最新人教版高一数学必修1第一章《函数及其表示》教案(第2课时)

函数及其表示导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．自主梳理1．函数的基本概念(1)函数定义：设A ，B 是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ,在集合B 中 ，称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，x 的取值范围A 叫做函数的__________，__________________叫做函数的值域。

(2)函数的三要素__________、________和____________．(3)函数的表示法：常用方法有________、________、________.(4)函数相等：如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数。

分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________．2．映射的概念(1)映射的定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有 确定的元素y与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的 .（2）由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A 、B 必须是 数集.自我检测1．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ． 2个D ．3个2．函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为( ) A ．(34，1) B ．(34，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(34，1)∪(1，＋∞)3．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 3x ，x>02x ， x ≤0，则f(f(19))等于( ) A ．4 B.14 C ．－4 D ．－144．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )A．y＝x2x B．y＝(x)2C．y＝lg 10x D．y＝2log2x5．已知一次函数的图象过点（1，3），（-1，-1），求一次函数的解析式。

教学课题函数及其表示----导学案
教学目标考点分析1.了解函数、映射的概念．
2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法．
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
教学重点1.了解函数、映射的概念．
2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法．
教学难点函数的概念、三要素、分段函数等问题是重点，也是难点．教学方法讲练结合法、启发式教学法
教学过程：
一、函数与映射的概念
名称函数映射
两集合
A、B
设A、B是两个设A、B是两个
对应关系f：A →B 如果按照某种确定的对应
关系f，使对于集合A中
的一个数x，
在集合B中有
的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应
关系f，使对于集合A中
的一个元素
x，在集合B中有
的元素y与之对应
称为
从集合A到集合B的一
个函数
称对应为
从集合A到集合B的一个
映射
记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射
二、函数的有关概念
1．函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，
叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
2．函数的三要素：、和．
三、函数的表示方法
表示函数的常用方法有：、和．
四、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因不同而
分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
1。

第一章第二节函数及其表示第一课时整体设计教学分析函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图象、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．三维目标1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y ＝f (x )的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习的积极性．重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．教学难点：符号“y ＝f (x )”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．课时安排2课时教学过程第1课时作者：高建勇导入新课思路1.北京时间2005年10月12日9时整，万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空，5天后圆满完成各项任务并顺利返回．在“神舟”六号飞行期间，我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离y 随时间t 是如何变化的，本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究．引出课题．思路2.问题：已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，请用初中所学函数的定义来解释y 与x 的函数关系？先让学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)给出下列三种对应：(幻灯片)①一枚炮弹发射后，经过26 s 落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m ，且炮弹距地面的高度h (单位：m)随时间t (单位：s)变化的规律是h ＝130t －5t 2.时间t 的变化范围是数集A ＝{t |0≤t ≤26}，h 的变化范围是数集B ＝{h |0≤h ≤845}．则有对应f ：t →h ＝130t －5t 2，t ∈A ，h ∈B .②近几十年来，大气层的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S (单位：106 km 2)随时间t (单位：年)从1979～2001年的变化情况．图1根据图1中的曲线，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：f：t→S，t∈A，S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况化范围是数集B＝{y|37.9≤y≤53.8}.则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.以上三个对应有什么共同特点？我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义.函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？函数有意义又指什么？函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．解：(1)共同特点是：集合A，B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应．(2)一般地，设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等．(5)C⊆B.应用示例例题已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2， (1)求函数的定义域；(2)求f (－3)，f (23)的值； (3)当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值．活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使x ＋3和1x ＋2有意义的自变量的取值范围.x ＋3有意义，则x ＋3≥0，1x ＋2有意义，则x ＋2≠0，转化为解由x ＋3≥0和x ＋2≠0组成的不等式组． (2)让学生回想f (－3)，f (23)表示什么含义？f (－3)表示自变量x ＝－3时对应的函数值，f (23)表示自变量x ＝23时对应的函数值．分别将－3，23代入函数的对应法则中得f (－3)，f (23)的值． (3)f (a )表示自变量x ＝a 时对应的函数值，f (a －1)表示自变量x ＝a －1时对应的函数值．分别将a ，a －1代入函数的对应法则中得f (a )，f (a －1)的值．解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0，解得－3≤x <－2或x >－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1；f (23)＝23＋3＋123＋2＝333＋38. (3)∵a >0，∴a ∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f (a )，f (a －1)有意义．则f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1. 点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f (x )的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．f (x )是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f (x )没有什么意义．符号f 可以看作是对“x ”施加的某种法则或运算．例如f (x )＝x 2－x ＋5，当x ＝2时，看作“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；当x 为某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＋5，f [g (x )]＝[g (x )]2－g (x )＋5等等．符号y ＝f (x )表示变量y 是变量x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y 等于f 与x 的乘积．符号f (x )与f (m )既有区别又有联系：当m 是变量时，函数f (x )与函数f (m )是同一个函数；当m 是常数时，f (m )表示自变量x ＝m 对应的函数值，是一个常量．已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．(3)如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．1．函数y ＝x ＋2x ＋1－1－x 的定义域为__________． 答案：{x |x ≤1，且x ≠－1}．点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y ＝x ＋1－1－x ，得函数的定义域为{x |x ≤1}．其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前时，不要化简解析式．2．若f (x )＝1x的定义域为M ，g (x )＝|x |的定义域为N ，令全集U ＝R ，则M ∩N 等于( ) A ．M B ．NC ．∁U MD ．∁U N解析：由题意得M ＝{x |x >0}，N ＝R ，则M ∩N ＝{x |x >0}＝M .答案：A3．已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，则函数f (2x －1)的定义域是________．解析：要使函数f (2x －1)有意义，自变量x 的取值需满足－1≤2x －1≤1，∴0≤x ≤1. 答案：[0,1]知能训练课堂小结本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f (x )的理解．作业课本习题1.2，A 组，1,5.设计感想本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．第2课时作者：刘玉亭复习1．函数的概念．2．函数的定义域的求法．导入新课思路1.当实数a ，b 的符号相同，绝对值相等时，实数a ＝b ；当集合A ，B 中元素完全相同时，集合A ＝B ；那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题：函数相等．思路2.我们学习了函数的概念，y ＝x 与y ＝x 2x是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容，引出课题：函数相等．推进新课新知探究提出问题①指出函数y ＝x ＋1的构成要素有几部分？②一个函数的构成要素有几部分？③分别写出函数y ＝x ＋1和函数y ＝t ＋1的定义域和对应关系，并比较异同.④函数y ＝x ＋1和函数y ＝t ＋1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同，值域相同吗？⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？讨论结果：①函数y ＝x ＋1的构成要素为：定义域R ，对应关系x →x ＋1，值域是R . ②一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素．其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心．当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才相同．③定义域和对应关系分别相同．④值域相同．⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等．因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．应用示例例题 下列函数中哪个与函数y ＝x 相等？(1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x . 活动：让学生思考两个函数相等的条件后，引导学生求出各个函数的定义域，化简函数关系式为最简形式．只要它们定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．解：函数y ＝x 的定义域是R ，对应关系是x →x .(1)∵函数y ＝(x )2的定义域是[0，＋∞)，∴函数y ＝(x )2与函数y ＝x 的定义域不相同．∴函数y ＝(x )2与函数y ＝x 不相等．(2)∵函数y ＝3x 3的定义域是R ，∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 的定义域相同．又∵y ＝3x 3＝x ，∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 的对应关系也相同．∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 相等．(3)∵函数y ＝x 2的定义域是R ，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的定义域相同．又∵y ＝x 2＝|x |，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的对应关系不相同．∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 不相等．(4)∵函数y ＝x 2x的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴函数y ＝x 2x与函数y ＝x 的定义域不相同， ∴函数y ＝x 2x与函数y ＝x 不相等． 点评：本题主要考查函数相等的含义．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．对于判断两个函数是否是同一个函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同(即对应关系相同)，则是同一个函数，否则不是同一个函数.1．下列给出的四个图形中，是函数图象的是( )图2A ．①B ．①③④C ．①②③D ．③④答案：B2．函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是[1,2]，则函数y ＝f (2x －1)的值域是________． 答案：[1,2]3．下列各组函数是同一个函数的有________．①f (x )＝x 3，g (x )＝x x ；②f (x )＝x 0，g (x )＝1x0； ③f (x )＝－2x ，g (u )＝－2u；④f (x )＝－x 2＋2x ，g (u )＝－u 2＋2u . 答案：②③④拓展提升问题：函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 有几个交点？探究：设函数y ＝f (x )定义域是D ，当m ∈D 时，根据函数的定义知f (m )唯一，则函数y ＝f (x )的图象上横坐标为m 的点仅有一个(m ，f (m ))，即此时函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 仅有一个交点；当m ∉D 时，根据函数的定义知f (m )不存在，则函数y ＝f (x )的图象上横坐标为m 的点不存在，即此时函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 没有交点．综上所得，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 有交点时仅有一个，或没有交点．课堂小结(1)复习了函数的概念，总结了函数的三要素；(2)判断两个函数是否是同一个函数．作业1．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )图3 答案：B2．某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入________，它们之间是________关系．解析：由题意，多生产一单位产品则多收入100元．生产产品数量看成是自变量，公司收入看成是因变量，容易得出对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，从而判断两者是函数关系．答案：增加 函数3．函数y ＝x 2与S ＝t 2是同一函数吗？答：函数的确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此y ＝x 2与S＝t 2表示的是同一个函数．因此并非字母不同便是不同的函数，这是由函数的本质决定的．设计感想本节教学内容主要是依据高考说明，对课本内容适当拓展，重点对函数的相等问题进行了引申，设计时对拓展的内容采取渐进式，设计时本着逐步提高、拓展，不能急于求成，否则事倍功半．备课资料备选例题【例1】 已知函数f (x )＝11＋x，则函数f [f (x )]的定义域是________． 解析：∵f (x )＝11＋x ，∴x ≠－1.∴f [f (x )]＝f (11＋x )＝11＋11＋x. ∴1＋11＋x ≠0，即x ＋2x ＋1≠0.∴x ≠－2. ∴f (x )的定义域为{x |x ≠－2且x ≠－1}．答案：{x |x ≠－2且x ≠－1}【例2】 已知函数f (2x ＋3)的定义域是[－4,5)，求函数f (2x －3)的定义域．解：由函数f (2x ＋3)的定义域得函数f (x )的定义域，从而求得函数f (2x －3)的定义域．设2x ＋3＝t ，当x ∈[－4,5)时，有t ∈[－5,13)，则函数f (t )的定义域是[－5,13)，解不等式－5≤2x －3<13，得－1≤x <8，即函数f (2x －3)的定义域是[－1,8)．函数的传统定义和近代定义的比较函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致的．两个定义中的定义域和值域的意义完全相同；两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同．传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x 的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则是将原象集合中任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来．至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因，从历史上看，函数的传统定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，要说清楚变量以及两个变量的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制．后来，人们认识到了定义域和值域的重要性，如果只根据变量的观点来解析，会显得十分勉强，如：符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0，－1， x >0，x ＝0，x <0，用集合与对应的观点来解释，就显得十分自然了，用传统定义几乎无法解释，于是就有了函数的近代定义．由于传统的定义比较生动、直观，有时仍然会使用这一定义．。

高中数学人教A版必修1第一章1.2函数及其表示（通用）
教学设计
【名师授课教案】
1教学目标
(1)明确函数的三种表示方法;函数的三种不同表示的相互间转化。

(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;
(3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;
(4)了解映射的定义,会判断映射。

2学情分析
初中已经学习了函数的三种表示,学生正处于以感性思维为主的年龄阶段,而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维,并由此向逻辑思维发展,但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱,故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境,引导学生积极思考,培养他们的逻辑思维能力。

3重点难点
重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念.
难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数的表示及其图象.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】自主学习
问题:①初中学过函数的哪些表示方法?
解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法:列出表格表示两个变量之间的对应关系。

高中数学人教A版必修1第一章《1.2 函数及其表示（通用）》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
(1)明确函数的三种表示方法;函数的三种不同表示的相互间转化。

(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;
(3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;
(4)了解映射的定义,会判断映射。

2学情分析
初中已经学习了函数的三种表示,学生正处于以感性思维为主的年龄阶段,而且思维逐步地
从感性思维过渡到理性思维,并由此向逻辑思维发展,但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱,故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境,引导学生积极思考,培养他们的逻辑思维能力。

3重点难点
重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念.
难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数的表示及其图象.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】自主学习
问题:①初中学过函数的哪些表示方法?
解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法:列出表格表示两个变量之间的对应关系。

高中数学必修一《函数的概念及其表示》优质教案教材分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．教学目标与素养课程目标1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式；3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利用图像表示函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。

重难点重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程一、情景导入初中已经学过函数的三种表示法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表示法定义是？优缺点是？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？2.函数的各种表示法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

高中数学人教A版必修1第一章《1.2函数及其表示（通用）》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学人教A版必修1第一章《1.2 函数及其表示（通用）》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
(1)明确函数的三种表示方法;函数的三种不同表示的相互间转化。

(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;
(3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;
(4)了解映射的定义,会判断映射。

2学情分析
初中已经学习了函数的三种表示,学生正处于以感性思维为主的年龄阶段,而且思维逐步地
从感性思维过渡到理性思维,并由此向逻辑思维发展,但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱,故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境,引导学生积极思考,培养他们的逻辑思维能力。

3重点难点
重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念.
难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数的表示及其图象.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】自主学习
问题:①初中学过函数的哪些表示方法?
解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法:列出表格表示两个变量之间的对应关系。

函数及其表示教案一．【知识回顾】1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。

因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；5．映射的概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f：A→B”。

函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。

6．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系7．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同；8．复合函数：若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。

二．【课堂练习】1．下列四种说法正确的一个是（ C ）A．)(xf表示的是含有x的代数式B．函数的值域也就是其定义中的数集BC ．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 （ B ）A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p +3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）A ．x x y y ==,1B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．33,x y x y ==D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数23212---=x x x y 的定义域为 （ D ）A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞C ．]1,21()21,(-⋂--∞D ． ]1,21()21,(-⋃--∞ 5．在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（ B ）6．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f（ A ）A ．1+πB ．0C ．πD ．1-7．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为 （ C ）A ．x x -+11B ． 11-+x xC ．x x +-11D ．12+x x 8．已知二次函数)0()(2>++=a a x x x f ，若0)(<m f ，则)1(+m f 的值为 （ A ）A ．正数B ．负数C ．0D ．符号与a 有关9．已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，则y 与x 的函数关系式（ B ）A ．x b c a c y --=B ．x c b a c y --=C ．x a c b c y --=D ．x a c c b y --= 10．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为（ C ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[-11．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = -1 .12．若记号“*”表示的是2*b a b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式c b a c b a *+=+)()*(.13．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 4 个不同的映射.14．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满. 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式*,)2019(20N x y x ∈⨯=.15．①．求函数|1||1|13-++-=x x x y 的定义域；R ②求函数x x y 21-+=的值域；令t x =-21，0≥t ，)1(212t x -=，原式等于1)1(21)1(2122+--=+-t t t ，故1≤y 。

第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？xyx的每一和回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量2 .，对于yyxxy 是因都有唯一的值与之对应，此时的函数，是是自变量，个确定的值，变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A.一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度2th.（米）与时间（秒）的变化规律是t?5h?130t B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？Ax，按照中的每一个归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集yfB，在数集和它对应，记作：中都与唯一确定的某种对应关系B?fA:ABfA、中是非空数集，如果按照某种确定的对应关系③定义：设，使对于集合Bx和它对应，那么称的任意一个数中都有唯一确定的数，在集合)xf(B?fA:BA. 到集合），记作：的一个函数（为从集合function Ax),x?y?f(y的值对应的叫作定义域（domain），与x 其中，x叫自变量，x的取值范围A. ）值叫函数值，函数值的集合叫值域（range}(x)|x?A{f B④讨论：值域与的关系？构成函数的三要素？2的定义域与值一次函数、二次函数0)a??bx?c(y?ax0)a?y?ax?b(域？2求。

高中数学函数及其表示教案
教学对象：高中学生
教学目标：
1.了解函数的概念和性质；
2.掌握函数的表示方法；
3.能够应用函数解决实际问题。

教学步骤：
一、引入（10分钟）
通过一个生活实例引入函数的概念，让学生了解函数是什么，并探讨函数的性质。

二、讲解（20分钟）
1.函数的定义和符号表示；
2.函数的性质（奇偶性、单调性等）；
3.函数的表示方法（映射法则、方程法则、图象法则）。

三、练习（30分钟）
1.完成课本上的相关习题；
2.结合生活实际问题，应用函数解决问题。

四、总结（10分钟）
总结今天所学知识，强化重点，澄清疑惑。

五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固所学知识。

教学辅助手段：
1.幻灯片；
2.黑板；
3.教材。

教学反馈：
1.听取学生对函数概念和性质的理解；
2.检查学生完成的习题。

教学延伸：
1.探讨更多函数的相关性质；
2.引导学生分析更复杂的函数问题。

教学检测：
出一个综合性考试，测试学生对函数概念和表示方法的掌握程度。

高中必修一数学教案《函数及其表示方法》教材分析本节内容是高中数学必修一人教版B版第三章第一单元第一节的内容。

学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，习惯用解析式表示函数，但这是对函数的不全面的认识。

本节中，从引进函数的概念开始，就注重函数的不同表示方法：解析法、列表法、图象法。

函数的不同表示方法能丰富学生对函数的认识，帮助学生理解抽象的函数概念，特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合方面表现更加充分。

因此，在研究函数时，要充分发挥图象直观的作用，注意刻画代数，以求思考和表述的准确性。

学情分析学生基本可以掌握本节课的知识点，对于函数概念，有些学生理解的不透彻，可以通过课上小组讨论，合作学习加以掌握；函数的定义域对于学生而言是一个难点，可以通过讨论展示来理解。

教学目标1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

2、了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域。

3、通过具体问题情境，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验。

教学重点用集合语言和对应关系刻画函数。

教学难点通过实例，归纳、概括、抽象出函数的概念。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、直接导入我们在初中已经学习过一些函数的知识，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，并了解了函数的一些简单应用。

但是，仅以初中的函数知识解决不了比较复杂的函数问题。

本节课我们就一起来学习《函数及其表示方法》。

二、学习新知1、函数的概念在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数。

是反比例函例如，y = 2x是正比例函数，y = -3x-1是一次函数，y = -2x数，y = x2+2x-3是二次函数，等等。

（1）函数一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y = f（x），x∈A（2）定义域其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域。