高代课件47：关于跟正交矩阵有关的常用知识点及其涉及到的矩阵分解应用问题总结

目录摘要（关键词） (1)Abstract（Key words） (1)1前言 (1)2正交矩阵的性质 (1)3正交矩阵的相关命题 (3)4 正交矩阵的应用 (5)4.1 正交矩阵在解析几何上的应用 (6)4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用 (7)4.3 正交矩阵在物理学中的应用 (9)5后记 (10)参考文献 (10)致谢 (11)关于正交矩阵的性质及应用研究摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用.关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool.Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application1前言我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。

第五章 二次型除特别指明外，本章都是在实数域内进行的讨论．§5.1 正交矩阵一、向量的内积1.定义：① 设有n 维行向量α = (a 1, a 2, ……, a n ) ，β = (b 1,b 2, ……, b n ) ，定义α与β的内积为： α βT = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ． ② α 与 β 正交： α βT = 0 ．注：非零向量正交一定线性无关（反之不成立）．③ 对n 维列向量 α = (a 1, a 2, ……, a n )T ，β = (b 1,b 2, ……, b n )T ， α与β的内积为： α T β = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ， α与β正交，则： α T β = 0 ．说明：①.我们采用符号<α,β>统一表示n 维向量α和β的内积．②.在大家熟知的三维普通空间，建立笛卡儿坐标系后，矢量（也称向量）k a j a i a a r r r r321++= 和 kb j b i b b r r r r 321++=可以作为特例．不过用行（或列）矩阵[即行（或列）向量]表示内积（亦称点积、数量积）b a rr ⋅时，必须写成[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⋅321321b b b a a a b a rr ． 2.性质：① 对称： α βT = β αT ；（ <α,β> = <β,α> ） ② 数乘（齐次）：( λ α ) βT = α ( λ βT ) = λ ( α βT ) ； ③ 分配（可加）：( α + β) γT = α γT + β γT ；④ 自身相乘非负： α αT ≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ． 3.向量的长度（或模）： 22221Tn a a a +++==L ααα ，为非负的实数．性质：① 非负：α≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ； ② 数乘（齐次）： ααk k = ；③ 单位向量及非零向量单位化：若1=α，则α为n 维单位向量．对非零向量α ，都可单位化：ααβ= ． ④ 三角不等式： βαβα+≤+ ； ⑤ 柯西-施瓦茨不等式：222T )(βαβα≤ ．二、向量正交化1.正交向量组定义：若向量组α1，α2，……，αs 中的向量两两正交，则称该向量组是一个正交向量组． 重要的n 维正交向量组：)0,,0,1(1L =e ，)0,,1,0(2L =e ，……，),,0,0(n n L =e ．2.向量组正交化方法（Schmidt 正交化方法）：有一线性无关的向量组α1，α2，……，α r ，但不是正交向量组，用施密特（Schmidt ）正交化方法可以将其转化为一组正交且单位化的向量组． ① 正交化：令 11αβ= 1111222,,ββββααβ><><−= 222231111333,,,,ββββαββββααβ><><−><><−= ……111122221111,,,,,,−−−−><><−−><><−><><−=r r r r r r r r r ββββαββββαββββααβL ② 单位化：令111ββγ=，222ββγ=，……，rr r ββγ=．（课后看教材P.156之例6和例7．） 三、正交矩阵1.定义：设A 为n 阶实方阵，若A T A = I ，则称A 为n 阶正交方阵．2.性质：① 若A A T = I ，则A 为正交矩阵； ② 若A T = A -1 ，则A 为正交矩阵； ③ 若A 为正交矩阵，则行列式1±=A ；④ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量为一个相互正交的单位向量组；（用定义A T A = I 说明）⑤ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量为一个相互正交的向量组；⑥ 若A ，B 为n 阶正交矩阵，则AB ，BA 也是n 阶正交矩阵；因 ( AB )T ( AB ) = B T A T AB = B T B = I ． ⑦ 正交矩阵的特征值的模等于1 ．（证明略） 四、向量的正交变换：1.定义：设A 为n 阶正交矩阵，X 为任意一个n 维向量，则称Y = A X为正交变换．2.重要性质：向量X 经正交变换后长度（模）不变．因 X X X AX A X AX AX Y Y Y =====T T T T T )()( ．3.推论：两个向量做相同正交变换后，内积不变，几何图形的形状不变． 五、实对称矩阵1. n 阶实对称矩阵A 的性质：[ 简单性质：A A A A A A ===T T )(,,]① 特征值都是实数；② 不同特征值对应的特征向量正交；证明： A T = A ， AX 1 = λ1X 1 ， AX 2 = λ 2 X 2 ， λ1 ≠ λ 2 ；( AX 1 ) T = ( λ1X 1 ) T ， ( X 1 ) T A T = λ1 ( X 1 ) T ；( X 1 ) T A = λ1 ( X 1 ) T ， ( X 1 ) T A X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ；λ 2 ( X 1 ) T X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ， ( λ 2 - λ1)[ ( X 1 ) T X 2 ] = 0 ；( X 1 ) T X 2 = 0 ．③ 有n 个线性无关的实特征向量；④ 必有正交矩阵P ，使得P -1AP = P T AP = D = diag( λ1, λ2,…, λn )其中λ1, λ2,…, λn 恰为A 的n 个特征值（重根按重数依次计入）；（证明：略）2.把n 阶实对称矩阵A 用正交矩阵对角化的步骤： ① 求出A 的相异特征值λ1, λ2,…, λ 5 ；② 对每个特征值λ i ，求出( λ i I – A ) X = 0 的一个基础解系，然后再正交化、单位化；③ 将求得的n 个相互正交的单位特征向量X 1, X 2, ……, X n 作为列向量排成矩阵P （就是所求的正交矩阵）；④ 计算),,,,,diag(11s i i T λλλλ==−L L AP P AP P ，即为所求（n 个对角元素的值可能有重复）． 六、例题（P.162例9亦P.132例4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，求正交矩阵P ，使P T AP 为对角矩阵．解：① 由A 的特征方程0=−λA I ，求其特征值λ：1221105551222122210−λ−−−λ−+λ−λ−λ−λ=−λ−−−−λ−−−−λ=−λ=A I 2)1)(5(10211005+λ−λ=+λ−−λ−+λ−λ=解得51=λ，132−=λ=λ；② 求对应51=λ的特征向量，解齐次线性方程组 0X A I =−)5( ；由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=−000110112330330112422242224)5(A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000110101 ，得同解方程组 ⎩⎨⎧=−=−003231x x x x ，令 33~x x = ， 则 3132~,~x x x x == ，得特征向量 []T1111=X ；单位化： T1313131⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P ； ③ 求对应132−=λ=λ的特征向量，由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−=−−000000111222222222)(A I ，得同解方程组 0321=++x x x ，令 3322~,~x x x x == ，得特征向量 []T2011−=X ， []T3101−=X ； [与书不同，都对]正交化：[]T22011−==X α ，[][]TTT 22223331212101121101,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−−=><><−=αααααX X ；单位化： T22202121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ， T333626161⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ； [与书不同] ④ 所求正交矩阵为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−==62031612131612131221P P P P ． [与书不同]本题附：① 可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=6203161213161213112221222162616102121313131T AP P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=1000100056203561213561213562616102121313131 ． ② 用书上的P ，同样也可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．作业(P.162)：1； 6.(1)； 8；附录：关于复矩阵的共轭问题① 复矩阵的共轭矩阵 —— 每一矩阵元都取共轭；即复矩阵A = (ai j )的共轭矩阵为)(j ia=A．② 复向量的共轭向量 —— 每一元素都取共轭．。

正交矩阵及其应用1. 引言 (1)2. 正交矩阵的基本知识 (2)2.1正交矩阵的定义与判定 (2)2.2 正交矩阵的性质 (3)3.正交矩阵在数学中的应用 (4)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (4)3.2正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用 (10)4.正交矩阵在化学中的应用 (13)sp杂化轨道 (14)4.1 34.2 sp杂化轨道 (16)5.正交矩阵在物理学中的应用 (17)6. 结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)如果n阶实矩阵A满足T,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．AA E本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．关键词：正交矩阵；初等旋转矩阵；标准正交基；原子轨道的杂化；曲率；挠率AbstractIf a n-dimensional real matrix A satisfies EAA T ,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.This paper enumerats the applications of orthogonal matrix in linear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra.A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. The transition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with an orthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate1引言因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和列数相等也可以不等.矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.本文主要介绍正交矩阵与其应用.我们把n 阶实数矩阵A 满足E AA T=,称A 为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在n 维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v .v 的长度的平方是2 v .如果矩阵形式为Qv 的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt 正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt 正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.2正交矩阵的基本知识本文中在没有特别说明的情况下,A 都表示为正交矩阵,记矩阵A 的秩为()r A ,i α与j α为矩阵A 的第i 列与第j 列,T i α表示矩阵A 的第i 行. det A 表示行列式的值即det A =A .2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1.1[3]n 阶实数矩阵A 满足E AA T =（或E A A T =,或E AA=-1）,则称A 为正交矩阵.判定2.1.2 矩阵A 是正交矩阵?1T A A -=;判定2.1.3 矩阵A 是正交矩阵?1()(,1,2,0(),T ij i j i j i j αα=?==?≠? ，)n ;判定2.1.4 矩阵A 是正交矩阵?1()(,1,2,,0(),Ti j i j i j i j αα=?==?≠? )n ;备注：判定一个是方阵A 是否为正交矩阵往往用定义,即E AA T =（或E A A T=,或E AA =-1）,也可以验证A 的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.2.2 正交矩阵的性质若A 是正交矩阵,则A 有以下性质([3])：性质2.2.5 1A =±,则A 可逆,且其逆1-A 也为正交矩阵.证明显然1±=A . ()()()111---==A A AT TT所以1-A 也是正交矩阵.性质2.2.6 *A ,TA ,也是正交矩阵, 即有:(1)当1A =时, *A A T =, 即*()T ij A A =;(2)当1A =-时, *A A T =, 即*()T ij A A =-.证明若A 是正交矩阵,1T A A -=, 由性质2.2.5,T A 为正交矩阵.因为AA A A A T*1,1==±=-,所以,当1A =时, *A A T =, 即*()T ij A A =;当1A =-时.*T A A =-, 即*()T ij A A =-.从而*A 为正交矩阵. 性质2.2.7 (1,2,)kA k = 是正交矩阵. 证明因为()()kT Tk A A=,所以()()()Tkkkk Tk T AA AA E A A ===.因此,k A 也是正交矩阵性质2.2.8 lA 是正交矩阵的充分必要条件是1±=l .证明必要性若lA 是正交矩阵,则另一方面()()()1211T lA lA lA lA l AA --===,一方面()Tl A l A E=,于是,21l =,1±=l ; 充分性因为A 是正交矩阵,若1±=l ,显然lA 也是正交矩阵.性质2.2.9 若B 也是正交矩阵, 则AB ,B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 都为正交矩阵. 证明由11,--==B B A A TT可知()()111---===AB AB A B AB TTT,故AB 为正交矩阵.同理推知B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果λ是它的特征值, 那么λ1也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在可逆矩阵T , 使11n A T T λλ-?? ?= ? ???,其中n λλ,,1 为A 的全部特征值, 即()11,2,,i i n λ== . 这些性质证明略.3.正交矩阵在数学中的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens 矩阵.定义3.1[1]设向量()2212,,,,0,,,Ti k n i k t tT t t t s t t c d s s==+≠== 则称n 阶矩阵 1000100000010010000001001ik c d i G d c k i k= ?- ? ? ?为向量T 下的Givens 矩阵或初等旋转矩阵,也可记作(),ik ik G G c s =.下面给出Givens 矩阵的三个性质[2],[10]性质3.1.1 Givens 矩阵是正交矩阵.证明由2222221i k t t c d s s+=+=,则G Tik ik G E =,故ik G 是正交矩阵.性质3.1.2 设()()1212,,,,,,,T Tn ik n T t t t y G T y y y === ,则有,0,(,)i k j j y s y y t j i k ===≠.证明由ik G 的定义知, (,)j j y t j i k =≠,且22,i k i i k t t y ct dt s s s =+=+=0i k i k k i k t t t ty dt ct s s=-+=-+=,即ik G 右乘向量T ,只改变向量T 第i 和第k 个元素,其他元素不变.性质 3.1.3 任意矩阵A 右乘ik G ,ik AG 只改变A 的第i 列和k 列元素; 任意矩阵左乘ik G ,ik G A 只改变A 的第i 行和k 行元素.证明由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论. 引理 3.1.4[2]任何n 阶实非奇异矩阵 , ()nn ija A ?= 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.5[10]设Q 是n 阶正交矩阵()I 若1Q =, 则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即12r Q Q Q Q = ;()II 若1Q =-, 则Q 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -, 即12r n Q Q Q Q E -= , 其中(1,2,)i Q i r = 是初等旋转矩阵.（1111n n nE -= ?-??）.证明由于Q 是n 阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵12,,,r S S S , 使121r r S S S S Q R -= （这里R 是n 阶上三角阵）,而且R 的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是12TTTr Q S S S R = （3-11）注意到Q 是正交矩阵,由（3-11）式得,112TTTTTr r Q Q R S S S S S R E == ,即E R R =' （3-12）设R =11121222n n nn r r r r r r ??,其中,0(1,2,,1)ii r i n >=- ,则TR R =11122212nnnn r r r r r r ?? ?11121222n n nn r r r r r r ??=111?? ?. 由上式得,(,1,2,,1)1,(,1,2,,1)11,1 1.ij i j i j n i j i j n r i j n Q i j n Q ≠=-??==-?=?===??-===-?且且所以1,1n E Q R E Q -?=?=?=-??，当当 , （3-13）即,当1Q =时,12T T T r Q SS S S = ;当1Q =-时, 12T T Tr Q S S S = n E -.记(1,2,,)Ti i S Q i r == ,注意到i Q 是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理3.1.6[1]设1()ij n m R A a Am A Q O===，秩（），则其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(零矩阵.定理 3.1.7[10]设()ij n m A a Am ?==，r （）,则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵,把TA 变为R O ??的形式,其中R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(矩阵.证明由引理3.1.6知1R A Q O ??=,其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵.又根据定理1知：11,1,1r n r Q Q E Q Q Q Q Q -?=-?=?=?? ,则12,i Q i r = （，）是初等旋转矩阵. (I)当1Q =时,11211 T Tr r R R A Q Q Q R R Q Q A O O ===令，; (II)当1Q =-时,112r n R A Q Q Q E O -??= ,则111.T T r n n R R R Q Q A E E O O O --== ? ? ???????记.显然,R 是m 阶上三角阵,当n m =时,R 与1R 除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时n m >时,1R R =.综上,知本定理的结论成立.设112111n a a a α?? ? ?= ? ? ,122222n a a a α?? ? ?= ? ? ??? , ,12m m m nm a a a α??= ? ? ???是欧氏空间n R 的子空间n V 的一组基, 记11121212221212()m m m n n nm a a a a a a A aa a ααα??== ? ?是秩为的n m ?的矩阵.若()ij n m A a ?=满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵12,,,r Q Q Q ,使1T Tr R Q Q A O ??=（3-14）且 12()Tr E QQ Q Q Q == 21()TTTr Q Q Q所以2121T T T T T T Tr r Q Q Q E Q Q Q Q == （3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对A 、E 做同样的旋转变换,在把A 化为?O R 的同时,就将E 化成了TQ ,而Q 的前m 个列向量属于子空间nV .综上所述可得化欧氏空间的子空间nV 的一组基12,,,m ααα 12((,,,),1,Ti i i ni a a a i α==2,,)m 为一组标准正交基的方法:（1）由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ?=; （2）对矩阵)(E A 施行初等旋转变换,化A 为O R ,同时E 就被化为正交矩阵TQ ,这里R 是m 阶上三角阵;（3）取Q 的前m 个列向量便可得nV 的一组标准正交基. 显然,上述方法是求子空间nV 的一组标准正交基的另一种方法. 下面,我们通过实例对比Schimidt 正交化求标准正交基.例1 求以向量1(1,1,0,0)α=-,2(1,0,1,0)α=-,3(1,0,0,1)α=-为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解方法一用Schimidt 正交化把它们正交化：'11(1,1,0,0)εα==-,''2122''11(,)11(,,1,0)(,)22αεεαεε=-=--,'''''31323312''''1122(,)(,)111(,,,1)(,)(,)333αεαεεαεεεεεε=--=--- 再把每个向量单位化,得'11'1111(,,0,0)22εεε==--,'22'21112(,,,0)663εεε==--, '33'311113(,,,)2232323εεε==---. 即,1T ε,2T ε,3T ε就是由123,,T T Tααα,得到的3V 的一组标准正交基.方法二（利用连乘初等旋转矩阵）设矩阵123111100(,,)010001A ααα---??== ? ???, 对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ,23T ,34T , 12T =22002222002200100001??- ?-- ?,23T =10001200332100330001?? ? ? ? ? ?- ? ? ??,34T =10000100130022310022?? ? ? ?---??, 得34T 23T 12T )(E A =1100112222211203106 632611132300223232331111002222??- ? ? ?--------- ??,则11002211206 631113223232311112 222T P ??- ? ?-- ?= ?------- ,11112262311112262321102323310022P ??---- ? ? ?--- ?= ?-- ?- ??, 取111(,,0,0)22T P =--, 2112(,,,0)663T P =--, 31113(,,,)2232323TP =---. 那么321,,P P P 就是由123,,TTTααα,得到的3V 的一组标准正交基.对比两者的解法,用Schimidt 正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.3.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用全体n 阶正交矩阵作成的集合, 记为()n O , 从代数和拓扑的角度来看, 我们可以证明它构成一拓扑群, 并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群.(1) ()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前, 先介绍一下相关的概念.定义 2.2.1[3]设G 是任一集合, R 是G 的子集构成的子集族, 且满足: 1、结合G 与空集φ属于R ; 2、 R 中任意个集的并集属于R ; 3、 R 中任意有穷个集的交集属于R ;称R 是G 上的一个拓扑, 集合G 上定义了拓扑R , 称G 是一个拓扑空间.定义 2.2.2[3] 如果G 是一个拓扑空间, 兵赋予群的机构, 使得群的乘法运算:u G G G →?;求逆运算:v G G →;是连续映射, 就称G 为拓扑群.根据上面的定义, 我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群. <1> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. <2> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. <3> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群.证明 <1> 设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合, 以() ij a A =表示M 的一个代表元素. 我们可以把M 等同于2n 维欧氏空间2n E, 也就是将()ij a A =对应于2nE 的点()nn n a a a a a a ,,,,,,312211211 .R 是点集2nE 的子集族, 则2n E和φ都属于R ,R 中任意个集的并集属于R ,R 中有穷个集的交集也属于R , 可以验证2n E 构成一拓扑空间, 从而M 成为一拓扑空间.()n O 是所有实元素的n 阶正交矩阵, 所以是M 的子集合, 于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑, 从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.<2> 10()n O C B A ∈?,,由于矩阵的乘法满足集合律, 所以()()BC A C AB →20()st O E n n ,∈? ()A AE A E O A n n n ==∈?,30()st A AO A n ,,'1=?∈?- E AA AA A A A A ====--'1'1所以正交矩阵作成的集合()n O 对于乘法运算可构成一群.<3> 对于<1>中的拓扑空间M 的拓扑, 定义矩阵乘法M M M m →?:设()()ij ij b B a A ==?,, 则乘积()B A m ,的ij 个元素是∑=nk kj ikb a1现在M 具有乘积空间111E E E (2n 个因子)的拓扑, 对于任何满足n j i ≤≤,1的j i ,,我们有投影映射1:E M M M m ij →→?π, 将A 和B 的乘积()B A m ,映为它的第ij 个元素. 现在()∑==nk kj ik ij b a B A m 1,π是A 和B 的元素的多项式, 因此m ij π连续, 投影映射ij π是连续的,从而证明映射m 是连续的. 因为()n O 具有M 的子空间拓扑, 是M 的一个子拓扑空间,且由正交矩阵的性质<3>及上面的讨论知, 映射()()()n n n O O O m →?:也是连续的.()n O 中的矩阵可逆,定义求逆映射()()n n O O f →:,()()1-=∈?A A f O A n . 由于合成映射()()1:E O O f n n ij →→π, 将()n O A ∈?映为1-A 的第ij 个元素, 由正交矩阵的性质<2>, AA A *'=,所以AA a ji ji =, 即()AA A f ji ij =π, A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式, 且0≠A , 所以f ij π为连续的, 而投影映射ij π为连续的, 所以求逆映射()()n n O O f →:为连续的.至此, ()n O 又是一个拓扑空间,并且构成群, 对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射, 因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群, 称它为正交群.(2) ()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道以下有关的定义和定理.定义 2.2.3[4]设G 为拓扑群, G 的拓扑为n 维实(或复)解析流形, 且映射()12121,-→g g g gG g g ∈?21, 为解析流形G G ?到G 上的解析映射, 则称G 为n 维lie 群.定理 2.2.1[4]欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明M A ∈?(所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合), A 对应2 n 维欧氏空间2n E的点()nn n a a a a a a ,,,,,312111211α,M 可作为2n 维欧氏空间. A 的行列式A d e t 为元素nn n a a a a a a ,,,,,312111211的解析函数, {}0det =∈A M A 为M 中的开子集. 这时, 按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形, 且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析, 故*M 为2n 维lie 群. ()n O 为*M 的闭子集, 按诱导拓扑为子流形, ()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致, 根据定理内容, 只要证明M 等同于2n E 时, ()n O 相当于2n E内的有界闭集.设()n O A ∈?, 由于E A A ='有∑==nj ik kjij ba 1δ n k i ≤≤,1对于任意的k i ,,定义映射E M f ik →: M A ∈? ()∑==nj kj ij ik b a A f 1则()n O 为系列各集合的交集()01-ik f n k i ≤≤,1 k i ≠()11-ii f n i ≤≤1由于()n k i f ik ≤≤,1都是连续映射, 所以上述每个集合都是闭集. 因此()n O 是M 的有界闭集, 这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群, 我们称为紧lie 群, 所以()n O 是紧lie 群. (3) ()n O 是不连通的定义 2.2.4[3]设X 是一个拓扑空间, X 中存在着两个非空的闭子集A 和B , 使X B A = 和φ=B A 成立, 则称X 是不连通的.证明我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合, S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成的集合. 因为()1:det E SO n →是连续映射, 而我们知道单点集{}1是1E 的闭集,()()1det 1-=n SO ,在连续映射下, 任何一个闭集的原象也是闭集, 所以()n SO 也为闭集,()n SO 为()n O 的闭集, 同理, 我们也可以证明S 是闭集, 因为()(),n n O S SO = ()φ=S SO n ,而()n SO 和S 是闭集, 有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的.4正交矩阵在化学中的应用原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ,k φ为新的杂化轨道,i φ为参加杂化的旧轨道,ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数[4].在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则[5]：（1）杂化轨道的归一性.杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=?; （2）杂化轨道的正交性.0()k l d k l τφφ=≠?; （3）单位轨道贡献.每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即2222121nki i i ni k cc c c ==+++∑ =1.由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.4.1 3sp 杂化轨道.例 2 以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ,这样在形成4CH 分子时,激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ,2x p φ,2yp φ,2z p φ是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ,b φ,c φ,d φ,那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵,即211121314221222324231323334414243442x y z s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ??= ?= 2222xy z s p p p A φφφφ??. A 为正交矩阵,111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴的分量.在等性杂化中,四个基向量a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道2s φ,2xp φ,2y p φ,2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A .因为A 是正交矩阵,由定义可得2222111213141a a a a +++=,即11121314a a a a ===, 所以112 41a =,得11121314a a a a ====12(取正值). 又因为是等性杂化轨道.有222211213141a a a a === ,222211121314a a a a +++=1, 所以11213141a a a a ====12（取正值）. 即得到22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ?? ? ? ? ?=. 又因22232411111022222a a a ?+++=,22222223241()12a a a +++=,222324a a a ==, 取符合条件的2212a =,2312a =,2412a =. 同理,32333411111022222a a a ?+++=,22322333243411022a a a a a a ?+++=, 即32333412a a a ++=- ,32333412a a a --=-,得3212a =-,3334a a =-,取3312a =,3412a =-. 又42434411111022222a a a ?+++=, 42434411111022222a a a ?+--=,42434411111022222a a a ?-+-=, 得4212a =-,4312a =-,4412a =-.所以,11112222111122221111222211112222A ?? ? ? ?--=-- ? ? --. 可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++,22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--,22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-,22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+.4.2 sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样,线性变换211112222122x s p a a a a φφφφ=的系数矩阵11122122a a A a a ??=是正交矩阵. 根据等性杂化理论有2211211a a +=,1121a a =,22 11121a a +=,于是,112112a a ==,1212a =（取正值）. 又,221110222a ?+?=,故, 2212a =-,即,。

正交矩阵的定义正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域，如几何学、物理学和计算机图形学中都有广泛的应用。

正交矩阵是一种特殊的方阵，具有一些特殊的性质和特征。

在本文中，我们将详细介绍正交矩阵的定义及其性质。

首先，我们来定义正交矩阵。

一个n阶方阵A被称为正交矩阵，当且仅当它的转置矩阵与自身的乘积等于单位矩阵I。

换句话说，如果满足条件A^T * A = I，那么矩阵A就是正交矩阵。

其中，A^T表示矩阵A的转置。

正交矩阵的一个重要性质是，它的每一列都是单位向量，并且两两正交。

也就是说，如果A是一个n阶正交矩阵，那么它的每一列向量都是单位向量，并且互相正交。

这可以通过矩阵乘法的定义进行证明。

设A的第j列为a_j，那么有a_i^T * a_j = 0 (i ≠ j)，并且a_i^T * a_i = 1，其中a_i^T表示向量a_i的转置。

这个性质可以用来解决一些几何问题，比如判断向量的正交性。

另一个重要的性质是正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。

即，如果A是一个n阶正交矩阵，那么A的逆矩阵等于其转置矩阵，即A^(-1) = A^T。

这个性质可以通过正交矩阵定义的等式A^T * A = I推导得出。

首先，我们可以将等式两边同时乘以A^(-1)，得到A^(-1)*A^T * A = A^(-1) * I，即A^(-1) * A^T * A = I。

由于A^(-1) * A = I，所以有A^(-1) * I = I，进一步得到A^(-1) = A^T。

这个性质非常有用，可以简化正交矩阵的求逆运算。

正交矩阵还有一个重要的性质是它的行列式的绝对值等于1。

即，如果A是一个n阶正交矩阵，那么|det(A)| = 1，其中|det(A)|表示矩阵A的行列式的绝对值。

这个性质也可以通过正交矩阵定义的等式A^T * A = I推导得出。

首先，我们可以将等式两边同时求行列式，得到det(A^T * A) = det(I)，即det(A^T) * det(A) = det(I)。

正交矩阵公式正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

正交矩阵具有许多有趣的性质和特点，本文将介绍正交矩阵的定义、性质以及相关应用。

一、正交矩阵的定义正交矩阵是指矩阵的转置与逆矩阵相等的方阵。

具体而言，对于一个n阶矩阵A，如果有A^T*A=I，其中I为单位矩阵，则称A为正交矩阵。

二、正交矩阵的性质1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量，并且两两正交。

2. 正交矩阵的行（列）向量构成一组标准正交基。

3. 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。

4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。

5. 正交矩阵的行列式的值只能为1或-1。

三、正交矩阵的应用1. 旋转变换正交矩阵可以表示空间中的旋转变换。

例如，对于二维平面上的一个向量进行逆时针旋转θ度，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现。

同样地，对于三维空间中的向量进行旋转变换也可以利用正交矩阵来表示。

2. 坐标系变换正交矩阵还可以用于不同坐标系之间的变换。

例如，对于二维平面上的一个向量，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换。

3. 图像处理在图像处理中，正交矩阵常用于图像的压缩和变换。

例如，离散余弦变换（DCT）是一种常用的图像压缩方法，其中正交矩阵被用来将图像从空域转换到频域，实现对图像数据的压缩和编码。

4. 物理学中的对称性正交矩阵在物理学中的对称性研究中有重要的应用。

例如，对称矩阵的特征向量是正交的，可以通过正交矩阵的对角化来研究对称矩阵的性质和特征。

5. 数值计算正交矩阵在数值计算中也有广泛的应用。

例如，正交矩阵可以用于求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题，通过正交矩阵的特殊性质可以提高计算的效率和稳定性。

四、总结正交矩阵是一类特殊的方阵，具有许多有趣的性质和应用。

它在几何、物理学和计算机科学等领域中都有广泛的应用。

通过研究正交矩阵的定义、性质和应用，我们可以更好地理解线性代数的概念和方法，并将其应用于实际问题的求解中。

正交矩阵的作用引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义定义1 n 阶实矩阵A ，若满足A A E '=，则称A 为正交矩阵. 定义2 n 阶实矩阵A ，若满足AA E '=，则称A 为正交矩阵. 定义3 n 阶实矩阵A ，若满足1A A -'=，则称A 为正交矩阵. 定义4 n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A 为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵；当∣A ∣=1时，*A A '=，即ij ij a A =；当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-.<3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵.证明 <1>显然 1A =±()1111()()A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵.<2>1A A -'=，显然A '为正交矩阵.由 1A =±，*1A A A A-'==当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1A A -'= ，1B B -'= 可知111()()AB B A B A AB ---'''===故AB 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果λ是它的特征值，那么1λ也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.二.正交矩阵的作用（一）正交矩阵在线性代数中的作用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens 矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量12(,,,)n W w w w '= ，令)s j i =>， ,jiw w c d s s==，则称n 阶矩阵11ij c d i T d c j i j ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭行行列列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ij T ，是由向量W 的第,i j 两个元素定义的，与单位矩阵只在第,i j 行和第,i j 列相应的四个元素上有差别.设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()j i >，则有如下的性质： 〈1〉ij T 是正交矩阵； 〈2〉设12(,,,)ij n T W u u u '= 则有 ,0,(,)i j k k u s u u w k i j ===≠；〈3〉用ij T 左乘任一矩阵A ，ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元 素（用ij T 右乘任一矩阵A ，A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 〈1〉22222()1i j w w c d s++== ，故ij ij T T E '=，ij T 是正交矩阵.〈2〉由ij T 的定义知，用ij T 左乘向量W ，只改变W 的第,i j 两个元素，且0j ii jj i j w w w w u dw cw ss =-+=-+=所以ij T 左乘W ，使ij T W 的第i 个分量非负，第j 个分量为0，其余分量不变.〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.引理1 任何n 阶实非奇异矩阵()ij n n A a ⨯=，可通过左连乘 初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理1 设P 是n 阶正交矩阵〉〈1若1P =，则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即12r P PP P = ；2若1P =-，则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -，即12r P PP P = n E -，其中i P （i =1,2,…r ）是初等旋转矩22ji i i j w w u cw dw ss s =+=+=阵.nE -1111n n⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪-⎝⎭证明 由于P 是n 阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵，而且R 的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有12r P S S S R '''= （1） 由P 是正交矩阵和（1）式得E R S S S S R P P r r ='''=' 11 即 E R R =' （2）设 R =11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 其ii r >0(i =1,2,…n -1)则R R '=11122212nnnn r r r r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ =111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=11111,,2,1,,1,0P n j i P n j i n j i j i j i r ij 且且所以1,1nE P R E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩，当当 （３）于是由（1）（3）式得<1>当1=P 时，12r P S S S '''= ；<2>当1-=P 时， 12r P S S S '''= n E -. 记(1,2,,)i i P S i r '== ，i P 是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2 设()ij n m R A a A m A P O⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，秩（），则其中P 是n 阶正交矩阵，R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(零矩阵.利用以上的结论可得：定理2 设()ij n m A a A m ⨯==，秩（），则A 可以通过左连乘初 等旋转矩阵，把A '变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式，其中R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(矩阵.证明 由引理2知1R A P O⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中P 是n 阶正交矩阵，1R 是m 阶上三角阵，又根据定理1知：11,1,1r r n P P P P P P E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩ 其中），（r i P i ,21= 是初等旋转矩阵.<1>当1=P 时，11211 r r R R A PP P R R P P A O O⎛⎫⎛⎫''=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，<2>当1-=P 时，112r n R A PP P E O -⎛⎫= ⎪⎝⎭于是有 11r n R R P P A E O O -⎛⎫⎛⎫''== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，R 是m 阶上三角阵，当n m =时R 与1R 除最后一行对应元 素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时n m >时，1R R =，所以由<1>、<２>知本定理的结论成立.设112111n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，122222n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，……，12m mm nm a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是欧氏空间n R 的子空间m V 的一组基，记11121212221212()m m m n n nm a a a a a a A aa a ααα⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎪⎝⎭是秩m 为的n m ⨯的矩阵.若()ij n m A a ⨯=满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵12,,,rP P P ，使1r R P P A O ⎛⎫''= ⎪⎝⎭（４） 且),,,(21r P P P P P E ='=21(,,,)r P P P '''12121r r r P P P P E P P PP -''''''''∴== （５） 由（４）（５）两式知，对A 、E 做同样的旋转变换，在把A 化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O R 的同时，就将E 化成了P '，而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧氏空间的子空间m V 的一组基：12,,,m ααα ()12(,,,),1,2,,i i i ni a a a i m α'== 为一组标准正交基的方法为：<1>由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ⨯=；<２>对矩阵)(E A 施行初等旋转变换，化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R ，同时E 就被化为正交矩阵P '，这里R 是m 阶上三角阵；<３>取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然，上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法.下面，我们通过实例说明此方法的应用.例 求以向量1(1,1,0,0)α'=-，2(1,0,1,0)α'=-，)1,0,0,1(3'-=α为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵123111100()010001A ααα---⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ，23T ，34T12T＝0022002200100001⎛⎫- ⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,23T=100000000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭34T=10000100121002⎛⎫ ⎪ -⎪ ⎪ -⎪⎝⎭得 34T 23T 12T )(E A=0000002311110002222⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭则00011112222P ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪'= ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭，121210210022P ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭取100P ⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，20P ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3P ⎛ = ⎪ ⎪⎝⎭则321,,P P P 就是由,,,,32ααα得到的3V 的一组标准正交基. (二)正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用全体n 阶正交矩阵作成的集合，记为()n O ，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群. (1)()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.定义5 设G 是任一集合，ℜ是G 的子集构成的子集族，且满足：1o 集合G 与空集Φ属于ℜ； 2o ℜ中任意个集的并集属于ℜ； 3o ℜ中任意有穷个集的交集属于ℜ；称ℜ是G 上的一个拓扑，集合G 上定义了拓扑ℜ，称G 是一个拓扑空间.定义6 设(,)G 是一个代数体系，若满足：1o ,,,()()a b c G a b c a b c ∀∈= ； 2o st G e G a ,,∈∃∈∀e a a e a == ；3o st G a G a ,,1∈∃∈∀-11a a a a e --== ； 则称G 是一个群.定义7 如果G 是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的 乘法运算 u ： G ⨯G →G ； 求逆运算 v ： G →G ； 是连续映射，就称G 为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.〈1〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. 〈2〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. 〈3〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群. 证明 〈1〉设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合，以A =()ij a 表示M 的一个代表元素.我们可以把M 等同于n 2维欧氏空间2n E，也就是将A =()ij a 对应于2n E的点111212122(,,,,,,,,,,)n n n na a a a a a a a .ℜ是点集2n E 的子集族，则2nE 和Φ都属于ℜ，ℜ中任意个集的并集属于ℜ，ℜ中有穷个集的交集也属于ℜ，可以验证2n E 构成一拓扑空间，从而M 成为一个拓扑空间.()n O 是所有具有实元素的n 阶正交矩阵，所以是M 的子集合，于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.〈2〉1o )(,,n O C B A ∈∀ 由于矩阵的乘法满足结合律，所以)()(BC A C AB =2o st O E n n ,)(∈∃ A AE A E O A n n n ==∈∀,)(3o st A A O A n ,,1)('=∃∈∀- E A A AA A A A A ='=='=--11所以正交矩阵作成的集合 )(n O 对于乘法运算可构成一群.〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M 的拓扑，定义矩阵乘法m ：M M M ⨯→设(),()ij ij A a B b ∀==，则乘积m （A ，B ）的第ij 个元素是1nik kj k a b =∑.现在M具有乘积空间1112(E E E n ⨯⨯⨯ 个因子）的拓扑，对于任何满足1,i j n ≤≤的,i j ，我们有投影映射1:ij M E π→，将矩阵A 映为它的第ij 个元素.合成映射1:ij m M M M E π⨯→→，将A 和B 的乘积m （A ，B ）映为它的第ij 个元素.现在1(,)nij ik kj k m A B a b π==∑是A 与B 的元素的多项式，因此ij m π连续，投影映射ij π是连续的，从而证明映射m 是连续的.因为()n O 具有M 的子空间拓扑，是M 的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射()()():n n n m O O O ⨯→也是连续的.()n O 中的矩阵可逆，定义求逆映射()():n n f O O →，1()()n A O f A A -∀∈=.由于合成映射1()():ij n n f O O E π→→，将()n A O ∀∈映为1A -的第ij 个元素，即A '的第ij 个元素，由正交矩阵的性质〈2〉，*A A A '=，所以ji ji A a A =，即()ji ij A f A Aπ=，A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式，且0A ≠，所以ij f π为连续的，而投影映射ij π为连续的，所以求逆映射()():n n f O O →为连续的.至此，()n O 又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群，称它为正交群. （2）()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.定义8 设G 为拓扑群，G 的拓扑为n 维实（或复）解析流形，且映射11212(,)g g g g -→ 12,g g G ∀∈ 为解析流形G G ⨯到G 上的解析映射，则称G 为n 维lie 群.定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 A M ∀∈（所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合），A 对应2n 维欧氏空间2n E 的点1112121231(,,,,,,)n n nn a a a a a a a α ，M 可作为2n 维欧氏空间.A 的行列式det A 为元素1112121231,,,,,,n n nn a a a a a a a 的解析函数，{}det 0A M A ∈=为M的闭子集，因此{}*\det 0M M A M A =∈=为M 中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故*M 为2n 维lie 群.()n O 为*M 的闭子集，按诱导拓扑为子流形，()n O 为lie 群. 为了证明()n O 紧致，根据定理内容，只要证明M 等同于2n E 时，()n O 相当于2n E 内的有界闭集.设 ()n A O ∀∈，由于AA E '=有1nij kjik j a bδ==∑ 1,i k n ≤≤对于任意的 ,i k ，定义映射1:ik f M E → A M ∀∈ 1()nik ij kj j f A a b ==∑则()n O 为下列各集合的交集 1(0)ik f - 1,i k n ≤≤ i k ≠ 1(1)ii f - 1i n ≤≤由于(1,)ik f i k n ≤≤都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此()n O 是M 的闭集.由于11nij ij j a b ==∑，因此()n O 是M 的有界闭集，这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群，我们称为紧lie 群，所以()n O 为紧lie 群.（3）()n O 是不连通的定义9 设X 是一个拓扑空间，X 中存在着两个非空的闭子集A 和B ，使A B X = 和A B =Φ 成立，则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det ：1()n SO E →是连续映射，而我们知道单点集{}1是1E 的闭集，1()det (1)n SO -=，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以()n SO 也为闭集.()n SO 为()n O 的闭集,同理，我们也可以证明S 是闭集.因为()()n n SO S O = ， ()n SO S =Φ ,而()n SO 和S 是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的. (三)正交矩阵在化学中的作用在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ，k φ为新的杂化轨道，i φ为参加杂化的旧轨道，ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数.在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：〈1〉杂化轨道的归一性杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=⎰.〈2〉 杂化轨道的正交性0()k ld k l τφφ=≠⎰.〈3〉 单位轨道贡献每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位，即2222121nki i i ni k c c c c ==+++∑ =1.由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程. （1）3sp 杂化轨道.以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ，这样在形成4CH 分子时，激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ、b φ、c φ、d φ，那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵.211121314221222324231323334414243442x yz s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ = 2222xy zs p p p A φφφφ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 为正交矩阵，111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A .2222111213141a a a a +++= 11121314a a a a ===11241a =∴ 11121314a a a a ====12(取正值) 因为是等性杂化轨道.222211213141a a a a === 222211121314a a a a +++=1∴ 11213141a a a a ====12（取正值）∴ 22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22232411111022222a a a ⨯+++= 22222223241()12a a a +++= 222324a a a ==∴ 取符合条件的 2212a =，2312a =，2412a = 32333411111022222a a a ⨯+++= 22322333243411022a a a a a a ⨯+++= 即 32333412a a a ++=-32333412a a a --=-3212a ∴=- 3334a a =-取 3312a =，3412a =-42434411111022222a a a ⨯+++= 42434411111022222a a a ⨯+--= 42434411111022222a a a ⨯-+-= 4212a ∴=- 4312a =- 4412a =-11112222111122221111222211112222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪∴= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎪ ⎝⎭可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为：22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+（2）sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样，线性变换211112222122x s p aa a a φφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭是正交矩阵. 根据等性杂化理论 2211211a a += ，1121a a =1121a a ∴==221112121,a a a +=∴=（取正值）22220,a a =∴=A ⎫⎪⎪∴= sp ∴杂化轨道式为：122)x s p φφφ=+222)x s p φφφ=- (四)正交矩阵在物理中的作用任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线}{1111()()()()r t x t y t z t →=与曲线()r t →}{()()()x t y t z t =只差一个运动，从曲线1()r t →到曲线1()r t →的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1） 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵，1,23,,b b b 是常数. 对（1）两边求 n 阶导数得()()1()()1()()1n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有 111121312122233132331x x a x a y a z y A y a x a y a z a x a y a z z z ⎛⎫⎛⎫'''''''''''''''++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''''''''==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''++'''''' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 因为A 是正交矩阵，所以亦有1()()r t r t ''= （3）另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵TA z y x z y x z y x z y x z y x z y x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''''''''''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''111111111 两边取行列式，由det 1A =±得z y x z y x z y x A z y x z y x z y x z y x z y x z y x T ''''''''''''''''''±=''''''''''''''''''=''''''''''''''''''111111111现在取（1()r t ' 1()r t '' 1()r t '''）=（()r t ' ()r t '' ()r t ''' ） 来讨论， 而（1()r t ' 1()r t '' 1()r t '''）=-（()r t ' ()r t '' ()r t ''' ）可类似地讨论.因为111111111111111111111111y y x x z x x z z y z y z y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （4）y y x x z x x z z y z z y y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （5）（2）代入（4）的右边得111111121321222311111131333311()()()y z z x a x a y a z a x a y a z y z z x x y a x a y a z z y ''''''''''''''''''''''++++++'''''''''''''''''''++'''')()()(111133111123111113111132111122111112111131111121111111y y x x z a x x z z z a z z y y z a y y x x y a x x z z y a z z y y y a y y x x x a x x z z x a z z y y x a '''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''= （6） 因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a z z y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x ax z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''='''''' 111133111123111113y y x x a x x z z a z z y y a y y x x ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质〈2〉知，ij ij a A =且由 1(,1,2,3)nji kj jk i A A j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z AAA y z ''++''''+21122221222311()z x AAA z x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数，即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可以推得： 111331()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯ 这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率.参考文献[1]张凯院 徐仲等编 《矩阵论》 西北工业大学出版社 2001.3 160~164页[2]赵成大等 《物质结构》 人民教育出版社 1982.9 219~226页[3]熊金城编《点集拓扑讲义》高等教育出版社1998.5 110~111，193~195页[4]严志达等《lie群及其lie代数》高等教育出版社1985.10 11，16~17页[5]丘维声《有限群和紧群的表示论》北京大学出版社1997.12 271~273，276~277页[6]戴立辉等《正交矩阵的若干性质》华东地质学院学报2002.9 第25卷第31期267~268页[7]刘钊南《正交矩阵的作用》湘潭师范学院学报1987 11~16页[8]刘国志《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》抚顺石油学院学报1996.3 16卷1期78~ 81页[9]张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东科学1996.3 9卷1期14~16页[10]陈少白《空间曲线的刚体运动基不变量》武汉科技大学学报2003.12 26卷4期424~426页致谢本论文是在我的指导教师任艳丽副教授的亲切关怀和悉心指导下完成的.从论文的选材到定稿，任老师给予我亲切的关怀和指导，从任老师那里我不仅学到了专业知识，更重要的是学到了严谨的治学态度，独立研究的工作作风和不断进取的精神，在此，我谨向我的指导教师任艳丽老师表示最衷心的感谢.我要向所有教过我的老师和帮助过我的同学致以深深的感谢，是他们的孜孜不倦的教诲和无私的帮助才使我今天的工作得以顺利进行.我特别感谢我的同学和朋友，给我关怀和鼓励.我还要感谢数学系002班大学四年共同奋斗过的所有同学.。