2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市上海外国语大学附属大境中学高一第一学期期末数学试题一、单选题1．下列函数中，与表示同一函数的一组是（）A．与B．与C．与D．与【答案】C【解析】依次判断两个函数的定义域和对应法则，值域是否相同即可.【详解】对于A.与，定义域是R，定义域是，故两者不是同一函数；B.与，表达式不同，故不是同一函数；C.与，定义域相同，对应法则相同，故是同一函数；D.定义域是R，定义域内没有0，故两者的定义域不同，不是同一函数.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了函数的三要素，判断函数是否为同一函数主要是看两个函数的三要素是否形同；其中两个函数的对应法则相同和定义域相同则两个函数一定是同一个函数，定义域相同和值域相同则两个函数不一定为同一函数.2．下列函数在上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据已知的函数模型，得到AB的正误，再由，当x值变大时，y值变小，得到D的单调性；C选项通过换元得到熟悉的对勾函数的模型，根据内外层函数的单调性得到结果.【详解】函数在上是减函数，在上是减函数，，设t=x+1,故得到在上单调增，内层也是增函数，故函数在上是增函数；在上是减函数.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了函数单调性的判断，判断函数的单调性，方法一：可以由定义证明单调性，方法二，可根据熟悉的函数模型得到函数的单调性；方法三，可根据函数的性质，例如增函数加增函数还是增函数，减函数加减函数还是减函数来判断。

3．在下列区间中，函数的零点所在的一个区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据零点存在定理得到结果即可.【详解】函数是单调递增的，根据函数零点存在定理得到：,,所以函数零点在之间.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了函数零点存在定理，即在区间（a,b）上，若f(a)f(b)<0,则在此区间上函数一定存在零点，但是零点个数不确定；如果判断出函数是单调的，再判断出f(a)f(b)<0，即可得到函数存在唯一的零点.4．已知函数，若，设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据指数函数的运算性质得到=,=，再根据均值不等式得到.【详解】函数,=,=,故=P=R故.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了指数函数的运算性质，以及均值不等式的应用；在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.5．函数（其中）的大致图像为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对函数表达式进行化简可得到函数的单调性【详解】函数，有函数表达式知道，当x>0时，x值越大，函数值越小，故函数是减函数。

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二、选择题
13.下列函数中， f (x) 与 g(x) 表示同一函数的一组是（ ）
A. f (x) x 与 g(x) x2
x
C. f (x) | x | 与 g(x) x2
B. f (x) x 与 g(x) | x |
8.已知幂函数 f (x) xm2 2m3(m N ) 的图象关于 y 轴对称，且在 (0, ) 上是减函数，则 m _____________________．
【答案】1 【解析】
因 为 f(x) 为 幂 函 数 且 关 于 y 轴 对 称 ， 且 在 (0, ) 上 是 减 函 数 ， 所 以 m2 2m 3 0,1 m 3 ,所以 m=0,1,2 经检验可知 m=1 时，m2 2m 3 4 符合题目
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如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 上海市上海外国语大学附属大境中学 2018-2019 学年高一数学上学期
期末考试试题（含解析）
一、填空题
1.已知集合 A {1, x2} ，若 A {1, 3, 9, x} ，则 x __________． 【答案】 x 3 或 0 或-3
【点睛】这个题目考查了集合间的包含关系，以及集合元素的互异性的应用. 与集合元素有 关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些 元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注 意检验集合是否满足元素的互异性．

2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果． 【详解】由题意A C ⊆，则U UC A ⊆痧，当U B C ⊆ð，可得“A B =∅”；若“AB =∅”能推出存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð，U ∴为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆ð”是“A B =∅”的充分必要的条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题． 2．已知实数x ，y 满足()01xya a a <<<，[]x 表示不超过x 的最大整数，则下面关系式恒成立的是（ ） A.221111x y >++ B.()()22ln 1ln 1x y +>+ C.11x y x y->- D.[][]x y ≥【答案】D【解析】根据条件求出x y >，结合不等式的关系，利用特殊值法进行判断即可． 【详解】当01a <<时，由x y a a <得x y >，A ．当1x =，1y =-，满足x y >但221111x y =++，故A 错误，B ．当1x =，1y =-，满足x y >，22(1)(1)ln x ln y +=+，但22(1)(1)ln x ln y +>+不成立，故B 错误，C ．当1x =，1y =-，满足x y >，但112x y -=+=，11112x y -=+=，则11x y x y ->-不成立，故C 错误，D ．x y >，[][]x y ∴…成立，故D 正确 故选：D ． 【点睛】本题主要考查不等式的关系和不等式的性质的应用，利用特值法是解决本题的关键． 3．函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得x <或0x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.2p q+ B.(1)(1)12p q ++-1【答案】D【解析】【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得1x =． 【考点】函数模型的应用．二、填空题5．已知集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，若{}123A B ⋃=，，，则实数m =___________. 【答案】3【解析】直接利用并集的定义得到m 的值. 【详解】因为集合{}1,2,A m =，{2,3}B =，{}123A B ⋃=，，， 所以3m =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查并集定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 6．“21x>成立”是“2x <成立”的 条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 【答案】充分非必要 【解析】先解不等式21x>，再利用充分条件必要条件的定义判断得解. 【详解】 因为21x>，所以02x <<，因为{|02}x x <<⫋{|2}x x < 所以“21x>成立”是“2x <成立”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 【点睛】本题主要考查解分式不等式和充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．函数()f x =___________.【答案】{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞【解析】分类讨论解不等式2(1)(1)02x x x -+-…，即得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则2(1)(1)02x x x -+-…， 当1x =时，不等式成立， 当1x ≠时，不等式等价为102x x +-…， 即2x >或1x -…，综上2x >或1x -…或1x =，所以函数的定义域为{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞. 故答案为：{}(,1]1(2,)-∞-⋃⋃+∞ 【点睛】本题主要考查不等式的解法和函数定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．若函数21()x f x x a+=+的反函数是其本身，则实数a =___________. 【答案】-2【解析】求出反函数与原函数比较可知2a =-． 【详解】 由21+=+x y x a得12-=-ay x y ，所以()f x 的反函数为11()2ax f x x --=-，依题意可得2a =-． 故答案为：2-．【点睛】本题考查了反函数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题． 9．函数3()21x f x -=-，则不等式()1f x <的解集为___________.【答案】(24)，【解析】问题转化为|3|1x -<，求出不等式的解集即可． 【详解】不等式()1f x <即|32|2x -<， 故|3|1x -<， 解得：24x <<， 故答案为：(2,4)． 【点睛】本题考查了解绝对值不等式和指数不等式的解法，考查转化思想，是一道基础题． 10．函数()19310xx f x +=--的零点为___________.【答案】315x og =【解析】由题得(32)(35)0x x +-=，再解指数方程即得解. 【详解】由1()93100x x f x +=--=得2(3)33100x x -⋅-=， 即(32)(35)0x x +-=，30x >，350x ∴-=，即35x =，即3log 5x =， 即函数零点为3log 5x =， 故答案为：3log 5x = 【点睛】本题主要考查函数零点的求解，结合一元二次方程以及指数和对数的转化公式是解决本题的关键．11．已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 【详解】由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+， 同除xy ，得211x y+=， 212()()33x yx y x yx y y x +=++=+++…2x =1y =时取到等号．故答案为：3+． 【点睛】本题考查了基本不等式求最小值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 12．若定义在R 上的函数21()xf x a +=（其中0a >，1a ≠）有最大值，则函数()2()log 2a g x x x =-的单调递增区间为___________．【答案】()0-∞，【解析】先根据题意判断01a <<，可得即求函数2220)t x x x x =-><（或减区间，再利用二次函数的性质得出结论． 【详解】21x +有最小值为1，定义在R 上的函数21()xf x a+=（其中0a >，1)a ≠有最大值，01a ∴<<．则函数2()log (2)a g x x x =-的单调递增区间，即函数2220)t x x x x =-><（或的减区间， 因为函数2220)t x x x x =-><（或的减区间为(,0)-∞， 故答案为：(,0)-∞． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．13．集合{}22|(21)0A x x a x a a =-+++<，集合{}2log |1000xB x x+=≤，且满足R A B ⋂=∅ð，则实数a 的取值范围是___．【答案】1,91000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由二次不等式的解法得1)A a a =+（，，由对数不等式的解法得1[1000B =，10]，即(R C B =-∞，1)(101000⋃，)+∞，由集合交集的运算得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟，得解． 【详解】解不等式22(21)0x a x a a -+++<得1a x a <<+即1)A a a =+（，， 解不等式21000lgx x +…得：(2)30lgx lgx +-…，即1101000x 剟，即1[1000B =，10]， 即(RC B =-∞，1)(101000⋃，)+∞， 又R AB =∅ð，得11000110a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，即191000a 剟， 即实数a 的取值范围是1[,9]1000， 故答案为：1[,9]1000 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，对数不等式的解法及集合交集的运算，属中档题． 14．已知函数()y f x =的图像与函数(0,1)x y a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=+-⎣⎦，若()y g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】先求出函数()f x 的解析式，然后代入将函数()g x 表示出来，再对底数a 进行讨论即可得 到答案． 【详解】函数()y f x =的图象与函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =对称， ()log (0)a f x x x ∴=>．()()[()g x f x f x f =+（2）1]log (log log 21)a a a x x -=+-2221(21)(log )24a a a log log x --=+-， ①当1a >时，log a y x =在区间1[2，2]上是增函数，1log [log 2a a x ∴∈，log 2]a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，化为log 21a -…， 解得12a …，舍去． ②当01a <<时，log ay x =在区间1[2，2]上是减函数，log [log 2a a x ∴∈，1log ]2a ．由于()y g x =在区间1[2，2]上是增函数，∴12122a a log log -…，解得102a <…． 综上可得：102a <…． 故答案为：(0，1]2．【点睛】本题考查反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．下列四个命题中正确的是______．①已知定义在R 上的偶函数(1)y f x =+，则()()11f x f x +=-；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î是两个不同的函数﹔③已知函数*1(),3f x x x =∈-N ，既无最大值，也无最小值； ④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+的所有零点构成的集合共有4个子集． 【答案】①②【解析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由()f x 的单调性可判断③；由()0f x =的解的个数和集合的子集个数，可判断④． 【详解】①已知定义在R 上是偶函数(1)y f x =+，设()(1)F x f x =+，可得()()F x F x -=， 则(1)(1)f x f x +=-，故①正确；②若函数()y f x =，x D ∈，值域为()A A D ≠，且存在反函数，则函数()y f x =，x D ∈与函数1()x f y -=，y A Î，即1()y f x -=，x A ∈，由于A D ≠是两个不同的函数，故②正确； ③已知函数1()3f x x =-，*x ∈N ，由()f x 在13x <…递减，3x >递减，可得2x =时，f （2）取得最小值1-，故③错误；④函数||2||()(21)5(21)6x x f x =---+，由()0f x =，可得||212x -=或3，解得2log 3x =±或2x =±，()f x 的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为：①②． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和互为反函数的定义，以及函数的单调性和函数零点的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 16．已知函数()()20xf x x ex =+<与函数21()ln()2g x x x a =+++，图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是___________.【答案】(-∞【解析】根据条件转化为当0x >时，()()f x g x -=有解，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】由题意，存在0x >，使()()f x g x -=，即221()2x x ln x a x e -+++=+， 即11()()2xln x a e++=， 即11()()2xln x a e+=-+，设11()()2x h x e =-+，11(0)122h =-+=，当()y ln x a =+经过点1(0,)2时， 则12lna =，得12a e = 作出()y ln x a =+和()h x 的图象，要使两个图象恒有交点，则a即实数a 的取值范围是(a ∈-∞．故答案为：(-∞．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．三、解答题17．解关于x 的不等式：2(2)20kx k x -++<． 【答案】见解析【解析】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<分0k =，0k >，k 0<三种情况进行讨论．0k =、k 0<易解不等式；当0k >时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可． 【详解】将原不等式化为(2)(1)0kx x --<， （1）当0k =时，有1x >；（2）当0k >时，有2()(1)0k x x k --<，2()(1)0x x k ∴--<，221k k k--=， 当2k >时21k<，21x k ∴<<；当2k =时，21k=，x φ∴∈；当02k <<时，有21k>， 21x k ∴<<；（3）当k 0<时，2()(1)0x x k -->，有21k<，所以21x x k <>或． 综上， 当0k =时，原不等式的解集为(1)+∞，； 当k 0<时，原不等式的解集为2,(1,)k ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 当2k =时，原不等式的解集为∅；当02k <<时，原不等式的解集为21,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当2k >时，原不等式的解集为2,1k ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 该题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，含参数的一元二次不等式的求解，要明确分类讨论的标准：是按照不等式的类型、两根大小还是△的符号，要不重不漏．18．动物园需要用篱笆围成两个面积均为502m 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m ，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m ．（1）设所用篱笆的总长度为l ，垂直于墙的边长为x ．试用解析式将l 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？【答案】（1）1003l x x =+，[225]，.（2时，所用篱笆的总长度最小，最小为【解析】（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长50x ，表示出l ；由2x …且502x…，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解．【详解】（1）由题得每个长方形平行于墙的边长50x ， 则1003l x x=+，2x …且502x…， 225x ∴剟，所以函数的定义域为[2，25]；（2）100320l x x x x =+=…1003x x =，即x =时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是． 【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．19．已知函数()y f x =是函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，函数3()1ax g x x +=-的图像关于直线y x =对称，记()()()F x f x g x =+.（1）求函数()f x 的解析式和定义域﹔（2）在()F x 的图像上是否存在这样两个不同点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求A ，B 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）1()1x f x lgx -=+，()f x 的定义域为(1,1)-；（2）不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【解析】（1）先求出函数21()101x y x =-∈+R 的反函数，即求出()f x 的解析式，然后求出()f x 的定义域；（2）先求出函数()F x 的解析式，再设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<，推出12y y >，得()F x 为(1,1)-上的递减函数，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【详解】 （1）由21101x y =-+得1101x y y -=+，11y x lg y -=+，1()1x f x lg x-∴=+， 因为函数21101x y =-+的值域为(1,1)-，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-. （2）3()1ax g x x +=-，13()x g x x a -+∴=-，依题意得1()()g x g x -=，1a \=，3()1x g x x +∴=-， 1(13)1x F x g x l x x -∴=+++-，定义域为(1,1)-， 设()F x 的图象上不同的两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且1211x x -<<<，则122121122112113()()11131x x x y y F x F x lg lg x x x x x --+-=-=+--++--+ 12212112113()3(1111x x x lg x x x x x -++=+---++-） 21211212114(()11(1)()1)x x x x lg x x x x +--=++---， 1211x x -<<<，则21111x x +>+，12111x x ->-，210x x ->，12()1(1)0x x ->-， 211211()011x x lg x x +-∴>+-，211240(1)(1)x x x x ->--）（， 12y y ∴>，故()F x 在(1,1)-上单调递减，故不存在A ，B 两点，使AB 与y 轴垂直．【点睛】本题主要考查了反函数，考查了函数单调性的判定和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．20．已知函数2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-（a 为负整数）()y f x =的图像经过点(2,0)()m m -∈R .（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()2g x bx =+，若()()g x f x ≥在[]1,3x ∈上解集非空，求实数b 的取值范围；（3）证明：方程1()0f x x-=有且仅有一个解． 【答案】（1）2()1f x x =-+．（2）10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（3）见解析﹔ 【解析】（1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，故2321m a m m -=--+，因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数，当23221m m m --+…时，利用判别式可判断此不等式无解，所以23211m m m -=-+，解得1a =-，从而可得()f x 的解析式； （2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空转化为1()b x x-+…在[1，3]上有解，再构造函数转化为最小值可得；（3）即证1y x=与21y x =-+的图象有且只有一个交点，证明0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点，在(,0)-∞上有且只有一个零点，即得证.【详解】 （1）在2(2)(3)2f x ax a x a -=--+-中令x m =得2(2)(3)20f m am a m a -=--+-=，2321m a m m -∴=--+， 因为a 为负整数，所以2321m m m --+为正整数， 当23221m m m --+…时，22540m m -+…，因为△2(5)42470=--⨯⨯=-<，所以22540m m -+…无解， 所以23211m m m -=-+，解得1m =或3m =，所以1a =-， 22(2)43(2)1f x x x x ∴-=-+-=--+，2()1f x x ∴=-+（2）()()g x f x …在[1x ∈，3]上解集非空1()b x x⇔-+…在[1，3]上有解， 令1()()h x x x=-+，则()min b h x …， 因为函数()h x 在[1x ∈，3]上是减函数，所以3x =时，()min h x h =（3）103=-， 故103b -…． （3）证明：即证1y x =与21y x =-+的图象有且只有一个交点， 当0x >时，22221111(1)111110222x x x x x x x x x x --+=+-=++--==>， 即0x >时，1y x=与21y x =-+的图象无交点， 当0x <时，令211y x x =+-， 因为函数1y x =在(,0)-∞上为递减函数，函数21y x =+在(,0)-∞上为递减函数， 所以211y x x=+-在(,0)-∞上为递减函数（减函数+减函数=减函数），又12x =-时，1304y =-+<，1x =时，10y =>，根据零点存在性定理知：2110x x+-=在(,0)-∞上有且只有一个零点， 综上得1()0f x x-=有且只有一个解． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，考查函数的零点问题，考查基本不等式，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.． 21．若实数x ﹑y 、m ()x m y m ≠≠，满足||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ． （1）若21x -比1接近0，求x 的取值范围；（2）对正实数a ，b ，如果1a a +比1b b +接近2，求证：当0x >时，1x x a a +比1x x b b +接近2；（3）已知函数()f x等于x a -中接近0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间（结论不要求证明）．【答案】(1) (1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--;（2）证明见解析；（3）见解析 【解析】（1）由新定义可得2|1|1x -<且210x -≠，由绝对值不等式的解法，即可得到解集；（2）运用新定义作差比较，结合基本不等式，即可比较；（3）依据新定义分1a -…和1a >-两种情况写出函数()f x 的解析式，然后指明单调性．【详解】（1）由题意得，221110x x ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩∴0,1x x x <<≠≠±， 所以(1)(1,0)(0,1)(1,2)x ∈--. （2）1a a+比1b b +接近2， 11|2||2|a b a b∴+-<+-， 0a >，0b >，12a a ∴+…，12b b+…， 1122a b a b ∴+-<+-，即11a b a b+<+， 11|2||2|x x x x a b a b ∴+-<+-，当0x >时，1x x a a+比1x x b b +接近2； （3）当1a -…时，()||f x x a =-，此时()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；1a >-时，,2222x a x a x a a x a ⎧->++<+-⎪⎨+-++⎪⎩， 当10a -<<时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；当0a …时，()f x在(,2a -∞+-上单调递减，在(2a +-上单调递增． 【点睛】本题是新定义题目，新定义问题，往往是结合相关的知识，利用已有的方法求出所求结果，注意转化思想的应用考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2018-2019学度上海浦东新区高一上年末数学试卷（含解析解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

【一】填空题〔本大题总分值36分〕本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得零分.1、〔3分〕函数y＝a x〔a》0且a≠1〕的图象均过定点、3、〔3分〕假设集合A＝｛x｜x≤1｝，B＝｛x｜x≥a｝满足A∩B＝｛1｝，那么实数a＝、4、〔3分〕不等式2｜x﹣1｜﹣1《0的解集是、5、〔3分〕假设f〔x＋1〕＝2x﹣1，那么f〔1〕＝、6、〔3分〕不等式的解集为、7、〔3分〕设函数f〔x〕＝〔x＋1〕〔x＋a〕为偶函数，那么a＝、8、〔3分〕函数f〔x〕＝，g〔x〕＝，那么f〔x〕•g〔x〕＝、9、〔3分〕设α：x≤﹣5或x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m＋1，假设α是β的必要条件，求实数m的取值范围、10、〔3分〕函数的值域是、11、〔3分〕ab》0，且a＋4b＝1，那么的最小值为、12、〔3分〕函数f〔x〕＝是R上的增函数，那么a的取值范围是、【二】选择题〔本大题总分值12分〕本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否那么一律得零分.13、〔3分〕函数y＝x的大致图象是〔〕A、B、C、 D、14、〔3分〕f〔x〕是R上的奇函数，且当x》0时，f〔x〕＝x﹣1，那么x《0时f〔x〕＝〔〕A、﹣x﹣1B、x＋1C、﹣x＋1D、x﹣115、〔3分〕证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎、小强买的股票A连续4个跌停〔一个跌停：比前一天收市价下跌10％〕，那么至少需要几个涨停，才能不亏损〔一个涨停：比前一天收市价上涨10％〕、〔〕A、3B、4C、5D、616、〔3分〕给定实数x，定义【x】为不大于x的最大整数，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A、x﹣【x】≥0B、x﹣【x】《1C、令f〔x〕＝x﹣【x】，对任意实数x，f〔x＋1〕＝f〔x〕恒成立D、令f〔x〕＝x﹣【x】，对任意实数x，f〔﹣x〕＝f〔x〕恒成立【三】解答题〔本大题总分值52分〕本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤.17、〔8分〕，求实数m的取值范围、18、〔10分〕如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上、CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，｜CD｜＝｜AB｜＝3米，｜AD｜＝｜BC｜＝2米，设｜DN｜＝x米，｜BM｜＝y米、求这块矩形草坪AMPN面积的最小值、19、〔10分〕设a是实数，函数f〔x〕＝a﹣〔x∈R〕，〔1〕假设〔1，2〕为该函数图象上一点，求a的值、〔2〕证明：对于任意a，f〔x〕在R上为增函数、20、〔12分〕函数f〔x〕＝x2﹣2ax＋1、〔1〕假设对任意的实数x都有f〔1＋x〕＝f〔1﹣x〕成立，求实数a的值；〔2〕假设f〔x〕在区间【1，＋∞〕上为单调递增函数，求实数a的取值范围；〔3〕当x∈【﹣1，1】时，求函数f〔x〕的最大值、21、〔12分〕在区间D上，如果函数f〔x〕为减函数，而xf〔x〕为增函数，那么称f〔x〕为D上的弱减函数、假设f〔x〕＝〔1〕判断f〔x〕在区间【0，＋∞〕上是否为弱减函数；〔2〕当x∈【1，3】时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；〔3〕假设函数g〔x〕＝f〔x〕＋k｜x｜﹣1在【0，3】上有两个不同的零点，求实数k的取值范围、2016－2017学年上海市浦东新区高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】填空题〔本大题总分值36分〕本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否那么一律得零分.1、〔3分〕函数y＝a x〔a》0且a≠1〕的图象均过定点〔0，1〕、【解答】解：∵a0＝1，a》0且a≠1，∴函数y＝a x〔a》0且a≠1〕的图象均过定点〔0，1〕，故答案为：〔0，1〕、2、〔3分〕请写出“好货不便宜”的等价命题：便宜没好货、【解答】解：“好货不便宜”即“如果货物为好货，那么价格不便宜”，其逆否命题为：“如果价格便宜，那么货物不是好货”，即“便宜没好货”，故答案为：便宜没好货3、〔3分〕假设集合A＝｛x｜x≤1｝，B＝｛x｜x≥a｝满足A∩B＝｛1｝，那么实数a＝1、【解答】解：∵A＝｛x｜x≤1｝，B＝｛x｜x≥a｝，且A∩B＝｛1｝，∴a＝1，故答案为：14、〔3分〕不等式2｜x﹣1｜﹣1《0的解集是、【解答】解：①假设x≥1，∴2〔x﹣1〕﹣1《0，∴x《；②假设x《1，∴2〔1﹣x〕﹣1《0，∴x》；综上《x《、故答案为：《x《、5、〔3分〕假设f〔x＋1〕＝2x﹣1，那么f〔1〕＝﹣1、【解答】解：∵f〔x＋1〕＝2x﹣1，∴f〔1〕＝f〔0＋1〕＝2×0﹣1＝﹣1、故答案为：﹣1、6、〔3分〕不等式的解集为〔﹣∞，2〕∪【3，＋∞〕、【解答】解：原不等式等价于〔x﹣3〕〔x﹣2〕≥0且x﹣2≠0，所以不等式的解集为〔﹣∞，2〕∪【3，＋∞〕；故答案为：〔﹣∞，2〕∪【3，＋∞〕7、〔3分〕设函数f〔x〕＝〔x＋1〕〔x＋a〕为偶函数，那么a＝﹣1、【解答】解：∵函数为偶函数得f〔1〕＝f〔﹣1〕得：2〔1＋a〕＝0∴a＝﹣1、故答案为：﹣1、8、〔3分〕函数f〔x〕＝，g〔x〕＝，那么f〔x〕•g〔x〕＝x，x∈〔﹣1，0〕∪〔0，＋∞〕、【解答】解：∵函数f〔x〕＝，g〔x〕＝，∴f〔x〕•g〔x〕＝x，x∈〔﹣1，0〕∪〔0，＋∞〕，故答案为：x，x∈〔﹣1，0〕∪〔0，＋∞〕、9、〔3分〕设α：x≤﹣5或x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m＋1，假设α是β的必要条件，求实数m的取值范围m≤﹣3或m≥2、【解答】解：α：x≤﹣5或x≥1，β：2m﹣3≤x≤2m＋1，假设α是β的必要条件，那么2m﹣3≥1或2m＋1≤﹣5，故m≥2或m≤﹣3，故答案为：m≥2或m≤﹣3、10、〔3分〕函数的值域是〔0，4】、【解答】解：设t＝x2﹣2≥﹣2，∵y＝〔〕t为减函数，∴0《〔〕t≤〔〕﹣2＝4，故函数的值域是〔0，4】，故答案为：〔0，4】、11、〔3分〕ab》0，且a＋4b＝1，那么的最小值为9、【解答】解：∵ab》0，且a＋4b＝1，∴＝〔〕〔a＋4b〕＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝，b＝时取等号，∴的最小值为9，故答案为：9、12、〔3分〕函数f〔x〕＝是R上的增函数，那么a的取值范围是【﹣1，0〕、【解答】解：由于函数f〔x〕＝是R上的增函数，∴，求得﹣1≤a《0，故答案为：【﹣1，0〕、【二】选择题〔本大题总分值12分〕本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否那么一律得零分.13、〔3分〕函数y＝x的大致图象是〔〕A、B、C、 D、【解答】解：y＝f〔﹣x〕＝＝＝f〔x〕，∴函数y＝x为偶函数，∴图象关于y轴对称，故排除C，D，∵》1，∴当x》0时，y＝x的变化是越来越快，故排除B应选：A14、〔3分〕f〔x〕是R上的奇函数，且当x》0时，f〔x〕＝x﹣1，那么x《0时f〔x〕＝〔〕A、﹣x﹣1B、x＋1C、﹣x＋1D、x﹣1【解答】解：设x《0，那么﹣x》0，∵当x》0时，f〔x〕＝x﹣1，∴当x《0时，f〔﹣x〕＝﹣x﹣1，又∵f〔x〕是R上的奇函数，∴f〔x〕＝﹣f〔﹣x〕，∴当x《0时，f〔x〕＝﹣f〔﹣x〕＝x＋1，应选B、15、〔3分〕证券公司提示：股市有风险，入市需谨慎、小强买的股票A连续4个跌停〔一个跌停：比前一天收市价下跌10％〕，那么至少需要几个涨停，才能不亏损〔一个涨停：比前一天收市价上涨10％〕、〔〕A、3B、4C、5D、6【解答】解：设小强买的股票A时买入价格为a，连续4个跌停后价格为a〔1﹣10％〕4＝0.6561a，设至少需要x个涨停，才能不亏损，那么0.6564a〔1＋10％〕x≥a，整理得：1.1x≥1.5235，∵1.15＝1.6105，1.14＝1.4641、∴至少需要5个涨停，才能不亏损、应选：C、16、〔3分〕给定实数x，定义【x】为不大于x的最大整数，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A、x﹣【x】≥0B、x﹣【x】《1C、令f〔x〕＝x﹣【x】，对任意实数x，f〔x＋1〕＝f〔x〕恒成立D、令f〔x〕＝x﹣【x】，对任意实数x，f〔﹣x〕＝f〔x〕恒成立【解答】解：在A中，∵【x】为不大于x的最大整数，∴x﹣【x】≥0，故A 正确；在B中，∵【x】为不大于x的最大整数，∴x﹣【x】《1，故B正确；在C中，∵【x】为不大于x的最大整数，f〔x〕＝x﹣【x】，∴对任意实数x，f〔x＋1〕＝f〔x〕恒成立，故C正确；在D中，∵【x】为不大于x的最大整数，f〔x〕＝x﹣【x】，∴f〔﹣3.2〕＝﹣3.2﹣【﹣3.2】＝﹣3.2＋4＝0.8，f〔3.2〕＝3.2﹣【3.2】＝3.2﹣3＝0.2，∴对任意实数x，f〔x＋1〕＝f〔x〕不成立，故D错误、应选：D、【三】解答题〔本大题总分值52分〕本大题共有5题，解答以下各题必须写出必要的步骤.17、〔8分〕，求实数m的取值范围、【解答】解：〔1〕设函数，函数为R上的单调递增函数…〔2分〕得，m2＋m≤﹣m＋3…〔2分〕即，m2＋2m﹣3≤0…〔2分〕得，〔m﹣1〕〔m＋3〕≤0所以，m的取值范围为：m∈【﹣3，1】…〔2分〕18、〔10分〕如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上、CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，｜CD｜＝｜AB｜＝3米，｜AD｜＝｜BC｜＝2米，设｜DN｜＝x米，｜BM｜＝y米、求这块矩形草坪AMPN面积的最小值、【解答】解：由题意…、〔2分〕SAMPN＝〔x＋2〕〔y＋3〕＝xy＋3x＋2y＋6＝12＋3x＋2y…、〔5分〕…、〔2分〕当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时取得等号、…、〔7分〕面积的最小值为24平方米、…、〔8分〕19、〔10分〕设a是实数，函数f〔x〕＝a﹣〔x∈R〕，〔1〕假设〔1，2〕为该函数图象上一点，求a的值、〔2〕证明：对于任意a，f〔x〕在R上为增函数、【解答】解：〔1〕、〔2〕证明：设任意x1，x2∈R，x1《x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕＝＝＝，由于指数函数y ＝2x 在R 上是增函数，且x 1《x 2，所以即，又由2x 》0，得，， ∴f 〔x 1〕﹣f 〔x 2〕《0即f 〔x 1〕《f 〔x 2〕，所以，对于任意a ，f 〔x 〕在R 上为增函数、20、〔12分〕函数f 〔x 〕＝x 2﹣2ax ＋1、〔1〕假设对任意的实数x 都有f 〔1＋x 〕＝f 〔1﹣x 〕成立，求实数a 的值； 〔2〕假设f 〔x 〕在区间【1，＋∞〕上为单调递增函数，求实数a 的取值范围； 〔3〕当x ∈【﹣1，1】时，求函数f 〔x 〕的最大值、【解答】解：〔1〕由对任意的实数x 都有f 〔1＋x 〕＝f 〔1﹣x 〕成立， 知函数f 〔x 〕＝x 2﹣2ax ＋1的对称轴为x ＝a ，即a ＝1；〔2〕函数f 〔x 〕＝x 2﹣2ax ＋1的图象的对称轴为直线x ＝a ，由f 〔x 〕在【a ，＋∞〕上为单调递增函数，y ＝f 〔x 〕在区间【1，＋∞〕上为单调递增函数，得，a ≤1；〔3〕函数图象开口向上，对称轴x ＝a ，可得最大值只能在端点处取得、 当a 《0时，x ＝1时，函数取得最大值为：2﹣2a ；当a 》0时，x ＝﹣1时，函数取得最大值为：2＋2a ；当a ＝0时，x ＝1或﹣1时，函数取得最大值为：2、21、〔12分〕在区间D 上，如果函数f 〔x 〕为减函数，而xf 〔x 〕为增函数，那么称f 〔x 〕为D 上的弱减函数、假设f 〔x 〕＝〔1〕判断f 〔x 〕在区间【0，＋∞〕上是否为弱减函数；〔2〕当x ∈【1，3】时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围； 〔3〕假设函数g 〔x 〕＝f 〔x 〕＋k ｜x ｜﹣1在【0，3】上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围、【解答】解：〔1〕由初等函数性质知，在【0，＋∞〕上单调递减， 而在【0，＋∞〕上单调递增， 所以是【0，＋∞〕上的弱减函数、〔2〕不等式化为在x ∈【1，3】上恒成立，那么，而在【1，3】单调递增，∴的最小值为，的最大值为，∴，∴a∈【﹣1，】、〔3〕由题意知方程在【0，3】上有两个不同根，①当x＝0时，上式恒成立；②当x∈〔0，3】时，那么由题意可得方程只有一解，根据，令，那么t∈〔1，2】，方程化为在t∈〔1，2】上只有一解，所以、。