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2020-2021学年河北省石家庄二中高三（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U R =，集合{|(4)0}A x x x =-<，2{|log (1)2}B x x =-<，则()(U A B =⋂ )A ．{|14}x x <<B ．{|01}x x <C ．{|04}x x <<D ．∅2．（5分）对于任意复数1z ，2z ，任意向量a ，b ，给出下列命题，其中真命题的个数是()①1212||||||z z z z ++；②||||||a b a b ++；③若2212z z =，则12z z =±；④若22a b =，则a b =±．A ．1B ．2C ．3D ．43．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为( ) A ．5B ．5C ．2D ．24．（5分）函数2()sin f x x x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒，根据以上性质，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y =-++++-的最小值为( )A ．2BC ．2D ．2+6．（5分）若01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则x ，y ，z 大小关系正确的是()A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<7．（5分）据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19．现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为( ) A ．67B ．335C ．1135D ．0.198．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，M 是BC 的中点，AM c b =-，4a =，则ABC ∆的面积的最大值为( )A B ．C ．D ．二、多选题（每小题5分，共20分）9．（5分）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和n S ，780a a +<，则下列结论一定正确的是()A ．若10a >，则公差0d <B ．若10a <，则7S 最小C ．150S <D ．140S <10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的有( ) A ．直线1A BB ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC11．（5分）函数()(1)x f x x e lnx =---在(0,)+∞上有唯一零点0x ，则下列四个结论正确的是( ) A ．1=B ．1>C ．001x x e =D ．0112x e <<12．（5分）椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是( )A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF ∆的周长为8B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF =C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3 三、填空题（每小题5分，共20分） 13．（5分）已知向量(1,1)a =，b 与a 的夹角为34π，且||1a b +=，则b = ． 14．（5分）在41(1)x x--的展开式中，常数项为 ． 15．（5分）请你举出与曲线()sin 2f x x =在原点(0,0)处具有相同切线的一个函数： ． 16．（5分）棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为 ，内切球球面上有一动M ，则13MB MC +的最小值为 ．四、解答题（每小题12分，共72分）17．（12分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=；②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-，]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期．18．（12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足422(*)n n n S a n N -=∈． （1）设1n n n b a a +=+，证明：{}n b 是等比数列． （2）求n S ．19．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，24AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折，使点A 至点1A 位置，若M 为线段1A C 的中点． （1）证明：//MB 平面1A DE ，并求MB 的长．（2）在翻折过程中，当三棱锥1A DEM -的体积取最大值时，求平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值．20．（12分）某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系： 鱼的重量（单位：百斤） 2040X <<4060X60X >冲水机只需运行台数1 23若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)(n y x ⋯，)n y ，其回归方程ˆˆˆyb a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1122211()()ˆ()nni iii i i nniii i x ynxyxx y y bxnx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．21．（12分）已知点(1,0)A -，(1,1)B -，抛物线2:4C y x =，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，O 为坐标原点．（1）求OM OP ⋅；（2）证明：直线PQ 恒过定点．22．（12分）已知函数2()1xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数．（1）若1b =，且当0x 时，()1f x 总成立，求实数a 的取值范围； （2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：1231()()2f x f x e a+<+<．2020-2021学年河北省石家庄二中高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U R =，集合{|(4)0}A x x x =-<，2{|log (1)2}B x x =-<，则()(U A B =⋂ )A ．{|14}x x <<B ．{|01}x x <C ．{|04}x x <<D ．∅【解答】解：{|04}A x x =<<，{|014}{|15}B x x x x =<-<=<<，U R =，{|1U B x x ∴=或5}x ，(){|01}U AB x x =<．故选：B ．2．（5分）对于任意复数1z ，2z ，任意向量a ，b ，给出下列命题，其中真命题的个数是()①1212||||||z z z z ++；②||||||a b a b ++；③若2212z z =，则12z z =±；④若22a b =，则a b =±．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由复数与平面向量满足三角形法则，①1212||||||z z z z ++；②||||||a b a b ++；知①②正确，由复数的运算知，若2212z z =，可得22120z z -=，即1212()()0z z z z +-=，则12z z =±，成立，故③正确，若(1,1)a =，(1,1)b =-，满足22a b =，但不满足22a b =，故④错误． 故选：C ．3．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为( )AB ．5CD ．2【解答】解：焦点到渐近线的距离等于实轴长， 2b a ∴=，2222215c b e a a∴==+=、5e ∴=故选：A ．4．（5分）函数2()sin f x x x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数2()sin f x x x x =+是偶函数，关于y 轴对称，故排除B ， 令()sin g x x x =+，()1cos 0g x x ∴'=+恒成立， ()g x ∴在R 上单调递增， (0)0g =，()()0f x xg x ∴=，故排除D ，当0x >时，()()f x xg x =单调递增，故当0x <时，()()f x xg x =单调递减，故排除C ． 故选：A ．5．（5分）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒，根据以上性质，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y =-++++-的最小值为( )A ．2B 3C ．23D ．23+【解答】解：根据题意画出图象并建立如图所示的直角坐标系， 设三角形三个顶点分别为A ，B ，C ，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y -++++-(,)x y到点(1,0)C ，点(1,0)B -，点(0,2)A 的距离之和，可知ABC ∆为等腰三角形， 则这个等腰三角形的“费马点”在高线AO 上，设点G 为“费马点”，连接GB ，GC ，则60OGB OGC ∠=∠=︒， 3GO =，23GB GC ==，32GA =-， ∴距离之和为32323223GA GB GC ++=-++=+． 即函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y =-++++++-的最小值为23+． 故选：D ．6．（5分）若01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则x ，y ，z 大小关系正确的是()A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<【解答】解：01a b <<<；01b a a a a b b ∴<<<=，log log 1b b a b >=；x y z ∴<<．故选：A ．7．（5分）据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19．现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为( ) A ．67B ．335C ．1135D ．0.19【解答】解：由连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19，则连续熬夜48小时没有诱发心脏病的概率为0.945，连续熬夜72小时没有诱发心脏病的概率为0.81，则这人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为0.8160.9457P ==， 故选：A ．8．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，M 是BC 的中点，AM c b =-，4a =，则ABC ∆的面积的最大值为( )A B ．C ．D ．【解答】解：在ABM ∆中，由余弦定理得，222224()cos 24AB BM AM c c b B AB BM c +-+--==⋅， 在ABC ∆中，由余弦定理得，2222216cos 28AB BC AC c b B AB BC c +-+-==⋅，则22224()1648c c b c b c c+--+-=，即2248b c bc +=-， 因为(0,)BAC π∠∈，2216212cos (1,1)2b c bc BAC bc bc+--∠==∈-，所以(4,12)bc ∈，又sin BAC ∠=所以11sin 22ABC S bc BAC bc ∆=∠=故当8bc =时，ABC S ∆的面积的最大值为． 故选：B ．二、多选题（每小题5分，共20分）9．（5分）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和n S ，780a a +<，则下列结论一定正确的是()A ．若10a >，则公差0d <B ．若10a <，则7S 最小C ．150S <D ．140S <【解答】解：A 、当10a >时，因为7812130a a a d +=+<，所以0d <，故A 正确． B 、当10a <，0d <时，满足780a a +<，n S 无最小值，故B 错误．C 、当10a >，0d <，且满足780a a +<时，80a <，此时15815S a =，当10a <，0d >，且满足780a a +<时，8a 的符号无法确定，故C 错误．D 、14787()0S a a =+<，故D 正确．故选：AD ．10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的有( ) A ．直线1A BB ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC【解答】解：对于A ，由于11//A B D C ，且1A B ⊂/平面1ACD ，可得直线1//A B 平面1ACD ； 对于B ，由于11//B B D D ，且1D D ⋂平面11ACD D =，可得直线1B B 不平行平面1ACD ； 对于C ，由于11A DAD ，1A D ⊂平面11A DC ，可得平面11A DC 不与平面1ACD 平行；对于D ，由于11//A B D C ，11//C B D A ，1A B ，1C B ⊂平面11A BC ，可得平面11//A BC 平面1ACD ． 故选：AD ．11．（5分）函数()(1)x f x x e lnx =---在(0,)+∞上有唯一零点0x ，则下列四个结论正确的是( ) A ．1=B ．1>C ．001x x e =D ．0112x e <<【解答】解：函数()f x 的零点即为方程(1)0x x e lnx ---=，即(1)x x e lnx =--的根， 等价于函数()(1)x g x x e lnx =--的图象与直线y =有唯一公共点，11()1(1)()x x x g x e xe x e x x'=-+-=+-，(0)x >， 因为1()x t x e x=-在(0,)+∞上单调递增，且当0x +→时，()t x →-∞，当x →+∞时，()t x →+∞，所以存在0x ，使得0010x e x -=，且当00x x <<时，0010x e x -<，()0g x '<，()g x 单调递减， 当0x x >时，0010x e x ->，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以00000000011()()(1)(1)11x x g x g x x e lnx x ln x lne x x =--=-+=-+=，所以1=，A 正确，B 错误；又0010x e x -=，所以001xx e =，C 正确； 令()1(0)x h x xe x =->，则()(1)x h x x e '=+，当112x e <<时，()0h x '>，1211()1022h e =-<，故D 错误；故选：AC ．12．（5分）椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是( )A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF ∆的周长为8B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF = C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3 【解答】解：对于选项A ：由椭圆定义可得：1212||||||||24AF AF BF BF a +=+==，因此1ABF ∆的周长为121122||||||||||||||48AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++==，所以选项A 正确；对于选项B ：设(,)P m n ，则2214m n +=，且22m -，又1(F，2F ，所以1(3,)PF m n =--，2(3,)PF m n =-，因此2222123()132044m m PF PF m m n m =-+=+--=-=，解得[2m -，2]，故选项B正确； 对于选项C ：因为24a =，21b =，所以2223c a b =-=，即c 所以离心率c e a ==所以选项C 错误；对于选项D ：设1(p x，1)y ，则点P 到圆221x y +=的圆心的距离为||PO =因为111y -，所以||||113max max PQ PO =+==， 所以选项D 正确， 故选：ABD ．三、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量(1,1)a =，b 与a 的夹角为34π，且||1a b +=，则b = (1,0)-或(0,1)- ． 【解答】解：因为向量(1,1)a =，所以||2a =，由||1a b +=， 平方得2221a a b b +⋅+=，即2322||cos ||14b b π++=，解得||1b =， 设(,)b x y =，由夹角公式得，3cos4π，所以1x y +=-，与221x y +=联立， 解得01x y =⎧⎨=-⎩或10x y =-⎧⎨=⎩，所以(0,1)b =-或(1,0)b =-．故答案为：(0,1)-或(1,0)-． 14．（5分）在41(1)x x--的展开式中，常数项为 5- ． 【解答】解：41(1)x x--的展开式中的通项公式：4141(1)()(0r r r r T x r x-+=--=，1，2，3，4)． 1()r x x -的通项公式：211()(1)r r rrT x x x--+=-=-，令20r -=，即2r =．0r =，0=；2r =，1=；4r =，2=． ∴常数项122244115=-⨯+⨯=-．故答案为：5-．15．（5分）请你举出与曲线()sin 2f x x =在原点(0,0)处具有相同切线的一个函数： 2y x = ． 【解答】解：因为()sin 2f x x =，所以()2cos2f x x '=，则(0)2f '=，因此与曲线()f x 在原点处具有相同切线的函数的图象必过原点 且在原点的导函数等于2，如直线2y x =过原点，又2y '=，满足题意． 故答案为：2y x =．16．（5分）棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为 球球面上有一动M ，则13MB MC +的最小值为 ．【解答】解：将正四面体ABCD放入如图的正方体，则正四面体ABCD=设正四面体ABCD 的内切球半径为r ，根据等体积法有3321114436323r -⨯⨯⨯=⨯，解得r =所以外接球与内切球的半径之和为=由阿波罗尼斯球得内切球球心O 是线段CH 上以C ，E 为定点，空间中满足(1)PCPEλλ=≠的点P 的集合，连结CO 并延长交平面ABD 于点H ，交内切球上方的点设为K ， 过M 作ME CH ⊥，交CH 于点E ，连结BM ，CM ，设OE x =，由（1）空可知，KC HCCO OH KE HE===，=，解得x =，3KC KE λ===， 所以3MCME=， 所以13MC ME =，所以13MB MC MB ME BE +=+，在BOE ∆中，BO CO OE ===1cos cos 3BOE BOH ∠=-∠=-，所以BE ==，所以13MB MC +的最小值为．故答案为：．四、解答题（每小题12分，共72分）17．（12分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=；②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-，]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期．【解答】解：（Ⅰ）由函数212()2cos sin f x x x ωω=+， 则2(0)2cos 0sin 02f =+=；（Ⅱ）选择条件①，则()f x 的一个周期为π；由2()2cos sin 2f x x x =+(cos21)sin 2x x =++2)1x x =+)14x π=++；因为[,]26x ππ∈-，所以372[,]4412x πππ+∈-；所以1sin(2)14x π-+，所以1()12f x +； 当242x ππ+=-，即38x π=-时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值为1-选择条件②，则()f x 的一个周期为2π； 由2()2cos sin f x x x =+22(1sin )sin x x =-+ 21172(sin )48x =--+；因为[,]26x ππ∈-，所以1sin [1,]2x ∈-；所以当sin 1x =-，即2x π=-时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值为1-．18．（12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足422(*)n n n S a n N -=∈． （1）设1n n n b a a +=+，证明：{}n b 是等比数列． （2）求n S ．【解答】（1）证明：由422n n n S a -=可得：111422n n n S a +++-=，两式相减整理得：112n n n a a -++=， 又当1n =时，有11422S a -=，解得：11a =，当2n =时，有22224244(1)2S a a a -==+-，解得：20a =， 1211a a b ∴+==，11211222nn n n n n n n b a a b a a +++-++===+，∴数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（2）解：由（1）知：112n n n a a -++=，∴当n 为偶数时，0211234121()()()2223n n n n n S a a a a a a ---=++++⋯++=++⋯+=； 当n 为奇数时，13212345121()()()12223n n n n n S a a a a a a a --+=+++++⋯++=+++⋯+=， 综合以上，可得：12(1)3n n n S -+-=．19．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，24AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折，使点A 至点1A 位置，若M 为线段1A C 的中点． （1）证明：//MB 平面1A DE ，并求MB 的长．（2）在翻折过程中，当三棱锥1A DEM -的体积取最大值时，求平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图，取1DA 的中点H ，连接MH ，EH ，因为M 为1A C 的中点，H 为1DA 的中点，所以//MH CD ，12MH CD =，又E 为AB 的中点，所以//EB CD ，12EB CD =，所以//MH EB ，且MN EB =，即四边形MHEB 为平行四边形，所以//MB HE ，又MB ⊂/平面1A DE ，HE ⊂平面1A DE ，所以//MB 平面1A DE ， 因为四边形MHEB 为平行四边形，所以MB HE =，又△1A DE 为等边三角形，H 为1DA 的中点，所以3HE ，即3MB = （2）如图，连接EC ，设三棱锥1A DEM -的高为h ，因为M 为1A C 的中点，所以111126A DEM A DEC DEC V V V h --==⋅，又2DE =，4DC =，60EDC ∠=︒，所以DEC S ∆为定值，在翻折过程中，当平面1A DE 垂直于平面DEBC 时，h 最大，三棱锥1A DEM -的体积取最大值，取DE 的中点O ，连接1A O ，因为平面1A DE ⊥平面DEBC ，平面1A DE ⋂平面DEBC DE =，1AO DE ⊥， 所以1A O ⊥平面DEBC ，取DC 的中点为N ，以OE 所在直线为x 轴，ON 所在直线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0A ，0，3)，(2B ，3，0)，(1C ，23，0)， 所以1(2A B =，3，3)-，(1BC =-，3，0)， 设平面1A BC 的法向量(n x =，y ，)z ，则1233030n A B x y z n BC x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得(3,1,3)n =， 又平面1A DE 的一个法向量(0m =，1，0)， 所以13cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅，因为二面角的平面角为锐角，所以平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值为13．20．（12分）某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系： 鱼的重量（单位：百斤） 2040X<<4060X60X >冲水机只需运行台数1 23若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)(n y x ⋯，)n y ，其回归方程ˆˆˆyb a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1122211()()ˆ()nni iii i i nniii i x ynxyxx y y bxnx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．【解答】解：（1）依题意，5x =，4y =，51()()26i i x x y x --=∑．∴51521()()3ˆ13()i ii x x yy bx x --==-∑∑，337ˆˆ451313ay bx =-=-⨯=， 所以337ˆ1313yx =+． 当10x =时，67ˆ513y=>，故此方案可行． （2）设盈利为Y ，安装1台时，盈利5000Y =， 安装2台时，2040X <<，3000Y =，15p =；40X ，10000Y =，45p =．14()300010000860055E Y ∴=⨯+⨯=，安装3台时，2040X <<，1000Y =，15p =，；4060X ，8000Y =，P 35=；60X >，15000Y =，15P =．131()10008000150008000555E Y ∴=⨯+⨯+⨯=．86008000>，故应提供2台增氧冲水机．21．（12分）已知点(1,0)A -，(1,1)B -，抛物线2:4C y x =，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，O 为坐标原点．（1）求OM OP ⋅；（2）证明：直线PQ 恒过定点．【解答】解：（1）设点1(M x ，1)y ，2(P x ，2)y ，由题意，设直线:1l x my =-， 由214x my y x=-⎧⎨=⎩得2440y my -+=， △216160m =->，21m ∴>，又124y y =， ∴212121212()14516y y OM OP x x y y y y ⋅=+=+=+=．（2）证明：设23(4y Q ，3)y ，直线BQ 的斜率为BQ，直线QM 的斜率为QM，直线PQ 的斜率为PQ，M ，B ，Q 三点共线，BQ QM∴=，∴31322233111444y y y y y y +-=--，即32313114y y y y +=-+， 23133(1)()4y y y y ∴++=-，即131340y y y y +++=，124y y =，124y y ∴=，∴33224440y y y y ⋅+++=，即23234()40(*)y y y y +++=，23223232444PQy y y y y y -==+-，∴直线PQ 的方程是222234()4y y y x y y -=-+，即22232()()4y y y y x y -+=-， 2323()4y y y y y x ∴+-=，由(*)式可知，23234()4y y y y -=++代入上式，得23(4)()4(1)y y y x ++=-， 令4010y x +=⎧⎨-=⎩，解得14x y =⎧⎨=-⎩，∴直线PQ 恒过定点(1,4)-．22．（12分）已知函数2()1x e f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数．（1）若1b =，且当0x 时，()1f x 总成立，求实数a 的取值范围； （2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：1231()()2f x f x e a+<+<． 【解答】解：（1）当1b =，则22212()(),()1(1)x xae ax x ea f x f x ax x ax x -+='=++++，当102a <时，()0f x '，()f x 在[0，)+∞上单调递增，()(0)1f x f =； 当12a >时，()f x 在21[0,]a a -上单调递减，在21[,)a a-+∞上单调递增，则21()()(0)1min a f x f f a-=<=，不成立， ∴实数a 的取值范围为1(0,]2．（2）证明：当0b =时，2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+='=++， 函数()f x 存在两个极值点，2440a a ∴->，即1a >，由题意知，1x ，2x 为方程2210ax ax -+=的两根，故121212,x x x x a+==， 不妨设12x x <，则12012x x <<<<，121221122212()()112x x x x e x e x e e f x f x ax ax ++=+=++，由（1）知，当211,,0,121x e b a x ax x ==++，即2112x e x x ++（当且仅当0x =时取等号）， ∴当0x >时，恒有2112x e x x >++，221212221112121211111163()()[(1)(1)][(4)](2)122222222f x f x x x x x x x x x x x x x a a+>+++++=++++=+=+第21页（共21页） ， 又211121212111()()[(2)]22x x x x x e x e f x f x x e x e -++==+-， 令2()(2)(01)x x h x xe x e x -=+-<<，则2()(1)()0x x h x x e e -'=-+>， ∴函数()h x 在(0,1)上单调递增，()h x h （1）2e =，从而12()()f x f x e +<， 综上可得：1231()()2f x f x e a+<+<．。
2020-2021学年河北省石家庄二中高二（上）线上考试数学试卷（二）（8月份）一、单选题（每小题5分）1. 已知a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是（）A.a+b≥b+cB.ac>bcC.(a−b)c2≥0D.c2a−b>02. 已知正数x、y满足8x +1y=1，则x+2y的最小值是（）A.18B.16C.8D.103. 已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b3+b11＝（）A.3B.6C.7D.84. 如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H5. 已知⊙M:x2+y2−2x−2y−2＝0，直线l:2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为（）A.2x−y−1＝0B.2x+y−1＝0C.2x−y+1＝0D.2x+y+1＝06. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2c=√6b,C=60，则B＝（）A.45∘B.45∘或135∘C.30∘D.30∘或150∘7. 长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，E为棱AA1的中点，则直线C1E 与平面CB1D1所成角的余弦值为（）A.√69B.5√39C.√53D.238. 方程|y|−1=√3−(x−2)2所表示的曲线的长度是()A.6πB.2√3πC.2√3π+4√3D.6π+129. 已知△ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A.√3B.32C.1 D.√3210. 数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+...+a k+10＝215−25，则k＝（）A.2B.3C.4D.511. 在三棱锥A−SBC中，AB=√10，∠ASC=∠BSC=π4，AC＝AS，BC＝BS，若该三棱锥的体积为√153，则三棱锥S−ABC外接球的体积为（）A.πB.4√3πC.√5πD.π312. 已知椭圆C的焦点为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为( )A.x22+y2=1 B.x23+y22=1 C.x24+y23=1 D.x25+y24=1二、填空题（每小题5分）13. 若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0,则z＝x+7y的最大值为________．14. 在△ABC中，A＝60∘，a＝3，则a+b+csin A+sin B+sin C=________．15. 已知椭圆C:x24+y2b2=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，|PF1|=3,∠F1PF2=π3，则b＝________32．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，且AB＝2，∠DAB＝60∘，△PAD是等边三角形，PB=√6,Q点是侧面PBC内的一个动点，且满足DQ⊥AC，则Q点所形成的轨迹长度是________．三、解答题17. 已知等差数列{a n}的前n项的和记为S n．如果a4=−12，a8=−4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n的最小值及其相应的n的值．18. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝4，△ABC的面积为2√3．，求△ABC的周长；（1）若A=π3（2）求sin B⋅sin C的最大值．19. 如图，在三棱锥P−ABC中，PB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，PB＝BC＝2．（1）证明：AC⊥平面PBC；，线段PA的长．（2）若二面角B−PA−C的余弦值为√101020. 已知点M(−1, 0)，N(1, 0)，设△TMN的面积为S，内切圆半径为r，且S＝3r．（1）求点T的轨迹W的方程；（2）已知B(−2, 0)，C(2, 0)，点P是直线x＝4上的动点，直线PB与曲线W的一个交点为E．直线PC与曲线W的一个交点为F，并且P，E，F都不在坐标轴上．求证：直线EF经过定点．参考答案与试题解析2020-2021学年河北省石家庄二中高二（上）线上考试数学试卷（二）（8月份）一、单选题（每小题5分）1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】B12.【答案】B二、填空题（每小题5分）13.1 14. 【答案】 2√3 15. 【答案】 32 16. 【答案】 2√73三、解答题 17.【答案】解：(1)设公差为d ，由题意可得{a 1+3d =−12，a 1+7d =−4，解得{d =2，a 1=−18.故可得a n =a 1+(n −1)d =2n −20.(2)由(1)可知数列{a n }的通项公式a n =2n −20， 令a n =2n −20≥0，解得n ≥10，故数列{a n }的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数， 故当n =9或n =10时，S n 取得最小值， 故S 9=S 10=10a 1+10×92d =−180+90=−90.18. 【答案】因为S △ABC =12bc sin A =√34bc =2√3，所以bc ＝8，由余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，所以(b +c)2＝a 2+3bc ，又∵ a ＝4，bc ＝8，∴ (b +c)2＝40，即b +c ＝2√10，∴ △ABC 的周长为4+2√10； 由正弦定理得：a sin A=b sin B=c sin C，∴ sin B ⋅sin C =bcsin 2A a 2，又S △ABC =12bc sin A =2√3，a ＝4， ∴ sin B ⋅sin C =√3sin A 4≤√34，当sin A ＝1，即A =π2时等号成立，此时b 2+c 2＝a 2＝16，即b ＝2√3，c ＝2或b ＝2，c ＝2√3， 故A =π2时，sin B ⋅sin C 取得最大值√34．19.【答案】证明：∵ PB ⊥平面ABC ，PB ⊂平面PBC ，∴ 平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，在平面ABC 内，过A 作AE ⊥BC ，则AE ⊥平面PBC ． ∵ 平面PAC ⊥平面PBC ，且平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，在平面PAC 内，过A 作AF ⊥PC ，则AF ⊥平面PBC ，则AE 与AF 重合为AC ． ∴ AC ⊥平面PBC ；由PB ⊥平面ABC ，PB ⊂平面PAB ，得平面PAB ⊥平面ABC ，又平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，在平面ABC 内，过C 作CG ⊥AB ，则CG ⊥平面PAB ， ∴ CG ⊥PA ，过G 作GH ⊥PA ，垂足为H ，连接CH ． 则CH ⊥PA ．∴ ∠CHG 为二面角B −PA −C 的平面角，可得cos ∠CHG =√1010，则sin ∠CHG =3√1010． 设AC ＝x ，则AB =√x 2+4，CG =2x √x 2+4， PC =2√2，则PA =√8+x 2，CH =√2x √8+x 2，则Rt △CGH 中，sin ∠CHG =CG CH=√x 2+42√2x √2=3√1010． 解得x ＝1．∴ PA =√8+12=3．20. 【答案】设△TMN 的周长为l ，则由S ＝3r ，得12lr =3r ，即l ＝6 所以|TM|+|TN|＝4，即T 在以M ，N 为焦点，以4为长轴长的椭圆上．设该椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 则a ＝2，b 2＝a 2−1＝3． 所以点T 的轨迹W 的方程为x 24+y 23=1；证明：设P(4, t)，E(x 2, y 2)，F(x 2, y 2)，则直线PB 的方程为y =t 6(x +2){x 24+y 23=1y =t6(x +2)⇒(27+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−108=0，−2x 2=4t 2−10827+t 2⇒x 1=54−2t 227+t 2y 1=t6(x 1+2)=t 6(54−2t 227+t 2+2)=18t27+t 2，即E(54−2t 227+t 2,18t27+t 2)直线PC 的方程为y =t2(x −2){x 24+y 23=1y =t 2(x 2−2) ⇒(3+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−12=0，2x 2=4t 2−123+t 2⇒x 2=2t 2−63+t 2y 2=t2(x 2−2)=t 2(2t 2−63+t 2−2)=−6t3+t 2，即F(2t 2−63+t 2,−6t3+t 2)设直线EF 与x 轴交点为K(m, 0)，则KE →,KF →共线． 又KE →=(54−2t 227+t 2−m ⋅1827+t2),KF →=(2t 2−63+t 2−m,−63+t 2)则(54−2t 227+t 2−m)⋅−6t3+t 2=(2t 2−63+t 2−m)⋅18t27+t 2 化简得m ＝1．所以直线EF 经过定点(1, 0)．。
石家庄二中2020-2021学年高二8月线上考试（一)数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1。
已知a 〈0，0〈b <1，则下列结论正确的是( )A.a 〉abB.a >ab 2C.ab 〈ab 2D.ab 〉ab 2 2。
记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243SS S =+,12a =，则=5a ( )A ．12-B ．10-C ．10D ．123。
在△ABC 中，,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =（ ）。
A ．10B ．5C ．10D ．54。
圆224690x y x y +--+=的圆心到直线10ax y ++=的距离为2，则a =（ ） A ．43-B ．34-C D ．2 5. 数列{}n a 中,121n n a a +=+，11a =，则6a =(）A ．32B ．62C ．63D ．646。
若直线220(0,0)ax by a b -+=>>，被圆222410xy x y ++-+=截得弦长为4，则41a b +的最小值是(）A ．9B ．4C ．12D ．147. 在数列{}n a 中，10a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,则{}n a 的通项公式为（ )．A ．ln nan = B ．()()1ln 1na n n =-+ C ．ln nan n = D ．ln 2nan n =+-8。
在ABC ∆中，2,6AB C π==,则3AC BC +的最大值为（）A ．27B ．37C ．47D ．579。
若00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值为3,则a 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 10。
如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）A 。
河北省石家庄市2020-2021学年高二上学期期末检测数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆29x + 27y =1的焦点坐标是（ ）A ．（0，B ．（，0）C ．（40±，）D ．（0，4±） 2．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与至少有一个红球C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是红球4．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6 个个体的编号为（ ）78 16 65 72 06 02 63 14 07 02 43 69 97 28 01 9832 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81A ．03B ．07C ．04D ．01 5．已知双曲线x 2-24y =1上一点P 与左焦点1F 的连线的中点M 恰好在y 轴上，则|PF 1｜等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．有2个人在一座6层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则2 个人在不同楼层离开的概率为（ ）A ．16B ．56C ．35D ．457．已知P （x ，y ）是直线kx +y +3=0（k >0）上一动点，P A ，PB 是圆C ：2x +2y -2y =0的两条切线，.A 、B 是切点，若四边形P ACB k 的值为（ ）A B C ．D ．8．四棱锥S -ABCD 中(4,2,3)AB =-，(4,1,0)AD =-，(3,1,4)AP =--，则这个四棱锥的高h 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知抛物线y 2=8x ，点C 为抛物线的准线与x 轴的交点，过点C 做直线l 交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 的垂直平分线在x 轴上截距的取值范围是（ ）A ．（3，+∞）B ．（6，+∞）C ．[3.+∞）D ．[6，+∞ ）二、填空题10．命题p ： ∀x ∈R ，2x +1>0，则⌝p 是____________.11．如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有390粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_____________.12．已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的各个面都是平行四边形，并且满足条件AB =AD ＝AA 1＝1，∠BAD =∠BAA 1＝∠DAA 1=3π，则AC 1的长等于__________. 13．设椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，其焦距为2c ，点Q （c ，2a ）在椭圆内部，点P 是椭圆上动点，且|PF 1|+|PQ |<6|F 1F 2|恒成立.则椭圆离心率的取值范围是__________.三、解答题14．已知命题p ：关于x 的方程x 2- ax +4=0有实根：命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2+ax +4在（4，+∞）上是增函数，若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，求实数a 的取值范围. 15．已知平面直角坐标系x 0y 中，圆C 在点P （12，-16）和(20,0)Q 处的切线都经过坐标原点.（1）求圆C 的方程；（2）当直线l ：x +y +a =0与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB =，求直线l 的方程. 16．如图所示，已知棱锥P -ABC 中.P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A =AC =12AB =1，N 为AB 上一点，AB =4AN ，M .S 分别为PB ，BC 的中点.（1）证明：CM ⊥SN ；（2）求二面角M -NC -B 的余弦值.17．已知点A （1，0），圆E ：（x +1）2+y 2=16，点B 是圆E 上任意一点，线段AB 的垂直平分线l 与半径EB 相交于H .（1）当点B 在圆上运动时，求动点H 的轨迹г的方程：（2）过点A 且与坐标轴不垂直的直线交轨迹г于P 、Q 两点，线段OA （O 为坐标原点）上是否存在点(,0)M m 使得MP MQ =若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由.18．已知函数f (x )＝x ln x ＋(a －1)x ＋2.(1)当a ＝2时，求f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．B【解析】【分析】先求出椭圆的c 的大小，即得解.【详解】由题得2972,c c =-=∴=所以椭圆的焦点坐标为（，0）.故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．B【解析】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．C【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解.【详解】A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误.故选：C【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4．C【分析】利用随机数表法找到选出来的第6 个个体的编号得解.【详解】由随机数表法得到选出来的6个个体的编号为：06,02,14,07,01,04.故选：C【点睛】本题主要考查随机数表法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5．C【分析】设双曲线的右焦点为2F ,求出2||4PF =,即得|PF 1｜的值.【详解】设双曲线的右焦点为2F ,则2F ，则2PF x ⊥轴.当x =24,||4y PF =±∴=.由双曲线的定义为11||42,||6PF PF -=∴=.故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的定义和点的坐标的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．D【分析】由题意2人总的下法共25种结果，2人在同一层下共5种，故先求该事件的概率，再由对立事件的概率可得解．【详解】由题意总的基本事件为：两个人各有6种不同的下法，故共有25种结果，而两人在同一层下，共有5种结果，∴两个人在同一层离开电梯的概率是：51255= 所以2个人在不同层离开的概率为：14155-=， 故选：D ．【点睛】 本题考查等可能事件的概率，从对立事件的概率入手是解决问题的关键，属基础题． 7．A【分析】先求圆的半径，四边形PACB PBC 求出切线长，再求PC 的距离也就是圆心到直线的距离，可解k 的值．【详解】圆22:20C x y y +-=的圆心(0,1)，半径是1r =，由圆的性质知：2PBC PACB S S ∆=四边形，四边形PACBPBC S ∆∴的最小值1(2rd d ==是切线长）d ∴最小值所以|PC|2=，所以20,k k k ∴=>∴=故选：A ．【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式等知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8．A【分析】求出平面ABCD 的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解即可．【详解】在四棱锥P ABCD -中，(4AB =，2-，3)，(4AD =-，1，0)，(3AP =-，1，4)-， 设平面ABCD 的法向量为：(n x =，y ，)z ．则00AB n AD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得：423040x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令3x =，则12y =，4z =， 可得(3n =，12，4)．(3AP =-，1，4)-在平面ABCD 上的射影就是这个四棱锥的高h ，|||cos h AP AP =<，|91216||||1||13AP n n n ⋅-+->===． 故选：A ．【点睛】本题主要考查空间点到平面的距离公式的应用，考查向量的数量积的应用，考查计算能力．9．B【分析】设出A ，B 的坐标，以及垂直平分线与x 轴的交点的横坐标，由垂直平分线的性质，解得横坐标，再由直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，即可得到所求范围．【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点0(D x ，0)，则由||||DA DB =，2118y x =，2228y x =，得2222101202()()x x y x x y -+=-+， 化简得12042x x x +=+① 设直线AB 的方程为2x my =-，代入抛物线C 的方程，得28160y my -+=，由△0>得21m >，由根与系数关系得128y y m +=，所以21212()484x x m y y m +=+-=-，代入①得20426x m =+>，故线段AB 的垂直平分线在x 轴上的截距的取值范围是(6,)+∞．故选:B【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意正确设出直线方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．10．00,210x x R ∃∈+≤【分析】利用全称命题的否定解答即可.【详解】命题p ： ∀x ∈R ，2x +1>0，则⌝p 是:00,210x x R ∃∈+≤.故答案为：00,210xx R ∃∈+≤【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 11．0.39【分析】根据几何槪型的概率公式即可得到结论．【详解】正方形的面积1S =，设阴影部分的面积为S ，随机撒1000粒豆子，有390粒落到阴影部分， ∴由几何槪型的概率公式进行估计得39011000S =， 即0.39S =，故答案为：0.39．【点睛】 本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．12【分析】由11AC AB AD AA =++，可得22222111()2AC AB AD AA AB AD AA AB AD =++=+++⋅ 11+22AB AA AD AA ⋅+⋅，即可得出． 【详解】11AC AB AD AA =++，则2222211111()222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅1113211cos60=+++⨯⨯⨯⨯︒ 6=． ∴1||6AC =．．【点睛】本题考查了平行四面体法则、向量数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力．13．5(24． 【分析】 点(,)2a Q c 在椭圆的内部，所以22b a a >，12||||2||||PF PQ a PF PQ +=-+，由222||||||||||QF PQ PQ PF QF -+-，且2||2a QF =，要112||||6||PF PQ F F +<恒成立，即22||||2622a a PF PQ a c -++<⨯． 【详解】 点(,)2a Q c 在椭圆的内部，∴22b a a >，222222b a ac ⇒>⇒>．所以c a <12||||2||||PF PQ a PF PQ +=-+又因为222||||||||QF PQ PF QF --，且2||2a QF =， 要112||||6||PF PQ F F +<恒成立，即22||||2622a a PF PQ a c -++<⨯所以5122a c <，524c a >，则椭圆离心率的取值范围是5(24．故答案为： 5(24，2．【点睛】本题主要考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，考查了椭圆中的范围问题的求法，转化思想是解题关键．14．(-∞，16)(4--⋃，4)．【分析】命题p ：关于x 的方程240x ax -+=有实根，则△0，命题q ：关于x 的函数224y x ax =++在[4，)+∞上是增函数，可得44a -．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，于是p 与q 必然一真一假，即可得出结论．【详解】 命题p ：关于x 的方程240x ax -+=有实根，则△2160a =-，解得4a 或4a -， 命题q ：关于x 的函数224y x ax =++在[4，)+∞上是增函数，44a ∴-，解得16a -． 若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，p ∴与q 必然一真一假，∴4416a a a -⎧⎨<-⎩或 或4416a a -<<⎧⎨-⎩， 解得16a <-或44a -<<．∴实数a 的取值范围是(-∞，16)(4--⋃，4)．【点睛】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力．15．（1）22(20)(10)100x y -++=；（2）40x y ++=或240x y +-=.【分析】（1）由题意求出OP k ，CP k ，则可得直线CP 的方程，同理可得直线CQ 的方程，联立两直线方程求得圆心C 和半径，则圆C 的方程可求；（2）先求出圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离即得解.【详解】（1）由题意知，43OP k =-，∴34CP k =， ∴直线CP 的方程是：316(12)4y x +=-，同理直线CQ 的方程是：20x ，联立解得圆心(20,10)C -，半径10r =．∴圆C 的方程为22(20)(10)100x y -++=；（2=4a=∴=或24a=-.所以直线的方程为40x y++=或240x y+-=.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．（1）证明见解析；（2）23.【分析】（1）以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．要证明0CM SN =即可得证；（2）利用向量法求二面角M-NC-B的余弦值.【详解】以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系（如图）．则(0P，0，1)，(0C，1，0)，(2B，0，0)，又AN AB=，M、S分别为PB、BC的中点，1(2N∴，0，0)，(1M，0，1)2，(1S，12，0)，（1）(1CM =，1-，1)2，1(2SN=-，12-，0)，∴(1CM SN⋅=，1-，11)(22⋅-，12-，0)0=，因此CM SN⊥．（2）1(2NM =，1，1)，1(2CN =，1-，0)，设(a x=，y，)z为平面CMN的一个法向量，∴0NM a⋅=，0CN a⋅=．则1212x y zx y⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，取1y=，则得(2a =，1，2)-．平面NBC的法向量(0,0,1)n =，2cos,||||3a na na n⋅<>==-．因为平面NBC 与平面CMN 所成角是锐二面角，所以二面角M -NC -B 的余弦值为2.3【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，以及空间二面角和直线所成角的大小求法，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．17．（1）22143x y +=；（2）1[0,)4m ∈. 【分析】（1）运用垂直平分线定理可得，||||AH BH =，可得||||4||2HE HA AE +=>=，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）设直线的方程为(1)y k x =-，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，利用韦达定理求出PQ 中点G 的坐标，得到2313(44)k k m m k⋅=-+-，得到2234k m k=+，求出m 的范围得解. 【详解】（1）根据题意，||||AH BH =，所以||4||AH EH =-,则||||4||2HE HA AE +=>=,故动点H 的轨迹г是以E ，A 为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，可知2a =，1c =，∴b ==所以点H 的轨迹г的方程为22143x y +=； （2）设直线的方程为(1)y k x =-，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 联立22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 由韦达定理有2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①，其中△0>恒成立， 所以PQ 的中点G 的坐标为22243(,)3434k k k k-++， 所以直线MG 的斜率为2222333443(44)34MGkk k k k m m k m k +==+--+ 因为||||,MP MQ MG PQ =∴⊥, 所以2313(44)MG k k k k m m k⋅=⋅=-+-， 所以2234k m k=+， 当k=0时，m=0;当0k ≠时，211(0,)344m k =∈+. 综合得1[0,)4m ∈.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查椭圆的定义，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.18．（1）2x －y ＋1＝0；（2）a ＞－ln 2.【解析】【分析】（1）将a＝2代入得f(x)＝x ln x＋x＋2，求导并计算f′(1)＝2，f(1)＝3，用点斜式写出切线方程；（2）f(x)＞0恒成立等价于函数f(x)的最小值大于0，利用导数求函数的最小值，并建立方程即可求解。
精品文档2021-2021学年河北省石家庄市高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕1．命题：“?x＞0，x2+x≥0〞的否认形式是〔〕A．?x≤0，x2+x＞0B．?x＞0，x2+x≤0．0＞，2．0≤，2C?x0+x0＜0D?x0+x0＞0 0x0x2．抛物线y=的焦点坐标是〔〕A．〔，0〕B．〔0，〕C．〔0，1〕D．〔1，0〕3．将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，出现一次正面向上，一次反面向上的概率为〔〕A．B．C．D．4．设x∈R，那么“1＜x＜3〞是“|x﹣2|＜1〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．执行如下图的程序框图，那么输出结果s的值为〔〕A．﹣B．﹣1C．D．06．某单位要在800名员工中抽去80名员工调查职工身体健康状况，其中青年员工400名，中年员工300名，老年员工100名，以下说法错误的选项是〔〕A．老年人应作为重点调查对象，故抽取的老年人应超过40名B．每个人被抽到的概率相同为精品文档C．应使用分层抽样抽取样本调查D．抽出的样本能在一定程度上反映总体的健康状况．假设过点〔，〕的直线l与圆x2+y2=1有公共点，那么直线l的倾斜角的取值范围是〔〕7P1A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]8．某产品的广告费用 x〔万元〕与销售额y〔万元〕的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得回归方程= x+ ，其中=0，据此模型预报，当广告费用为7万元时的销售额为〔〕x 4 2 3 5y 38 20 31 51A．60 B．70 C．73 D．699．如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，那么=〔〕A．﹣+ + B．﹣+ C． + ﹣D． + ﹣10．设F1、F2为椭圆的两个焦点，M为椭圆上一点，MF1⊥MF2，且|MF2|=|MO|〔其中点O为椭圆的中心〕，那么该椭圆的离心率为〔〕A．﹣1B．2﹣C．D．11．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，那么点C到平面A1DM的距离为〔〕A．B． a C． a D．a精品文档12．F1、F2分是双曲C：=1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，P是双曲C的右支上的点，射PQ平分∠F12交1PF x于点Q，原点O作PQ的平行交PF于点M，假设|MP=|F12〕|F|，C的离心率〔A．B．3C．2D．二、填空〔本大共4小，每小5分，共20分〕13．假设五个数1、2、3、4、a的平均数4，五个数的准差．14．一直角三角形两直角的均是区〔0，1〕的随机数，斜的小于1的概率．15．=〔2，1，2〕，=〔1，3，3〕，=〔13，λ，3〕，假设向量，，共面，λ．的16．F1、F2分是+=1的左、右焦点，P上任一点，点M的坐〔3，1〕，|PM|+|PF|的最大．1三、解答〔本大6小，共70分〕17．〔10分〕有6道，其中3道甲，2道乙，同学从中任取2道解答．求：I〕所取的2道都是甲的概率；II〕所取的2道不是同一的概率．18．〔12分〕命p：〔x 2〕2≤1，命q：x2+〔2a+1〕x+a〔a+1〕≥0，假设p是q的充分不必要条件，求数a的取范．19．〔12分〕从某校高一年1000名学生中随机抽取100名量身高，量后被抽取的学生身高全部介于155厘米到195厘米之，将量果分八：第一[155，160〕，第二[160，165〕，⋯，第八[190，195〕，得到率分布直方如所示．〔Ⅰ〕算第三的本数；并估校高一年1000名学生中身高在170厘米以下的人数；〔Ⅱ〕估被随机抽取的100名学生身高的中位数、平均数．精品文档20．〔12分〕圆C：x 2+〔y﹣1〕2，直线：﹣my+m﹣，且直线l与圆C相交于A、=9l x2=0B两点．〔Ⅰ〕假设|AB|=4，求直线l的倾斜角；〔Ⅱ〕假设点P〔2，1〕满足=，求直线l的方程．21．〔12分〕如下图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．〔Ⅰ〕证明：平面PBE⊥平面PAB；〔Ⅱ〕求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．22．〔12分〕椭圆C：+ =1〔a＞b＞0〕的上顶点为〔0，2〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕从椭圆C上一点M向圆x2+y2=1上引两条切线，切点分别为A、B，当直线AB分别与x轴、y轴交于P、Q两点时，求|PQ|的最小值．精品文档四、附加题23．函数f〔x〕=e x﹣ax，〔e为自然对数的底数〕．〔Ⅰ〕讨论f〔x〕的单调性；〔Ⅱ〕假设对任意实数x恒有f〔x〕≥0，求实数a的取值范围．精品文档2021-2021学年河北省石家庄市高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕1．命题：“?x＞0，x2+x≥0〞的否认形式是〔〕A．?x≤0，x2+x＞0B．?x＞0，x2+x≤02．0≤，20+x0＜0D?x0+x0＞C．?x＞0，x0x【考点】命题的否认．【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据全称命题的否认是特称命题进行求解．【解答】解：全称命题的否认是特称命题，2那么命题的否认是：?x0∈R，x0+x0＜0，应选：C【点评】此题主要考查含有量词的命题的否认，比拟根底．2．抛物线y= 的焦点坐标是〔〕A．〔，0〕B．〔0，〕C．〔0，1〕D．〔1，0〕【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先将方程化简为标准形式，即可得焦点坐标．【解答】解：由抛物线可得x2=4y，故焦点坐标为〔0，1〕应选C．【点评】此题主要考查抛物线的简单性质．属根底题．3．将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，出现一次正面向上，一次反面向上的概率为〔〕A．B．C．D．精品文档【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；集合思想；定义法；概率与统计．【分析】出现一次正面向上，一次反面向上的情况有两种：第一次正面向上第二次反面向上和第一次反面向上第二次正面向上．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，出现一次正面向上，一次反面向上的概率为：p= = ．应选：A．【点评】此题考查概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．4．设x∈R，那么“1＜x＜3〞是“|x﹣2|＜1〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．∴“1＜x＜3〞是“|x﹣2|＜1〞的充要条件．应选：C．【点评】此题考查了不等式的解法、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．5．执行如下图的程序框图，那么输出结果s的值为〔〕精品文档精品文档A． B．1C． D．0【考点】程序框．【】化思想；化法；算法和程序框．【分析】算法的功能是求S=cos +cos +⋯+cos 的，根据条件确定最后一次循的n，再利用余弦函数的周期性算出S的．【解答】解：由程序框知：算法的功能是求S=cos +cos +⋯+cos 的，∵跳出循的n 2021，∴出S=cos+cos+⋯+cos，∵cos+cos+cos+cos+cos+cos=cos cos cos cos cos cos=0，++∴S=cos cosπcos=1．++故：B．【点】本考了循构的程序框，关框的流程判断算法的功能是关．6．某位要在800名工中抽去80名工工身体健康状况，其中青年工400名，中年工300名，老年工100名，以下法的是〔〕A．老年人作重点象，故抽取的老年人超40名B．每个人被抽到的概率相同精品文档精品文档C．应使用分层抽样抽取样本调查D．抽出的样本能在一定程度上反映总体的健康状况【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计．【分析】根据抽样的有关概念进行判断即可．【解答】解：根据样本特点，为了抽样的公平性，那么应使用分层抽样，故A错误．应选：A【点评】此题主要考查抽样的理解和判断，比拟根底．7．假设过点P〔1，〕的直线l与圆x2+y2=1有公共点，那么直线l的倾斜角的取值范围是〔〕A．[ ，] B．[ ，]C．[ ，]D．[ ，]【考点】直线与圆相交的性质．【专题】综合题；分类讨论；演绎法；直线与圆．【分析】根据直线的斜率分两种情况，直线l的斜率不存在时求出直线l的方程，即可判断出答案；直线l的斜率存在时，由点斜式设出直线l的方程，根据直线和圆有公共点的条件：圆心到直线的距离小于或等于半径，列出不等式求出斜率k的范围，可得倾斜角的范围．【解答】解：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=1，此时直线l与圆相交，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣=k〔x﹣1〕，即kx﹣y﹣k+=0，∵直线l和圆有公共点，∴圆心到直线的距离小于或等于半径，那么≤1，解得k≥，∴直线l的倾斜角的取值范围是[ ，]，应选：D．【点评】此题考查直线与圆的位置关系，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式等，考查转化思想，分类讨论思想，以及化简能力．精品文档精品文档8．某产品的广告费用 x〔万元〕与销售额y〔万元〕的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得回归方程= x+ ，其中=0，据此模型预报，当广告费用为7万元时的销售额为〔〕x 4 2 3 5y 38 20 31 51A．60 B．70 C．73 D．69【考点】线性回归方程．【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计．【分析】根据表中数据计算、，由回归方程= x+ 过样本中心点，求出的值，再计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，得：=×〔4+2+3+5〕，×〔38+20+31+51〕=35；且回归方程= x+过样本中心点〔，〕，其中=0，所以×3.5+0=35，解得=10，所以回归方程为=10x；当x=7时，=10×7=70，即广告费用为7万元时销售额为70万元．应选：B．【点评】此题考查了线性回归方程的应用问题，是根底题目9．如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，那么=〔〕A．﹣+ + B．﹣+ C．+ ﹣D．+ ﹣精品文档精品文档【考点】空间向量的加减法．【专题】空间向量及应用．【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，应选：A．【点评】此题考点是空间向量根本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，此题是向量的根底题．10．设F1、F2为椭圆的两个焦点，M为椭圆上一点，MF1⊥MF2，且|MF2|=|MO|〔其中点O为椭圆的中心〕，那么该椭圆的离心率为〔〕A．﹣1B．2﹣C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知：△OMF2为等边三角形，∠OF2M=60°，|MF2|=c，丨MF1丨= c，丨MF1丨+|MF2|=2a= c+c=〔+1〕c，a= ，由椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：MF1⊥MF2，那么△F1MF2为直角三角形，由|MF2|=|MO|，O为F1F2中点，那么丨OM丨=丨OF2丨，∴△OMF2为等边三角形，∠OF2M=60°|MF2|=c，∴丨MF1丨=c，精品文档由椭圆的定义可知：丨MF1丨2|=2a=c+c=〔+1〕，a=，+|MF c那么该椭圆的离心率e= = = ﹣1，该椭圆的离心率为﹣1，应选：A．【点评】此题考查椭圆的简单几何性质，考查直角三角形的性质，考查计算能力，属于中档题．11．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，那么点C到平面A1DM的距离为〔〕A． B． a C． a D． a【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C到平面A1DM的距离．精品文档【解答】解：连接A1C、MC可得=△A1DM中，A1D= ，A1M=MD=∴=三棱锥的体积：所以 d〔设d是点C到平面A1DM的距离〕∴=应选A．【点评】此题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决此题的关键．12．设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，P是双曲线C的右支上的点，射线PQ平分∠F12交x 轴于点，过原点O作PQ的平行线交1于点M，PF Q PF 假设|MP|=|F12，那么C的离心率为〔〕F|精品文档A． B．3 C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用极限法，设双曲线的右顶点为A，考察特殊情形，当点P→A时，射线PT→直线x=a，此时PM→AO，即|PM|→a，结合离心率公式即可计算得到．【解答】解：设双曲线的右顶点为A，考察特殊情形，当点P→A时，射线PT→直线x=a，此时PM→AO，即|PM|→a，特别地，当P与A重合时，|PM|=a．由MP=|F12||F|=c，即有a=c，由离心率公式e= =2．应选：C．【点评】此题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，注意极限法的运用，属于中档题．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．假设五个数1、2、3、4、a的平均数为4，那么这五个数的标准差为．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计．【分析】由五个数1、2、3、4、a的平均数为4，求出a=10，由此能求出这五个数的方差．【解答】解：∵五个数1、2、3、4、a的平均数为4，∴，解得a=10，∴这五个数的方差为S2[〔﹣〕2+〔2﹣4〕2+〔3﹣4〕2+〔4﹣4〕2+〔10﹣4〕2]=10，=14这五个数的标准差为S=．故答案为：．【点评】此题考查标准差的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意平均数、方差性质、精品文档计算公式的合理运用．14．设一直角三角形两直角边的长均是区间〔0，1〕的随机数，那么斜边的长小于1的概率为．【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】看出试验包含的所有事件对应的集合，求出面积，写出满足条件的集合和面积，求比值即可．【解答】解：设两直角边分别是x，y，∴试验包含的根本领件是{〔x，y〕|0＜x＜1，0＜y＜1}，对应的正方形的面积是1，满足条件的事件对应的集合为{〔x，y〕x2y2＜1，x＞0，y＞0}，该区域为个圆，面积为．|+∴P=．故答案为：．【点评】此题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出对应的区域面积是解决此题的关键．15．=〔2，﹣1，2〕，=〔﹣1，3，﹣3〕，=〔13，λ，3〕，假设向量，，共面，那么λ的值为 6 ．【考点】共线向量与共面向量．【专题】方程思想；转化思想；空间向量及应用．【分析】向量，，共面，存在实数m，n使得= ，即可得出．【解答】解：∵向量，，共面，∴存在实数m，n使得 = ，∴，解得λ=6．故答案为：6．【点评】此题考查了向量坐标运算性质、向量共面定理，考查了推理能力与计算能力，属于精品文档基．16．F1、F2分是+=1的左、右焦点，P上任一点，点M的坐〔3，1〕，|PM|+|PF1|的最大11．【考点】的性．【】化思想；化法；曲的定、性与方程．【分析】利用的定表示出|PA|+|PF1|，通利用三点共求出最大．【解答】解：将M的坐代入方程可得，即M在内，PF、MF22 F1〔3，0〕，F2〔3，0〕，由的定可得，|PF1|+|PF2|=2a=10，|PM|+|PF1|=||PF1|+|PF2|+|PM||PF2|=2a+|PM||PF2||MF2|≤|PM|||PF2|≤|MF2|=1．|PM|+|PF1|的最大2a+1=11．故答案：11【点】本考的定以及第二定的用，表达式的几何意的用，考化思想与算能力．属于中档．三、解答〔本大6小，共70分〕17．〔10分〕有6道，其中3道甲，2道乙，同学从中任取2道解答．求：I〕所取的2道都是甲的概率；II〕所取的2道不是同一的概率．【考点】列法算根本领件数及事件生的概率．【】算；概率与．【分析】列出同学从中任取2道解答的全部根本领件个数，I〕交所取的2道都是甲的事件个数，代入概率公式，可得答案；II〕所取的2道不是同一的事件个数，代入概率公式，可得答案．【解答】解：甲a1，a2，a3，乙b1，b2，根本领件空Ω={〔a1，b1〕〔a1，b2〕〔b1，b2〕〔a2，b1〕〔a2，b2〕〔a1，a2〕〔a3，b1〕〔a3，b2〕〔a1，a3〕〔a2，a3〕}⋯4精品文档所以：I〕所取的2道都是甲的事件有：a1，a2〕〔a1，a3〕〔a2，a3〕共3个，故所取的2道都是甲的概率⋯4〔II〕所取的2道不是同一的事件有：〔a1，b1〕〔a1，b2〕〔a2，b1〕〔a2，b2〕〔a3，b1〕〔a3，b2〕共6个；故所取的2道不是同一的概率⋯4【点】本考的知点是古典概型概念算公式，度不大，属于基．18．〔12分〕命p：〔x 2〕2≤1，命q：x2+〔2a+1〕x+a〔a+1〕≥0，假设p是q的充分不必要条件，求数a的取范．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【】化思想；不等式的解法及用；易．【分析】命p：〔x 2〕2≤1，可得解集A=[1，3]．命q：x2+〔2a+1〕x+a〔a+1〕≥0，可得B=〔∞，a 1]∪[a，+∞〕．根据p是q的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：命p：〔x 2〕2≤1，解得1≤x≤3，A=[1，3]．命q：x2+〔2a+1〕x+a〔a+1〕≥0，解得x≤a1，或x≥a．B=〔∞，a1]∪[a，+∞〕．∵p是q的充分不必要条件，∴3≤a1，或a≤1，∴a≤4，或a≥1．∴数a的取范〔∞，4]∪[1，+∞〕．【点】本考了不等式的解法、易，考了推理能力与算能力，属于中档．19．〔12分〕从某校高一年1000名学生中随机抽取100名量身高，量后被抽取的学生身高全部介于155厘米到195厘米之，将量果分八：第一[155，160〕，第二[160，165〕，⋯，第八[190，195〕，得到率分布直方如所示．〔Ⅰ〕算第三的本数；并估校高一年1000名学生中身高在170厘米以下的人数；〔Ⅱ〕估被随机抽取的100名学生身高的中位数、平均数．精品文档【考点】率分布直方．【】算；表型；数形合；数形合法；概率与．【分析】〔Ⅰ〕由率分布直方分析可得各数据段的率，再由率与数的关系，可得数．〔Ⅱ〕先求前四的率，而可求中位数，算可得各数，即可求解平均数．【解答】〔本分12分〕解：〔Ⅰ〕由第三的率：[1 5×〔〕]÷，其本数：×100=20，⋯3分由5×〔〕，校高一年1000名学生中身高在170厘米以下的人数：×1000=320〔人〕⋯6分〔Ⅱ〕前四的率：5×〔〕，0.52 ，中位数在第四中，由，可得：175 ×，所以中位数cm，⋯9分算可得各数分：4，8，20，20，30，8，6，4，平均数：〔××××××××4〕÷〔cm〕⋯12分【点】本考了率分布直方的用，关是正确分析率分布直方的数据信息，准确算，属于基．20．〔12分〕C：x2+〔y 1〕2=9，直l：x my+m 2=0，且直l与C相交于A、精品文档精品文档B两点．〔Ⅰ〕假设|AB|=4，求直线l的倾斜角；〔Ⅱ〕假设点P〔2，1〕满足=，求直线l的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】〔Ⅰ〕假设|AB|=4，那么圆心到直线的距离为=1，利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求直线l的倾斜角；〔Ⅱ〕假设点P〔2，1〕满足=，那么P为AB的中点，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．【解答】解：〔Ⅰ〕假设|AB|=4，那么圆心到直线的距离为=1，∴=1，∴m=，∴直线的斜率为，∴直线l的倾斜角为30°或150°；〔Ⅱ〕假设点P〔2，1〕满足= ，那么P为AB的中点，kCP=0，∴直线l的斜率不存在，∴直线l的方程为x=2．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而再由弦心距，圆的半径及弦长的一半，利用勾股定理解决问题．21．〔12分〕如下图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．〔Ⅰ〕证明：平面PBE⊥平面PAB；〔Ⅱ〕求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．精品文档【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】〔Ⅰ〕连结BD，推导出BE⊥AB，PA⊥B E，从而BE⊥平面PAB，由此能证明平面PBE⊥平面PAB．〔Ⅱ〕以点E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，过点E垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PE﹣D的余弦值．【解答】证明：〔Ⅰ〕连结BD，∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，∴BE⊥AB，PA⊥BE，∵AB∩PA=A，∴BE⊥平面PAB，∵BE?平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB．解：〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知BE⊥CD，又PA⊥底面ABCD，以点E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，过点E垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，那么E〔0，0，0〕，B〔，0，0〕，D〔0，﹣，0〕，A〔，﹣1，2〕，=〔0，1，2〕，=〔，0，0〕，=〔0，﹣，0〕，=〔，﹣1，2〕，设平面BPE的法向量=〔x，y，z〕，那么，取y=2，得 =〔0，2，﹣1〕，设平面DPE的法向量=〔a，b，c〕，精品文档那么，取a=2 ，得=〔2 ，0，﹣〕，设二面角B﹣PE﹣D的平面角为θ，cosθ== = ．∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为．【点评】此题考查面面垂直行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．〔12分〕椭圆C：+ =1〔a＞b＞0〕的上顶点为〔0，2〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕从椭圆C上一点M向圆x2+y2=1上引两条切线，切点分别为A、B，当直线AB分别与x轴、y轴交于P、Q两点时，求|PQ|的最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】〔Ⅰ〕由椭圆上顶点为〔0，2〕，且离心率为，列出方程组，求出a=6，b=3，由此能求出椭圆C的方程．〔Ⅱ〕设切点为〔x0，0〕，求出切线方程为，设点M 〔M，M〕，MA，MB是y x y圆x2+y2=1的切线，求出切点弦AB的方程为xMx+y My=1，由此能求出|PQ|的最小值．精品文档精品文档【解答】解：〔Ⅰ〕∵椭圆C：+ =1〔a＞b＞0〕的上顶点为〔0，2〕，且离心率为，∴，解得a=6，b=2，∴椭圆C的方程为．〔Ⅱ〕设切点为〔x0，y0〕，当切线斜率存在时，设切线方程为y﹣y0=k〔x﹣x0〕，∵k=﹣，∴切线方程为y﹣y0=﹣〔x﹣x0〕，∴，当k不存在时，切点坐标为〔±r，0〕，对应切线方程为x=±r，符合，综上知切线方程为，设点M〔xM，M〕，MA ，MB是圆x2+y2=1的切线，切点A〔1，1〕，〔2，2〕，y x y Bx y 过点A的圆的切线为x1x+y1y=1，过点B的圆的切线为x22，x+yy=1∵两切线都过M点，∴x1M1M，2M2M=1，x+yy=1x x+yy ∴切点弦AB的方程为xM M，x+y y=1由题意知xMyM≠0，∴P〔，0〕，Q〔0，〕，∴|PQ|2= =〔〕〔+ 〕精品文档精品文档=≥= ，当且仅当时，取等号，∴|PQ|≥，∴|PQ|的最小值为．【点评】此题考查椭圆方程的求法，考查两点间距离的最小值的求法，涉及到椭圆、直线方程、切线方程、两点间距离公式、根本不等式等知识点，是中档题．四、附加题23．函数f〔x〕=e x﹣ax，〔e为自然对数的底数〕．〔Ⅱ〕假设对任意实数x恒有f〔x〕≥0，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】〔Ⅰ〕求出函数的导数，通过讨论a得到范围，求出函数的单调区间即可；〔Ⅱ〕由f〔x〕=e x﹣ax﹣a，f'〔x〕=e x﹣a，从而化恒成立问题为最值问题，讨论求实数 a 的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕f〔x〕=e x﹣ax，f′〔x〕=e x﹣a，当a≤0时，f′〔x〕＞0，那么f〔x〕在R上单调递增；当a＞0时，令f′〔x〕=e x﹣a=0，得x=lna，那么在〔﹣∞，lna]上单调递减，在〔lna，+∞〕上单调递增；〔Ⅱ〕由f〔x〕=e x﹣ax，f'〔x〕=e x﹣a，精品文档河北省石家庄市高二上学期期末考试数学理试卷(解析版)精品文档假设a＜0，那么f'〔x〕＞0，函数f〔x〕单调递增，当x趋近于负无穷大时，f〔x〕趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，f〔x〕趋近于正无穷大，故a＜0不满足条件．假设a=0，f〔x〕=e x≥0恒成立，满足条件．假设a＞0，由f'〔x〕=0，得x=lna，当x＜lna时，f'〔x〕＜0；当x＞lna时，f'〔x〕＞0，所以函数f〔x〕在〔﹣∞，lna〕上单调递减，在〔lna，+∞〕上单调递增，所以函数f〔x〕在x=lna处取得极小值f〔lna〕=e lna﹣a?lna=a﹣a?lna，由f〔lna〕≥0得a﹣a?lna≥0，解得0＜a≤e．综上，满足f〔x〕≥0恒成立时实数a的取值范围是[0，e]．【点评】此题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．精品文档31 / 3131。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
河北省石家庄市第二中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知点((,A B -，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．23π B ．6πC ．3π D ．56π 2．已知点()1,1在抛物线C ：()220y px p =>上，则C 的焦点到其准线的距离为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．23．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.31yx =-，则m ＝（ ）A ．3.1B ．4.3C ．1.3D ．2.34．已知两圆相交于两点()1,3A ，(),1B t -，两圆圆心都在直线20x y c ++=上，则t c +的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．15．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 A ．12B ．23C ．34D ．456．若()()()()727201271222x x a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++，则2a =（ ）A ．22B ．19C ．－20D ．－197．已知ABC 三个顶点都在抛物线28x y =上，且F 为抛物线的焦点，若()13AF AB AC =+，则AF BF CF ++=（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128．某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A 车和B 车，同时进来C ，D 两车．在C ，D 不相邻的情况下，C 和D 至少有一辆与A 和B 车相邻的概率是（ ） A ．1017B ．1417C ．916 D ．79二、多选题9．下列关于成对样本数据的统计分析的判断中正确的有（ ） A ．若样本相关系数0r =，则说明成对样本数据没有相关性 B ．样本相关系数r 越大，成对样本数据的线性相关性越强 C ．用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和一定是0 D ．决定系数2R 越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好10．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A ．()25P B =B ．()1411P B A =C ．事件1A 与事件B 相互独立D ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 11．将杨辉三角中的每一个数r n C 都换成()11r n n C +，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果2n ≥（N n *∈），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（ ）第0行 11第1行1212第2行 131613第3行14112 11214…… ……第n 行()011n n C +()111n n C + ……()11n n n C +A ．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值B ．第8行第2个数是172C ．()()1111r n r n n n C n C -=++（N r ∈，0r n ≤≤）D ．()()1111111r r r n n n n C n C nC --+=++（N r ∈，1r n ≤≤）12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，,A B 为椭圆上两个动点.直线l 的方程为220bx ay a b +--=.下列说法正确的是（ ）A ．C 的蒙日圆的方程为2223x y b +=B ．对直线l 上任意点P ，0PA PB ⋅>C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -D ．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为26b 三、填空题13．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()22,Nσ（0σ>），若ξ在()0,2内取值的概率为0.4，则ξ在()2,4内取值的概率为______14．在()41x y ++的展开式中，含2x y 项的系数为______（结果用数值表示）． 15．已知数列{}n a 满足：112a =，212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=⋅，则10a =______ 16．已知1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 作b y x a=-的垂线分别交双曲线的左、右两支于B ，C 两点（如图）．若22CBF CF B ∠∠=，则双曲线的渐近线方程为______四、解答题17．已知直线l 的斜率为-2，且与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积等于1．圆C 的圆心在第四象限，直线l 经过圆心，圆C 被x 轴截得的弦长为4．若直线x －2y －1＝0与圆C 相切，求圆C 的方程． 18．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足34117a a ⋅=，2522a a +=， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn S b n c=+，求非零常数c ； 19．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点()2,0F - (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若2MQ QF =，求直线l 的方程．20．2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取100人进行分析，得到下表（单位：人）：(1)能否有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？(2)现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 附：()()()()()22n ad bc X a b c d a c b d -=++++，其中n=a +b+c+d21．近年来某村制作的手工艺品在国内外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（ⅰ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级； （ⅰ）若3位行家中仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关．若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级；若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（ⅰ）若3位行家中有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级．已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为13，且各手工艺品质量是否过关相互独立． (1)求一件手工艺品质量为B 级的概率；(2)求81件手工艺品中，质量为C 级的手工艺品件数的方差； (3)求10件手工艺品中，质量为D 级的手工艺品最有可能是多少件？22．已知动点P 在椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上，1F ，2F 为椭圆C 的左、右焦点．过点P 作x 轴的垂线，垂足为0P ，点T 满足002PT P P =，且点T 的轨迹是过点(Q 的圆．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1F ，2F 分别作平行直线1l 和2l ，设1l 交椭圆C 于点A ，B ，2l 交椭圆C 于点D ，E ，求四边形ABDE 的面积的最大值．参考答案：1．A 【解析】由两点坐标，求出直线AB 的斜率，利用tan k α=，结合倾斜角的范围即可求解. 【详解】设直线AB 的倾斜角为α，因为((,A B -，所以直线AB 的斜率k ==tan α=因为[)0,απ∈，所以23πα=. 故选：A 2．B 【解析】 【分析】由点()1,1在抛物线上，求得参数p ，焦点到其准线的距离即为p . 【详解】由点()1,1在抛物线上，易知12p =，12p =，故焦点到其准线的距离为12. 故选：B. 3．A 【解析】 【分析】先求得样本中心(),x y ，代入回归方程，即可得答案. 【详解】 由题意得12340.1 1.84 5.92.5,444m mx y +++++++====， 又样本中心(),x y 在回归方程上， 所以5.9 1.3 2.514m+=⨯-，解得 3.1m =. 故选：A 4．A【解析】 【分析】由相交弦的性质，可得AB 与直线20x y c ++=垂直，且AB 的中点在这条直线20x y c ++=上；由AB 与直线20x y c ++=垂直，可得3(1)21t--=-，解可得t 的值，即可得B 的坐标，进而可得AB 中点的坐标，代入直线方程可得2c =-；进而将t 、c 相加可得答案． 【详解】根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB 与直线20x y c ++=垂直，且AB 的中点在这条直线20x y c ++=上； 由AB 与直线20x y c ++=垂直，可得3(1)21t--=-，解可得1t =-， 则(1,1)B --，故AB 中点为(0,1)，且其在直线20x y c ++=上， 代入直线方程可得，02+⨯10c +=，可得2c =-； 故(1)(2)3t c +=-+-=-； 故选：A 【点睛】方法点睛：解答圆和圆的位置关系时，要注意利用平面几何圆的知识来分析解答. 5．C 【解析】 【详解】试题分析：如下图所示，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=所以2260,30PF A F PA ∠=∠=，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a ==所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质. 6．C 【解析】 【分析】将所求进行变形可得()72271[2(2)][1(2)]x x x x ++=-+++-++，根据二项式定理展开式，即可求得答案. 【详解】由题意得()72271[2(2)][1(2)]x x x x ++=-+++-++ 所以225227(1)20a C C +=--=. 故选：C 7．D 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由向量关系化为坐标关系，再结合抛物线的焦半径公式即可计算． 【详解】由28x y =得焦点()0,2F ，准线方程为2y =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 由()13AF AB AC =+得()()()112121313111,2,,33x y x x y y x x y y --=--+--则()12131123y y y y y -=-+-，化简得1236y y y ++= 所以123236612A y F BF C y y F ++=+++⨯=+= 故选：D 8．B 【解析】 【分析】先求出基本事件总数222227222234n A A A A A =---=，C 和D 至少有一辆与A 和B 车相邻的对立事件是C 和D 都不与A 和B 车相邻，由此能求出C 和D 至少有一辆与A 和B 车相邻的概率． 【详解】解：某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A 车和B 车，同时进来C ，D 两车，在C ，D 不相邻的条件下， 基本事件总数222227222234n A A A A A =---=，C 和D 至少有一辆与A 和B 车相邻的对立事件是C 和D 都不与A 和B 车相邻，C ∴和D 至少有一辆与A 和B 车相邻的概率：231413417A P =-=．故选：B ． 9．CD 【解析】 【分析】根据样本相关系数判断A 和B ，根据一元线性回归模型的最小二乘估计判断C 和D. 【详解】对于选项A ：当0r =时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但是不排除它们之间有其他相关关系. 故A 错误；对于选项B ：样本相关系数r 越大，成对样本数据的线性相关性越强. 故B 错误； 对于选项C ：残差和为()()()11111ˆ0nnnnniiiiiii i i i i y y y bx a y b x a ny nbx na n y bx a =====-=-+=--=--=--=⎡⎤⎣⎦∑∑∑∑∑. 故C正确；对于选项D ：决定系数2R 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好. 故D 正确. 故选：CD. 10．BD 【解析】 【分析】根据条件概率求得123(|),(|),(|)P B A P B A P B A ，由全概率公式求得()P B ，以及互斥事件、独立事件的概念判断各选项． 【详解】 解：()1310P A =，()2210P A =，()3510P A =．因为()1431110P B A ⋂=⨯， 所以()()()111434111031110P B A P B A P A ⨯⋂===． 同理()2323111021110P B A ⨯==，()3353111051110P B A ⨯==． 因为1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，由全概率公式得()()()()123P B P B A P B A P B A =⋂+⋂+⋂()()()()()()112233P B A P A P B A P A P B A P A =++ 433235311101110111010=⨯+⨯+⨯= 因为()()1P B A P B ≠， 所以选项C 错误．综上，选项A 错误，选B 项正确，选 D 项正确． 故选：BD ． 【点睛】本题考查条件概率，解题关键是正确理解事件123,,A A A 是互斥事件，由全概率公式有()()()()123P B P B A P B A P B A =⋂+⋂+⋂．11．BC 【解析】 【分析】A. 由莱布尼茨三角形判断；B. 由莱布尼茨三角形判断；C. 由组合数性质判断；D. 由从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和判断. 【详解】A. 由莱布尼茨三角形知：当n 是偶数时，中间的一项取得最小值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，故错误；B. 由莱布尼茨三角形知：第8行第2个数是()18118172C =+，故正确；C. 由组合数性质知：r n r n n C C -=，所以()()1111r n r n n n C n C -=++（N r ∈，0r n ≤≤），故正确；D. 由从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和知：()()11111111r r r n n n n C n C nC ---+=++（N r ∈，1r n ≤≤），故错误； 故选：BC 12．AD 【解析】 【分析】由(),Q a b 在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得,a b 关系，由此可知A 正确； 由l 过(),P b a 且(),P b a 在蒙日圆上，可知当,A B 恰为切点时，PA PB ⊥，知B 错误； 根据椭圆定义可将2d AF -转化为12d AF a +-，可知1F A l ⊥时，1d AF +取得最小值，由点到直线距离公式可求得1d AF +最小值，代入可得2d AF -的最小值，知C 错误； 由题意知蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系22212x y b +=，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知D 正确. 【详解】对于A ，过(),Q a b 可作椭圆的两条互相垂直的切线：x a =，y b =，(),Q a b ∴在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为：2222x y a b +=+；由c e a ==得：222a b =，∴C 的蒙日圆方程为：2223x y b +=，A 正确；对于B ，由l 方程知：l 过(),P b a ，又P 满足蒙日圆方程，∴(),P b a 在圆2223x y b +=上， 过(),P b a ，当,A B 恰为过P 作椭圆两条互相垂直切线的切点时，0PA PB ⋅=，B 错误； 对于C ，A 在椭圆上，122AF AF a ∴+=，()21122d AF d a AF d AF a ∴-=--=+-；当1F A l ⊥时，1d AF +取得最小值，最小值为1F 到直线l 的距离，又1F 到直线l 的距离d '==，()2min2d AF a ∴-=-，C 错误； 对于D ，当矩形MNGH 的四条边均与C 相切时，蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，∴矩形MNGH 的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH 的长和宽分别为,x y ，则22212x y b +=，∴矩形MNGH 的面积22262x y S xy b +=≤=（当且仅当x y ==时取等号）， 即矩形MNGH 面积的最大值为26b ，D 正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点(),a b 在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项. 13．0.4##25【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性求解 【详解】因为ξ服从正态分布()22,Nσ（0σ>），即正态分布曲线的对称轴为2x =，根据正态分布曲线的对称性，可知ξ在()0,2与()2,4取值的概率相同，所以ξ在()2,4内取值的概率为0.4.故答案为：0.4 14．12 【解析】 【分析】通过二次展开式就可以得到. 【详解】()41x y ++ 的展开式中含()334C x y +∴ 含2x y 项的系数为314312C C =故答案为：12 15．1110【解析】 【分析】令n=n -1代回原式，相减可得11(2)1n n a n n a n --=≥+，利用累乘法，即可得答案. 【详解】因为212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=⋅，所以21211(1)(2)n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-⋅≥，两式相减可得221(1)(2)n n n a n a n a n -=⋅--⋅≥，整理得221(1)1(2)11n n a n n n a n n ---==≥-+， 所以1098298719871111093a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 整理得101211110a a ⨯=⨯，又112a =，解得101110a =. 故答案为：1110 16．)1y x =±【解析】【分析】根据双曲线的定义先计算出24BF a =，12BF a =，注意到1F C ⊥图中渐近线，于是利用cos 12BF F ∠两种不同的表示法列方程求解.【详解】22CBF CF B ∠∠=，则2CB CF =，由双曲线的定义及C 在右支上，121212CF CF CB BF CF BF a +=-=-=，又B 在左支上，则212BF BF a -=，则24BF a =，在12BF F △中，由余弦定理，22212(2)(2)(4)cos 8a c a BF F ac+-∠=，而1F C ⊥图中渐近线，于是1F C a k b =，得12cos b BF F c ∠=，于是222(2)(2)(4)8b a c a c ac+-=，不妨令1a =，化简得2220b b --=，解得1b =)1y x =±.故答案为：)1y x =±.17．()()223420x y -++= 【解析】 【分析】先根据题意设直线方程，由条件求出直线的方程，再根据条件列出等量关系，求出圆心和半径，进而求得答案. 【详解】解：设直线l 的方程为y ＝－2x ＋b （b ＞0）， 它与两坐标轴的正半轴的交点依次为()0,b ，,02b ⎛⎫⎪⎝⎭，因为直线l 与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积等于1，所以1122bb ⨯=，解得b ＝2，所以直线l 的方程是22y x =-+，即220x y +-=． 由题意，可设圆C 的圆心为(),22C a a -，半径为r ，又因为圆C 被x 轴截得的弦长等于4，所以()22224r a --=ⅰ， 由于直线210x y --=与圆相切，所以圆心C 到直线210x y --=的距离1d r ==-=ⅰ，所以ⅰⅰ联立得：()()2251422a a -=+-，解得：1a =-或3a =， 又圆心在第四象限，所以3a =， 则圆心()3,4C -，r =所以圆C 方程是()()223420x y -++=. 18．（1）43n a n =- （2）12c =-【解析】 【分析】(1)利用等差数列的性质可得25343422117a a a a a a +=+=⋅=⎧⎨⎩ ,联立方程可得34,a a ,代入等差数列的通项公式可求n a ;(2)代入等差数列的前n 和公式可求n S ,进一步可得n b ,然后结合等差数列的定义可得2132b b b =+,从而可求c .【详解】（1）{}n a 为等差数列，34117a a ⋅=，2522a a += 又253422a a a a +=+=34,a a ∴是方程2221170x x -+=的两个根，0d > 349,13a a ∴==1129313a d a d +=⎧∴⎨+=⎩ 14,1d a ∴==1(1)443n a n n ∴=+-⨯=-（2）由（1）可知，2(1)422n S n n n n n -⨯=+=-22n n n nb nc c n S -==++ 1231615,,123b b b c c c∴===+++n b 为等差数列，22132,20b b b c c ∴=+∴+=1(02c c ∴=-=舍去)当12c =-时，2n b n =为等差数列，满足要求【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的综合运用,属于中档题. 19．(1)2213y x -=(2))2y x =+或)2y x =+ 【解析】 【分析】（1）依题意设所求的双曲线方程为22221x y a b-=，则2c =，再根据离心率求出a ，即可求出b ，从而得到双曲线方程；（2）依题意可得直线l 的斜率存在，设():2l y k x =+，即可得到M 的坐标，依题意可得2MQ QF =或2MQ QF =-，分两种情况分别求出Q 的坐标，再根据Q 的双曲线上，代入曲线方程，即可求出k ，即可得解； (1)解：设所求的双曲线方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），则2c e a ==，2c =，ⅰ1a =，又222c a b =+则b =ⅰ所求的双曲线方程为2213y x -=．(2)解：ⅰ直线l 与y 轴相交于M 且过焦点()2,0F -，ⅰl 的斜率一定存在，则设():2l y k x =+．令0x =得()0,2M k ， ⅰ2MQ QF =且M 、Q 、F 共线于l ，ⅰ2MQ QF =或2MQ QF =- 当2MQ QF =时，43Q x =-，23Q y k =，ⅰ42,33Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，ⅰQ 在双曲线2213y x -=上，ⅰ21641927k -=，ⅰk =， 当2MQ QF =-时，()4,2Q k --，代入双曲线可得： 241613k -=，ⅰk = 综上所求直线l的方程为：)2y x =+或)2y x =+． 20．(1)有(2)分布列见解析，65【解析】 【分析】（1）依题意由列联表计算出卡方，与参考数值比较，即可判断；（2）按照分层抽样得到有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”， 记“天文爱好者”的人数为X ，则X 的可能值为0，1，2，即可求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望； (1)解：由题意，()()()()()()222100201530359.091 6.63550505545n ad bc X a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以有99%的把握认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关. (2)解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文爱好者”有20人，“非天文爱好者”有30人，所以按分层抽样在50个女性人群中抽取5人，则有2人为“天文爱好者”，有3人为“非天文爱好者”．再从这5人中随机选出3人，记其中“天文爱好者”的人数为X ，则X 的可能值为0，1，2，ⅰ()0323351010C C P X C ⋅===，()122335631105C C P X C ⋅====，()2123353210C C P X C ⋅===， X 的分布列如下表：()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=． 21．(1)1681(2)122081(3)2件 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）首先求出一件手工艺品质量为C 级的概率，设81件手工艺品中质量为C 级的手工艺品是X 件，则2081,81XB ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布的方差公式计算可得； （3）首先求出一件手工艺品质量为D 级的概率，设10件手工艺品中质量为D 级的手工艺品是ξ件，则710,27B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，根据二项分布的概率公式求出()P k ξ=的最大值，即可得解； (1)解：一件手工艺品质量为B 级的概率为2213111161133381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)解：一件手工艺品质量为C 级的概率为2211321111120113333381C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯⨯⨯-+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，设81件手工艺品中质量为C 级的手工艺品是X 件，则2081,81X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()2061122081818181D X =⨯⨯=． (3)解：一件手工艺品质量为D 级的概率为2323331117133327C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设10件手工艺品中质量为D 级的手工艺品是ξ件，则710,27B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()10107202727k kk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1911010107201707272720207202727k kk k k k P k k C k C k P ξξ+-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-⎝⎭⎝⎭===+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由70712020k k ->+解得5027k <，所以当1k =时，()()211P P ξξ=>=，即()()21P P ξξ=>=， 由70712020k k -<+解得5027k >，所以当2k =时，()()1P k P k ξξ=+<=，所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中质量为D 级的最有可能是2件． 22．（1）2212x y +=；（2）【解析】 【分析】(1)设点(),T x y 和()00,P x y ，由题意可得点T 的轨迹方程，将点Q 的坐标代入T 的方程计算出22a b 、即可；(2)设2l 的方程，()11,D x y 和()22,E x y ，联立椭圆方程并消元得到关于y 的一元二次方程，根据韦达定理得到1212y y y y +、，进而求出DE 和AB ，根据平行线间的距离公式可得1l 与2l 的距离，得出所求四边形面积的表达式，结合换元法和基本不等式化简求值即可. 【详解】解：（1）设点(),T x y ，()00,P x y ，则点()00,0P x ，()00,PT x x y =-，()000,P P y =， ⅰ002PT P P =，ⅰ000x x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩，ⅰ00x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩， ⅰ点()00,P x y 在椭圆C 上，ⅰ222212x y a b+=，即为点T 的轨迹方程． 又ⅰ点T 的轨迹是过(Q 的圆，ⅰ2222212a b b⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）由题意，可设2l 的方程为1x ty =+， 联立方程22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222210t y ty ++-=．设()11,D x y ，()22,E x y ，则()2810t ∆=+>，且1221222212t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以)2212t DE t +=+，同理)2212t AB t +=+， 又1l 与2l 的距离为d =所以，四边形ABDE的面积为S DE d =⨯=u =，则1u ≥，且S u u =≤=+， 当且仅当1u =，即0=t 时等号成立．所以，四边形ABDE 的面积最大值为。
石家庄市2020-2021学年度第一学期期末考试试卷高二数学（理科答案）一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B C C D D DB B B D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 86 12. 10313.221327x y -= 14. 6 15. 322 16.23三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)解：198788978,8x 甲＝（8＋＋＋＋＋＋＋）＝ 1=10698.8x 乙（10＋7＋8＋＋9＋5＋＋）＝…………………………4分 ()()()()()()()()2222222212s 8898887888889878,82⎡⎤-+-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦甲＝()()()()()()()()222222221s 1087888108985868983,8⎡⎤-+-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦乙＝ ……………………………8分∵.x x =乙甲，s s <乙甲，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适 .…………………10分18. (本小题满分12分)（Ⅰ）依题意可知C 点的坐标为（-1,1），圆C 的半径为 2，……………………………2分∴圆C 的方程为22(1)(1)2x y ++-=.………………………………4分（Ⅱ）2222222PC AC =+==.∴在Rt PAC ∆中，030,6APC PA ∠==,…………………………………7分 可知0260,6APB APC PB ∠=∠==,………………………………………10分∴066cos 60PA PB ⋅=⋅=3.……………………………12分19. (本小题满分12分)处应填 (4)分处应填……………………8分处应填……………… 12分20. (本小题满分12分) 解：设事件A 为“方程229304x ax b ++=有实根”． 当0a ≥，0b ≥时，方程229304x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．…………2分 （Ⅰ）基本事件共8个：(00)(01)(10)(11)(20)(21)(30)(31)，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．………………………4分事件A 中包含7个基本事件，所以事件A 发生的概率为7()8P A =．……………7分 （Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为{}()|030a b a b ，，≤≤≤≤1．…………9分 构成事件A 的区域为{}()|030a b a b a b ，，，≤≤≤≤1≥． 所以所求的概率为1311152316⨯-⨯⨯=⨯．…………………12分 21. (本小题满分12分)（Ⅰ）证明：依题意可知PD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥,//EF CD ,………………2分 可知CD ⊥平面PDA ,得CD ⊥PA ,从而PA EF ⊥.…………………………5分（Ⅱ）法一：取AD 的中点Q ，连结,,QF QG ，过Q 做QM DG ⊥于M ，过M 做MN FG ⊥于N ,则QNM ∠为二面角Q FG D --的平面角，其余弦值为二面角E FG D --的余弦值的相反数,后面略.法二：建立如图所示空间直角坐标系，(0,0,0),(1,2,0),(0,0,1),(0,1,1)D G F E(1,2,0)DG = (0,0,1)DF =(0,1,0)EF =-(1,1,1)EG =-……………7分 取AB 的中点M ,连结MC ,可知MC DG ⊥,则MC ⊥平面DFG ，又1102MC =（-，，），设平面EFG 的法向量为(,,)x y z =n 00EF EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,可知0,0.y x y z -=⎧⎨+-=⎩ 则(1,0,1)=n ………………………………10分,|||MC MC MC ⋅>=⋅nn |n 本小题满分12分)（Ⅰ）依题意可知c =1,b =1.……………………………11+=. 椭圆的方程为2221xy =.…………………………………（Ⅱ）若M 的坐标为(2,0)时，圆的方程为。
河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示的韦恩图中，全集U=R ，若{|02}A x x =≤<，{}1B x x =，则阴影部分表示的集合为（ ）．A ．{}|1xx> B ．{|12}x x << C ．{}2x xD ．{|2}x x ≥2．复平面内，复数2(1)对应的点位于 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧⌝4．不等式113x <+<的解集为（ ） A ．(0,2) B ．(2,0)(2,4)-⋃ C ．(4,0)-D ．(4,2)(0,2)--⋃5．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°6．若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是A ．B ．C ．D ．7．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 （ ） A ．14-B ．4C ．2D ．12-8．设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，2] B ．[－1，0] C ．[1，2]D ．[0，2]9．已知实数a >0，且a ≠1，函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上是减函数，又1()x xg x a a =+，则下列选项正确的( ) A ．g (－2)<g (1)<g (3) B ．g (1)<g (－2)<g (3)C ．g (3)<g (－2)<g (1)D ．g (－2)<g (3)<g (1)10．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则a 的取值范围是（ ）． A ．2a >B ．2a <C ．22a -<<D ．2a <-或2a >11．将函数[]()20,1y x x x =-+∈图像绕点（1,0）顺时针旋转θ角02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭得到曲线C ，若曲线C 仍是一个函数的图像，则θ的最大值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 12．已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点()1212,x x x x <则（）A ．()()1210,2f x f x -B ．()()1210,2f x f x <<-C ．()()1210,2f x f x ><-D ．()()1210,2f x f x >>-二、填空题13．若关于x 的不等式24x x a -++<的解集是空集，则实数a 的取值范围是__________. 14．直线12y x b =+是曲线的一条切线，则实数b = ．15．已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时,2()6f x x x =-,则不等式()f x x >的解集为___________.16．设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总有过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题17．设函数()|1(0)f x x x a a =++- （1）若2a =时，解不等式()4f x ≤；（2）若不等式()4f x ≤的对一切[,2]x a ∈恒成立，求实数a 的取值范围.18．某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据所给数据：(1)写出2×2列联表； (2)判断产品是否合格与设备改造是否有关，说明理由．附：K 2＝，数据支持：（65×49－36×30）2=4431025 101×79×85×95=6443082519．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 的参数方程为:22{4x t y =-+=-（t 为参数），两曲线相交于,M N 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若(2,4)P --，线段MN 的中点为Q ，求P 点到Q 点距离PQ20．已知定义域为R 的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数．（1）求,a b 的值；（2）已知()f x 在定义域上为减函数，若对任意的t R ∈，不等式()()2220(f t t f t k k -+-<为常数）恒成立,求k 的取值范围.21．设3211()232f x x x ax =-++ （1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）当2o a <<时，()f x 在[1,4]的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值22．已知函数2()ln 1af x x x =++1）求()f x 的单调区间 2）若0x >时，ln 11x ax x >-+恒成立，求a 的范围参考答案1．D 【解析】由题设提供的韦恩图可知{|0R C A x x =<或2}x ≥，故图形中阴影部分表示的集合是(){|2}R C A B x x ⋂=≥，应选答案D ．2．B 【解析】由题设可知()21+2=-+，故依据复数的实部与虚部的符号可知该复数对应的点位于第二象限，应选答案B 。
