上海市浦东新区2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.【详解】复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．B ．4C ．D ．以上都不对【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO+-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得122222MF MFMN MO MN NO+-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，所以122224MF MFMN NO a +-=≥=，即122MF MFMN+-的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B【解析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑二、填空题4．椭圆22154x y +=的焦距等于________【答案】2【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx 【解析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫⎪，其解为1x =⎧⎨，则12c c +=________【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22iz i+=，则z 的虚部为________．【答案】-1【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()22242122242i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。

浦东新区2019学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷 2019.12考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 .一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I ____________．2．222lim 31n n n →∞=+____________．3．复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________．4．若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．5．设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =____________． 6．在6(x+的二项展开式中，常数项为____________． 7．如果圆锥的底面圆半径长为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为____________． 8．已知集合1112,1,,,,1,2,3232A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概率为____________．（结果用数值表示）9．在ABC △中，边a b c 、、满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为___________．10．若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是____________．11．已知数列{}n a 中，111,(1)1n n a na n a +==++，若对于任意的[2,2]a ∈-、*n N ∈，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为_____________．12．如果方程组⎩⎨⎧=+++=+++2019sin sin 2sin 0sin sin sin 2121n n x n x x x x x ΛΛ有实数解，则正整数n 的最小值是____________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=.则命题甲是命题乙的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件14．已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点11（，），则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）（A ）01（，） （B ）10（，） （C ）12（，） （D ）21（，）15．以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）（A ）2211615x y += （B ）221164x y += （C ）22143x y += （D ）2214x y +=16．动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒．已知时间0t =时，点A的坐标是12⎫⎪⎪⎝⎭． 则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ） （A ）[]0,3 （B ）[]3,6 （C ）[]6,9 （D ）[]9,12三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）.本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,a AD SD ==，点E 是线段SD 上任意一点． （1）求证：BE AC ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为ο30．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数2()2cos 2f x x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC △中，6BC BA ⋅=u u u r u u u r，若函数()f x 的图像经过点)2,(B ，求ABC ∆的面积.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为8.1万元．在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定，2020年初抽出x 5户（9,≤∈*x N x ）从事水果销售工作．经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了%4x ，而从事水果销售的农户平均每户年收入为⎪⎭⎫⎝⎛-x 513万元． S D ACE（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到 2.1万元？20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知曲线:C 221x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于,A B 两点. （1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH .求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于,E F 两点. 问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=u u u r u u u r和AB EF =u u u r u u u r同时成立.如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合；如果不存在，请说明理由.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.定义()3,N ),,,(1322121≥∈-++-+-=*-n n a a a a a a a a a f n n n ΛΛ为有限实数列{}n a 的波动强度．（1）求数列1423，，，的波动强度；（2）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，判断()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列n a a a ,,,21Λ是数列n n 2,,23,22,21321++++Λ的一个排列，求()12,,,n f a a a L 的最大值，并说明理由．浦东高三数学答案 2019.12一、填空题 注：填写等价即可得分 1、 0,2)（； 2、23； 3； 4、111112⎛⎫⎪-⎝⎭； 5、21n a n =+ ； 6、15；7、2π； 8、0.25； 9、10、； 11、(],1-∞-； 12、 90. 二、选择题 13----16： ABCD三、解答题 注：其他解法相应给分17．【解答】（1）证明：联结BD ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以，BD AC ⊥，……………………………………………………2分 又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂≠平面ABCD ，S DBACE所以SD AC ⊥．………………………………………………………4分由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥D SD BD SD AC BD AC ⇒⊥AC 平面SBD ．……………………………………………………………6分 又因为BE ⊂≠平面SED ，所以BE AC ⊥．…………………………………………………………7分 （2）解法一：设t ED =，因为SD ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠．…………………………………………………………2分 在EDB Rt ∆中，由tan tan EBD ∠=30︒at 2=a t 36=⇒．……………………………………6分 所以，当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ．………………………………7分 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()000,,D ，()00,,a A ，()0,a ,a B ，()00,a ,C ．设t DE =,则)t ,,(E 00 ………………………………………………2分 则()0,a ,a -=，()t ,a ,a --=……………………………4分 因为0022=+-=⋅a a ，所以BE AC ⊥ ………………………………………………………………………………7分 （2）取平面ABCD 的一个法向量为()100,,= ………………………………………………8分 因为()t ,a ,a --=，可知直线BE 的一个方向向量为()t ,a ,a --=．设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知=θο30．d 与n 所成的角为ϕ，则222ta a t nd cos ++=⋅=ϕ，…………………………………………………………………10分因为21=ϕ=θcos sin ，所以，21222=++t a a t ，……………………………………………12分 解得，a t 36=．………………………………………………………………………………………13分 当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为ο30．……………………………………14分18．【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ …………………………………………………………3分 ,,,36T x k k k Zπππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦……………………………………………………6分（2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f ………………………………………………10分 612BC BA ac ⋅=⇒=u u u r u u u r………………………………………………………………………12分∴1sin 2ABC S ac B ==△…………………………………………………………………14分 19．【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x + ………………………………2分因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得1 2.516125x x +≥≥ ……………………………………4分由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作. …………………………………6分（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x x x x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤……10分 对称轴*16534x N =∉， ………………………………………………………………………………11分 因而当()95<=x 时，max () 2.12 2.1f x => ……………………………………………………13分 可以达到2.1万元． ………………………………………………………………………………14分 20．【解答】（1）曲线C的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，……………2分由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==. ……………4分 （2） 设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x ==………7分 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， ………………………………………………8分 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，…………………………………………………………………………9分 所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2………………………………………10分 （3）当直线:0l y =，直线:m x t =((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =（根据对称性，这种不讨论不扣分）………11分 不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，…12分由弦长公式，||AB == ……………………14分 将k 替换成1k -，可得||EF = ………………………………………15分由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得22t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{ ………………………………………………………………16分 21．【解答】（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-=…………………………………………4分 （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的…………………………………………………………6分 解法1：()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，a b c a b c >><<Q 或，a b a c b c ∴---=--，c d b d b c ---≤-所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤ 并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，若d b ≤可以取等号，所以等号可以取到……………………………………………………………………………………10分 解法2：不妨设a b c >>，分4种情况讨论[1] 若d a ≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=………………………………………………………………………7分[2] 若a d b >≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=………………………………………………………………………8分[3] 若b d c >≥，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b d c a c b d -=-+-----=()20d b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<………………………………………………9分[4] 若c d >，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----=()20c b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<………………………………………………10分（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇偶数情况讨论 ………………………………………………………………………11分 分析：根据（2）的结论可知若有相邻三项成单调数列，那么可以调整其中两项的顺序（可以从左向右调整，也可以从右向左调整），此时波动强度不会减小，最终可以调整为任意相邻三项都不是单调数列的情况，要求波动强度的最大值只需考虑这样的数列.()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况（1）系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-.（2）系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1.[1] n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()12,,...,n f a a a ()213243212211,,,,,,,...,,,,,k k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b b +++---+≤()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L …………………………………………………13分()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L 2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=212222222k k k k ++⎡⎤-+----⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232nnn =+⋅-⋅+………………………………………………………………………15分 [2] n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L ()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L………………………………………………17分()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L 2+12+1122222+2+2k k k k k ++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+………………………………………………………………………18分 综上，()22121max22142923,42,,...,1542132322nnn n n n n n f a a a n n n -⎧+⋅-⋅+≥⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪+⋅-⋅+≥⎪⎩是偶数，是奇数，。

上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）函数y=a（a＞0且a≠1）的图象均过定点．2．（3分）请写出“好货不便宜”的等价命题：．3．（3分）若集合A={|≤1}，B={|≥a}满足A∩B={1}，则实数a=．4．（3分）不等式2|﹣1|﹣1＜0的解集是．5．（3分）若f（+1）=2﹣1，则f（1）=．6．（3分）不等式的解集为．7．（3分）设函数f（）=（+1）（+a）为偶函数，则a=．8．（3分）已知函数f（）=，g（）=，则f（）•g（）=．9．（3分）设α：≤﹣5或≥1，β：2m﹣3≤≤2m+1，若α是β的必要条件，求实数m的取值范围．10．（3分）函数的值域是．11．（3分）已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为．12．（3分）已知函数f（）=是R上的增函数，则a的取值范围是．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分. 13．（3分）函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．14．（3分）已知f（）是R上的奇函数，且当＞0时，f（）=﹣1，则＜0时f（）=（）A．﹣﹣1 B．+1 C．﹣+1 D．﹣115．（3分）证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（）A．3 B．4 C．5 D．616．（3分）给定实数，定义为不大于的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A．﹣≥0B．﹣＜1C．令f（）=﹣，对任意实数，f（+1）=f（）恒成立D．令f（）=﹣，对任意实数，f（﹣）=f（）恒成立三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8分）已知，求实数m的取值范围．18．（10分）如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．19．（10分）设a是实数，函数f（）=a﹣（∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（）在R上为增函数．20．（12分）已知函数f（）=2﹣2a+1．（1）若对任意的实数都有f（1+）=f（1﹣）成立，求实数a的值；（2）若f（）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当∈[﹣1，1]时，求函数f（）的最大值．21．（12分）在区间D上，如果函数f（）为减函数，而f（）为增函数，则称f（）为D上的弱减函数．若f（）=（1）判断f（）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（）=f（）+||﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数的取值范围．上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．（3分）函数y=a（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1）．【解答】解：∵a0=1，a＞0且a≠1，∴函数y=a（a＞0且a≠1）的图象均过定点（0，1），故答案为：（0，1）．2．（3分）请写出“好货不便宜”的等价命题：便宜没好货．【解答】解：“好货不便宜”即“如果货物为好货，则价格不便宜”，其逆否命题为：“如果价格便宜，则货物不是好货”，即“便宜没好货”，故答案为：便宜没好货3．（3分）若集合A={|≤1}，B={|≥a}满足A∩B={1}，则实数a=1．【解答】解：∵A={|≤1}，B={|≥a}，且A∩B={1}，∴a=1，故答案为：14．（3分）不等式2|﹣1|﹣1＜0的解集是．【解答】解：①若≥1，∴2（﹣1）﹣1＜0，∴＜；②若＜1，∴2（1﹣）﹣1＜0，∴＞；综上＜＜．故答案为：＜＜．5．（3分）若f（+1）=2﹣1，则f（1）=﹣1．【解答】解：∵f（+1）=2﹣1，∴f（1）=f（0+1）=2×0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．6．（3分）不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）．【解答】解：原不等式等价于（﹣3）（﹣2）≥0且﹣2≠0，所以不等式的解集为（﹣∞，2）∪[3，+∞）；故答案为：（﹣∞，2）∪[3，+∞）7．（3分）设函数f（）=（+1）（+a）为偶函数，则a=﹣1．【解答】解：∵函数为偶函数得f（1）=f（﹣1）得：2（1+a）=0∴a=﹣1．故答案为：﹣1．8．（3分）已知函数f（）=，g（）=，则f（）•g（）=，∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．【解答】解：∵函数f（）=，g（）=，∴f（）•g（）=，∈（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：，∈（﹣1，0）∪（0，+∞）．9．（3分）设α：≤﹣5或≥1，β：2m﹣3≤≤2m+1，若α是β的必要条件，求实数m的取值范围m≤﹣3或m≥2．【解答】解：α：≤﹣5或≥1，β：2m﹣3≤≤2m+1，若α是β的必要条件，则2m﹣3≥1或2m+1≤﹣5，故m≥2或m≤﹣3，故答案为：m≥2或m≤﹣3．10．（3分）函数的值域是（0，4] ．【解答】解：设t=2﹣2≥﹣2，∵y=（）t为减函数，∴0＜（）t≤（）﹣2=4，故函数的值域是（0，4]，故答案为：（0，4]．11．（3分）已知ab＞0，且a+4b=1，则的最小值为9．【解答】解：∵ab＞0，且a+4b=1，∴=（）（a+4b）=1+4++≥5+2=9，当且仅当a=，b=时取等号，∴的最小值为9，故答案为：9．12．（3分）已知函数f（）=是R上的增函数，则a的取值范围是[﹣1，0）．【解答】解：由于函数f（）=是R上的增函数，∴，求得﹣1≤a＜0，故答案为：[﹣1，0）．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分. 13．（3分）函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：y=f（﹣）===f（），∴函数y=为偶函数，∴图象关于y轴对称，故排除C，D，∵＞1，∴当＞0时，y=的变化是越越快，故排除B故选：A14．（3分）已知f（）是R上的奇函数，且当＞0时，f（）=﹣1，则＜0时f（）=（）A．﹣﹣1 B．+1 C．﹣+1 D．﹣1【解答】解：设＜0，则﹣＞0，∵当＞0时，f（）=﹣1，∴当＜0时，f（﹣）=﹣﹣1，又∵f（）是R上的奇函数，∴f（）=﹣f（﹣），∴当＜0时，f（）=﹣f（﹣）=+1，故选B．15．（3分）证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎．小强买的股票A连续4个跌停（一个跌停：比前一天收市价下跌10%），则至少需要几个涨停，才能不亏损（一个涨停：比前一天收市价上涨10%）．（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设小强买的股票A时买入价格为a，连续4个跌停后价格为a（1﹣10%）4=0.6561a，设至少需要个涨停，才能不亏损，则0.6564a（1+10%）≥a，整理得：1.1≥1.5235，∵1.15=1.6105，1.14=1.4641．∴至少需要5个涨停，才能不亏损．故选：C．16．（3分）给定实数，定义为不大于的最大整数，则下列结论中不正确的是（）A．﹣≥0B．﹣＜1C．令f（）=﹣，对任意实数，f（+1）=f（）恒成立D．令f（）=﹣，对任意实数，f（﹣）=f（）恒成立【解答】解：在A中，∵为不大于的最大整数，∴﹣≥0，故A正确；在B中，∵为不大于的最大整数，∴﹣＜1，故B正确；在C中，∵为不大于的最大整数，f（）=﹣，∴对任意实数，f（+1）=f（）恒成立，故C正确；在D中，∵为不大于的最大整数，f（）=﹣，∴f（﹣3.2）=﹣3.2﹣[﹣3.2]=﹣3.2+4=0.8，f（3.2）=3.2﹣[3.2]=3.2﹣3=0.2，∴对任意实数，f（+1）=f（）不成立，故D错误．故选：D．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（8分）已知，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设函数，函数为R上的单调递增函数…（2分）得，m2+m≤﹣m+3…（2分）即，m2+2m﹣3≤0…（2分）得，（m﹣1）（m+3）≤0所以，m的取值范围为：m∈[﹣3，1]…（2分）18．（10分）如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．【解答】解：由题意…．（2分）S AMPN=（+2）（y+3）=y+3+2y+6=12+3+2y…．（5分）…．（2分）当且仅当3=2y，即=2，y=3时取得等号．…．（7分）面积的最小值为24平方米．…．（8分）19．（10分）设a是实数，函数f（）=a﹣（∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（）在R上为增函数．【解答】解：（1）．（2）证明：设任意1，2∈R，1＜2，则f（1）﹣f（2）===，由于指数函数y=2在R上是增函数，且1＜2，所以即，又由2＞0，得，，∴f（1）﹣f（2）＜0即f（1）＜f（2），所以，对于任意a，f（）在R上为增函数．20．（12分）已知函数f（）=2﹣2a+1．（1）若对任意的实数都有f（1+）=f（1﹣）成立，求实数a的值；（2）若f（）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）当∈[﹣1，1]时，求函数f（）的最大值．【解答】解：（1）由对任意的实数都有f（1+）=f（1﹣）成立，知函数f（）=2﹣2a+1的对称轴为=a，即a=1；（2）函数f（）=2﹣2a+1的图象的对称轴为直线=a，由f（）在[a，+∞）上为单调递增函数，y=f（）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1；（3）函数图象开口向上，对称轴=a，可得最大值只能在端点处取得．当a＜0时，=1时，函数取得最大值为：2﹣2a；当a＞0时，=﹣1时，函数取得最大值为：2+2a；当a=0时，=1或﹣1时，函数取得最大值为：2．21．（12分）在区间D上，如果函数f（）为减函数，而f（）为增函数，则称f（）为D上的弱减函数．若f（）=（1）判断f（）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（）=f（）+||﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由初等函数性质知，在[0，+∞）上单调递减，而在[0，+∞）上单调递增，所以是[0，+∞）上的弱减函数．（2）不等式化为在∈[1，3]上恒成立，则，而在[1，3]单调递增，∴的最小值为，的最大值为，∴，∴a∈[﹣1，]．（3）由题意知方程在[0，3]上有两个不同根，①当=0时，上式恒成立；②当∈（0，3]时，则由题意可得方程只有一解，根据，令，则t∈（1，2]，方程化为在t∈（1，2]上只有一解，所以．。

2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则B＝．2．写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题．3．已知关于x的不等式x2+bx+c＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞），则b+c的值为．4．设函数f（x）的图象关于原点对称，且存在反函数f﹣1（x）．若已知f（4）＝2，则f﹣1（﹣2）＝．5．已知幂函数f（x）的部分对应值如表：x1f（x）1则不等式f（|x|）≤2的解集是．6．函数的值域是．7．已知当x＞0时，函数f（x）＝（2a﹣1）x（{a＞0，且a≠）的值总大于1，则函数y ＝的单调增区间是．8．乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．已知老陈种植水果的成本是2800元/吨，那么乔经理的采购量为时，老陈在这次买卖中所获的利润W最大．9．已知a∈R且，则关于x的不等式的解集为．10．已知函数f（x）的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f（x）≤f（y），则满足条件的不同函数共有个．11．若不等式x2＜5﹣|6﹣xt|对于恒成立，则实数t的取值范围是．12．设a、b、c是三个正实数，且，则的最大值为．二.选择题13．设M＝{x|x＝a2+1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2﹣4b+5，b∈N*}，则下列关系正确的是（）A．M＝P B．M⫋PC．P⫋M D．M与P没有公共元素14．函数y＝﹣1（x≤0）的反函数是（）A．y＝（x≥﹣1）B．y＝﹣（x≥﹣1）C．y＝（x≥0）D．y＝﹣（x≥0）15．设函数f（x）的定义域为R，有下列四个命题：（1）若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；（2）若对任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）+2＝0，则f（x）图象是中心对称图形，且对称中心为（﹣1，1）；（3）若对任意x∈R，有f（x﹣1）﹣f（3﹣x）＝0，则f（x）图象是轴对称图形，且对称轴为x＝1；（4）已知y＝f（x﹣2）是R上的奇函数，则f（x）+f（4﹣x）＝0；这些命题中，真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．已知f（x）为奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝1﹣2|x﹣|，当x∈（﹣∞，﹣1]，f（x）＝1﹣e﹣1﹣x，若关于x的不等式f（x+m）＞f（x）有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，+∞）C．（﹣﹣ln2，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣﹣ln2，0）∪（0，+∞）三.解答题17．解下列方程：（1）22x＝2x﹣1；（2）．18．设函数f（x）＝lg（2x﹣3）的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：（1）集合M，∁R N；（2）集合M∩N，∁R（M∪N）．19．已知函数（m＞0，m≠1）的图象恒经过与m无关的定点A．（1）求点A的坐标；（2）若偶函数g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]的图象过点A，求a、b、c的值．20．已知（m∈R）是定义在[﹣1，1]上的奇函数．（1）求实数m的值；（2）求证：f（x）在[﹣1，1]上是单调递减函数；（3）若f（a﹣1）+f（2a2）≤0，求实数a的取值范围．21．设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1）使得f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为f（x）的含峰区间．（1）判断下列函数是否为[0，1]上的单峰函数：①，x∈[0，1]；②，x∈[0，1]；③，x∈[0，1]；④，x∈[0，1]；对任意的[0，1]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度l（区间长度l等于区间的右端点与左端点之差）；（2）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间，若f（x1）≤f（x2），则（x1，1）为含峰区间；（3）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2﹣x1≥2r，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．参考答案一.填空题1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则B＝{2，4，6}．【分析】根据A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，从而得出x＝1时，y＝2；x＝2时，y＝4；x＝3时，y＝6，从而得出集合B．解：∵A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，∴B＝{7，4，6}．故答案为：{2，4，2}．2．写出命题“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题若am2≥bm2，则a≥b．【分析】根据否命题的定义即可求出．解：命题“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题为若am2≥bm2，则a≥b，故答案为：若am2≥bm8，则a≥b3．已知关于x的不等式x2+bx+c＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞），则b+c的值为．【分析】由条件知﹣2和是方程x2+bx+c＝0的两实根，然后由韦达定理可得c，b的值，再求出c+b．解：∵不等式x2+bx+c＞0的解集是（﹣∞．﹣2）∪（﹣，+∞），∴﹣2和是方程x2+bx+c＝0的两实根，∴．故答案为：．4．设函数f（x）的图象关于原点对称，且存在反函数f﹣1（x）．若已知f（4）＝2，则f﹣1（﹣2）＝﹣4．【分析】由图象关于原点对称得此函数是奇函数，结合题意和奇函数的定义得到f（﹣4）＝﹣2，因原函数与反函数的定义域和值域恰相反，故得f﹣1（﹣2）＝﹣2．解：∵函数f（x）的图象关于原点对称，∴此此函数在定义域上是奇函数，∵f（4）＝2，∴f（﹣4）＝﹣2，故答案为：﹣4．5．已知幂函数f（x）的部分对应值如表：x1f（x）1则不等式f（|x|）≤2的解集是[﹣4，4]．【分析】先确定幂函数的解析式，再解不等式，可得结论．解：设幂函数为f（x）＝xα，则，∴α＝，∴不等式f（|x|）≤2等价于，∴|x|≤4∴不等式f（|x|）≤2的解集是[﹣4，6]故答案为[﹣4，4]．6．函数的值域是（﹣∞，ln2]．【分析】运用配方，可得二次函数的值域，根据复合函数的性质可得f（x）的值域；解：设函数t＝＝，（t＞0）可得t∈（0，2]，根据对数函数的图象及性质，可得lnt≤ln2；故得值域为：（﹣∞，ln2]．7．已知当x＞0时，函数f（x）＝（2a﹣1）x（{a＞0，且a≠）的值总大于1，则函数y ＝的单调增区间是（﹣∞，1）（或（﹣∞，1]）．【分析】根据指数函数的性质结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．解：当x＞0时，函数f（x）＝（2a﹣1）x（{a＞0，且a≠）的值总大于1，即2a﹣1＞1，解得a＞1，则要求函数y＝的单调增区间，∵函数t＝2x﹣x2的增区间为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）（或（﹣∞，1]）8．乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．已知老陈种植水果的成本是2800元/吨，那么乔经理的采购量为23时，老陈在这次买卖中所获的利润W最大．【分析】根据所给的函数的图象，可以判断该函数关系为分段函数，分两段分别求解函数的解析式，即可得到答案；利用函数解析式表示出w，进而利用函数性质分段求解最值，最后比较两个最值，即可得到答案．解：根据图象可知，当0＜x≤20时，y＝8000，∵B（20，8000），C（40，4000）在图象上，∴y＝﹣200x+12000，①当0＜x≤20时，w＝（8000﹣2800）x＝8 200x，∴当x＝20时，w取得最大值为104000；②当20＜x≤40时，w＝（﹣200x+12 000﹣2800）x＝﹣200（x2﹣46x）＝﹣200（x﹣23）2+105800，对称轴为x＝23∈（20，40]，综合①②，由于105800＞104000，故乔经理的采购量为23时，老陈在这次买卖中所获的利润W最大．故答案为：23．9．已知a∈R且，则关于x的不等式的解集为（2，3）．【分析】先由题意求得0＜a＜1，原不等式即0＜x2﹣5x+7＜1，由此求得x的范围．解：∵a∈R且，∴0＜a＜1，则关于x的不等式，即0＜x2﹣5x+7＜1．解x2﹣5x+8＜1，求得2＜x＜3，故原不等式的解集为（2，3），故答案为：（2，3）．10．已知函数f（x）的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f（x）≤f（y），则满足条件的不同函数共有10个．【分析】根据题目的条件一一列举出符合条件的函数即可．解：如下图，可知满足条件的函数共10个，故答案为：10．11．若不等式x2＜5﹣|6﹣xt|对于恒成立，则实数t的取值范围是（）．【分析】将原不等式化为5﹣x2＞|6﹣tx|，问题即转化为当时，y＝5﹣x2的图象恒在y＝|6﹣tx|的上方，结合两函数的单调性，容易求解．解：由已知得：不等式可化为：5﹣x2＞|6﹣tx|，，令f（x）＝7﹣x2，，显然该函数在[]上单调递减；同一坐标系中做出符合题意的两函数图象如下：可见，要使原式恒成立，只需，即，故答案为：（）．12．设a、b、c是三个正实数，且，则的最大值为3．【分析】由题意可求出c的表达式，根据c＞0，把原式转化为关于的解析式，设＝x，构造函数，利用基本不等式求出函数的最小值，从而求出答案．解：∵a+b+2c＝，∴a2+ab+2ac＝bc，∵c＞2，解法一：设b﹣2a＝t，则t＞0，b＝t+2a；当且仅当t＝a时成立；解法二：由b﹣2a＞5，得＞2，设＝x，则x＞2，当且仅当x＝3时取等号，即的最大值为3．故答案为：3．二.选择题13．设M＝{x|x＝a2+1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2﹣4b+5，b∈N*}，则下列关系正确的是（）A．M＝P B．M⫋PC．P⫋M D．M与P没有公共元素【分析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果．解：M＝{x|x＝a2+1，a∈N*}＝{2，8，10…}，P＝{y|y＝b2﹣4b+5＝（b﹣2）2+1，b∈N*}＝{1，2，5，10…}，所以M⫋P．故选：B．14．函数y＝﹣1（x≤0）的反函数是（）A．y＝（x≥﹣1）B．y＝﹣（x≥﹣1）C．y＝（x≥0）D．y＝﹣（x≥0）【分析】从函数y＝﹣1（x≤0）中解出x＝，并求出函数值域y≥﹣1，将x与y互换位置后即为反函数同时标明定义域．解：由y＝﹣1（x≤0）得y+1＝，所以y+1≥0，且（y+1）3＝x2，所以反函数为y＝﹣（x≥﹣1）故选：B．15．设函数f（x）的定义域为R，有下列四个命题：（1）若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；（2）若对任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）+2＝0，则f（x）图象是中心对称图形，且对称中心为（﹣1，1）；（3）若对任意x∈R，有f（x﹣1）﹣f（3﹣x）＝0，则f（x）图象是轴对称图形，且对称轴为x＝1；（4）已知y＝f（x﹣2）是R上的奇函数，则f（x）+f（4﹣x）＝0；这些命题中，真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）直接利用函数的最值的应用求出结果．（2）利用函数的对称性的应用求出结果．（3）根据函数的对称轴方程的应用求出结果．（4）根据函数的奇偶性的应用求出结果．解：（1）若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，必须满足f（x0）＝M，则M是函数f（x）的最大值；（1）错误．（2）若对任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）+2＝0，则f（x）图象是中心对称图形，整理得f（x）＝﹣f（2﹣x）﹣7，则函数关于（1，﹣1）对称，故错误．（4）已知y＝f（x﹣2）是R上的奇函数，则f（﹣x﹣3）＝﹣f（x﹣2），整理得f（﹣x﹣2）+f（x﹣2）＝0，整理得不到f（x）+f（4﹣x）＝4；故错误．故选：A．16．已知f（x）为奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝1﹣2|x﹣|，当x∈（﹣∞，﹣1]，f（x）＝1﹣e﹣1﹣x，若关于x的不等式f（x+m）＞f（x）有解，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，+∞）C．（﹣﹣ln2，﹣1）∪（0，+∞）D．（﹣﹣ln2，0）∪（0，+∞）【分析】根据函数的奇偶性求出函数f（x）的解析式，然后作出函数的图象，对m进行分类讨论进行求解即可．解：若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，则f（﹣x）＝1﹣6|﹣x﹣|＝1﹣2|x+|，∴f（﹣x）＝1﹣2|x+|＝﹣f（x），若x∈[1，+∞），则﹣x∈（﹣∞，﹣8]，则f（x）＝e﹣1+x﹣1，x∈[1，+∞），当m＞0时，f（x+m）的图象向左平移，此时f（x+m）＞f（x）有解，满足条件．当f（x+m）的图象与f（x）在x＞5相切时，f′（x）＝e x﹣1，此时对应直线斜率k＝2，即切点坐标为（6+ln2，1），此时1＝2（8+ln2﹣a），得a＝+ln2，得﹣﹣ln2＜m＜5，综上m的取值范围是（﹣﹣ln2，0）∪（6，+∞），故选：D．三.解答题17．解下列方程：（1）22x＝2x﹣1；（2）．【分析】（1）根据题意，原方程变形可得（2x）2＝×2x，求出2x的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，原方程变形可得（log3x）2+（log9x）﹣＝0，求出log3x的值，由对数的运算性质分析可得答案．解：（1）根据题意，22x＝3x﹣1，变形可得（2x）8＝×2x，又由5x＞0，则2x＝，（5），即（log3x）7+（l+log9x）﹣2＝0，解可得log3x＝1或log3x＝﹣，则有x＝3或．18．设函数f（x）＝lg（2x﹣3）的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：（1）集合M，∁R N；（2）集合M∩N，∁R（M∪N）．【分析】（1）利用函数的定义域能求出集合M，利用函数的定义域先求出集合N．由此能求出∁R N．（2）先求出M∩N，由此能求出∁R（M∪N）．解：（1）∵函数f（x）＝lg（2x﹣3）的定义域为集合M，∴，∴N＝{x|x＜5或x≥3}，∴∁R N＝{x|1≤x＜3}．∴M∩N＝{x|x≥3}，M∪N＝{x|x＜1或x＞}，∴．19．已知函数（m＞0，m≠1）的图象恒经过与m无关的定点A．（1）求点A的坐标；（2）若偶函数g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]的图象过点A，求a、b、c的值．【分析】（1）令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得函数的图象恒经过定点的坐标．（2）由题意利用偶函数的性质求得b、c的值，再根据函数图象经过定点A（1，1），可得a的值．解：（1）令+＝1，可得x＝5，y＝1，可得函数（m＞0，m≠8）的图象恒经过A（1，1）．且有1﹣2c＝﹣c，求得c＝7，故g（x）＝ax2﹣1．综上可得，a＝7，b＝0，c＝1．20．已知（m∈R）是定义在[﹣1，1]上的奇函数．（1）求实数m的值；（2）求证：f（x）在[﹣1，1]上是单调递减函数；（3）若f（a﹣1）+f（2a2）≤0，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用奇函数的定义建立方程解出即可；（2）先设﹣1≤x1＜x2≤1，然后利用作差法比较f（x1）﹣与（x2）的大小即可判断，（3）先求出函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，进而转化为解不等式﹣1≤1﹣a≤2a2≤1，解：（1）∵f（x）为定义在[﹣1，1]上奇函数，∴f（0）＝m﹣1＝0，即m＝8，设﹣1≤x1＜x2≤1，＝＝（）（1+）＞0，即f（x）在[﹣1，7]上为单调递增函数，∴f（a﹣1）+f（2a2）≤0等价于f（2a3）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），∴﹣1≤1﹣a≤2a2≤1，故不等式的解集{a|}21．设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1）使得f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为f（x）的含峰区间．（1）判断下列函数是否为[0，1]上的单峰函数：①，x∈[0，1]；②，x∈[0，1]；③，x∈[0，1]；④，x∈[0，1]；对任意的[0，1]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度l（区间长度l等于区间的右端点与左端点之差）；（2）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间，若f（x1）≤f（x2），则（x1，1）为含峰区间；（3）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2﹣x1≥2r，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．【分析】（1）利用单峰函数的定义，判断①②③④四个函数是否存在x*∈（0，1）使得f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，即可解答；（2）利用单峰函数的定义，可以直接证明；（3）利用含峰区间长度的定义，可以直接证明．解：（1）根据单峰函数的定义可以判断，①在（0，0.5）上单调递增，在（0.5，4）上单调递减；②在（0，0.5）上单调递增，在（0.6，1）上单调递减；③在（0，）上单调递增，在（，8）上单调递减；④在（0，0.25）上单调递减，在（0.25，1）上单调递增；故①③是单峰函数；则由单峰函数定义可知，f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减．从而f（x*）≥f（x2）＞f（x1），当f（x1）≤f（x2）时，假设x*∉（x1，1），则x*≤x1＜x2，这与f（x5）≤f（x2）矛盾，（3）证明：由（2）的结论可知：当f（x1）≤f（x2）时，含峰区间的长度为l3＝1﹣x1；x8≤0.5+r 1﹣x1≤3.5+r①又因为x2﹣x1≥2r，所以x2﹣x1＝3r，②x1≤0.5﹣r，x2≥3.5﹣r，③所以这时含峰区间的长度l1＝0.5+r，即存在x8，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．。