2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟上学期高二期中考试数学(理)试题(解析版)

三湘名校教育联盟·2019年上学期高二期末考试 理科数学命题： 审题：本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}140A x x x =+-<，{}1xB x e =>，则A B =I （ ）A. ()0,1B. ()0,4C. ()1,4D. ()4,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件分别求出集合A 、B ，再利用交集运算即可. 【详解】()(){}{}14014A x x x x x =+-<=-<<Q ，{}{}10x B x e x x =>=>， ()0,4A B ∴⋂=故选：B【点睛】本题考查了不等式的解法以及交集运算，属于容易题. 2.已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简复数12z i =-，再利用复数的表示，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，复数()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-， 所以复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，756S =，则7a =（ ） A. 10 B. 12C. 16D. 20【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式以及通项公式即可求出. 【详解】()177477562a a S a +===Q ， 48a ∴=，34a =Q ，434d a a ∴=-=， 73420a a d ∴=+=故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式以及通项公式，考查了学生的计算，属于较易题. 4.下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上为减函数的是（ ） A. 1y x =-B. 1ln y x=C. 22xxy -=-D. 222,02,0x x x y x x x ⎧+>=⎨-<⎩【答案】B 【解析】 【分析】通过对每一个选项进行判断得出答案.【详解】对于A 选项：函数1y x =-在()0,∞+既不是偶函数也不是减函数，故排除； 对于B 选项：函数1lny x=既是偶函数，又在()0,∞+是减函数； 对于C 选项：函数22x x y -=-在()0,∞+是奇函数且增函数，故排除；对于D 选项：函数222,02,0x x x y x x x ⎧+>=⎨-<⎩在()0,∞+是偶函数且增函数，故排除；故选：B【点睛】本题考查了函数的增减性以及奇偶性的判断，属于较易题.5.已知,αβ为两个不同平面，l 为直线且l β⊥，则“αβ⊥”是“//l α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】当αβ⊥时，若l α⊂，则推不出//l α；反之//l α可得αβ⊥，根据充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得到答案．【详解】当αβ⊥时，若l α⊂且l β⊥，则推不出//l α，故充分性不成立； 当//l α时，可过直线l 作平面γ与平面α交于m ，根据线面平行的性质定理可得//l m ，又l β⊥，所以m β⊥， 又m α⊂，所以αβ⊥，故必要性成立， 所以“αβ⊥”是“//l α”的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，关键是掌握充分条件和必要条件的定义，判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ．6.已知向量(3,1),(1,),0=-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u rAC AB t AB BC ，若0t <，则t =（ ）A. 4-B. 3-C. 2-D. 1-【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量的线性运算求出向量BC u u u r，再利用平面向量数量积的坐标表示列出方程，即可求出t 的值．【详解】因为(3,1)AC =-u u u r ，(1,)AB t =u u u r，所以(3,1)(1,)(2,1)BC AC AB t t =-=--=--u u u r u u u r u u u r，因为0AB BC ⋅=u u u r u u u r，所以12(1)0t t ⨯+⨯--=，即220t t +-=， 解得2t =-或1t =，又0t <，所以2t =-． 故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量数量积的坐标表示，属于基础题． 7.设 1.141lg5,log 2,()2===a b c ，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据1lg52a =>=，41log 22b ==， 1.111()22<，即可得到,,a bc 的大小关系．【详解】因为函数lg y x =在(0,)+∞是单调增函数，又5=>1lg52a =>=； 因为函数1()2xy =是R 的单调减函数，又1.11>，所以 1.111()22c =<； 又41log 22b ==，所以a bc >>． 故选：A ．【点睛】本题主要考查对数函数、指数函数的单调性的应用及对数的运算，属于基础题． 8.如图是求样本数据方差S 的程序框图，则图中空白框应填入的内容为（ ）A. ()28i S x x S +-=B. ()2(1)8i i S x x S -+-=C. ()2i S x x S i+-=D. ()2(1)i i S x x S i-+-=【答案】D 【解析】 【分析】由题意知该程序的作用是求样本128,,,x x x L 的方差，由方差公式可得. 【详解】由题意知该程序的作用是求样本128,,,x x x L 的方差， 所用方法是求得每个数与x 的差的平方，再求这8个数的平均值， 则图中空白框应填入的内容为：()2(1)i i S x x S i-+-=故选：D【点睛】本题考查了程序框图功能的理解以及样本方差的计算公式，属于一般题.9.将函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于2x π=对称，则tan ϕ=（ ） A. 3-B. 3-C. 3D. 3【答案】B 【解析】【分析】运用三角函数的图像变换，可得cos 1212y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，再由余弦函数的对称性，可得,3k k Z πϕπ=-∈，计算可得所求值.【详解】函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），则可得1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把得到的图像向左平移6π个单位长度， 则可得cos 1212y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，因为所得函数图像关于2x π=对称，所以cos 1412ππϕ⎛⎫++=± ⎪⎝⎭， 即412k ππϕπ++=，解得：,3k k Z πϕπ=-∈，所以：tan tan 3ϕπ=-=故选： B【点睛】本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题.10.过双曲线22221(>0:0,>)x y a a C b b-=的一个焦点F 向其一条渐近线1:2l y x =作垂线，垂足为E ，O 为坐标原点，若OEF V 的面积为1，则C 的焦距为（ ）A. B. 3C. D. 5【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离可求得||EF ，进而可由勾股定理求出||OE ，再由1OEF S =△解方程即可求出结果． 【详解】不妨设(c,0)F ，则其到渐近线:20l x y -=的距离||EF ==在直角OEF V 中，||OE ===，所以2111||||122555OEF S EF OE c c =⋅⋅=⨯⨯==△，所以c =所以椭圆C 的焦距为 故选：C ．【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，点到直线的距离公式，同时考查方程的思想，属于基础题．11.已知函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线过点()2,7，设曲线()y f x =在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin(3)tan()+⋅-παπα的值为（ ）A.4B.4C.10D. 10-【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，可得0a =，2c =，根据导数的几何意义可得在点()1,(1)f 处切线的斜率，进而可求出在点()1,(1)f 处切线的方程，将点()2,7代入切线的方程即可求出b ，进而可求出tan α，再利用诱导公式及同角三角函数关系，即可到答案． 【详解】因为函数32()f x x ax bx c =+++的图像关于点()0,2对称，所以()()4f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立，即32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=对任意x ∈R 恒成立， 即22ax c +=对任意x ∈R 恒成立，所以0a =，2c =， 所以3()2f x x bx =++，所以2()3f x x b '=+，所以函数()f x 在1x =处的切线的斜率(1)3k f b '==+，又(1)3f b =+， 所以切线的方程为(3)(3)(1)y b b x -+=+-，又切线过点()2,7， 所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =，所以函数()f x 在0x =处的切线的斜率1(0)2k f b '===， 所以1tan 2α=，所以5sin α=，所以515sin(3)tan()sin (tan )sin tan 2+⋅-=-⋅-=⋅=⨯=παπααααα． 故选：C ．【点睛】本题考查函数的对称中心方程应用，导数的几何意义及在一点处的切线的方程，同时考查诱导公式和同角基本关系，属于中档题．12.已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆()2221x y +-=上运动，则2PM PQ的最小值为（ ） A. 2 B. 83C. 4D.163【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值. 【详解】如图：抛物线28x y =的准线方程为:2l y =-，焦点()0,2F ，过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点， 由抛物线的定义可得PF PB =,圆()2221x y +-=的圆心为()0,2F ，半径1r =，可得PQ 的最大值为1PF r PF +=+，由221PM PM PQ PF ≥+， 可令()11PF t t +=>，则12p PF t PB y =-==+，即()23,83p p y t x t =-=-，可得：()22224625256641p p x y PM t t t PF tt t +--+===+-≥=+，当且仅当5t =时等号成立，即2241PM PM PQ PF ≥≥+， 所以2PM PQ的最小值为4故选：C【点睛】本题考查了抛物线定义以及基本不等式求最小值，考查了计算能力，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为________．【答案】3 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出可行域，平移直线y x z =-+，找到z 的最大值．【详解】x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩的可行域如图：，则z x y =+经过可行域的A 时，目标函数取得最大值， 由033y x y =⎧⎨+=⎩，解得()3,0A ，所以z x y =+的最大值为3． 故答案为：3．【点睛】本题考查了线性规划问题，求线性目标函数的最值问题，考查了画图能力．利用数形结合是解决本题的关键．14.63x x ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数为______. 【答案】-160 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，令3r =，即可得2x 的系数.【详解】二项式的展开式的通项为()466316632rr r r r r r T C x C x x --+⎛=⋅⋅=-⋅⋅ ⎝， 令3r =，得2x 的系数为()3362160C -⋅=-故答案为：160-【点睛】本题考查了二项式的展开式以及组合数的计算，属于较易题. 15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S a λ+=，66316S =，则λ=______. 【答案】4 【解析】 【分析】由已知条件可判断出数列{}n a 为等比数列，再由66316S =可求出首项，再令1n =即可求出λ的值. 【详解】n n S a λ+=Q ，且11n n S a λ--+=，()1111120n n n n n n n n n n S a S a S S a a a a -----∴+-+=-+-=-=，即112n n aa -=，则数列{}n a 为等比数列且公比为12， 611611263631321612a a S ⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-Q ， 12a ∴=，在n n S a λ+=中令1n =得：124a λ== 故答案为：4【点睛】本题考查了已知,n n S a 的关系求数列通项，以及等比数列前n 项和公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.16.《九章算术》卷五《商功》中有如下叙述“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈“刍甍”指的是底面为矩形的对称型屋脊状的几何体，“下广三丈”是指底面矩形宽三丈，“袤四丈”是指底面矩形长四丈，“上袤二丈”是指脊长二丈，“无宽”是指脊无宽度，“高一丈”是指几何体的高为一丈．现有一个刍甍如图所示，下广三丈，袤四丈，上袤三丈，无广，高二丈，则该刍甍的外接球的表面积为_______________平方丈．【答案】25π 【解析】 【分析】连结AC ，BD 交于O ，可得OA OB OC OD OE OF =====，即可确定点O 为刍甍的外接球的球心，利用球的表面积公式即可得到答案．【详解】如图，连结OE ，OF ，连结AC ，BD 交于O ，可得52OA OB OC OD ====，由已知可得22352()22OE OF ==+=，所以点O 为刍甍的外接球的球心，该球的半径为52， 所以该刍甍的外接球的表面积为254()252ππ⨯=． 故答案为：25π【点睛】本题主要考查多面体外接球表面积的求法，同时考查数形结合思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知a ，b ，c 分别为ABC V 内角A ，B ，C 的对边，1cos 2a Bbc +=. （1）求A ； （2）若7a =ABC V 33，求ABC V 的周长. 【答案】（1）60A =︒；（2）57. 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦可求出角A ；(2)利用三角形面积公式可得到6bc =，再由余弦定理可求出ABC V 的周长； 【详解】(1)由正弦定理知1sin cos sin sin 2A B B C +=， ∴1sin sin()sin cos sin cos 2B A B A B B A =+-=， ∴1cos 2A =，60A =︒.（或用余弦定理将cosB 换掉求解）(2)由(1)及已知可得1333222bc ⨯=，解得6bc =， 由余弦定理知22227()3a b c bc b c bc ==+-=+-，∴5b c +=，∴ABC V 的周长为57+.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查了学生的计算能力，属于较易题.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为正方形，AC BC ⊥，E 是1AA 的中点，D 是AC 的中点.（1）证明：平面BCE ⊥平面1BDC ；（2）若2AC BC =，求二面角1C BD C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】 【分析】(1)由题意可得BC ⊥平面11ACC A 即可得1BC C D ⊥，再利用1ACE CC D ≅△△可以得到1CE C D ⊥，由线面垂直判断定理可得1C D ⊥平面BCE ，然后根据面面垂直判断定理可得结论；(2)先以C 点为原点建立空间直角坐标系C xyz -，设1BC =，写出相关点的坐标，再求出平面1BDC 的法向量和平面CBD 的法向量，由数量积公式求出二面角1C BD C --的余弦值. 【详解】（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，AC BC ⊥， ∴BC ⊥平面11ACC A ， ∴1BC C D ⊥，∵E 是1AA 的中点，D 是AC 的中点，∴1ACE CC D ≅△△， ∴1CE C D ⊥， ∵BC CE C =I ， ∴1C D ⊥平面BCE ， ∵1C D ⊂平面1BDC ， ∴平面BCE ⊥平面1BDC .（2）建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，如图：设1BC =，则()1,0,0D ，()0,1,0B ，()10,0,2C ，()1,1,0DB =-u u u r ，()11,0,2DC =-u u u u r，设平面1BDC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则1·0·0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r uu u u r r 即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩， 令2x =得()2,2,1m =u r，又平面CBD 的法向量()0,0,1n =r， ∴1cos ,34411m n m n m n→→→→===++⋅⋅u r r g ， 即二面角1C BD C --的余弦值为13. 【点睛】本题考查了面面垂直的证明，向量法求二面角的余弦值，考查了学生的逻辑推理以及计算能力，属于一般题.19.已知椭圆1C ：()222210x y a a b+=>与抛物线()220y px p =>有公共的焦点F ，且公共弦长为6（1）求a ，p 的值.（2）过F 的直线l 交1C 于A ，B 两点，交2C 于M ，N 两点，且AM BN =u u u u r u u u r，求AB . 【答案】（1）3a =，2p =；（2）112. 【解析】 【分析】(1)由椭圆以及抛物线的对称性可得到交点的纵坐标，代入1C ，2C 可得到交点的横坐标，再由有公共的焦点F ，即可得到a ，p 的值；(2)先设l ：()1y k x =-，再由直线l 交1C 于A ，B 两点，交2C 于M ，N 两点，根据根与系数的关系可得横坐标之间的关系，再由已知条件AM BN =u u u u r u u u r 可得283k =，从而可求出AB .【详解】（1）∵1C ，2C 均关于x 轴对称，∴公共弦也关于x 轴对称，∵公共弦长为y =代入1C ，2C 中解得2ax =与3x p =，∴32a p=，6ap =. ∵1C ，2C 有公共的焦点，∴2282p a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得3a =，2p =. （2）()1,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y ， ∵AM BN =u u u u r u u u r，∴()()31314242,,x x y y x x y y --=--，即1234x x x x -=-，()()221212343444x x x x x x x x +-=+-.当l 的斜率不存在时，显然不成立，∴设l ：()1y k x =-， 将l 方程代入1C 整理得()222289189720kx k x k +-+-=，21221889k x x k+=+，212297289k x x k -=+. 将l 方程代入2C 整理得()2222240k x k x k -++=，∴234224k x x k ++=，341x x =.代入()()221212343444x x x x x x x x +-=+-中解得283k =，∵AM BN =u u u u r u u u r ，∴341122x A N x B M ++===. 【点睛】本题考查了椭圆以及抛物线的对称性，以及直线与椭圆和抛物线的关系，抛物线定义求弦长，考查了学生的计算能力，属于较难题. 20.设函数()sin cos ,[0,]2=--∈f x x a x x x π．(1)当1a =时，求函数()f x 的值域； (2)若()0f x ≤，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π；(2),2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1) 当1a =时，()sin cos f x x x x =--，求导()104f x x ⎛⎫'=-≥ ⎪⎝⎭π，可知函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即可求出()f x 的值域；(2)根据已知可得sin cos a x x x ≥-，对x 分类讨论：当0x =时，不等式恒成立；当02x π<≤时，cos sin x xa x -≥，令cos ()sin -=x x h x x ，只需max ()a h x ≥即可，求导可得2sin 1cos ()sin x x x h x x +-'=，令()sin 1cos =+-g x x x x ，则()sin 0g x x x '=>，即可得()0h x '>，从而可得()22h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ππ，从而可得2a π≥．【详解】(1)当1a =时，()sin cos f x x x x =--，所以()1cos sin 104f x x x x ⎛⎫'=-+=+-≥ ⎪⎝⎭π 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，最小值为(0)1f =-，最大值为122⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ππ， 所以()f x 的值域为1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π．(2)由()0f x ≤，得sin cos a x x x ≥-， ①当0x =时，不等式恒成立，此时a R ∈； ②当02x π<≤时，cos sin x xa x -≥，令cos ()sin -=x x h x x，则22(1sin )sin (cos )cos sin 1cos ()sin sin '+--+-==x x x x x x x xh x x x，令()sin 1cos =+-g x x x x ，则()sin 0g x x x '=>， 所以()g x 在[0,]2π上单调递增，所以()(0)1g x g >=，所以()0h x '>，所以()h x 在[0,]2π上单调递增，所以()22h x h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ππ，所以2a π≥ 综上可得实数a 的取值范围,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，同时考查恒成立及分类讨论的思想，属于中档题． 21.某疾病控制中心为了研究某种病毒的抗体，将这种病毒感染源放人含40个小白鼠的封闭容器中进行感染，未感染病毒的小白鼠说明已经产生了抗体，已知小白鼠对这种病毒产生抗体的概率为15.现对40个小白鼠进行抽血化验，为了检验出所有产生该种病毒抗体的小白鼠，设计了下面的检测方案：按n （140n <<，且n 是40的约数）个小白鼠平均分组，并将抽到的同组的n 个小白鼠每个抽取的一半血混合在一起化验，若发现该病毒抗体，则对该组的n 个小白鼠抽取的另一半血逐一化验，记X 为某组中含有抗体的小白鼠的个数.（1）若5n =，求X 的分布列和数学期望. （2）为减少化验次数的期望值，试确定n 的大小.（参考数据：440.415⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，540.335⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，840.175⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1040.115⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1040.0125⎛⎫≈ ⎪⎝⎭） 【答案】（1）分布列见解析，1；（2）4 【解析】 【分析】(1)由题意可得，随机变量X 的分布满足二项分布，所以直接利用二项分布公式即可得X 的分布列和数学期望；(2)根据平均分组得到n 的可能取值，再根据二项分布可得出化验次数的期望值进行比较大小，从而可得出此时n 的值.【详解】（1）当5n =时，15,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，5514()55r rr P X r C -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4,5r =. 其分布列为1515EX np ==⨯=.（2）根据题意2,4,5,8,10,20n =，当{}2,4,5,8,10,20n ∈时，1,5X B n ⎛⎫⎪⎝⎭:，对于某组n 个小白鼠，化验次数Y 的可能取值为1，1n +，4(1)5n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，4(1)15nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴4441(1)11555n n n EY n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴40个小白鼠化验总次数的期望为40414()140155nn f n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()234.4f =，()433.6f =，()534.8f =，()838.2f =，()1039.6f =，()2041.5f =，∴按4个小白鼠一组化验可使化验次数的期望值最小.【点睛】本题考查了二项分布求分布列以及期望，考查了计算能力，属于一般题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，将单位圆221x y +=上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C ，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的参数方程；(2)设M 为曲线C 上一点，N 点的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求MN 的最大值及此时点M 的坐标． 【答案】(1)2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ参数)；(2)，此时23⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭M．【解析】 【分析】(1) 根据坐标变换可得曲线C 的方程，根据平方关系可求出其参数方程；(2) 求出N 的直角坐标，再由两点间的距离公式可求出||MN ，结合三角函数即可求出最值．【详解】(1) 依题意可得曲线 C 的直角坐标方程为2214x y +=，所以其参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (2)(0,2)N ，设(2cos ,sin )M θθ，则||MN ===所以当2sin 3θ=-时，||MM ，此时23⎛⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭M ． 【点睛】本题主要考查曲线的伸缩变换，参数方程与普通方程的互化，极坐标化为直角坐标，同时考查三角函数最值的求法，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.设函数()211f x x x =-++的最小值为m . （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，22212a b c m ++=，求ab bc +的取值范围. 【答案】（1）32m =；（2）33,22ab bc ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】(1)由题意可把含两个绝对值的函数()211f x x x =-++进行对去绝对值得到一个分段函数，再由分段函数可得到函数的最小值；(2)利用基本不等式和三角不等式即可求出ab bc +的取值范围.【详解】（1）()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，显然当12x =时，()f x 取得最小值32m =.（2）∵2222311244a b b c ≥=+++ab bc ab bc =+≥+， ∴33,22ab bc ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了含两个绝对值的分段函数，基本不等式以及三角不等式求最值，属于一般题.。

湖南省六校联考2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试卷本试题卷共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一. 选择题(12X5=60分，每小题仅有一个答案) 1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则AB =( )A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 2、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53C ．2D ．33．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7 4、下列关于命题的说法正确的是（）A ．命题“若,12=x 则1=x ”的否命题为：“若12=x ，则1≠x ”；B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件；C ．命题“a 、b 都是有理数”的否定是“a 、b 都不是有理数”；D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．5.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 6.双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.25 B.45C.255 D.4557.在△ABC 中，已知030,8,A a b === （）A ．．16C ．16D ．8.设{}n a 是公差不为零的等差数列，22a =．且139,,a a a 成等比数列，则数列 {}n a 的前n 项n S =( )A.2744n n + B.2322n n + C.2344n n+ D.222n n + 9.“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的（ ）A. 充要条件B.必要不充分条件C. 充分不必要条件D.既不充分也不必要条件10.设a >0，b >0.或3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.1411.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，若ax ＋y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为()A.12或－1B.2或12C.－2或1D.2或－1 12如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.26二、填空题：（4X5=20分）13.已知实数,x y 满足20,,4430,x y y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为 .14.已知命题p ：∀x ∈R，322++x ax ＞0，如果命题⌝P 是真命题，那么实数 a 的取值范围是．15.设等比数列{}n a 的前n 项和3n n S c =+，则常数c ＝ ． 16.现给出如下四个不等式：①112>，②111123++>，③111312372++++>，④111122315++++>，⑤11123+++…131+＞52，请你根据以上不等式的特点和规律，写出第n 不等式(即一般形式)：11123+++…+ ＞ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

湘南中学2018年下期高二年级期中考试数学学科试卷时间：120分钟分值：100学校：______姓名：___________班级：___________考号：___________分卷I一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)1.“x＝1且y＝－1”是“xy＝－1”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不必要也不充分条件2.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为()A．a n＝n B．a n＝n＋1C．a n＝n＋2D．a n＝2n3.命题“一次函数都是单调函数”的否定是()A．一次函数都不是单调函数B．非一次函数都不是单调函数C．有些一次函数是单调函数D．有些一次函数不是单调函数4.等差数列{a n}，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于()A． 45B． 75C． 180D． 3005.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A． 6B． 4C． 2D． 86.(x＋1)(x＋2)＞0是(x＋1)(x2＋2)＞0的()A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件7.1和4的等差中项和等比中项分别是()A． 5,2B．5，－2C．，4D．，±28.在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为()A． 1B． 2C．D．9.“实数m＝”是“直线l1：x＋2my－1＝0和直线l2：(3m－1)x－my－1＝0相互垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A． 9B． 10C． 19D． 29分卷II二、填空题(共5小题,每小题4.0分,共20分)11.已知数列{a n}的通项公式为a n＝则它的前4项依次为________．12.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos A＝，b＝5，B＝，则a＝________.13.已知命题p：∃c>0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：∀x∈R，x2＋2c－3>0.若p∧q为真命题，则实数c的取值范围为________．14.等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.15.下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为________．(填序号)①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|>3，q：x2>9.三、解答题(共5小题,共40分)16.判定下列数列是否是等差数列？（6分）(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….17.在等差数列{a n}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式a n（8分）18.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝a sin C－c cos A.（8分）(1)求A;(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.19.已知命题p：m2＋2m－3≤0成立．命题q：方程x2－2mx＋1＝0有实数根．若¬p为假命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．（8分）20.已知数列{an}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1.（10分）(1)证明数列{a n＋1}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．答案解析1.【答案】A【解析】由“x＝1且y＝－1”可以得到“xy＝－1”，当“xy＝－1”时，不一定得到“x＝1且y＝－1”，故“x＝1且y＝－1”是“xy＝－1”的充分不必要条件，故选A.2.【答案】B【解析】这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n＝n＋1.3.【答案】D【解析】命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．4.【答案】C【解析】∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.5.【答案】B【解析】∵a＋b＝3，∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4.6.【答案】A【解析】解(x＋1)(x＋2)＞0得x＜－2，或x＞－1；解(x＋1)(x2＋2)＞0，得x＞－1，∵当x＜－2，或x＞－1时，x＞－1不一定成立；当x＞－1时，x＜－2，或x＞－1成立，∴(x＋1)(x＋2)＞0是(x＋1)(x2＋2)＞0的必要不充分条件．7.【答案】D【解析】∴1和4的等差中项为＝，等比中项为±＝±2.故选D.8.【答案】D【解析】由＝＝＝2R及sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，可得a2＋b2－ab＝c2，∴cos C＝＝，∴C＝60°，sin C＝.∴S△ABC＝ab sin C＝.9.【答案】A【解析】当实数m＝时，直线l1：x＋y－1＝0和直线l2：x－y－1＝0相互垂直，即“实数m＝”是“直线l1：x＋2my－1＝0和直线l2：(3m－1)x－my－1＝0相互垂直”的充分条件；当“直线l1：x＋2my －1＝0和直线l2：(3m－1)x－my－1＝0相互垂直”时， (3m－1)＋2m·(－m)＝0，即m＝或m＝1.即“实数m＝”是“直线l1：x＋2my－1＝0和直线l2：(3m－1)x－my－1＝0相互垂直”的不必要条件，故“实数m＝”是“直线l1：x＋2my－1＝0和直线l2：(3m－1)x－my－1＝0相互垂直”的充分不必要条件．10.【答案】B【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．11.【答案】4,7,10,1512.【答案】8【解析】由cos A＝，得sin A＝，又由正弦定理可得＝，∴a＝＝8.13.【答案】(2,3)【解析】由于p∧q为真命题，所以p，q都是真命题，所以解得2<c<3.故实数c的取值范围为(2,3)．14.【答案】16【解析】∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)．又∵S3＝2，S6＝6，∴S9＝14.再由S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，即(S9－S6)2＝(S6－S3)·(S12－S9)，求出S12－S9＝16，即a10＋a11＋a12＝16.也可以由S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，此数列首项为S3＝2，公比q′＝＝＝2，得S12－S9＝2×23＝16.15.【答案】①②③【解析】①在△ABC中，有∠A>∠B⇔sin A>sin B，所以p是q的充要条件．②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件．③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件．16.【答案】由等差数列的定义，得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．17.【答案】a n＝2n【解析】由题意可得解得d＝2，a1＝2.∴a n＝2＋(n－1)×2＝2n.18.【答案】解(1)由c＝a sin C－c cos A及正弦定理得sin A sin C－cos A sin C－sin C＝0.由于sin C≠0，所以sin(A－)＝，又0<A<π，故A＝.(2)△ABC的面积S＝bc sin A＝，故bc＝4，而a2＝b2＋c2－2bc cos A，故b2＋c2＝8，解得b＝c＝2.19.【答案】∵¬p为假命题，p∧q为假命题，∴命题p为真命题，命题q为假命题．对于命题p：m2＋2m－3≤0成立，可得m∈[－3,1]，对于命题q：方程x2－2mx＋1＝0有实数根，可得Δ＝4m2－4≥0，解得m≥1或m≤－1. 由于q为假，则m∈(－1,1)．综上可得解得－1＜m＜1.∴实数m的取值范围是－1＜m＜1.【解析】20.【答案】(1)方法一)∵a n＋1＝2a n＋1，∴a n＋1＋1＝2(a n＋1)．由a1＝1知a1＋1≠0，从而a n＋1≠0.∴＝2(n∈N*)．∴数列{a n＋1}是等比数列．方法二)由a1＝1知a1＋1≠0，从而a n＋1≠0.∵＝＝2(n∈N*)，∴数列{a n＋1}是等比数列．(2)由(1)知{a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＋1＝2×2n－1＝2n，即a n＝2n－1.【解析】。

三湘名校教育联盟2023-2024学年下学期高二期中联考数学本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}430A x x x =∈+-<Z ，(){}2log 2B x y x ==-，则()RB A =ðA.[]2,2-B.{}1,0,1-C.{}2,1,0,1,2--D.∅2.已知复数z 的共轭复数z 满足()2i 1i z +=-，则z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的焦距为4，则C 的渐近线方程为A.2y x =±B.y =C.12y x =±D.y = 4.已知数列{}n a 中，13a =，()1112n n a n a -=-…，则2023a 等于 A.12-B.13 C.23D.35.已知()111,P x y ，()222,P x y 是直线2023y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,1x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩的解的情况，下列说法正确的是 A.无论k ，1P ，2P 如何，总是无解 B.无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解 C.存在k ，1P ，2P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解D.存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多解6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球O 是正方体的内切球，点G 是内切球O 表面上的一个动点，则GB GC ⋅的取值范围为A.[]0,4B.2⎡⎤-⎣⎦C.4,2⎡+⎣D.2⎡-+⎣7.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x =--，当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-成立.若存在[]0,1x ∈使得()()212f ax x f a --<-成立，则实数a 的取值范围是A.(),1-∞B.()+∞C.(22---+D.()1,+∞8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，M 和N 分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点F 的直线l 交C 的右支于A ，B 两点.若存在直线l 使得点M 为NAB △的重心，则C 的离心率为A.43C.2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l ：210kx y k -++=和圆O ：228x y +=，则 A.直线l 恒过定点()2,1 B.直线l 与圆O 相交C.存在k 使得直线l 与直线0l ：240x y -+=平行D.直线l 被圆O 截得的最短弦长为10.设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是 A.若()f x 的最小正周期为π，则2ω= B.若1ω=，则()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.若()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则403ω<< D.若()f x 在区间[]0,2π上恰有2个零点，则7131212ω<… 11.已知F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，A ，B ，C 是E 上三点，且()1,2A ，则下列说法正确的是A.当B ，C ，F 三点共线时，BC 的最小值为4B.若12BC =，设B ，C 中点为M ，则点M 到y 轴距离的最小值为6C.若2BF FC =，O 为坐标原点，则BOC △的面积为2D.当AB AC ⊥时，点A 到直线BC的距离的最大值为12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F D C λ=，11D P D B μ=，其中[],0,1λμ∈，则下列说法正确的是A.BP ⊥平面AECB.AP 与平面11BDD B 所成角的取值范围为[]45,60︒︒C.PE PF +D.点P 到直线1B C的距离的最小值为6PE =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆C 过点()0,0O ，且与直线40x y ++=相切，则满足要求的面积最小的圆C 的标准方程为______.14.已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin22sin 1tan ααα++的值为______.15.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的体积为______.16.如图，椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>和2C ：2222221x y a b +=有相同的焦点1F ，2F ，离心率分别为1e ，2e ，B 为椭圆1C 的上顶点，21F P F P ⊥，1F ，B ，P 三点共线且垂足P 在椭圆2C 上，则12e e 的最大值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，存在四点()0,1A ，()7,0B ，()4,9C ，()1,3D . （1）求过A ，B ，C 三点的圆M 的方程，并判断D 点与圆M 的位置关系； （2）若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8，求直线l 的方程. 18.（本小题满分12分）长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：（1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.19.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin 0b C C a c --=. （1）求角B ；（2）若点D 满足2AD DC =，且1BD =，求ABC △的面积的最大值. 20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，90ABP ∠=︒，2AB BP ==，点D 在平面ABP 内的投影F 是AB 的中点，E 是PC 的中点.（1）证明：EF ∥平面ADP ；（2）若3PD =，求二面角D EF P --的正弦值.21.（本小题满分12分） 已知函数()2ee xx f x a =-，()ln g x x =.（1）求函数()26g x x --的单调递增区间；（2）若对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在()1,0x ∈-∞，使得()()12f x g x ≠，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()()F x f x f x =+-，求函数()F x 的零点个数. 22.（本小题满分12分）椭圆E ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F .过1F 作直线1l 交E 于A ，B 两点.过2F 作垂直于直线1l 的直线2l 交E 于C ，D 两点.直线1l 与2l 相交于点P . （1）求点P 的轨迹方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围.三湘名校教育联盟・2023年下学期高二期中联考・数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】因为()(){}{}433,2,1A x x x =∈+-<=--Z ，又(){}{}2l o g 222B x y xx x x ==-=><-或，{}22B x x =-R剟ð，所以(){}2,1,0,1,2B A =--Rð，故选C. 2.【答案】A【解析】由()2i 1i z +=-可得()()()()1i 2i 1i 13i 2i 2i 2i 55z ---===-++-，所以13i 55z =+，对应点为13,55⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限.故选A. 3.【答案】C【解析】由已知得，双曲线的焦点在y轴上，双曲线的焦距2c =c = 双曲线的实轴长为24a =，解得2a =，则4b ===，即双曲线C 的渐近线方程为12a y x xb =±=±.故选C. 4.【答案】D 5.【答案】B 【解析】由题意11222023,2023,y kx y kx =+⎧⎨=+⎩则()()()12211221122023202320230x y x y x kx x ky x x -=+-+=-≠，（直线2023y kx =+的斜率存在，∴12x x ≠），故1l ：111x x y y +=与2l ：221x x y y +=相交，∴方程组总有唯一解.A ，D 错误，B 正确；若1,2x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则112221,21,x y x y +=⎧⎨+=⎩则点()111,P x y ，()222,P x y 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个点在直线2023y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴1,2x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误.故选B. 6.【答案】D【解析】取BC 中点为H ，因为GB GH HB =+，GC GH HC =+， 所以2221GB GC GH HC GH ⋅=-=-，又GH GO OH =+，则2222GH GO OH GO OH =++⋅，又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则1GO =，2OH =，所以2322cos ,GH GO OH =+，所以21222cos ,GB GC GH GO OH ⋅=-=+，所以当GO ，OH 反向时，cos ,1GO OH =-，GB GC⋅有最小值为2-； 当GO ，OH 同向时，cos ,1GO OH =，GB GC ⋅有最大值为2+故选D. 7.【答案】D【解析】由条件可知函数()f x 在R 上单调递减.存在[]0,1x ∈使得()()212f ax xf a --<-成立等价于存在[]0,1x ∈使得不等式212ax x a -->-成立.由212ax x a -->-得()211x a x ->+，∵[]0,1x ∈，∴10x -…，∴①当1x =时，02>不成立；②当[)0,1x ∈时，211x a x +>-有解.求当[)0,1x ∈时，函数211x y x+=-的最小值.令(]()10,1t x t =-∈，则221(1)1221x t y t x t t+-+===+--， 而函数22y t t=+-是(]0,1上的减函数，所以当且仅当1t =，即0x =时，min 1y =. 故1a >，故选D. 8.【答案】A【解析】依题意，(),0M a ，()0,N b .点M 为NAB △的重心时，AB 中点3,22a b P ⎛⎫-⎪⎝⎭.设()11,B x y ，()22,A x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=.两式作差得：22BA OP b k k a ⋅=.其中，3OP b k a=-.又因为B ，A ，F ，P 四点共线，所以232BA FPb k k ac ==-.故222332bb b a a ac -⋅=-，解得34c a =，故43e =.故选A.9.【答案】BD【解析】对于A ，由210kx y k -++=可得，()210k xy +-+=，令20x+=，即2x =-，此时1y =，所以直线l 恒过定点()2,1-，A 错误；对于B ，因为定点()2,1-=<()2,1-在圆内，所以直线l 与圆O 相交，B 正确；对于C ，因为直线0l ：240x y -+=的斜率为12，所以直线l 的斜率为12，此时直线l 的方程为240x y -+=，直线l 与直线0l 重合，故C 错误；对于D ，设直线l 恒过定点()2,1A -，圆心到直线l的最大距离为OA =，此时直线l 被圆O截得的弦长最短为=D 正确；故选BD. 10.【答案】AD【解析】对于A ，若()f x 的最小正周期为π，则2ππω=，解得2ω=，故A 正确；对于B ，若1ω=，则()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，23x π=时，()2sin 136f x ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,6626x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则6262ππωππ-<-…，解得403ω<…，故C 错误； 对于D ，[]0,2x π∈时，,2666x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若()f x 在[]0,2π上恰有2个零点， 则226πππωπ-<…，解得7131212ω<…，故D 正确.故选AD. 11.【答案】ACD 【解析】依题意，2p =.对于A 选项，当B ，C ，F 三点共线时，BC 为焦点弦.通径（垂直于对称轴的焦点弦）最短，最短为2p ，故A 正确；对于B 选项，12BF CF BC +=…（当且仅当B ，C ，F 三点共线时等号成立），即212B C x x ++…，故5M x …，所以点M 到y 轴距离的最小值为5，B 错误；对于C 选项，依题意，BC 为焦点弦且2BF CF =.不妨设直线BC 的倾斜角α为锐角，则1cos pBF α=+，1cos p CF α=-，解得1cos 3α=，故22sin 2p S α==C 正确；对于D 选项，设直线BC ：x my n =+，()11,B x y ，()22,C x y ，与抛物线方程联立，得：2440y my n --=.由韦达定理有：124y y m +=，124y y n ⋅=-.依题意121222111y y x x --⋅=---.即()()()()121222110y y my n my n --++-+-=，整理得：()()()22121212(1)40m y y mn m y y n ++--++-+=.代入韦达定理可得：()()22341n m -=+，解得()213n m =±++，其中()213n m =++时，直线过定点()5,2-，()213n m =-++时，直线过点A ，不符合题意，故直线BC 过定点()5,2P -，点A 到直线BC的距离最大值为AP =正确.故选ACD. 12.【答案】ACD【解析】对于A 选项，平面AEC 即为平面1AB C ，易知A 正确；对于选项B ：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接OP ，知AO ⊥平面11BDD B ，所以APO ∠即为AP 与面11BDD B 所成角，所以2s i n AO APO AP AP ∠==，由P 在1D B 上知AP ∈⎣，所以1sin 2APO ∠⎡∈⎢⎣⎦，因为()0,90APO ∠∈︒︒，所以APO ∠的范围是[]30,60︒︒，即直线AP 与平面11BDD B 所成角的范围是[]30,60︒︒，故B 错误；对于C 项，把问题转化为在平面11ABC D 内求点P 使得PE PF +最小，如图，作点E 关于线段1D B 的对称点1E ，过点1E 作11D C ，AB 的垂线，垂足分别为F 和H ，则1PE PF E F +…，设1E BA ∠θ=，则()1111sin sin 3ABD C BD θ∠∠=-=，故11sin 6E H BE θ==，故166E F ==.对于D 项，当23μ=时，P ∈平面1AB C 且A ，P ，E 三点共线.此时1PE B C ⊥，1PE BD ⊥，即此时P 到直线1B C的距离最小，最小值为13AE =.故选ACD. 13.【答案】()()22112x y +++=【解析】过O 作直线40x y ++=的垂线，垂足为A . 当OA 为直径时，圆C 的面积最小.O 到直线40x y ++=的距离d ==可知半径r =(),a b 在直线0x y -=上，且222a b +=，解得1a =-，1b =-，所求圆的方程为()()22112x y +++=. 14.【答案】725-【解析】由3sin 45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭)3cos sin 5αα+=，两边平方得72sin cos 25αα=-.所以()222sin cos cos sin sin22sin 2sin cos 2sin 72sin cos sin 1tan cos sin 251cos αααααααααααααααα+++====-+++. 15.【解析】由已知该三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，设D ，1D 分别是AB ，11A B 的中点，O 是1DD 中点，则O 就是三棱柱外接球球心，121sin602ABC S =⨯⨯⨯︒=△，12V Sh DD ==⨯=，即12DD =，OA ===.所以334482333V OA πππ=⨯=⨯=.16.【答案】12【解析】由图知1111OF c e a BF ==，122212222OF c c e a a PF PF ===+ 则121212PF PF e e BF +=，设12PF F ∠θ=， 则()122sin cos PF PF c θθ+=⋅+，1cos c BF θ=则()121sin cos cos 242e e πθθθθ⎛⎫=+⋅=++ ⎪⎝⎭…. 17.【解析】（1）设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=，把A ，B ，C 三点坐标代入可得：10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-，8E =-，7F =，所以圆M 方程是228870x y x y +--+=把D 点坐标代入可得：1982470+--+<，故D 在圆M 内；（2）由（1）可知圆M ：()()224425x y -+-=，则圆心()4,4M ，半径5r =，由题意可知圆心到直线l 的距离是3，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=，3=，解得43k =-，故直线l 的方程为43130x y +-=； 当直线l 斜率不存在时，则直线l 方程为：1x =，此时圆心到直线l 的距离是3，符合题意.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.【解析】（1）450.1550.26650.2750.3850.08950.0666.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以本次考试成绩的平均分约为66.8；因为成绩在[)40,70的频率为()0.010.0260.02100.56++⨯=，成绩在[)40,80的频率为0.560.03100.86+⨯=，所以第71百分位数位于[)70,80，设其为x ，则()0.56700.030.71x +-⨯=，解得75x =，所以第71百分位数为75；（2）第5组的人数为：500.008104⨯⨯=人，可记为A ，B ，C ，D ；第6组的人数为：500.006103⨯⨯=人，可记为a ，b ，c ；则从中任取2人，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共21种情况，其中至少有1人成绩优秀的情况有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c (),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种情况.所以至少有1人成绩优秀的概率155217P ==.19.【解析】（1）由正弦定理可得：sin cos sin sin sin 0B C B C A C --=又在三角形ABC 中，()sin sin A B C =+，∴()sin cos sin sin sin 0B C B C B C C -+-=，sin cos sin sin 0B C B C C --=，又在三角形ABC 中，sin 0C >，cos 1B B -=，∴1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵()0,B π∈，∴3B π=；（2）由2AD DC =，可得()11123333BD BA AD BA AC BA BC BA BC BA =+=+=+-=+， 两边平方可得222144999BD BC BA BC BA =++⋅，即221441cos 999a c ac B =++， 所以229426a c ac ac =++…，当且仅当2a c =时取“=”，所以32ac …，所以1sin 2ABC S ac B =…△所以ABC △. 20.【解析】（1）证明：取DP 的中点G ，连接EG ，GA∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ∥，∵F 为AB 中点，∴AF CD ∥，且12AF CD =， ∵G 为DP 中点，E 为CP 中点，∴EG 为CDP △的中位线，∴EG CD ∥，且12EG CD =， 即AF EG ∥，且AF EG =，故四边形AFEG 是平行四边形，∴EF AG ∥，又AG ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，∴EF ∥平面ADP ；（2）取CD 中点N ，连接BN ，∵点D 在平面ABP 内的投影为F ，∴DF ⊥平面ABP .∵PF ===3DP =∴2DF ===，∵BN CD ⊥，则2BN DF ==，由于BA ，BN ，BP 两两垂直，则可以点B 为坐标原点建系，以BA 为x 轴，BP 为y 轴，BN 为z 轴，则有()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,2,0P ，()1,0,0F ，1,1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,0,2D ， 则3,1,12DE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，3,1,12EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,2,0FP =-， 设平面DEF 的法向量为()1111,,n x y z =，则110,0,DE n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111130,230,2x y z x y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 令13y =，则12x =，10z =，故()12,3,0n =，设平面PEF 的法向量为()2222,,n x y z =，则220,0,EF n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222230,220,x y z x y ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩ 令21y =，则22x =，22z =，故()22,1,2n =，1212124cos ,13n n n n n n ⋅+===⋅ 设二面角D EF P --的平面角为θ，则sin θ==. 故二面角D EF P --的正弦值为39. 21.【解析】（1）由260x x -->得：2x <-或3x >，即()26g x x --的定义域为{}23x x x <->或，令26m x x =--，ln y m =在()0,m ∈+∞内单调递增， 而(),2x ∈-∞-时，26m x x =--为减函数， ()3,x ∈+∞时，26m x x =--为增函数，故函数()26g x x --的单调递增区间是()3,+∞. （2）由21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与()1,0x ∈-∞可知()[]21,1g x ∈-，()1e 0,1x ∈ 所以112e e 1x x a ->或112e e 1x x a -<-， 分离参数得11211e e x x a >+，或11211e e x x a <-有解， 令11ex n =，则1n >，2a n n >+或2a n n <-有解， 得2a >或0a <；（3）依题意()()()222ee e e e e e e 2x x x x x x x x F x a a a a ----=-+-=+-+-， 令e e x x t -=+，则函数()F x 转化为()()222h t at t a t =--…，此时只需讨论方程220at t a --=大于等于2的解的个数，①当0a =时，()0h t t =-=没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；②当0a >时，()020h a =-<，当()20h >时，1a >，方程没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；当()20h =时，1a =，方程有一个等于2的解，函数()F x 有一个零点；当()20h <时，01a <<，方程有一个大于2的解，函数()F x 有两个零点.③当0a <时，()020h a =->，()2220h a =-<恒成立，即方程不存在大于等于2的解，此时函数()F x 没有零点.综上所述，当1a =时，()F x 有一个零点；当01a <<时，()F x 有两个零点；当0a …或1a >时，()F x 没有零点.22.【解析】（1）设(),P x y ，依题意()11,0F -，()21,0F ，且120PF PF ⋅=.所以()()2110x x y +-+=，整理得221x y +=. 故点P 的轨迹方程为221x y +=；（注：也可以用斜率之积为1-来求轨迹方程，但需讨论斜率不存在的特殊情况.否则扣1分）（2）依题意，12S AB CD =⋅. 过1F 作平行于2l 的直线交E 于M ，N 两点，由对称性知CD MN =.①当1l 的斜率为0或斜率不存在时，14362S =⨯⨯=； ②当1l 的斜率存在且不为0时，设1l ：1x my =-，()11,A x y ，()22,B x y .联立方程221,34120,x my x y =-⎧⎨+-=⎩消元得：()2234690m y my +--=.()2Δ1441m =+故()2212134m AB m +==+， 同理，()2222112112143134m m CD MN m m ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦===+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 故()()()2222721123443m S AB CD m m +=⋅=++. 令21t m =+，()1,t ∈+∞，则()()22727211314112t S t t t t ==+--++， 其中211491212,4t t ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦， 故288,649S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 综上，288,649S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.。

湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.不等式x2－5x＋6<0的解集是A. {x|－2<x<3}B. {x|－3<x<2}C. {x|2<x<3}D. {x|－3<x<－2}【答案】C【解析】【分析】根据二次不等式的解法得到答案.【详解】不等式x2－5x＋6<0等价于（x-2）(x-3)<0,根据二次函数的性质得到，解集是(2，3)，故选C【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.在等差数列{a n}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，则{a n}的前11项的和为A. 22B. －33C. －11D. 11【答案】D【解析】【分析】a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2, S11＝=11 a6进而得到结果【详解】等差数列{a n}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，则a5＋a7＝2，∴a6＝(a5＋a7)＝1，∴{a n}的前11项的和为S11＝＝11a6＝11×1＝11.故选D.【点睛】点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.3.在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆面积为A. B. π C. 2π D. 4π【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.【详解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.4.设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．5.若，则下列说法正确的是（）A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质以及特殊值法判断即可．【详解】A．取a=1，b=-3，c=2，d=1，可知不成立，B．取c=0，显然不成立，C．取a=-3，b=﹣2，显然不成立，D．根据不等式的基本性质，显然成立，综上可得：只有B正确．故选：D．【点睛】本题考查了不等式的基本性质、举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力，属于基础题．6.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】在△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2ab cos C，得13＝9＋b2－2×3b×，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故选A.7.已知数列{a n}满足：a1＝－13，a6＋a8＝－2，且a n－1＝2a n－a n＋1(n≥2)，则数列的前13项和为A. B. － C. D. －【答案】B【解析】【分析】根据题干变形可得到数列{a n}为等差数列，再由等差数列的公式得到通项，最终裂项求和即可. 【详解】a n－1＝2a n－a n＋1(n≥2)，可得a n＋1－a n＝a n－a n－1，可得数列{a n}为等差数列，设公差为d，由a1＝－13，a6＋a8＝－2，即为2a1＋12d＝－2，解得d＝2，则a n＝a1＋(n－1)d＝2n－15.，即有数列的前13项和为＝×＝－.故选B.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

湖南省三湘名校教育联盟2018～2019学年高二下学期期末考试数学试题 理本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A={0 <)4)1(−+x x x ,B= {1 >xxe }，则=B A A.(0,1) B. (0,4) C.(1,4) D.(4, +∞)2.复数iiz +−=13的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，56,473==S a ，则=7a A.10B.12C.16D.204.下列函数既是偶函数，又在(0，+∞)上为减函数的是A. 1−=x yB. x y 1ln =C.xx y −−=22 D. ⎪⎩⎪⎨⎧−+=0<,20>,222x x x x x x y5.已知βα,为两个不同平面，l 为直线且α⊥l ，则“βα⊥”是“α∥l ”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量0),,1(),1,3(=⋅=−=t ，若0 <t ，则=t A.-4B.-3C.-2D.-17.设1.14)21(,2log ,5lg ===c b a ，则 A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a8.如图是求样本数据方差S 的程序框图，则图中空白框应填入的内容为A. 8)(2x x S S i −+=B.8)()1(2x x S i S i −+−=C. i x x S S i 2)(−+=D. ix x S i S i 2)()1(−+−=9.将函数)cos()(ϕ+=x x f 图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关 于2π=x 对称，则=ϕtanA. 33−B. 3−C. 33± D. 3± 10.过双曲线C: )0>0,>(12222b a b y a x =−的一个焦点F 向其一条渐近线x y l 21:=作垂线，垂足为E,0为坐标原点，若△OEF 的面积为1，则C 的焦距为 A. 5− B.3 C. 52 D. 511.已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图像关于点（0,2)对称，曲线)(x f y =在点（1，)1(f )处的切线过点(2,7)，设曲线)(x f y =在0=x 处的切线的倾斜角为α，则)tan()3sin(απαπ−⋅+的值为A.105 B. 105− C. 426− D. 462− 12.已知点M(0,4)，点P 在抛物线y x 82=上运动，点Q 在圆1)2(22=−+y x 上运动，则PQPM 2的最小值为 A.2 B. 38 C.4 D. 316二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年上学期高二期中考试理科数学一：选择题。

1.已知集合，且，则集合B可以是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，或，由得出B．【详解】解：，或，且；符合条件的只有B．故选：B．【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算2.已知命题p：，，则为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案．【详解】解：命题p：，，则为，，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键．3.已知，均为单位向量，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．【详解】解：，均为单位向量，且，，，则，故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．4.已知等差数列的前n项和为，，则A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】分析：把已知与求值式全部用首项和公差表示，详解：由题意，∴，∴．故选B．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论．5.已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为A. 10B. 12C. 16D. 20【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义即可得到结果．【详解】椭圆，可得，三角形的周长，，所以：周长，由椭圆的第一定义，，所以，周长．故选：D．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查．6.已知数列满足，，则A. 2nB.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用数列的递推关系式，推出是等差数列，然后求解数列的通项公式．【详解】数列满足，，可得：，所以数列是等差数列，可得：，可得，故选：D．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．7.设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A. 逆命题与否命题均为真命题B. 逆命题为假命题，否命题为真命题C. 逆命题为假命题，逆否命题为真命题D. 否命题为假命题，道否命题为真命题【答案】A【解析】【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．【详解】解：原命题：“设a、，原命题“若，则”，是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.下列函数中，最小周期为且为偶函数的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：为偶函数，但它的最小正周期为，故排除A；由于为非奇非偶函数，故排除B；为偶函数，但它的最小正周期为，故排除C；为偶函数，且它的最小正周期为，故D满足条件，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题．9.要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：函数，故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．10.当时，恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对，不等式恒成立通过以及，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：，且，解得，时，不恒成立，综上．故选：C．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而通过双曲线的离心率，求解即可．【详解】设，点，，椭圆椭圆E：，椭圆的离心率为，，，则，所以，点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为：，故选：C．【点睛】本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12.在中，若，则角A的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据即可得出，从而得出，进而得出，从而可求出A的最大值．【详解】；，；，且；的最大值为．故选：A．【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及的应用．二：填空题。