数字信号处理实验2 ——离散系统频率响应和零极点分布姓名：李倩
学号：13081403
班级：通信四班
指导教师：周争
一．实验原理
离散时间系统的常系数线性差分方程：
∑ak*y(n-k)=∑br*x(n-r)
求一个系统的频率响应:
H(e^jw)=(∑br*e^(-jwr))/( ∑ak*e^(-jwk))
其中的r和k都是从零开始的。H(e^jw)是以2pi为周期的连续周期复函数，将其表示成模和相位的形式：
H(e^jw)=|H(e^jw)|*e^(jarg[H(e^jw)])
其中|H(e^jw)|叫做振幅响应（幅度响应），频率响应的相位arg[H(e^jw)]叫做系统的相位响应。
将常系数线性差分方程的等式两边求FT,可以得到系统的频率响应与输入输出的频域关系式：
H(e^jw)=Y(e^jw)/X(e^jw)
将上式中的e^jw用z代替，即可得系统的系统函数：
H(z)=Y(z)/X(z)
H(z)=∑h(n)*z^(-n)（n的取值从负无穷到正无穷）
H(z)=( ∑br*z^(-r))/( ∑ak*z^(-k))
将上式的分子、分母分别作因式分解，可得到LTI系统的零极点增益表达式为：
H(z)=g∏(1-zr*z^(-1))/∏(1-pk*z^(-1))
其中g为系统的增益因子，pk(k=1,2,3,…,N)为系统的极点，zr(r=1,2,3,…,M)为系统的零点。通过系统的零极点增益表达式，可
以判断一个系统的稳定性，对于一个因果的离散时间系统，若所有的极点都在单位圆内，则系统是稳定的。
二．实验内容
一个LTI离散时间系统的输入输出差分方程为
y(n)-
三．程序与运行结果
(1)编程求上述两个系统的输出，并分别画出系统的输入和输出波形
程序：
运行结果：
结果说明：在给定的输入x(n)的情况下，用filter()函数轻松求得两个系统的输出，用stem()作出了输入输出的离散图像。
（2）编程求上述两个系统的冲击响应序列，并画出其波形。
程序：
clear;
N=300; %取序列的前300个取样点
num=[0.5 0.27 0.77];
den=[1];
y1=impz(num,den,N); %计算系统1的冲激响应序列的前N个取样点num2=[0.45 0.5 0.45];
den2=[1 -0.53 0.46];
y2=impz(num,den,N); %计算系统2的冲激响应序列的前N个取样点subplot(2,1,1);
stem(y1);
xlabel('时间序号n');
ylabel('冲激响应序列');
title('系统1的冲激响应序列');
grid;
subplot(2,1,2);
stem(y2);
xlabel('时间序号n');
ylabel('冲激响应序列');
title('系统2的冲激响应序列');
grid;
运行结果：
结果说明：用impz()函数可以直接求出系统的冲激响应序列的前N个取样点。由运行结果可以看出系统1的冲激响应序列只在n=1,n=2,n=3处有值；系统2的冲激响应序列只在n=1,n=2,n=3时有值。
（3）若系统的初始状态为零，判断系统2是否为时不变的？是否为线性的？
运行结果：
结果说明：实现了T[a1*x1(n)+a2*x2(n)]=a1*y1(n)+a2*y2(n)，看得出系统2时线性的；当输入延迟10个单位时，由输出的图像可以看出相应的输出也延迟了10个单位，即T[x(n-D)]=y(n-D)，所以该系统同时也是时不变的。四．实验总结：
这次实验主要学习了LTI系统线性和时不变性的判断，以及相关的zeros()函数、impz()函数求冲激响应序列、filter()函数求相应输入下系统的输出序列。
