第03课时(任意角的三角函数)
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第3课时任意角的三角函数(1)一、学习目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.二、问题导引预习教材P166——170的内容,思考下面的问题.在前面的学习中,我们在初中角的基础上将角的概念进行了推广,得到了任意角的概念,另外,还学习了角的另一种度量方法——弧度制.在初中学习了锐角后,我们研究了锐角的三角函数,现在,学习了任意角,那么我们能研究任意角的三角函数吗?如果能,又该如何研究呢?能通过锐角的三角函数来研究任意角的三角函数吗?三、即时体验1.填表:角正弦余弦正切2.已知角α的终边过点P(-3, 4),则sinα=, cosα=, tanα=.3.角-1328°的正弦值、余弦值、正切值的符号分别是、、.四、导学过程类型1由角的终边上的点求三角函数值【例1】已知角α的终边经过点P(2, -5),求α的正弦值、余弦值、正切值.类型2三角函数值的符号的判定【例2】确定下列三角函数值的符号:(1) cos; (2) sin(-565°); (3) tan.类型3由三角函数值求角的终边上的点的坐标【例3】已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4, y)是角θ终边上一点, 且sinθ=-,求y的值.五、课堂练习1. (多选)若sinθcosθ<0,则角θ的终边在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若<θ<π,则点P(cosθ, sinθ)位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知角α的终边经过点P(5, 12),则sinα+cosα=.4. sin1 cos2 tan3值的符号是.5.已知角α的终边经过点P(5t, 12t)(t≠0),求sinα+cosα的值.六、课后作业1. 若-<θ<-π,则点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若角α的终边过点P(2sin30°, -2cos30°),则sinα的值等于 ()A. B. - C. - D. -3.若sinαcosα>0, cosαtanα<0,则角α的终边落在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. (多选)已知θ是第二象限角,则下列判断中正确的是()A. sin cos>0B. sin<0C. cos<0D. tan>05.已知角α的终边经过点P,则sinα=, tanα=.6. sin cos tan的值的符号是(填“正”或“负”).7. 已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,那么sinα·cosα=.8.设是第一象限角,且|cosα|=-cosα,则α可能是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角9. (多选)函数y=++的可能取值为()A. -3B. -1C. 1D. 310.已知角θ的终边过点P(x, 3)(x≠0),且cosθ=x,那么tanθ=.11.若角α的终边过点P(-4m, 3m)(m≠0),求2sinα+cosα的值.12.已知角α的终边在直线y=kx上,若sinα=-,且cosα<0,试求k的值.13.已知角α的终边上一点P到x轴、y轴的距离之比为4∶3,且cosα<0,求cosα-sinα的值.。
第三课时: 任意角的三角函数(第3课时) 编写人:潘有金 审核人:张广泉 审批:苏自先 学习目标:1.理解同角三角函数的基本关系式;2.能利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和证明。
预 习 案一、教材助读认真阅读课本P 18 -P 20 ,完成下列问题同角三角函数的基本关系式:———————————————;———————————————二、预习自测(牛刀小试)1.已知sin α=15,且α为锐角,则cos α=( )A.45 B .± 45 C. ±5 D. 52. 已知sin α=15,则cos α=( )A.45 B .± 45 C. ±5 D. 53.已知cos α=45-,求sin α、tan α的值4.化简下列各式:(1)cos θ·tan θ;(2)222cos 112sin αα--;5.求证:(1)sin 4α-cos 4α=sin 2α-cos 2α;(2) sin 4α+ sin 2α·cos 2α+cos 2α=1.三、我的疑惑在下面记下预习中的困惑在课上和同学讨论或向老师请教第三课时: 任意角的三角函数(第3课时)导 学 案一、学始于疑同学们首先认真独立思考如下问题 问题:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,我们能不能利用单位圆的性质,讨论同一个角的不同三角函数之间的关系?二、质疑探究小组内讨论上述问题,准备展示,将组内不能解决的问题用小纸 条交给老师探究 同角三角函数的基本关系式三、拓展提升例1. 已知sin α=35-,求cos α,tan α的值。
例2.已知tan α=125-,2παπ<<,求sin α,cos α的值。
例3.已知tan α=125-,求sin α,cos α的值。
例4.已知tan α=-2,求下列各式的值: ⑴sin 2cos 2sin 3cos αααα+-; ⑵2sin sin cos ααα+例5.证明:cos 1sin 1sin cos x x x x +=-例6.化简下列各式:⑴(1+tan 2α)·cos 2α;α在第三象限)四、课堂小结将本节课我们学习了如下知识和方法填入下表中五、课堂检测(见多媒体)第三课时: 任意角的三角函数(第3课时)固 学 案让我们独立完成如下问题,以巩固我们的所学1.已知sin α=45,α∈(2π,π),则tan α=( )A.43-B.43C.±43 D. ±342.已知sin α=45,α∈(0,π),则tan α=( )A.43- B.43 C.±43 D. ±343.已知tan α=34,α∈(π,32π),则cos α=( )A. ±45 B. 45 C. 45- D. 354.下列等式中,不成立...的是( )A.222tan sin 1tan ααα=+ B. 221cos 1tan αα=+C.4422sin cos sin cos αααα-=-D. sin α= 5. 已知tan α=34-,求sin α、cos α的值。
5.2.1 三角函数的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》(人教A版)第五章《三角函数》,本节课是第3课时,这是节关于任意角的三角函数的概念课.三角函数是高中范围内继指数函数、对数函数和幂函数之后学习的函数,是函数的一个下位概念,与指对数函数、幂函数属于同一抽象( 概括)层次。
它是一种重要的基本初等函数,是解决实际问题的重要工具,也是学习数学中其他知识内容的基础。
在初中,学生已学过锐角三角函数,知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。
在此基础上,随着角的概念的推广,引入弧度制,相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数,此时它与三角形已经没有什么关系了。
任意角的三角函数是研究一个实数集( 角的弧度数构成的集合)到另一个实数集( 角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系。
认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助,这里体现了数形结合的思想,由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数,再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数,直至得到任意角的三角函数的定义,体现了合情推理的思想方法。
本节课将围绕任意角三角函数的概念展开,任意角三角函数的概念是本节课的重点,能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键。
A.借助单位圆理解任意角三角函数的定义;B.根据定义认识函数值的符号,理解诱导公式一;C.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题;D.体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结1.教学重点:任意角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)的定义;2.教学难点:任意角的三角函数概念的建构过程。
多媒体一、复习回顾,温故知新 1. 1弧度角的定义【答案】等于半径长的圆弧所对的圆心角 2. 角度制与弧度制的换算:【答案】︒︒︒≈==30.571801180)(弧度,ππ3. 关于扇形的公式【答案】.21)3(;21)2(;12lR S R S R l ===αα)( 4.在初中我们是如何定义锐角三角函数的? 【答案】.tan ,cos ,sin abc a c b ===ααα二、探索新知探究一.角α的始边在x 轴非负半轴,终边与单位圆交于点P 。
第三课时 任意角的三角函数例题展示(笔记整理)知识点一:任意角的三角函数设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上任意一点,点P 与原点的距离r=22y x +>0,那么:①r y 叫做α的正弦,即sinα=r y ; ①r x 叫做α的余弦,即cosα=r x ; ①x y 叫做α的正切,即tanα=xy(x≠0).这样定义三角函数,突出了点P 的任意性,说明任意角α的三角函数值只与α有关,而与点P 在角的终边上的位置无关。
例1 已知角α的终边经过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值. 解:由已知,可得OP 0=22)4()3(-+-=5.于是sinα==54-;cosα=x 53-; tanα=x y =a cos sin =34. 变式训练.求35π的正弦、余弦和正切值.解:在平面直角坐标系中,作①AOB=35π,如图: 易知①AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(21,23-),所以sin35π=23-,cos 35π=21,tan 35π=3-.知识点二:象限角的三角函数符号正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的;余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.从而完成上面探究问题.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 例2 .求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三象限角.⎩⎨⎧><.0tan ,0sin θθ 证明:我们证明如果①①式都成立,那么θ为第三象限角.因为①sinθ<0成立,所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上;又因为①式tanθ>0成立,所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.因为①①式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限. 于是角θ为第三象限角. 变式训练(2007北京高考)已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是( )A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角 答案:C知识点三:诱导公式一及应用由三角函数的定义,(公式一):利用公式一,2π(或0°到360°)角的三角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”.例3.求下列三角函数值: (1)sin390°;(2)cos619π;(3)tan(-330°). 解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=21; (2)cos619π=cos(2π+67π)=cos 67π=23-;(3)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan30°=33. 点评:本题主要是对诱导公式一的考查,利用公式一将任意角都转化到0—2π范围内求三角函数的值.变式训练( 已知角α的终边在直线y=-3x 上,则10sinα+3secα的值. 解:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则x=k,y=-3k,r=22(-3k)k +=10|k |.(1)当k>0时,r=10k ,α是第四象限角, sinα=r y =kk 103-=10103-,secα=x r=k k 10=10,①10sinα+3secα=10×10103-+310=-310+310=0.(2)当k<0时,r=k 10-,α为第二象限角, sinα=r y =k k 103--=10103,secα=xr=k k 10-=10-,①10sinα+3secα=10×10103+3×(10-)=310-310=0. 综合以上两种情况均有10sinα+3secα=0.特殊角的三角函数值(记忆)。
引入新课
1、回顾初中锐角的三角函数的定义
2、问题:
(1)怎样用坐标法定义锐角的三角函数? (2)怎样用坐标法定义任意角的三角函数?
3、三角函数的定义及其定义域:在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ,它与原点的距离是)0(22>+=
y x r r 。
(1)比值_____叫做α的正弦,记作__________,即___________,定义域为__________。
(2)比值_____
叫做α的余弦,记作__________,即___________
,定义域为__________。
(3)比值
_____叫做α的正切,记作__________,即___________,定义域为__________。
4、各象限内三角函数值的符号。
正弦:填入[ ]中;余弦:填入( )中;正切:填入{ }中 5、有向线段、有向线段的数量
6、三角函数线表示三角函数值。
[ ]
( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { }
x
y O
例题剖析
例1、已知角α的终边经过点(2,3),求α的正弦、余弦、正切。
例2、确定下列三角函数值的符号: (1)7cos
12π (2)sin(465)- (3)11tan 3
π
思考:根据单位圆中的三角函数线,探究:(1)正弦、余弦、正切函数的值域; (2)正弦、余弦函数在]2,0[π上的单调性;(3)正切函数在区间(-2π,2
π
)上的单调性。
例3、已知角α的始边为x 轴的正半轴,终边在直线y kx =
上,若sin α=
,且cos 0α<,试求实数k 的值。
巩固练习
1、已知角α的终边经过点)4,3(-P ,则sin α=_______,cos α=_______,tan α=________。
2、已知角α终边经过点)12,(--x P ,且cos α=13
5
,则x =_________。
3、设α是三角形一内角,在sin α,cos α,tan α,tan 2
α
中,
有可能取负值的有_________。
4、确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号。
(1)885° (2)-395° (3)619π (4)-3
25π
5、若0cos <α,且0tan <α,则α为第_______象限角。
6、作出下列各角的正弦线,余弦线、正切线。
(1)611π
(2)-3
2π
课堂小结
三角函数的定义;各象限内三角函数值的符号;用三角函数线表示三角函数值。
课后训练
班级:高一( )班 姓名__________
一、基础题
1、已知角α的终边经过点(8,6)--,则=αsin ______,=αcos _____,=αtan _________。
2、已知角α的终边经过点1)-,则=αsin ______,=αcos _____,=αtan _________。
3、已知角α终边在直线2y x =上,则=αsin ______,=αcos _____,=αtan _________。
4、=︒+︒-︒+︒180cos 10270sin 30sin 290sin 5____________。
5、=+---2
sin cos 6tan 31cos 4cos 6
sin
22
π
ππππ
π
_____________。
二、提高题
6、求函数)4
3
sin(32cos 4)4sin(2)4sin()(πππ
++--++
=x x x x x f 的值 (1)4
π
=x
(2)4
3π
=x
7、确定下列各式的符号
(1))108tan(310cos ︒-︒ (2)πππ6
11tan 54cos 45sin
三、能力题
8、根据下列条件,确定θ是第几象限角或是哪个坐标轴上的角 (1)0sin <θ且0cos >θ (2)0cos sin >θθ (3)0tan sin >θ
θ
(4)θθsin |sin |=
9、作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线 (1)4
π
(2)π314
(3)π43- (4)6
π
-
批改时间:。