抓特征,巧解一元二次方程

龙文教育学科教师辅导讲义说明：一些含有y x +、22y x +、xy 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便. 例3、关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，〔1〕求k 的取值范围；〔2〕是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由。

例4、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程〔二次项系数为1〕时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。

你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：假设0122=--a a ，0122=--b b ，那么ab b a +的值为 。

例7、βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .测试题目：一、选择题1．解方程：3x 2+27=0得〔 〕.(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2．方程〔2-3x 〕+〔3x-2〕2=0的解是〔 〕.(A),x 2=-1 (B) ,(C)x 1=x 2= (D) ,x 2=13.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程:正确的选项是( ).(A) (B)(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的选项是( ). (A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=26．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕都不对二、填空7．方程9x2=25的根是___________...8.二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,那么t=________,另一个根是_________.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,那么m的值为__________.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个一样的解,那么a=________.三、用适当的方法解以下关于x和y的方程12．〔x+2〕〔x-2〕=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0.16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0.20.a2x2+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．〔b-c〕x2-〔c-a〕x+〔a-b〕=0〔a≠c〕22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.〔A〕因式分解法〔B〕配方法〔C〕公式法23．解方程：〔1〕〔2〕24．解关于x的方程：x2-2x+1-k〔x2-1〕=025．|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx〔x+1〕-5〔x+1〕〔x-1〕=x2。

一元二次方程的解题技巧
1. 嘿，你知道吗？一元二次方程的解题技巧之一就是配方法呀！就像搭积木一样，把方程凑成一个完美的形状。

比如说方程x²+6x+5=0 ，我们就可以通过配方法，把左边变成(x+3)²-4=0 ，这种感觉是不是超神奇！你不想试试吗？
2. 哇塞，公式法可是个厉害的技巧呢！不管遇到什么一元二次方程，只要套上那个公式，答案就乖乖出来啦。

就好比有个万能钥匙，能打开各种锁。

像方程2x²-3x-2=0 ，用公式法就能轻松搞定，是不是超厉害呀！
3. 嘿嘿，因式分解法也很棒哦！就像是解开一个复杂的绳结，找到关键的地方一拉就开了。

例如方程x²-5x+6=0 ，通过因式分解成(x-2)(x-3)=0 ，一下子就找到答案啦，这多有意思呀！
4. 还有还有，图像法也很有趣啊！可以把方程变成一个美丽的图形。

像一元二次方程y=x²-2x-3 ，画出它的图像，就能直观地看到与 x 轴的交点。

这就像看着一幅画就知道答案一样，酷不酷呀！
5. 啊呀，别忘了换元法哦！这就像是给方程换了一件新衣服。

比如方程(x²+1)²-5(x²+1)+6=0 ，我们就设x²+1 为一个新的未知数，然后再求解。

是不是感觉像变魔术一样，特别好玩！
6. 哈哈，整体代入法也很有用呢！就像接力赛中传递接力棒一样。

例如已知x²+x=3 ，那求2x²+2x-5 时，就直接把 2 乘进去再减 5 就行啦。

这种巧妙的方法难道不让你心动吗？
我的观点结论就是：这些一元二次方程解题技巧都各有特色，学会它们就能轻松应对各种方程啦！。

一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。

除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。

以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。

我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。

进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。

二、降次法例如，考虑已知$\alpha。

\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。

我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。

三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。

S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。

我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。

巧用一元二次方程，助力疫情防控作者：***来源：《初中生世界·九年级》2022年第09期一元二次方程存在于我们生活的方方面面，以新冠肺炎疫情为背景的问题就有多种题型。

下面，我们通过三个问题，一起来看一下如何用一元二次方程解决此类问题。

一、传播问题例1 新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后可能有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了多少人？【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，那么一轮传染结束后应该有（x+1）人携带病毒，第二轮传染中有（x+1）x人被感染，根据经过两轮传染后可能有169人患新冠肺炎，即可得数量关系：原本携带病毒人数+第一次传染人数+第二次传染人数=总感染人数。

解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有（x+1）x人被感染。

根据题意，得1+x+（x+1）x=169，即（1+x）2=169。

解这个方程，得x1=12，x2=-14（不合题意，舍去）。

答：每轮传染中平均每个人传染了12人。

【点评】用一元二次方程解决实际问题，主要是找准数量关系，而本题的关键点是一轮传染结束后应该有（x+1）人携带病毒，总的感染人数中原本携带病毒的人数不能忘記，然后才能正确列出一元二次方程。

本题中得出来的两个实数根需要进行检验，检查是否符合实际情况，对于不符合题意的答案，我们要舍去。

二、增长（降低）率问题例2 为了有效抗击新冠肺炎疫情，根据国家的政策，某市疫情防控应急指挥部要求全市符合新冠疫苗接种的人群应接尽接，为落实这一要求，某街道统计，7月份共有2500人接种，9月份增加到3600人，如果每月接种人数的增长率相同，求每月接种人数的平均增长率？【分析】设每月接种人数的平均增长率为x，首先有这样的数量关系：变化前的量×（1+平均增长率）=变化后的量。