3-3有理式的不定积分与有理化方法

R(
x)
P( Q(
x) x)
为真分式
,
求
R(
x)dx
的步骤：
1. 将 Q(x) 在实数范围内分解成一次式和二 次质因式的乘积 .
2. 将 R( x) P( x) 拆成若干个部分分式之和.
Q( x)
(分解后的部分分式必须是最简分式).
3. 求出各部分分式的原函数 , 即可求得 R( x)dx .
11
1dx
,
其中A _____,B _____,C _______；
3、计算
2
dx sin
x
, 可用万能代换sin
x
___________,
dx _____________；
4、计算
dx
, 令t ___,x ___,dx ____ .
ax b m
32
5、有理函数的原函数都是_________ .
2(1 x)2 1 x
2、ln( x sin x) C ；
3、
(1 x 2 )3
1 x2 C；
3x3
x
4、 sin x 1 ln(sec x tan x) C ； 2 cos2 x 2
5、 8(1
x4
x
8
)
1 arctan 8
x4
C
；
6、 2 x C ,或sec x x tan x C ； 1 tan x 2
原式
(t
2
1)
t
(t
2t 2 1)2
dt
2
t
t
2
2
1
dt
2
(1
t
2
1
) 1

对于有理式$frac{x^2 + 1}{x}$，可以 通过变量替换$t = x$将其转化为 $frac{t^2 + 1}{t}$，进一步得到积分 结果为$ln|t| + t + C$。
反常积分处理
总结词
处理积分区间内函数值无穷大或积分结果不收敛的情况，确保积分运算的正确性。
详细描述
在解决有理式不定积分问题时，有时会遇到被积函数在某些区间内无穷大或积分结果不收敛的情况。此时需要采用反 常积分处理方法，将被积函数分为正常和反常两部分，分别进行积分运算。
有理化分母是指将有理式的分母进行因式分解，将其转化为两个因式的乘积，以便于消去根号，简化 积分过程。例如，将$frac{sqrt{x}}{x}$有理化，得到$frac{x}{sqrt{x}}$。
复杂有理式的有理化方法
总结词
对于复杂的有理式，需要采用多种有理化方 法进行转化。
详细描述
对于复杂的有理式，可能需要同时使用分子 有理化和分母有理化的方法，或者采用其他 有理化技巧，如部分分式分解等，以便将其 转化为更易于积分的形式。例如，对于复杂 有理式$frac{x^2+1}{xsqrt{x^2+1}}$，可 以采用分子有理化和分母有理化的方法进行 转化。
三角函数的有理式形式
在解决含有三角函数的有理式不定积分问题时，需要将有理式 转化为三角函数的有理式形式，以便更好地应用三角函数的性
质和公式。
复杂有理式的部分分式法
01
复杂有理式的部分分 式法
对于一些复杂的有理式，需要使用到 部分分式法，以便将复杂的有理式分 解为若干个简单的有理式，从而更容 易地找到不定积分的解。
三角函数有理式的积分
三角函数有理式的积分

§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分一 有理函数的不定积分有理函数的一般形式为：mm m n n n b x b x b a x a x a x Q x P x R ++++++==-- 110110)()()(。

其中m n ,为非负整数，n a a a ,,,10 与m b b b ,,,10 都是常数，且000≠⋅b a 。

若n m >，则称)(x R 为真分式；若n m ≤，则称)(x R 为假分式。

结论： 假分式=多项式+真分式。

因此，对有理函数的积分，只要讨论真分式的积分即可。

重要结论：任何一个有理真分式必定可以表示为若干个形如（称为部分分式）：（1） a x A -； （2） ka x A )(-；)2(≥k （3）)04(22<-+++q p q px x B Ax ； （4）)04()(22<-+++q p q px x B Ax k )2(≥k 。

的真分式之和，其中A ，B ，,,,q p a 为常数，k 为正整数。

因此，对有理真分式的积分只要讨论上述四种形式的真分式的积分即可。

（1） C a x a x dx +-=-⎰ln 。

（2） C a x k a x dx k k +--=--⎰1))(1(1)(， )1(>k 。

（3） dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222，令2p x t +=，并记4422p q r -=，2pA B N -=，则dx p q p x B Ax dx q px x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222⎰+=22r t tdt A ⎰++22r t dt N C rt r N r t A +++=arctan )ln(222。

（4） 同（3）可得 )2(≥k ，⎰+++k q px x B Ax )(2⎰⎰+++=k k r t dt N r t tdt A )()(2222122))(1(2-+-=k r t k A ⎰++k r t dt N )(22。

4 2 3 2
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B