《弹性力学》经典试题

《弹性力学》试题参考答案一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。

2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。

3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。

4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。

5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。

二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。

作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。

2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。

题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。

试求薄板面积的改变量S ∆。

题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。

由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。

4．图示曲杆，在b r =边界上作用有均布拉应力q ，在自由端作用有水平集中力P 。

试写出其边界条件（除固定端外）。

题二（4）图（1）0 ,====br r br r q θτσ； （2）0 ,0====ar r a r r θτσ（3）sin cos θτθσθθP dr P dr b ar ba=-=⎰⎰2cos b a P rdr b a+-=⎰θσθ5．试简述拉甫（Love ）位移函数法、伽辽金（Galerkin ）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love 、Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数),(),,(),,(y x w y x v y x u 或),(),,(θθθr u r u r 为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。

（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。

适用性：Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题； Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。

三、计算题1．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x σ由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出y xy στ,，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。

（12分）题三（2）图解：（1）求横截面上正应力x σ任意截面的弯矩为306x l q M -=，截面惯性矩为123h I =，由材料力学计算公式有 y x lhq I Myx 3302-==σ （1） （2）由平衡微分方程求xy τ、y σ平衡微分方程： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂(3) 0(2) 0Y y x X yx y yx xyx σττσ其中，0,0==Y X 。

将式（1）代入式（2），有y x lhq y xy 2306=∂∂τ 积分上式，得)(312230x f y x lhq xy +=τ 利用边界条件：02=±=hy xyτ，有0)(4312230=+x f h x lh q 即 2230143)(h x lhq x f -= )41(322230h y x lh q xy -=τ （4）将式（4）代入式（3），有0)41(62230=∂∂+-y h y x lh q y σ 或 )41(62230h y x lhq y y --=∂∂σ 积分得)()4133(62230x f y h y x lhq y +--=σ 利用边界条件：x lq hy y2-=-=σ，02=+=hy y σ得：⎪⎩⎪⎨⎧=+---=++-- 0)()8124(6)()8124(623330023330x f h h x lhq x l q x f h h x lh q由第二式，得x lq x f 2)(02-= 将其代入第一式，得x lqx l q x l q 00022-=--自然成立。

将)(2x f 代入y σ的表达式，有x l qy h y x lhq y 2)413(602330---=σ （5）所求应力分量的结果：y x lhq I Myx 3302-==σ )41(322230h y x lhq xy -=τ （6） x l qy h y x lhq y 2)413(602330---=σ校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x = 0）：022=⎰-=hh x xdy σ，022=⎰-=h h x xydy τ 代入后可见：自然满足。

（2）梁右端的边界（x = l ）：022233022=-=⎰⎰-=-=h h lx h h lx xdy y lh xq dy σ 2)4(30222232022lq dy h y lh x q dy h h l x h h lx xy=-=⎰⎰-=-=τ M l q y lh l q dy y lhx q ydy hh h h lx h h lx x=-=-=-=--=-=⎰⎰63222022333022233022σ可见，所有边界条件均满足。

检验应力分量y xy x στσ,,是否满足应力相容方程： 常体力下的应力相容方程为0))(()(22222=+∂∂+∂∂=+∇y x y x y x σσσσ 将应力分量y xy x στσ,,式（6）代入应力相容方程，有xy lh q x yx 302212)(-=+∂∂σσ，xy lh q y y x 302212)(-=+∂∂σσ024))(()(3022222≠-=+∂∂+∂∂=+∇xy lh q y x y x y x σσσσ显然，应力分量y xy x στσ,,不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。

2．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k 。

梁受有均匀分布载荷q 作用，如图所示。

试：（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数)(x w ；（2）用最小势能原理或Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。

（13分）题二（3）图解：两种形式的梁挠度试函数可取为)()(23212ΛΛ+++=x A x A A x x w —— 多项式函数形式)2cos1()(1∑=-=nm m lxm A x w π —— 三角函数形式 此时有：0)()(023212=+++==x x A x A A x x w ΛΛ0)()(2)(03222321=++++++='=x x A A x x A x A A x x w ΛΛΛΛ0)2cos1()(01=-===∑x nm m l xm A x w π 02sin 2)(01=='==∑x nm mlx m m l A x w ππ即满足梁的端部边界条件。

梁的总势能为[]202022)(21)(21l w k dx x qw dx dx w d EI Πl l+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰ 取：21)(x A x w =，有1222A dxwd =，21)(l A l w = 代入总势能计算式，有221012021)(21)2(21l A k dx A qx dx A EI Πl l +-=⎰⎰ 42131212132l kA l qA EIlA +-= 由0=Πδ，有0343411=-+l q l kA EIlA )4(34301kl EIl l q A += 代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为2430)4(3)(x kl EIl l q x w += 3．已知受力物体内某一点的应力分量为：0=x σ，MPa 2=y σ，MPa 1=z σ，MPa 1=xy τ，0=yz τ，MPa 2=zx τ，试求经过该点的平面13=++z y x 上的正应力。

（12分）解：由平面方程13=++z y x ，得其法线方向单位矢量的方向余弦为1111311222=++=l ，1131313222=++=m ，1111311222=++=n⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=102021210ij σ， {}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=131111n m l L[][][][]111131102021210131111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==L L T Nσσ []MPa 64.21129111131375==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=《弹性力学》课程考试试卷一、简述题（40分）1. 试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出两类平面问题中弹性常数间的转换关系。

2. 弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？ 3. 写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？ 4. 写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。

5. 求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？6. 试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出他们与弹性力学基本方程的等价性?7.试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程）)(22y x C x +=ε，2Cy y =ε，Cxy xy 2=γ。

8. 试写出应力边界条件： （1）（a ）图用极坐标形式写出；（2）（b）图用直角坐标形式写出。

（a）图（b）图二、计算题（15分）已知受力物体中某点的应力分量为：0=xσ，ay2=σ，az=σ，axy=τ，0=yzτ，azx2=τ。

试求作用在过此点的平面13=++zyx上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和切应力。

三、计算题（15分）图示矩形截面悬臂梁，长为l，高为h，在左端面受力P作用。

不计体力，试求梁的应力分量。

（试取应力函数BxyAxy+=3ϕ）四、计算题（15分）图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。