RL π=计算公式可得．【详解】解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中圆锥母线长2L =，圆锥底面半径R =22S π∴=⨯=6．B 【解析】【分析】根据渐近线方程，即可求得,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可求得.【详解】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±因为渐近线方程为y =，所以ba=故可得：e ====故选：B 7．B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性及对数的运算即可得解.【详解】21log log a a a >=Q ，12a ∴<<，同理12b <<又log 2log 2a b >，lg 2lg 2lg lg 22lg 20lg lg lg log log lg a b b aa b a b∴--=-=⋅>⋅又lg 20>，lg 0a >，lg 0b >，lg lg 0b a -∴>，即lg 0ba >，1b a∴>，b a ∴>，12a b ∴<<<故选：B 8．C 【解析】【分析】利用二项分布的概率即可得解.【详解】由已知命中的概率为0.4，不命中的概率为10.40.6-=罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次故概率()2131080.40.60.40.1728625P C =⨯⨯==故选：C 9．B 【解析】【分析】先求出cos sin αα-=7sin cos 50αα=，再化简sin 1tan αα-即得解.【详解】解：由3sin()45πα-=3sin ),cos sin 5αααα-=∴-=，所以18712sin cos ,sin cos 2550αααα-=∴=，所以sin sin sin cos 7sin 1tan cos sin 501cos ααααααααα===---.故选：B 10．C 【解析】【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项．【详解】解：对于A ，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A 错误；对于B ，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C ，若平均数为2，且出现6点，则方差S 2＞15（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C 正确；对于D ，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：x ＝15（1+2+3+3+6）＝3方差为S 2＝15[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D 错误．11．A 【解析】【分析】①证明//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②证明对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确；③当m =1时，设,AC BD x ==求出截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确；④截面MNPQ 的面积为24(1)nn +，利用基本不等式求出截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.【详解】解：① 因为//AC 截面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ =,MN AC ⊂平面ABC ,所以//AC MN ,同理//AC PQ ,所以//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②当AC ⊥BD 时，则MN PN ⊥,所以截面MNPQ 是矩形，当ACm BD=时，,22AC ACm m PN PN =∴=，如果2,2,21AC AB AM m m m n MN BM MB =∴=∴=-=，所以当21n m =-时，MN PN =,此时对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确；③当m =1时，设,AC BD x ==所以1,,11nMN x PN x MN PN x n n ==∴+=++，所以截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，2122,21111n n PN MN n n n n =⨯==⨯=++++，由于截面是矩形，所以截面MNPQ的面积为2244411(1)212n n n n n n n ==≤=+++++，当且仅当1n =时等号成立.所以截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.故选：A 12．D 【解析】利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图象，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e ⋅=-，然后分11t e =-，11t e <-和110t e -<<三种情况结合函数图象讨论即可【详解】当0x >时，1ln ()x f x x+=，则'221(1ln )ln ()x x f x x x -+-==，当01x <<时，'()0f x >，当1x >时，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，且当x →+∞时，()0f x →，当0x ≤时，()x f x xe =，则'()(1)x f x x e =+，当10-<≤x 时，'()0f x >，当1x <-时，'()0f x <，所以()f x 在(1,0]-上递增，在(,1)-∞-上递减，且当x →-∞时，()0f x →，所以()f x 的大致图象如图所示，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e⋅=-，当11t e =-时，则21t =，此时2()f x t =有1个根，1()f x t =有2个根，当11t e<-时，则201t <<，此时2()f x t =有2个根，1()f x t =有1个根，当110t e -<<时，则21t >，此时2()f x t =有0个根，1()f x t =有3个根，综上，对任意的a R ∈，方程都有3个根，故选：D 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后画出函数图象，结合图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于中档题13．80-【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()()5155255212rr r r r r r C x x C x ----⋅⋅-=-⋅⋅⋅，令523-=r 得1r =，所以展开式中3x 项的系数为()14151280C -⋅⋅=-.故答案为：80-14．2π##90【解析】【分析】利用向量坐标的线性运算求得(02)a = ，，相减得(22)b =，，再利用夹角公式可得结果.【详解】设(,)b x y =r ，()1,1a =r Q ，()23,1a b +=-则123121x y +=⎧⎨+=-⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，(1,1)b ∴=-r故[]cos ,0,,0,πa b a b a b a b ⋅==∈⋅r rr r r r r r ，则a 、b 的夹角为2π.故答案为：2π.15．⎛ ⎝【解析】【详解】设直线AB 的方程为13y x t =-+，由2213+197y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 并化简得22869630x tx t -+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，212123963,48t x x t x x -+=⋅=，()2236329630t t ∆=-->，解得t -<<()()1212121212311373,28226648x x t x x y y t x x t t t t-++++===-++=-⨯+=.由于MA MB =，所以M 是AB 垂直平分线与y 轴的交点，AB 垂直平分线的方程为73388y t x t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令0x =得14y t =-，由于t -<<14t -<.也即M的纵坐标的取值范围是⎛ ⎝.故答案为：⎛ ⎝16．6+【解析】【分析】根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.【详解】,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线，由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，化简得22c b bc +=，1112b c +=，()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭236⎛≥+=+ ⎝当且仅当2,c bc b c==，22,22b b b c +===时等号成立.故答案为：6+17．(1)3n a n =-+；(2)3182n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，列方程组解方程组即得解；（2）利用等比数列的求和公式求解.(1)解：设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意，可得()1111224062320a d a d a d a d +++=⎧⎨+-++=⎩解得12,1a d ==-.3n a n ∴=-+.(2)解：由（1），可得32n n b -+=. 所以数列{}n b 是一个以4为首项，以12为公比的等比数列，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则123n n S b b b b =++++ .1412112n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=-31181822nn -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．(1)ˆ0.850.6yx =+(2)分布列答案见解析，数学期望：127【解析】【分析】（1）根据表中的数据和公式直接求解即可，（2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，然后求各自对应的概率，从而可求得分布列和期望(1)23456 2.534 4.564,455x y ++++++++==== .()()15(2)( 1.5)(1)(1)0010.5228.5iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑，()5214101410ii x x =-=++++=∑.()()()155210.85,40.8540.6iii i i x x y y bax x ==--∴===-⨯=-∑∑ .0.80.ˆ56yx ∴=+.(2)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3.()()()3122134343331777C C C C C 112180,1,2C 35C 35C 35P X P X P X ========= ，34374(3)35C P X C ===，X ∴的分布列为X0123P13512351835435112184120123353535357EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．(1)证明见解析【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得证；（2）分别选①，②，③可求得M 为A D '的中点，再以D 为坐标原点，向量,,DE DB DA的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -.利用空间向量求得所求的线面角.(1),D E 分别为,AB AC 的中点，DE BC ∴∥.AD BC ⊥ ，AD DE ∴⊥，A D DE '∴⊥.A D BD '⊥Q ，DE DB D ⋂=，A D '∴⊥平面BDEC .又AD '⊂平面A DB '，∴平面A DB '⊥平面BDEC .(2)（2）选①，BM BE =；BM BE = ，90BDM BDE ∠=∠=︒，BDM BDE ∴≅V V ，2DE DM ∴==，M ∴为A D '的中点.选②，直线EM 与BC 所成角的大小为45︒；BC DE ∥，∴直线EM 与BC 所成角为MED ∠.又直线EM 与BC 所成角的大小为45︒，45MED ∴∠=︒A D DE '⊥ ，2DE DM ∴==，M ∴为A D '的中点.选③，三棱锥M BDE -的体积是三棱锥'E A BC -体积的1.413E A C A EBC BC B E V V S A D ''--'==⋅V Q ，1134M BDE BDE M BDE E A CB V S MD V V '---=⋅⋅=V 又12DE BC =，即12BDE EBC S S =V V ，2A D MD'∴=M ∴为A D '的中点.∵过,,B C M 三点的平面与线段A E '相交于点N,DE BC BC ⊄∥平面A DE ¢，BC ∴∥平面A DE ¢.又平面BMNC ⋂平面A DE MN '=，BC MN ∴∥，N ∴为A E '的中点.,,DE DB DA ' 两两互相垂直，∴以D 为坐标原点，向量,,DE DB DA的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则(0,0,0),(0,0,4),(1,0,2),(0,4,0),(4,4,0)D A N B C '；(1,0,2),(0,4,4),(4,0,0)DN BA BC '==-=.设平面A BC '的一个法向量为(,,)m x y z =，直线DN 与平面A BC '所成的角为θ.由00m BA m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩' ，得44040y z x -+=⎧⎨=⎩.令1y =，得(0,1,1)m =.则||sin |cos ,|||||DN m DN m DN m θ⋅=〈〉===∴直线DN 与平面A BC '.20．(1)(2,0)-(2)12【解析】【分析】（1）直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠，联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合已知条件可求得点B 的坐标；（2）直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用倾斜角定义知sin θ=12,sin sin y y AP AQ θθ-==，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求得MN ，进而得解.(1)由题意，直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠.设221212(,0),,,,22y y B m P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 联立2(2)2y k x y px=-⎧⎨=⎩，消去x 得2240p y y p k --=.21212242160,,4p pp y y y y p k k∴∆=+>+==-.120k k += ，122212022y yy y m m p p∴+=--，即()()12121202y y y y m y y p +-+=.4202p p m p k ⎛⎫-∴-⋅= ⎪⎝⎭，即2(2)0pm k +⋅=.0p > ，2m ∴=-，∴点B 的坐标为(2,0)-.(2)由题意，直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中tan θk =，θ为倾斜角，则sin θ=12,sin sin y y AP AQ θθ-∴==2122224114sin 1y y p AP AQ p k k kθ-⎛⎫∴⋅===+⋅ ⎪⎝⎭+设322344,,,22y y M y N y p p⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得2220p y y p k --=.222343424240,,p p p y y y y p k k∴∆=+>+==-.2112pk ⎛⎫-=+⋅ ⎪⎝⎭22112||11||||214p MN k AP AQ p k ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∴==⋅⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭.21．(1)最大值为0，最小值为2a π-(2)1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由导数小于零，可得函数在[0,]π上单调递减，从而可求出函数的最值，（2）由题意得sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立，构造函数sin (),(0,)2cos x g x ax x x=-∈+∞+，则22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+，设22cos 1()(2cos )x h x x +=+，利用基本不等式可求得1()1,3h x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，然后分13a ≥和113a π≤<判断()g x 的最大值是否小于零即可(1)由题意，()cos 2f x x a '=-.21a ≥ ，∴当[0,]x π∈时， ()0f x '≤恒成立.()f x ∴在[0,]π上单调递减.∴当0x =时，()f x 取得最大值为0；当x π=时，()f x 取得最小值为2a π-.(2)不等式()cos f x ax x ≤在区间(0,)+∞恒成立，即sin 2cos x ax ax x ≤+在区间(0,)+∞恒成立.即sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立.∴当2x π=时，有sin2022cos2a πππ-≤+成立，即1a π≥.设sin (),(0,)2cos xg x ax x x=-∈+∞+.则22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+.设22cos 1()(2cos )x h x x +=+，令2cos 1,[1,3]t x t =+∈-.当0=t 时，()0h x =；当0t ≠时，2449696t y t t t t==++++，即1()[1,0)0,3h x ⎛⎤∈-⋃ ⎥⎝⎦.1()1,3h x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦.①当13a ≥时，22cos 1()0(2cos )x g x a x '+=-≤+，即sin ()2cos x g x ax x =-+在区间(0,)+∞上单调递减，∴当,()0x ∈+∞时，()(0)0g x g <=，符合题意；②当113a π≤<时，函数2cos 1t x =+在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数496y t t=++在(0,3)t ∈上单调递增.∴函数22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.又12(0)0,033g a g a π''⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，020,3x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=.且当()00,,()0x x g x '∈>，即()g x 在()00,x 上单调递增，此时()0(0)0g x g >=，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，利用导数解决恒成立问题，解题的关键是将不等式()cos f x ax x ≤在区间(0,)+∞恒成立，转化为sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立，然后构造函数sin (),(0,)2cos xg x ax x x=-∈+∞+，利用导数求函数的最大值小于零即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题22．(1)20x y +-=，22(1)(1)1x y -+-=；(2)7.【解析】【分析】（1）消去参数α得曲线C 的普通方程，由题得cos sin 2ρθρθ+=，化成直角坐标方程即得解；（2）先写出直线的参数方程，再利用直线参数方程t 的几何意义结合韦达定理求解.(1)解：由曲线C 的参数方程，消去参数α，得曲线C 的普通方程为22(1)(1)1x y -+-=.由cos(4πρθ-cos sin θθ+=cos sin 2ρθρθ+=cos ,sin x y ρθρθ== ，∴ 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.(2)解：设直线l的参数方程为1,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点A 在直线l 上，将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，整理可得270t ++=（*）24740∆=-⨯=>.设12,t t 是方程（*）的两个实数根.12127t t t t ∴+=-=.12||||7AE AF t t ∴⋅==.23．(1)42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)617.【解析】【分析】（1）对x 分三种情况讨论解绝对值不等式得解；答案第17页，共17页（2）先求出2m =，再利用柯西不等式求解.(1)解：①当1≥x 时，()(1)2(1)31f x x x x =-++=+.由()5f x <，解得43x <.此时413x ≤<；②当11x -<<时，()(1)2(1)3f x x x x =--++=+.由()5f x <，解得2x <.此时11x -<<；③当1x ≤-时，()(1)2(1)31f x x x x =---+=--.由()5f x <，解得2x >-.此时21x -<≤-.综上，原不等式的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)（2）由（1）得31,1()3,1131,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩.当1x =-时，()f x 取得最小值2. 2m ∴=.232a b c ∴++=.由柯西不等式得()222213229(23)43a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭.22263217a b c ∴++≥.3c ==，即139,,171717a b c ===时，等号成立.22232a b c ∴++的最小值为617.。

2020-2021学年四川省成都市某校高三高考第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题1. 设集合A ={x|x 2−3x −4<0}，B ={x||x −1|<3,x ∈N}，则A ∩B =( ) A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{x|−1<x <4} D.{x|−2<x <4}2. 复数z =1+2i i（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是( )A.−2−iB.−2+iC.2−iD.2+i3. 若等比数列{a n }满足a 2+a 3=2，a 2−a 4=6，则a 6=( ) A.−32 B.−8C.8D.644. 甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是:x 1¯，x 2¯分别表示甲乙两组数据的平均数；S 1，S 2分别表示甲乙两组数据的方差，则下列选项正确的是( ) A.x 1¯=x 2¯，S 1>S 2 B.x 1¯>x 2¯，S 1>S 2 C.x 1¯<x 2¯，S 1>S 2 D.x 1¯>x 2¯，S 1<S 25. 若函数f(x)=x 3−3x 2+a 有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为( ) A.(−∞,0)∪(4,+∞)B.(−∞,−8)∪(0,+∞)C.[0,4]D.(−8,0)6. 若向量a →，b →满足|a →|=2，(a →+2b →)⋅a →=6，则b →在a →方向上的投影为( ) A.1 B.12C.−12D.−17. 设a =log 2020√2021，b =ln √2，c =202112020，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a8. 若α，β，γ是空间中三个不同的平面，α∩β=l，α∩γ=m，γ∩β=n，则l//m 是n//m的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9. 已知平行于x轴的一条直线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于P,Q两点，|PQ|=4a，∠PQO=π3（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为()A.√62B.√52C.√6D.√510. 已知锐角φ满足√3sinφ−cosφ=1.若要得到函数f(x)=12−sin2(x+φ)的图象．则可以将函数y=12sin2x的图象()A.向左平移7π12个单位长度 B.向左平移π12个单位长度C.向右平移7π12个单位长度 D.向右平移π12个单位长度11. 已知抛物线x2=4y的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，P(0,−72)．若PB⊥AB，则|AF|=()A.3 2B.2C.52D.312. 已知函数f(x)=x+ln(x−1)，g(x)=x ln x．若f(x1)=1+2ln t，g(x2)=t2，则(x1x2−x2)ln t的最小值为()A.1 e2B.2eC.−12eD.−1e二、填空题(√x−1x)7的展开式中x−1的系数是________．（用数字作答）若x ，y 满足约束条件{x +2y ≤1,2x +y ≥−1,x −y ≤0，则z =2x −3y 的最小值为________.数列{a n }的前n 项和为S n ，a n +2S n =3n .数列{b n }满足3b n =12(3a n+2−a n+1)(n ∈N ∗)，则数列{b n }的前10项和为________.在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =AB =1，AC =√2．三棱锥P −ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为________；若点M ，N 分别是△ABC 与△PAC 的重心，直线MN 与球O 的表面相交于D ，E 两点，则线段DE 的长度为________． 三、解答题在△ABC 中，点M 在边AC 上，CM =3MA ，tan ∠ABM =√35，tan ∠BMC =−√32． (1)求角A 的大小；(2)若BM =√21，求△ABC 的面积．一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员“中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面2×2列联表：(1)根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？(2)在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为ξ，求ξ的分布列和期望． 附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d)，其中n =a +b +c +d ．如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1=4，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1,AA1的中点．(1)求证：平面B1D1E⊥平面C1MN；(2)若平面AFM∩平面A1B1C1D1=l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值．已知函数f(x)=(x−2)e x−a2x2+ax，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(x)+(x+1)e x+a2x2−2ax+a>0恒成立，求a的取值范围．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且直线xa+yb=1与圆x2+y2=2相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上．记△AOM,△BOP的面积分别为S1,S2，求S1S2的取值范围．已知函数f(x)=|3−x|+|x−m|(m>2)的最小值为1.(1)求不等式f(x)+|x−m|>2的解集；(2)若a2+2b2+3c2=32m，求ac+2bc的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省成都市某校高三高考第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题 1.【答案】 B【考点】 交集及其运算一元二次不等式的解法【解析】首先化简集合A ，B ，再求交集即可. 【解答】解：∵ A ={x|x 2−3x −4<0}={x|−1<x <4}， B ={x||x −1|<3,x ∈N}={−1,0,1,2,3}， ∴ A ∩B ={0,1,2,3}. 故选B . 2.【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算 共轭复数【解析】将复数的分母实数化即可. 【解答】 解：复数z =1+2i i=2+1i =2−i ，所以z 的共轭复数为z ¯=2+i . 故选D . 3.【答案】 A【考点】等比数列的通项公式 【解析】利用等比数列的通项与性质，得q =−2,a 2=−2，再利用a 6=a 2q 4得解. 【解答】解：设等比数列的公比q ， 由a 2+a 3=2，a 2−a 4=6，得a 2(1+q )=2，a 2(1−q 2)=6， 两式相除得q =−2，a 2=−2，所以a 6=a 2q 4=(−2)(−2)4=−32. 故选A. 4.【答案】 B【考点】众数、中位数、平均数 极差、方差与标准差【解析】求出甲乙两组数据的平均数，再利用数据的分散程度得到S 1>S 2. 【解答】 解：x 1¯=110(0+1+0+2+2+0+3+1+2+4)=1.5，x 2¯=110(2+2+1+1+1+2+1+1+0+1)=1.2， ∴ x ¯1>x ¯2，S 1=(1.52+0.52+1.52+0.52+0.52+1.52 +1.52+0.52+0.52+2.52)×110=(1.52×4+0.52×5+2.52)×110=1.65， S 2=[0.82×3+0.22×6+1.22]×110=0.36， ∴ S 1>S 2. 故选B . 5.【答案】 A【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 【解析】先求导，利用导数的正负判断函数的单调性， 进而得函数的极值，因为函数只有一个零点， 应用极值列出不等式，即可求解. 【解答】解：函数f (x )=x 3−3x 2+a ， f ′(x)=3x 2−6x =3x(x −2).当x <0或x >2时，f ′(x )>0，则f (x )是增函数， 当0<x <2时，f ′(x )<0，则f (x )是减函数，所以f (x )的极大值为f (0)=a ，f (x )的极小值为f (2)=−4+a . 因为函数f (x )=x 3−3x 2+a 有且只有一个零点， 即图像与x 轴只有一个交点， 所以f (0)<0或f (2)>0， 即a <0或−4+a >0， 所以a <0或a >4，即实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(4,+∞). 故选A . 6.【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算 向量的投影 【解析】由题意得到a →⋅b →=1，再利用b →在a →方向上的投影为a →⋅b →|a →|即可得到答案.【解答】解：(a →+2b →)⋅a →=6， ∴ a →2+2a →⋅b →=6， 即4+2a →⋅b →=6， ∴ a →⋅b →=1，∴ b →在a →方向上的投影为a →⋅b →|a →|=12.故选B . 7. 【答案】 C【考点】指数式、对数式的综合比较 【解析】求出a ，b ，c 的范围，进行比较即可. 【解答】解：a =log 2020√2021=12log 20202021∈(12,1)， b =ln √2=12ln 2∈(0,12)， c =202112020>20210=1，∴ c >a >b . 故选C . 8.【答案】 C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 空间中直线与直线之间的位置关系【解析】利用线面平行的判定和性质结合充分必要条件即可得到答案.【解答】解：α∩β=l，α∩γ=m，γ∩β=n，若l//m，m⊂γ，l不在平面γ，∴l//γ，又l⊂β，γ∩β=n，∴l//n，∴m//n，故充分性成立；同理，由n//m，可以得到l//m，故必要性成立，故l//m是n//m的充要条件.故选C.9.【答案】D【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】由已知求出双曲线上点的坐标，代入到双曲线方程中，根据离心率的定义求得，属于基础题.【解答】解：由题意，设点P在第一象限，则点P坐标为(2a,2√3a),因为点P在双曲线上，则4a 2a2−12a2b2=1,解得b 2a2=4，故双曲线离心率e=ca =√1+b2a2=√5.故选D.10.【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数中的恒等变换应用【解析】利用三角函数的变换得得sin(φ−π6)=12,φ∈(0,π2)，解得φ=π3.再利用三角函数的变换得解.【解答】解：由题设√3sinφ−cosφ=1，得sin(φ−π6)=12,φ∈(0,π2)，∴φ−π6=π6，解得φ=π3.∴ f(x)=12−sin 2(x +π3)=12cos (2x +2π3)=12cos 2(x +π3)， y =12sin 2x =12cos (2x −π2)=12cos 2(x −π4)，∴ π3−(−π4)=712π，故可将函数y =12sin 2x 的图象向左平移7π12个单位长度得到函数图象. 故选A . 11. 【答案】 D【考点】直线与抛物线的位置关系 抛物线的性质 【解析】利用抛物线的几何性质与向量的数量积解得x 2=±√2，又x 1x 2=−p 2=−4，再利用|AF |=y 1+p2=3.【解答】解：由题设抛物线的焦点F (0,1)， 设A (x 1,x 124),B (x 2,x 224)，由PB ⊥AB ， 得AB →⋅PB →=0⇒BF →⋅PB →=0，所以得x 22+(x 22−44)(x 22+144)=0，解得x 2=±√2.设直线AB 为：y =kx +1， 由{y =kx +1,x 2=4y,得x 2−4kx −4=0， ∴ x 1x 2=−4， 得x 1=±2√2，y 1=2， 所以|AF |=y 1+p2=3. 故选D . 12.【答案】 C【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值【解析】利用函数的单调性与最值进行求解即可. 【解答】解：由题设得f (x 1)=x 1+ln (x 1−1)=1+2ln t ，所以(x 1−1)+ln (x 1−1)=ln t 2=ln [e x 1−1⋅(x 1−1)]，所以e x 1−1(x 1−1)=t 2>0.f (x 2)=x 2ln x 2=t 2=e ln x 2⋅ln x 2，因为y =xe x 在x ∈(0,+∞)上单调递增，x 1−1=ln x 2，所以(x 1x 2−x 2)⋅ln t =x 2(x 1−1)⋅ln t=x 2⋅ln x 2⋅ln t =t 2ln t ，令g (t )=t 2ln t (t >0)，g ′(t )=2t ln t +t ，令g ′(t )=0，得t =e −12，当t ∈(0,e −12)时，g ′(t )<0,g(t)单调递减；当t ∈(e −12,+∞)时，g ′(t )>0,g(t)单调递增，当t =e −12时，g (t )取得极小值，也是最小值.g (e −12)=(e −12)2⋅ln e −12=−12e. 故选C .二、填空题【答案】−35【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】先求出二项展开式的通项，再令x 的次数为−1，求出r ，即可得到答案.【解答】解：(√x −1x )7展开式的通项为C 7r x 7−r 2(−1)r x −r =C 7r (−1)r x 7−3r 2，令7−3r 2=−1，可得r =3，∴ x −1的系数为C 73(−1)3=−35.故答案为：−35.【答案】−5【考点】求线性目标函数的最值【解析】首先画出可行域，关键目标函数的几何意义求最小值．【解答】解：由约束条件得到可行域如图，z =2x −3y 变形为y = 23x − 13z ， 当此直线经过图中B(−1, 1)时，在y 轴的截距最大，z 最小，所以z 的最小值为2×(−1)−3×1=−5.故答案为：−5.【答案】65【考点】等差数列的前n 项和数列递推式【解析】由题设得a n +2S n =3n ,a n−1+2S n−1=3n−1，以上两式相减得3a n+2−a n+1=3n+2−3n+1，则3b n =12(3n+2−3n+1)，解得b n =n +1，利用等差数列求和得解. 【解答】解：由题设得a n+2+2S n+2=3n+2，a n+1+2S n+1=3n+1，以上两式相减得3a n+2−a n+1=3n+2−3n+1，则3b n =12(3n+2−3n+1)， 解得b n =n +1，故S n =2+3+ (11)10(2+11)2=65.故答案为：65.【答案】√32,2√63 【考点】球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ AB ⊥BC ，AB =1，AC =√2，∴ BC =1.由题意，将三棱锥P −ABC 补成棱长为1的正方体如图所示，三棱锥P −ABC 的外接球及为正方体的外接球，设球心为O ，即为PC 中点，半径为R ，PC =√12+12+12=√3，R =12PC =√32. 设O ′是△ABC 外接圆圆心，连接OO ′，OM ， ∵ OO ′=12PA =12，MO ′=13BO ′=13×√22=√26， ∴ OM =(12)(√26)=√116，ON =13OA =13×√32=√36. 作NH//OO ′，∴ NH =23OO ′=23×12=13，O ′H =13AO ′=13×√22=√26， ∴ MH =√(√26)2+(√26)2=13，∴ MN =√(13)2+(13)2=√23. 作OG ⊥MN ，∵ cos ∠NOM =ON 2+OM 2−MN 22⋅ON ⋅OM=(√36)2+(√116)2−(√23)22×√36×√116=√3311， ∴ sin ∠NOM =(√3311)=2√2211， ∴ 12ON ⋅OM sin ∠NOM =12MN ⋅OG ，∴ √36×√116×2√2211=√23OG ，∴ OG =√36， ∴ DE =2GE =2√OE 2−OG 2=2(√32)(√36)=2√63， 故DE 长度为2√63. 故答案为：√32；2√63. 三、解答题【答案】 解：(1)∵ tan ∠BMC =−√32，∴ tan ∠BMA =√32．∵ tan A =tan (π−∠ABM −∠BMA )=−tan (∠ABM +∠BMA )，∴ tan A =−tan ∠ABM+tan ∠BMA 1−tan ∠ABM⋅tan ∠BMA =√35+√321−√35×√32=−√3． ∵ 0<A <π，∴ A =2π3． (2)∵ tan ∠BMA =√32，tan ∠ABM =√35， ∴ sin ∠BMA =√217，sin ∠ABM =√2114． 在△ABM 中，由正弦定理，得AB sin ∠BMA =BM sin A ， ∴ AB =BM ⋅sin ∠BMAsin A =√21×√217√32=2√3，∴ △ABM 的面积S △ABM =12⋅BM ⋅AB ⋅sin ∠ABM=12×√21×2√3×√2114=3√32． ∵ 点M 在边AC 上，CM =3MA ，∴ △ABC 的面积S △ABC =4S △ABM =6√3．【考点】 解三角形 两角和与差的正切公式正弦定理【解析】无无【解答】解：(1)∵ tan ∠BMC =−√32，∴ tan ∠BMA =√32． ∵ tan A =tan (π−∠ABM −∠BMA )=−tan (∠ABM +∠BMA )，∴ tan A =−tan ∠ABM+tan ∠BMA 1−tan ∠ABM⋅tan ∠BMA =√35+√321−√35×√32=−√3． ∵ 0<A <π，∴ A =2π3． (2)∵ tan ∠BMA =√32，tan ∠ABM =√35， ∴ sin ∠BMA =√217，sin ∠ABM =√2114． 在△ABM 中，由正弦定理，得AB sin ∠BMA =BM sin A ， ∴ AB =BM ⋅sin ∠BMAsin A =√21×√217√32=2√3，∴△ABM的面积S△ABM=12⋅BM⋅AB⋅sin∠ABM=12×√21×2√3×√2114=3√32．∵点M在边AC上，CM=3MA，∴△ABC的面积S△ABC=4S△ABM=6√3．【答案】解：(1)由题中2×2列联表可得，K2=100(10×30−20×40)250×50×30×70=4.762>3.841，∴有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系．(2)在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，男性人数为6×1030=2人；女性人数为6×2030=4人．由题，随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．P(ξ=0)=C20C42C62=615=25，P(ξ=1)=C21C41C62=815，P(ξ=2)=C22C40C62=115，∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望E(ξ)=0×25+1×815+2×115=1015=23．【考点】独立性检验离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】无无【解答】解：(1)由题中2×2列联表可得，K2=100(10×30−20×40)250×50×30×70=4.762>3.841，∴有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系．(2)在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，男性人数为6×1030=2人；女性人数为6×2030=4人．由题，随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．P (ξ=0)=C 20C 42C 62=615=25， P (ξ=1)=C 21C 41C 62=815， P (ξ=2)=C 22C 40C 62=115，∴ ξ的分布列为∴ ξ的数学期望E (ξ)=0×25+1×815+2×115=1015=23．【答案】(1)证明：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，四边形BCC 1B 1是矩形．∵ E ，M 分别为棱CC 1，BB 1的中点，且BB 1=4，B 1C 1=2，∴ 四边形MEC 1B 1是正方形．∴ C 1M ⊥B 1E ．∵ N ，M 分别为棱AA 1，BB 1的中点，∴ NM ⊥平面BCC 1B 1．又B 1E ⊂平面BCC 1B 1，∴ NM ⊥B 1E ．∵ NM ∩C 1M =M ，NM ，C 1M ⊂平面C 1MN ，∴ B 1E ⊥平面C 1MN ．∵ B 1E ⊂平面B 1D 1E ，∴ 平面B 1D 1E ⊥平面C 1MN ．(2)解：易知直线AF//平面A 1B 1C 1D 1，AF ⊂平面AFM ．∵ 平面AFM ∩平面A 1B 1C 1D 1=l ．∴ AF//l ．∴ 直线l 与平面B 1D 1E 所成的角，即直线AF 与平面B 1D 1E 所成的角．以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ．则D (0,0,0)，A (2,0,0)，F (1,2,0)，D 1(0,0,4)，B 1(2,2,4)，E (0,2,2)．∴ D 1B 1→=(2,2,0)，D 1E →=(0,2,−2)，AF →=(−1,2,0)．设平面B 1D 1E 的一个法向量m →=(x,y,z )．由{m →⋅D 1B 1→=0,m →⋅D 1E →=0,得{2x +2y =0,2y −2z =0,即{x +y =0,y −z =0, 令z =1，得m →=(−1,1,1)．设直线l 与平面B 1D 1E 所成角为α．∴ sin α=|m →⋅AF→|m →||AF →||=5×3=√155． ∴ 直线l 与平面B 1D 1E 所成角的正弦值√155． 【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面所成的角【解析】【解答】(1)证明：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，四边形BCC 1B 1是矩形．∵ E ，M 分别为棱CC 1，BB 1的中点，且BB 1=4，B 1C 1=2，∴ 四边形MEC 1B 1是正方形．∴ C 1M ⊥B 1E ．∵ N ，M 分别为棱AA 1，BB 1的中点，∴ NM ⊥平面BCC 1B 1．又B 1E ⊂平面BCC 1B 1，∴ NM ⊥B 1E ．∵ NM ∩C 1M =M ，NM ，C 1M ⊂平面C 1MN ，∴ B 1E ⊥平面C 1MN ．∵ B 1E ⊂平面B 1D 1E ，∴ 平面B 1D 1E ⊥平面C 1MN ．(2)解：易知直线AF//平面A 1B 1C 1D 1，AF ⊂平面AFM ．∵ 平面AFM ∩平面A 1B 1C 1D 1=l ．∴ AF//l ．∴ 直线l 与平面B 1D 1E 所成的角，即直线AF 与平面B 1D 1E 所成的角．以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ．则D (0,0,0)，A (2,0,0)，F (1,2,0)，D 1(0,0,4)，B 1(2,2,4)，E (0,2,2)．∴ D 1B 1→=(2,2,0)，D 1E →=(0,2,−2)，AF →=(−1,2,0)．设平面B 1D 1E 的一个法向量m →=(x,y,z )．由{m →⋅D 1B 1→=0,m →⋅D 1E →=0,得{2x +2y =0,2y −2z =0,即{x +y =0,y −z =0, 令z =1，得m →=(−1,1,1)．设直线l 与平面B 1D 1E 所成角为α．∴ sin α=|m →⋅AF →|m →||AF →||=√5×√3=√155． ∴ 直线l 与平面B 1D 1E 所成角的正弦值√155． 【答案】解：(1)∵ f (x )=(x −2)e x −a 2x 2+ax ，a ∈R ，∴ f ′(x )=(x −1)e x −ax +a =(x −1)(e x −a ).①当a ≤0时，令f ′(x )<0，得x <1，∴ f (x )在(−∞,1)上单调递减； 令f ′(x )>0，得x >1，∴ f (x )在(1,+∞)上单调递增．②当0<a <e 时，令f ′(x )<0，得ln a <x <1，∴ f (x )在(ln a,1)上单调递减； 令f ′(x )>0，得x <ln a 或x >1，∴ f (x )在(−∞,ln a )和(1,+∞)上单调递增． ③当a =e 时，f ′(x )≥0在x ∈R 时恒成立，∴ f (x )在R 上单调递增． ④当a >e 时，令f ′(x )<0，得1<x <ln a ，∴ f (x )在(1,ln a )上单调递减； 令f ′(x )>0，得x >ln a 或x <1，∴ f (x )在(−∞,1)和(ln a,+∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增； 当0<a <e 时，f (x )在(ln a,1)上单调递减，在(−∞,ln a )和(1,+∞)上单调递增； 当a =e 时，f (x )在R 上单调递增；当a >e 时，f (x )在(1,ln a )上单调递减，在(−∞,1)和(ln a,+∞)上单调递增．(2)不等式f (x )+(x +1)e x +a 2x 2−2ax +a >0，等价于(2x −1)e x >a (x −1)． ①当x =1时，0<e ，则a ∈R ．②当x ∈(1,+∞)时，a <(2x−1)e xx−1．当x∈(1,32)时，g′(x)<0，此时g(x)单调递减；当x∈(32,+∞)时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增．∴g(x)min=g(32)=4e32，∴a<4e32．③当x∈(−∞,1)时，a>(2x−1)e xx−1．设函数ℎ(x)=(2x−1)e xx−1，则ℎ′(x)=x(2x−3)e x(x−1)2．当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，此时ℎ(x)单调递减；当x∈(−∞,0)时，ℎ′(x)>0，此时ℎ(x)单调递增．∴ℎ(x)max=ℎ(0)=1，∴a>1．综上，a的取值范围为(1,4e 3 2)．【考点】利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题【解析】无无【解答】解：(1)∵f(x)=(x−2)e x−a2x2+ax，a∈R，∴f′(x)=(x−1)e x−ax+a=(x−1)(e x−a).①当a≤0时，令f′(x)<0，得x<1，∴f(x)在(−∞,1)上单调递减；令f′(x)>0，得x>1，∴f(x)在(1,+∞)上单调递增．②当0<a<e时，令f′(x)<0，得ln a<x<1，∴f(x)在(ln a,1)上单调递减；令f′(x)>0，得x<ln a或x>1，∴f(x)在(−∞,ln a)和(1,+∞)上单调递增．③当a=e时，f′(x)≥0在x∈R时恒成立，∴f(x)在R上单调递增．④当a>e时，令f′(x)<0，得1<x<ln a，∴f(x)在(1,ln a)上单调递减；令f′(x)>0，得x>ln a或x<1，∴f(x)在(−∞,1)和(ln a,+∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当0<a<e时，f(x)在(ln a,1)上单调递减，在(−∞,ln a)和(1,+∞)上单调递增；当a=e时，f(x)在R上单调递增；当a>e时，f(x)在(1,ln a)上单调递减，在(−∞,1)和(ln a,+∞)上单调递增．(2)不等式f(x)+(x+1)e x+a2x2−2ax+a>0，等价于(2x−1)e x>a(x−1)．①当x=1时，0<e，则a∈R．②当x∈(1,+∞)时，a<(2x−1)e xx−1．当x ∈(1,32)时，g ′(x )<0，此时g (x )单调递减； 当x ∈(32,+∞)时，g ′(x )>0，此时g (x )单调递增． ∴ g (x )min =g (32)=4e 32， ∴ a <4e 32．③当x ∈(−∞,1)时，a >(2x−1)e x x−1． 设函数ℎ(x )=(2x−1)e x x−1，则ℎ′(x )=x (2x−3)e x (x−1)2． 当x ∈(0,1)时，ℎ′(x )<0，此时ℎ(x )单调递减； 当x ∈(−∞,0)时，ℎ′(x )>0，此时ℎ(x )单调递增． ∴ ℎ(x )max =ℎ(0)=1，∴ a >1．综上，a 的取值范围为(1,4e 32)．【答案】解：(1)∵ 椭圆的离心率为√22，∴ c a =√22（c 为半焦距）． ∵ 直线x a +y b =1与圆x 2+y 2=2相切，∴ √a 2+b 2=√2．又∵ c 2+b 2=a 2，∴ a 2=6，b 2=3， ∴ 椭圆C 的方程为x 26+y 23=1． (2)∵ M 为线段AB 的中点， ∴ S 1S 2=S △AOMS △BOP =|OM||OP|．①当直线l 的斜率不存在时，由OA ⊥OB 及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y =x ，得x A 2=2，则x M 2=2，x P 2=6，∴ S 1S 2=|OM||OP|=√33． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =kx +m （m ≠0），A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)． 由{y =kx +m ，x 26+y 23=1，消去y ， 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−6=0，∴ Δ=16k 2m 2−8(2k 2+1)(m 2−3)=8(6k 2−m 2+3)>0，即6k 2−m 2+3>0，∴ x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−62k 2+1．∵ 点O 在以AB 为直径的圆上，∴ OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2=0，∴ (1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0，∴ (1+k 2)2m 2−62k +1−km (4km 2k +1)+m 2=0．化简，得m 2=2k 2+2，经检验满足Δ>0成立， ∴ 线段AB 的中点M (−2km 2k 2+1,m 2k 2+1)．当k =0时，m 2=2．此时S 1S 2=√3=√63． 当k ≠0时，射线OM 所在的直线方程为y =−12k x ．由{y =−12k x ，x 26+y 23=1，消去y ，得x p 2=12k 22k +1，y p 2=32k +1． ∴ |OM||OP|=|y M ||y P |=√m 23(2k 2+1)， ∴ S 1S 2=√m 23(2k 2+1)=√13(1+12k 2+1)，∴ S 1S 2∈(√33,√63)． 综上，S1S 2的取值范围为[√33,√63]． 【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题【解析】无无【解答】解：(1)∵ 椭圆的离心率为√22， ∴ c a =√22（c 为半焦距）． ∵ 直线x a +y b =1与圆x 2+y 2=2相切，∴ √1a 2+1b 2=√2．又∵ c 2+b 2=a 2，∴ a 2=6，b 2=3，∴ 椭圆C 的方程为x 26+y 23=1． (2)∵ M 为线段AB 的中点， ∴ S 1S 2=S △AOMS △BOP =|OM||OP|．①当直线l 的斜率不存在时，由OA ⊥OB 及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y =x ，得x A 2=2，则x M 2=2，x P 2=6，∴ S 1S 2=|OM||OP|=√33． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =kx +m （m ≠0），A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)．由{y =kx +m ，x 26+y 23=1，消去y ， 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−6=0，∴ Δ=16k 2m 2−8(2k 2+1)(m 2−3)=8(6k 2−m 2+3)>0， 即6k 2−m 2+3>0，∴ x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−62k 2+1．∵ 点O 在以AB 为直径的圆上，∴ OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2=0，∴ (1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0，∴ (1+k 2)2m 2−62k 2+1−km (4km2k 2+1)+m 2=0．化简，得m 2=2k 2+2，经检验满足Δ>0成立，∴ 线段AB 的中点M (−2km2k 2+1,m 2k 2+1)． 当k =0时，m 2=2．此时S 1S 2=√3=√63． 当k ≠0时，射线OM 所在的直线方程为y =−12k x ．由{y =−12k x ，x 26+y 23=1，消去y ， 得x p 2=12k 22k 2+1，y p 2=32k 2+1． ∴ |OM||OP|=|y M ||y P |=√m 23(2k 2+1)， ∴ S1S 2=√m 23(2k 2+1)=√13(1+12k 2+1)，∴ S 1S 2∈(√33,√63)． 综上，S1S 2的取值范围为[√33,√63]． 【答案】解：(1)∵|3−x|+|x−m|≥|3−x+x−m|=|3−m|，当且仅当(3−x)(x−m)≥0时，f(x)取得最小值|3−m|．又∵f(x)=|3−x|+|x−m|的最小值为1，∴|3−m|=1．∵m>2，∴m=4．∴f(x)+|x−m|>2，等价于|x−3|+2|x−4|>2．当x≤3时，所求不等式等价于−3x+11>2．解得x<3，符合题意；当3<x<4时，所求不等式等价于−x+5>2．解得x<3，与条件矛盾；当x≥4时，所求不等式等价于3x−11>2．解得x>13，符合题意．3,+∞)．综上，原不等式的解集为(−∞,3)∪(133m=6．(2)∵m=4，∴a2+2b2+3c2=32∴6=a2+2b2+3c2=a2+c2+2(b2+c2)≥2(ac+2bc)．∴ac+2bc≤3．当且仅当a=b=c=±1时，ac+2bc取得最大值3．【考点】绝对值不等式的解法与证明基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：(1)∵|3−x|+|x−m|≥|3−x+x−m|=|3−m|，当且仅当(3−x)(x−m)≥0时，f(x)取得最小值|3−m|．又∵f(x)=|3−x|+|x−m|的最小值为1，∴|3−m|=1．∵m>2，∴m=4．∴f(x)+|x−m|>2，等价于|x−3|+2|x−4|>2．当x≤3时，所求不等式等价于−3x+11>2．解得x<3，符合题意；当3<x<4时，所求不等式等价于−x+5>2．解得x<3，与条件矛盾；，符合题意．当x≥4时，所求不等式等价于3x−11>2．解得x>133,+∞)．综上，原不等式的解集为(−∞,3)∪(133m=6．(2)∵m=4，∴a2+2b2+3c2=32∴6=a2+2b2+3c2=a2+c2+2(b2+c2)≥2(ac+2bc)．∴ac+2bc≤3．当且仅当a=b=c=±1时，ac+2bc取得最大值3．。

2021年高三第一次模拟数学（理）试题（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是A. B. C. D.2．已知集合，集合满足，则集合的个数是A.6B. 7C. 8D. 93．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则A. B. C. D.4．“”是“函数有零点”的A．充分非必要条件 B.充要条件C．必要非充分条件 D.非充分必要条件5．已知函数，x∈R,则是A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数6．已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为( )A．1 B． C. D．7．已知满足3,2,326,39xy xx yy x≤⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪≤+⎩，则的最大值是( ).A. B. C. D. 28．设为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数和向量,都有,则称为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是A. B.C. D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～13题）9．的解集是▲ .10．在的展开式中常数项是▲ .（用数字作答）11．某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有▲人.12. 短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为,过作直线交椭圆于两点,则的周长为▲13．如果实数满足等式,那么的取值范围是▲（）▲14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为▲ 15．（几何证明选讲选做题）如图2，点是⊙O外一点，为⊙O的一切线,是切点，割线经过圆心O，若，，则▲三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知数列是一个等差数列，且，. （I ）求的通项；（II ）设，,求2122232log log log log n T b b b b =++++的值。

2021年高三第一次调研考试数学理试题 含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合，集合，则＝（ ） A. B 。

C 。

D 。

2、已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B 。

C 。

D 。

3、若函数的部分图象如图1所示，则 A. B 。

C. D 。

4、已知实数满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则的最大值为（ ）A.3 B 。

4 C 。

6 D 。

9 5、已知直线，平面，且，，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6、执行如图2所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A. 16 B 。

25 C 。

36 D 。

497、在中，分别为所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则的范围是（ ）A. B 。

C 。

D 。

8、如果自然数的各位数字之和等于8，我们称为“吉祥数”。

将所有“吉祥数”从小到大排成一列…，若，则（ ）A. 83 B 。

82 C 。

39 D 。

37二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。

9、的展开式中常数项为 .（用数字表示） 10、 11、已知向量，，若，则的最小值为12、已知圆C ：经过抛物线E ：的焦点，则抛物线E 的准线与圆C 相交所得弦长Oxy图11-1 图2为13、设P是函数图象上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。

14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线：与曲线相交于A，B两点，则｜AB｜＝15、（几何证明选讲选做题）如图3，在中，，，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙与AC相切于点E。

2021届成都市第一次诊断适应性考试 数 学（理）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、设集合}021|{≤-+=x x x M ，}212|{>=x x N ，则M N =（ ）A 、),1(+∞-B 、)2,1[-C 、)2,1(-D 、]2,1[- 2、下列有关命题的说法正确的是（ ）A 、命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B 、“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件.C 、命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D 、命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R 均有210x x ++<”．3、方程()()2ln 10,0x x x+-=>的根存在的大致区间是（ ）A 、()0,1B 、()1,2C 、()2,eD 、()3,44、执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A 、5 B 、7 C 、9 D 、115、设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ） A 、若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B 、若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α C 、若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ D 、若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥6、二项式102)2(xx +开放式中的常数项是（ ）A 、180B 、90C 、45D 、3607、设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,肯定能使0||||a ba b +=成立的是（ ）A 、2a b =B 、//a bC 、13a b =- D 、a b ⊥8、已知O 是坐标原点，点()1,0A -，若()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则 OA OM+的取值范围是（ ）A 、[]51，B 、[]52，C 、[]21，D 、[]50， 9、已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线x-2y+4=0与C 交于A 、B 两点，则sin ∠AFB=（ ）A 、54B 、53C 、43D 、5510、已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立；当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ．给出下列四个命题：①0)3(=f ；②直线6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数；④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点．其中正确命题的个数为（ ）A ．１B ．２C ．３D ．４ 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)11、若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为 ；12、已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示. 若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为 ；13、各高校在高考录用时实行专业志愿优先的录用原则．一考生从某高校所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。