高中数学教案《函数及其表示》

人教版高中必修11.2函数及其表示课程设计一、引言高中数学是基础学科之一，其重要性不言而喻。

在高中数学教学中，函数及其表示是一个重要的知识点。

本篇课程设计将以人教版高中必修11.2函数及其表示课程内容为基础，结合学生的实际情况，设计一节有趣、富有挑战性的课程。

二、教学目标1.掌握函数及其表示的概念，在实践中运用所学知识；2.培养学生的逻辑思维能力和创新精神；3.增强学生学习数学的兴趣，提高学生的自信心。

三、教学内容1.函数及其表示的概念；2.函数的基本性质；3.函数的图形及其变化；4.复合函数的概念；5.复合函数的性质。

四、教学方法1.讲授法：通过PPT展示、讲解，让学生明确课程目标、掌握基础知识。

2.实验法：分组进行实验操作，提高学生的动手实践能力。

3.试题法：通过解析课堂试题，引导学生加深对所学知识的理解和掌握。

五、教学过程5.1 导入环节首先，我们可以通过一个简单的问题来引导学生了解函数的概念：多年前，一位名叫费马的人，在墨西哥的一墓地内，看到一块祖墓上的铭文，他马上想到：这一支铭文描述的错题曲线，是不是一个完美的与你无关呢？接下来，请学生思考一下：费马到底在说什么？这个问题如何才能算是一道数学题？这个问题与函数有什么关系？5.2 提出问题在导入环节的启发下，提出以下问题：1.为什么费马的想法与函数有关？2.函数的定义是什么？怎样才能够被称为函数？3.函数的性质有哪些？如何证明这些性质？4.函数的图形如何绘制？怎样才能明确地表现函数的变化？5.复合函数是什么？如何分析复合函数？5.3 实践操作为了更好地加深学生对函数及其表示的理解，我们可以设计以下操作题：1.给出一组点{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)}，请问这是一个函数吗？为什么？2.函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2，请问f(g(x))的值域是多少？3.函数f(x) = x + 5，g(x) = 3x，请问f(g(x)) = x + ?？4.给出一个函数的表达式和一个函数的图像，请判断这两个函数是否相同？5.4 总结体会通过课堂上的操作练习以及教师的讲解，学生对函数及其表示有了更深入、更直观的理解。

函数及其表示导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．自主梳理1．函数的基本概念(1)函数定义：设A ，B 是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ,在集合B 中 ，称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，x 的取值范围A 叫做函数的__________，__________________叫做函数的值域。

(2)函数的三要素__________、________和____________．(3)函数的表示法：常用方法有________、________、________.(4)函数相等：如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数。

分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________．2．映射的概念(1)映射的定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有 确定的元素y与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的 .（2）由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A 、B 必须是 数集.自我检测1．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ． 2个D ．3个2．函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为( ) A ．(34，1) B ．(34，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(34，1)∪(1，＋∞)3．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 3x ，x>02x ， x ≤0，则f(f(19))等于( ) A ．4 B.14 C ．－4 D ．－144．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )A．y＝x2x B．y＝(x)2C．y＝lg 10x D．y＝2log2x5．已知一次函数的图象过点（1，3），（-1，-1），求一次函数的解析式。

第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

第一课时：1.2.1函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A.一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是2=-.1305h t tB.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）. ④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？⑤练习：2=-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

《函数及其表示》教案设计函数是中学数学的核心内容，从常量数学到变量数学的转变。

函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。

从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。

函数这一部分内容一直是高中数学的重点内容和难点内容,有的高中学生直到高三复习时还是不能理解函数的概念,学好函数的概念是学好函数其它知识的前提,函数学不好,后续知识的学习也会受到影响.故而对于刚入学的高一学生是否能学好函数对其能否学好后面的知识起着至关重要的作用.那么函数的概念课如何上?下面我就《函数及其表示》教案设计与各位交流一下:由于本节课是讲函数的概念,我们采用核心概念教案法进行教案设计和教案活动,首先我们了解一些概念，中学数学核心概念是指中学数学概念中主要的中心的部分．而教案设计是应用系统方法,分析研究教案的问题和需求，确定解决它们的教案策略、教案方法和教案步骤，并对教案结果作出评价的一种计划过程与操作程序．核心概念教案设计框架：（）内容和内容解读；（）目标和目标解读；（）教案问题诊断分析；（）教案支持条件分析；（）教案过程设计；（）目标检测设计。

一、教案内容与内容解读内容:本节课是新课标《数学》（人教版）第一章《集合与函数概念》第二节函数及函数表示第一课时。

本节课主要内容是函数概念，是利用对应．．的观点运用集合语言来揭示两个非空数集之间的一种特殊的对应关系（即一对一、多对一的对应关系）,概念的内涵是：研究某一变化过程中两个变量间的依赖关系.外延是：和某一运动变化有关的两个变量之间的问题.<内涵外延定义> 在逻辑学的学术范围内，概念的逻辑结构分为“内涵”与“外延”。

内涵是指一个概念所概括的思维对象本质特有的属性的总和。

外延是指一个概念所概括的思维对象的数量或范围。

内容解读:函数是高中数学的一个核心概念，它是贯穿整个数学课程的一个基本脉络. 在本节课之前，学生已经学习了集合的有关知识，并且在初中，已经学习了函数概念．本节课就是在这个基础上进行的，是对函数概念的高度抽象、概括和深化，函数知识是学好数学后继知识的基础和工具．同时，函数概念的教案是对学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力培养的重要题材，对培养学生数学表达能力、分析问题和解决问题能力有重要作用.教材在编写顺序上，先学习函数后学习映射，揭示出映射与函数的内在联系，即：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.符合学生由特殊到一般的认知规律.在函数教案前,对教师也有一定的要求,作为教师，我们应该知道函数概念形成的过程.第一个阶段,函数概念是由具体的现实或科学问题中简单抽象出来的，从最初人们注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，到年约翰·贝努利对函数概念进行了明确定义“由任一变量和常数的任一形式所构成的量”，强调了函数要用公式来表示，再到世纪中叶欧拉给出的定义“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数”，再次发展到年柯西“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫作函数”，其间经历了多次表述上的演变，年维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了现代函数定义，“若对集合的任意元素，总有集合确定的元素与之对应，则称在集合上定义一个函数，记为()，元素称为自变元，元素称为因变元”，从初中到高中y f x的教材中可以看到一些函数概念发展的历史痕迹，只是表现了两个有代表性的形式，但作为高中数学教师，应该深刻理解这一发展历程，我们知道概念的形成过程决定着它的教案过程，所以，我们必须理解这一过程，并能从中得出这一概念的教案设计。

1、《函数及其表示》一等奖说课稿尊敬的各位专家、老师：大家好！今天我的说课题目是人教A版必修1第一章第二节《函数及其表示》。

对于这节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这么教”为思路，从教材分析、目标分析、教学法分析、教学过程分析和评价五个方面来谈谈我对教材的理解和教学设计，敬请各位专家、评委批评指正。

一、教材分析（一）地位与作用函数是中学数学中最重要的基本概念之一，函数的学习大致可分为三个阶段。

第一阶段在以为教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，本章学习的函数的概念、基本性质与后续将要学习的基本初等函数（i）和（ii）是函数学习的第二阶段，是对函数概念的'再认识阶段；第三阶段在选修系列导数及其应用的学习，使函数学习的进一步深化和提高。

因此函数及其表述这一节在高中数学中，起着承上启下的作用，函数的思想贯穿高中数学的始终，学好这章不仅在知识方面，更重要的是在函数思想、方法方面，将会让学生在今后的学习、工作和生活中受益无穷。

本小结介绍了函数概念，及其表示方法。

我将本小节分为两课时，第一课时完成函数概念的教学，第二课时完成函数图象的教学。

这里我主要谈谈函数概念的教学。

函数概念部分分用三个实际例子设计教学情境，让学生探寻变量和变量对应关系，结合初中学习的函数理论，在集合论的基础上，促使学生建构出函数概念，体验结合旧知识，探索新知识、研究新问题的快乐。

（二）学情分析（1）在初中，学生已经学习过函数的概念，并且知道韩式是变量间的相互依赖关系（2）学生思维活跃，积极性高，已经步入对数学问题的合作探究能力（3）学生层次参差不齐，个体差异明显二、目标分析根据《函数的概念》在教材中的地位与作用，结合学情分析，本节教学应实现如下教学目标：（一）教学目标（1）知识与技能进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用了解构成函数的要素，理解函数定义域和值域的概念，并会求一些简单函数的定义域。

教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。

o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。

o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。

2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。

o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。

o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。

o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。

o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。

二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。

●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。

●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。

2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。

●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。

●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。

3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。

●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。

函数及其表示教案教案标题：函数及其表示教学目标：1. 了解函数的概念和特征；2. 掌握函数的表示方法，包括函数图、函数表和函数式；3. 能够根据给定的函数图、函数表和函数式进行函数的表示和分析；4. 能够解决与函数相关的实际问题。

教学重点：1. 函数的定义和特征；2. 函数图的绘制和分析；3. 函数表的编制和分析；4. 函数式的表示和运算。

教学难点：1. 函数的概念和特征的理解；2. 函数图、函数表和函数式之间的转换和应用。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、白板、黑板、彩色粉笔、计算器等；2. 学生准备：教材、笔记本、作业本、计算器等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师简要介绍函数的概念和重要性，并引出本课的主题；2. 学生回顾之前学过的关于坐标系和图像的知识，为后续学习做准备。

二、概念讲解（10分钟）1. 教师通过示意图和实例，介绍函数的定义和特征，包括自变量、因变量、定义域、值域等；2. 教师引导学生思考函数在实际生活中的应用，并与学生进行讨论。

三、函数图的表示与分析（15分钟）1. 教师以具体的函数图为例，讲解如何绘制函数图；2. 学生通过绘制函数图，理解函数图与函数的关系；3. 学生根据给定的函数图，分析函数的特征，如单调性、奇偶性和周期性等。

四、函数表的编制与分析（15分钟）1. 教师以具体的函数表为例，讲解如何编制函数表；2. 学生通过编制函数表，理解函数表与函数的关系；3. 学生根据给定的函数表，分析函数的特征，如单调性、奇偶性和周期性等。

五、函数式的表示与运算（15分钟）1. 教师以具体的函数式为例，讲解如何表示函数式；2. 学生通过给定的函数式，理解函数式与函数的关系；3. 学生根据给定的函数式，进行函数的运算和变形。

六、综合应用（10分钟）1. 学生通过解决一些实际问题，应用所学的函数表示和分析方法；2. 教师引导学生思考函数在实际问题中的应用和意义。

七、小结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调重要知识点；2. 学生对本节课的学习进行反思，提出问题和意见。

高中数学教案《函数及其表示》•相关推荐高中数学教案《函数及其表示》作为一位无私奉献的人民教师，通常需要准备好一份教案，借助教案可以更好地组织教学活动。

教案要怎么写呢？下面是小编帮大家整理的高中数学教案《函数及其表示》，希望能够帮助到大家。

教学准备1.教学目标1、知识与技能：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域；3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性.教学重点/难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学用具多媒体4.标签函数及其表示教学过程（一）创设情景，揭示课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点；4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．（二）研探新知1、函数的有关概念（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的`取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．（2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域（3）区间的概念①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；②无穷区间；③区间的数轴表示．（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y=ax+b(a≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)y=(k≠0)比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会.师：归纳总结（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。

函数及其表示教案一．【知识回顾】1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。

因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；5．映射的概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f：A→B”。

函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。

6．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系7．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同；8．复合函数：若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。

二．【课堂练习】1．下列四种说法正确的一个是（ C ）A．)(xf表示的是含有x的代数式B．函数的值域也就是其定义中的数集BC ．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 （ B ）A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p +3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）A ．x x y y ==,1B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．33,x y x y ==D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数23212---=x x x y 的定义域为 （ D ）A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞C ．]1,21()21,(-⋂--∞D ． ]1,21()21,(-⋃--∞ 5．在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（ B ）6．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f（ A ）A ．1+πB ．0C ．πD ．1-7．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为 （ C ）A ．x x -+11B ． 11-+x xC ．x x +-11D ．12+x x 8．已知二次函数)0()(2>++=a a x x x f ，若0)(<m f ，则)1(+m f 的值为 （ A ）A ．正数B ．负数C ．0D ．符号与a 有关9．已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，则y 与x 的函数关系式（ B ）A ．x b c a c y --=B ．x c b a c y --=C ．x a c b c y --=D ．x a c c b y --= 10．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为（ C ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[-11．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = -1 .12．若记号“*”表示的是2*b a b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式c b a c b a *+=+)()*(.13．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 4 个不同的映射.14．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满. 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式*,)2019(20N x y x ∈⨯=.15．①．求函数|1||1|13-++-=x x x y 的定义域；R ②求函数x x y 21-+=的值域；令t x =-21，0≥t ，)1(212t x -=，原式等于1)1(21)1(2122+--=+-t t t ，故1≤y 。

高中数学《函数及其表示》教学设计1.2函数及其表示1.2.1函数的概念一、教材分析本节内容为《函数的概念》,是人教A版高中《数学》必修一《函数及其表示》的第一课。

从函数的内涵来看:函数是从一个非空集合到另一个非空集合的对应,从知识的角度来说:是学生在学习了一次函数、二次函数的基础上的进一步拓展,它上承初中知识,下载高中八大函数基本性质,是派生函数知识的强大“固着点”,它与不等式,数列等知识有密切的联系。

从数学思想的角度来看:函数思想是高中最重要的数学思想之一,而函数的概念是函数思想的基础,它既对前面的知识作了巩固和发展,更是学好后继知识的基础和工具.基于以上的分析,确定本节课的重难点是:教学重点:函数概念的形成,用集合与对应的语言来刻画函数;教学难点:对函数概念本质的理解;符号“y=f(x”的含义,函数三要素的理解;发展学生的抽象思维能力教学目标:1.目标(1知识与技能:通过实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应;了解构成函数的三要素、函数概念的本质,抽象的函数符号(x f的意义;会求一些简单函数的定义域(2、过程与方法:让学生经历函数概念的形成过程,函数的辨析过程,函数定义域的求解过程以及求函数值的过程;渗透归纳推理、发展学生的抽象思维能力。

(3、情感.态度和价值观体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型,在此基础上学会用集合语言来刻画函数,体会对应关系在函数概念中的作用;体验函数思想;感受数学的抽象性和简洁美。

[设计意图]:这样设计目标,可操作性强,容易检测目标的达成度,同时也体现了素质教育的要求。

2.解析函数的概念是数学中重要的基础概念之一,进一步学习的不等式、数列、三角函数等无一不是以函数作为基础和研究对象的,其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具,函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想,是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材,函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中。

第一节函数及其表示1．函数的概念及其表示(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．分段函数及其应用了解简单的分段函数，并能简单应用．知识点一函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．[自测练习]1．下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是()知识点二函数的有关概念1．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫作函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．2．函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．易误提醒(1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．(2)误把分段函数理解为几个函数组成．必备方法求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实际应用问题多用此法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[自测练习]2．(2016·贵阳期末)函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为()A．(0，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－1，＋∞)D．(1，＋∞)3．f(x)与g(x)表示同一函数的是()A．f(x)＝与g(x)＝·B．f(x)＝x与g(x)＝C．y＝x与y＝()2D．f(x)＝与g(x)＝4．若函数f(x)＝则f(f(2))＝()A．－1B．2C．1D．0考点一函数的定义域问题|函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题探究角度有：1．求给定函数解析式的定义域；2．已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；3．已知定义域确定参数问题．探究一求给定解析式的定义域1．(2015·江西重点中学一联)函数f(x)＝＋lg(3－x)的定义域是()A．(3，＋∞)B．(2,3)C．[2,3)D．(2，＋∞)探究二已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数g(x)＝的定义域是()A．[0,1) B．[0,1]C．[0,1)∪(1,9] D．(0,1)探究三已知定义域求参数范围问题3．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．函数定义域的三种类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．考点二函数解析式的求法|(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．函数解析式求法中的一个注意点利用换元法求解析式后易忽视函数的定义域，即换元字母的范围．求下列函数的解析式：(1)已知f＝lg x，求f(x)；(2)2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．考点三分段函数|1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－B．－C．－D．－2．(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．3.分段函数的定义理解不清致误【典例】已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．[易误点评]本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a<1,1＋a>1，没有对a进行讨论直接代入求解．(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．[防范措施](1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解．(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．[跟踪练习]设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝()A．－3B．±3C．－1D．±1A组考点能力演练1．(2015·高考陕西卷)设f(x)＝则f[f(－2)]＝()A．－1 B.C.D.2．(2015·北京朝阳模拟)函数f(x)＝＋的定义域为()A．[0，＋∞)B．(1，＋∞)C．[0,1)∪(1，＋∞)D．[0,1)3．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，如果f(x＋2014)＝，那么f·f(－7986)＝()A．2014B．4C. D.4．(2016·岳阳质检)设函数f(x)＝lg，则f＋f的定义域为()A．(－9,0)∪(0,9)B．(－9，－1)∪(1,9)C．(－3，－1)∪(1,3)D．(－9，－3)∪(3,9)5．若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为()A．(－2,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．[－2,2]6．(2015·陕西二模)若函数f(x)＝，则f(f(－99))＝________.7．函数y＝f(x)的定义域为[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．8．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝其中满足“倒负”变换的函数是________．9．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；(2)求f(g(x))的解析式．10．动点P从单位正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B，C，D绕边界一周，当x 表示点P的行程，y表示P A的长时，求y关于x的解析式，并求f的值．B组高考题型专练1．(2014·高考山东卷)函数f(x)＝的定义域为()A．(0,2)B．(0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)2．(2015·高考湖北卷)函数f(x)＝＋lg的定义域为()A．(2,3)B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4]D．(－1,3)∪(3,6]3．(2015·高考山东卷)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝()A．1 B.C. D.4．(2015·高考浙江卷)存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有()A．f(sin2x)＝sin x B．f(sin2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1|D．f(x2＋2x)＝|x＋1|5．(2014·高考四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.答案：1.解析：本题考查函数的概念，根据函数的概念，定义域中一个x只能对应一个y，所以排除A，B，C，故选D.2.解析：由x＋1>0知x>－1，故选C.答案：C3.解析：选项A，C中的函数定义域不同，选项D的函数解析式不同，只有选项B正确．4.解析：本题考查分段函数、复合函数的求值．由已知条件可知，f(2)＝log2＝－1，所以f(f(2))＝f(－1)＝(－1)2＋1＝2，故选B.答案：B1.解析：本题考查函数的定义域．由题意得解得2<x<3，故选B.答案：B2.解析：依题意得即0≤x<1，因此函数g(x)的定义域是[0,1)，故选A..解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.答案：[－1,0] 例1[解](1)f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x，令t＝1－cos x，则cos x＝1－t，t∈[0,2]，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]，即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴即∴f(x)＝x2－x＋2.(3)∵f(x)＋2f＝x，∴f＋2f(x)＝.解方程组得f(x)＝－(x≠0)．变式1解：(1)令t＝＋1，则x＝，∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．(2)∵2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，∴2f(－x)－f(x)＝lg(1－x)．解方程组得f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)(－1<x<1)．1.解析：因为f(x)＝f(a)＝－3，所以或解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－，选A.答案：A2.解析：由于f(0)＝2，f＝1＋，f＝2<f，故排除选项C、D；当点P在BC上时，f(x)＝BP＋AP＝tan x＋，不难发现f(x)的图象是非线性的，排除选项A.故选B.答案：B1.[解析]当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.[答案]－变式解析：因为f(－1)＝＝1，所以f(a)＝1，当a≥0时，＝1，所以a＝1；当a<0时，＝1，所以a＝－1.故a＝±1.答案：D1.解析：由f(－2)＝2－2＝，∴f[f(－2)]＝f＝1－＝.答案：C2.解析：本题考查函数的定义域．根据函数有意义的条件建立不等式组．要使函数f(x)有意义，则解得x≥0且x≠1，即函数定义域是[0,1)∪(1，＋∞)，故选C.3.3.解析：f＝sin＝1，f(－7986)＝f(2014－10000)＝lg10000＝4，则f·f(－7986)＝4.答案：B4.解析：利用函数f(x)的定义域建立不等式组求解．要使函数f(x)有意义，则>0，解得－3<x<3.所以要使f＋f有意义，则解得所以定义域为(－9，－1)∪(1,9)，故选B.答案：B5.解析：函数的定义域为R等价于对?x∈R，x2＋ax＋1≥0，令f(x)＝x2＋ax＋1，结合二次函数的图象(图略)，只需Δ＝a2－4≤0即可，解得实数a的取值范围为[－2,2]，故选D.6.解析：f(－99)＝1＋99＝100，所以f(f(－99))＝f(100)＝lg100＝2.答案：27.解析：由题意知解得－2≤x≤2.答案：[－2,2]8.解析：对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f＝＋＝f(x)≠－f(x)，不满足题意；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足题意．答案：①③9.解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，∴f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.(2)当x>0时，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x<0时，g(x)＝2－x，故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；∴f(g(x))＝10.解：当P点在AB上运动时，y＝x(0≤x≤1)；当P点在BC上运动时，y＝＝(1<x≤2)；当P点在CD上运动时，y＝＝(2<x≤3)；当P点在DA上运动时，y＝4－x(3<x≤4)；综上可知，y＝f(x)＝∴f＝.B组高考题型专练1.解析：∵f(x)有意义，∴∴x>2，∴f(x)的定义域为(2，＋∞)．答案：C2.解析：依题意知，，即，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：C3.解析：f＝f＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍)．当－b≥1，即b≤时，2－b＝4，解得b＝.故选D.答案：D4.解析：本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x有唯一的y与之相对应．对于A，当x＝或时，sin2x均为1，而sin x与x2＋x此时均有两个值，故A、B错误；对于C，当x ＝1或－1时，x2＋1＝2，而|x＋1|有两个值，故C错误，故选D.答案：D5.解析：∵f(x)的周期为2，∴f＝f＝f.又∵当x∈[－1,0)时，f(x)＝－4x2＋2，∴f＝－4×2＋2＝1.答案：1。

人教版高中数学必修一教学案年级：高二上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题课型授课日期及时段函数及其表示方法□预习课□同步课■复习课□习题课教学内容函数及其表示方法【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a<x<b}=(a,b);{x|a≤x≤b}=[a，b]；{x|a<x≤b}=(a,b]；{x|a≤x<b}=[a,b)；{x|x≤b}=(-∞,b];{x|a≤x}=[a,+∞).要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.3.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。

学案4 函数的表示方法【学习目标】（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域；了解映射的概念．（2）理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。

【学习重难点】函数概念、定义域及函数解析式的多种求法【知识梳理】1.函数的概念：设A B 、是_____________，如果按某个确定的对应关系f ，使集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有_____________的数()f x 和它对应，那么就称f A B ：→为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中，x 叫做自变量，集合A 叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}C f x x A =∈叫做函数的值域，且C _______B .2.函数的三要素:____________、____________、_____________.3.函数的表示方法主要有：__________、_________、____________.4.映射的概念.（1）设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f A B ：→（2）由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A 、B 必须是 集.考点一：函数的概念（观看微视频1，完成下面质疑探究）质疑探究：下面说法正确吗？为什么？（1） 函数与映射是相同的概念，函数是映射，映射也是函数.（2） 只要集合A 中的任意元素在集合B 中有元素对应，那么这个对应就是函数.（3） 对于函数B A f →:,其值域是B.（4） 函数的对应关系的表现形式有解析式、图像、表格.（5） 函数y=)(x f 的图像与直线x=1的交点最多有1个.（6） 定义域与值域相同的函数是同一个函数.（7） 对应关系与值域相同的函数是同一个函数.（8） 定义域与对应关系相同的函数是同一个函数.1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A.2,x y x y == B. ()22,x y x y == C. 1,112+=--=x y x x y D. 1,112-=+-=x y x x y考点二：求函数定义域（观看微视频2，完成下面题目）类型一：求确定函数的定义域2．求函数()x x x y 5434lg 2-++=的定义域方法总结：常见函数定义域求法的一般准则：类型二：求抽象函数的定义域3（1）若)(x f 的定义域为［－1，1］，求函数)1(+x f 的定义域（2）已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f (x )的定义域．考点三：求函数的解析式（观看微视频3，完成下面题目）类型一：已知()f x 的解析式，求()f a 或[()]f g x4．（1）（2012年高考江西文）设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则((3))f f =（ ） A ．15B ．3C ．23D ．139（2）已知2()1f x x x =-+，求(1)f x -的解析式；变式训练4：设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若,则实数α=（ ） （A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2类型二：已知[()]f g x 的解析式，求()f x5．设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f 的解析式.（用两种方法）类型三：已知函数类型求解析式6、已知f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.求f (x )的解析式．二次函数解析式的三种形式：（1） 一般式：（2） 顶点式：（3） 两根式：方法提炼：类型四：已知关于()()x f x f x f -⎪⎭⎫ ⎝⎛或与1的表达式，求()f x 解析式 7、已知()f x 满足2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的解析式.方法提炼：【反思感悟】通过课后反思，梳理所学重点知识，将知识内化、提升。

第1讲函数的概念及其表示1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.1.函数的概念一般地，设A，B是非空的□1实数集，如果对于集合A中的□2任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有□3唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.函数的三要素：□4定义域、□5值域、对应关系.2.同一个函数(1)前提条件：①定义域□6相同；②对应关系□7相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有□8解析法、□9列表法和图象法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的□10并集.常用结论1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.注意以下几类函数的定义域：(1)分式型函数，定义域为分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，定义域为被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.(5)正切函数y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.()(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(3)若A＝B＝R，f：x→y＝log2x，其对应是从A到B的函数()(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2.回源教材(1)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是()A.y＝(x)2B.u＝3v3C.y＝x2D.m＝n2n解析：B函数y＝(x)2与函数m＝n2n和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝x2＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数.故选B.(2)已知f(x)＝x＋3＋1x＋2，若f(a)＝133，则a＝.解析：f(a)＝a＋3＋1a＋2＝133，解得a＝1或－5 3 .答案：1或－5 3(3)函数f(x)＝－x2＋2x＋3＋1x－2的定义域为.解析：x2＋2x＋3≥0，－2≠0得－1≤x≤3且x≠2.故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，3].答案：[－1，2)∪(2，3]函数的概念1.(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的为()A.A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|B.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝xD.A＝{－1，1}，B＝{0}，f：x→y＝0解析：BD对于A，A中有元素0，在对应关系下y＝0，不在集合B中，不是函数；对于B，符合函数的定义，是从A到B的函数；对于C，A中元素x＜0时，B中没有元素与之对应，不是函数；对于D，A中任意元素，在对应关系下y＝0，在集合B中，是从A到B的函数.故选BD.2.(多选)下列每组中的函数不是同一个函数的是()A.f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2B.f(t)＝|t|，g(x)＝x2C.f(x)＝－2x3，g(x)＝－2xD.f(x)＝x2－9x－3，g(x)＝x＋3解析：ACD对于A，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为[0，＋∞)，所以这两个函数不是同一个函数；对于B，因为g(x)＝x2＝|x|，且f(t)，g(x)的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；对于C，f(x)＝－2x3＝－x－2x，f(x)和g(x)的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于D，函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠3}，函数g(x)的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数.故选ACD.3.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()解析：B A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]，只有B 可能.反思感悟函数概念的判定方法(1)函数的定义要求非空数集A 中的任何一个元素在非空数集B 中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，但B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.函数的定义域例1(1)(2024·雅安期末)函数y ＝ln （x ＋1）4－x2的定义域为()A.(－1，2)B.(－1，2]C.(1，2)D.(1，2]解析：A ＋1＞0，－x 2＞0得－1＜x ＜2，所以函数y ＝ln （x ＋1）4－x 2的定义域为(－1，2).故选A.(2)(2024·哈尔滨九中考试)已知函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则函数y ＝f (2x －1)的定义域是()A.[－5，5]B.－12，2C.[－2，3]D.12，2解析：B函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则－2≤2x －1≤3，解得－12≤x≤2，所以函数y ＝f (2x －1)的定义域是－12，2.故选B.反思感悟函数定义域的求解方法(1)求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.(2)求抽象函数定义域的方法：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域.训练1(1)函数f (x )＝－x 2＋x ＋6＋|x |x －1的定义域为()A.(－∞，－2]∪[3，＋∞)B.[－3，1)∪(1，2]C.[－2，1)∪(1，3]D.(－2，1)∪(1，3)解析：Cx 2＋x ＋6≥0，－1≠0，解得－2≤x ≤3且x ≠1.(2)(2024·南昌二中第四次考试)已知函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，则函数F (x )＝f (2x －3)＋3－x 的定义域为()A.(2，3]B.(－2，3]C.[－2，3]D.(0，3]解析：A 函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，x －3＞1，－x ≥0，＞2，≤3，即2＜x ≤3，故函数F (x )的定义域为(2，3].故选A.函数的解析式例2(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x＋1x )＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.解：(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配凑法)∵f(x＋1x)＝x2＋1x2＝(x＋1x)2－2，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0).∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，a＝2，5a＋b＝17，a＝2，b＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.反思感悟函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达方式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1x )或f (－x )等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).训练2(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝.解析：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1).答案：x 2－4x ＋3(x ≥1)(2)已知f (x )满足f (x )－2f (1x )＝2x ，则f (x )＝.解析：∵f (x )－2f (1x)＝2x ，①以1x 代替①中的x ，得f (1x )－2f (x )＝2x ，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x ，∴f (x )＝－2x 3－43x .答案：－2x 3－43x(3)已知f [f (x )]＝4x ＋9，且f (x )为一次函数，则f (x )＝.解析：因为f (x )为一次函数，所以设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋b (k ＋1)，因为f [f (x )]＝4x ＋9，所以k 2x ＋b (k ＋1)＝4x ＋9恒成立，2＝4，（k ＋1）＝9，＝2，＝3＝－2，＝－9，所以f (x )＝2x ＋3或f (x )＝－2x －9.答案：2x ＋3或－2x －9分段函数求分段函数的函数值例3已知函数f (x )e x ＋1，x ＜1，f x －2），x ≥1，则f (3)＝.解析：因为f (x )e x ＋1，x ＜1，f x －2），x ≥1，所以f (3)＝f (1)＝f (－1)＝e －1＋1＝1.答案：1分段函数与方程、不等式例4(1)(2024·济宁模拟)已知a ∈R ，函数f (x )log 2（x 2－3），x ＞2，3x ＋a ，x ≤2.f (f (5))＝2，则a ＝.解析：因为5＞2，所以f (5)＝log 2(5－3)＝1≤2，所以f (f (5))＝f (1)＝3＋a ＝2，解得a ＝－1.答案：－1(2)(2024·咸阳模拟)已知函数f (x )2x ，x ≤0，|ln x |，x ＞0，则不等式f (x )＜1的解集为.解析：当x ≤0时，f (x )＝2x ＜1＝20，解得x ＜0；当x ＞0时，f (x )＝|ln x |＜1，即－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e.综上，不等式f (x )＜1的解集为(－∞，0)∪(1e ，e).答案：(－∞，0)∪(1e，e)反思感悟分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.训练3(1)(2024·合肥模拟)已知f (x )e x －2，x ＜4，log 5（x －1），x ≥4，则f (f (26))等于()A.1 5B.1 eC.1D.2解析：C f(26)＝log5(26－1)＝log525＝2，∴f(f(26))＝f(2)＝e2－2＝e0＝1.(2)(2024·唐山模拟)设函数f(x)2＋1，x≤0，x，x＞0.若f(a)＝0，则a＝.解析：当a≤0时，a2＋1≥1≠0(舍去)；当a＞0时，lg a＝0，a＝1，故实数a的值为1.答案：1限时规范训练(六)A级基础落实练1.(多选)(2024·宁德高级中学第一次月考)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是()A.y＝(x＋2)2B.y＝3x3＋2C.y＝x2x＋2 D.y＝t＋2解析：BD函数y＝x＋2的定义域为R.对于A，y＝(x＋2)2的定义域为[－2，＋∞)，故A错误；对于B，y＝3x3＋2＝x＋2，定义域为R，解析式相同，故B正确；对于C，y＝x2x＋2的定义域为{x|x≠0}，故C错误；对于D，y＝t＋2，定义域为R，解析式相同，故D正确.故选BD.2.函数f(x)＝lg(x－2)＋1x－3的定义域是()A.(2，＋∞)B.(2，3)C.(3，＋∞)D.(2，3)∪(3，＋∞)解析：D∵f(x)＝lg(x－2)＋1x－3，－2＞0，－3≠0，解得x＞2，且x≠3，∴函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).3.(多选)如图所示，可以表示y是x的函数的图象是()解析：ACD对于B：对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象；对于A、C、D：对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象.故选ACD.4.(2023·成都期末)已知函数f(x)x＋2），x≤0，x，x＞0，则f(f(－2))＝()A.4B.8C.16D.32解析：C f(－2)＝f(0)＝f(2)＝22＝4，f(4)＝16，故选C.5.一次函数f(x)满足：f[f(x)－2x]＝3，则f(1)＝()A.1B.2C.3D.5解析：C设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∴f[f(x)－2x]＝f(kx＋b－2x)＝k(kx＋b－2x)＋b＝(k2－2k)x＋kb＋b＝3，2－2k＝0，＋b＝3，解得k＝2，b＝1，∴f(x)＝2x＋1，∴f(1)＝3.6.(2024·潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有()A.f(|x|)＝x3B.f(sin x)＝x2C.f(x2＋2x)＝|x|D.f(|x|)＝x2＋1解析：D对于A，当x＝1时，f(|1|)＝f(1)＝1；当x＝－1时，f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义(一个自变量的值只有唯一一个函数值与之对应)，A错误.对于B，令x＝0，则f(sin x)＝f(0)＝0，令x＝π，则f(sinπ)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误.对于C，令x＝0，则f(0)＝0，令x＝－2，则f(0)＝f((－2)2＋2×(－2))＝2，不符合函数定义，C错误.对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，则|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确.故选D.7.(2024·河南适应性考试)已知函数f(x)x＋1－1，x≥1，log3（x＋5）－2，x＜1，且f(m)＝－2，则f(m＋6)＝()A.－16B.16C.26D.27解析：C若m≥1，则f(m)＝3m＋1－1＝－2，所以3m＋1＝－1，无解；若m＜1，则f(m)＝－log3(m＋5)－2＝－2，所以log3(m＋5)＝0，所以m＝－4，所以f(m ＋6)＝f(2)＝32＋1－1＝26，故选C.8.(2024·江苏三校联考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝f（x）x＋2的定义域是()A.[－2，5]B.(－2，3]C.[－1，3]D.(－2，5]解析：D因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，所以－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5，所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5].要使y＝f（x）x＋2有意义，则5≤x≤5，＋2＞0，解得－2＜x≤5，所以y＝f（x）x＋2的定义域是(－2，5].故选D.9.已知函数f(2x＋1)＝4x2－1，则f(x)＝.解析：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－2(2x＋1)，所以f(x)＝x2－2x.答案：x2－2x10.设函数f(x)，x≤0，x，x＞0，则满足f(x＋2)＜f(2x)的x取值范围为.解析：当x≤－2时，f(x＋2)＝1，f(2x)＝1，则1＜1，矛盾；当－2＜x≤0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝1，则2x＋2＜1⇒x＜－2，矛盾；当x＞0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝22x，则2x＋2＜22x⇒x＋2＜2x⇒x＞2，所以x ＞2.综述：x取值范围为(2，＋∞).答案：(2，＋∞)11.(2024·昆明市第一中学考试)已知f(x＋1)＝1x，则f(x)＝，其定义域为.解析：0，0，解得x＞0，所以f(x＋1)＝1x(x＞0)，令x＋1＝t，则t＞1，x＝(t－1)2，所以f(t)＝1（t－1）2(t＞1)，所以f(x)＝1（x－1）2(x＞1).答案：1（x－1）2(1，＋∞)12.已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋1－2x的定义域为.解析：2≤2x≤2，－2x≥0，解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1，0].答案：[－1，0]B级能力提升练13.(2024·东北师大附中模拟)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，则()A.f(x)的最小值为2B.∃x∈R，2x2＋4x＋3f（x）＜2C.f(x)的最大值为2D.∀x∈R，2x2＋4x＋5f（x）＜2解析：B因为2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，2f(－x)＋f(x)＝3x2－2x＋6，所以f(x)＝x2＋2x＋2.对于A，C，f(x)＝(x＋1)2＋1≥1，所以f(x)的最小值为1，无最大值，故A，C错误；对于B，2x2＋4x＋3f（x）＝2x2＋4x＋3x2＋2x＋2＝2－1x2＋2x＋2，因为0＜1x2＋2x＋2≤1，所以1≤2－1x2＋2x＋2＜2，即1≤2x2＋4x＋3f（x）＜2，故B正确；对于D，2x2＋4x＋5f（x）＝2x2＋4x＋5x2＋2x＋2＝2＋1x2＋2x＋2，2＜2＋1x2＋2x＋2≤3，即2＜2x2＋4x＋5f（x）≤3，故D错误.故选B.14.(2024·武汉二调)已知函数f(x)＋1，x≤a，x，x＞a，若f(x)的值域是R，则实数a的取值范围是()A.(－∞，0]B.[0，1]C.[0，＋∞)D.(－∞，1]解析：B法一：易知函数y＝2x是R上的增函数，且值域为(0，＋∞)，函数y＝x＋1是R上的增函数，且值域为R，所以要使函数f(x)的值域为R，需满足2a≤a＋1.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x与y＝x＋1的图象，如图所示，由图可知，当0≤x≤1时，2x≤x＋1，所以实数a的取值范围为[0，1]，故选B.法二：若a＝－1，则当x≤a时，x＋1≤0，当x＞a时，2x＞12，可知此时f(x)的值域不是R，即a＝－1不满足题意，故排除选项A，D；若a＝2，则当x≤a 时，x＋1≤3，当x＞a时，2x＞4，可知此时f(x)的值域不是R，即a＝2不满足题意，故排除选项C.故选B.15.设函数f (x )x ＋λ，x ＜1（λ∈R ），x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是.解析：当a ≥1时，2a ≥2，∴f (f (a ))＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立；当a ＜1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).答案：[2，＋∞)16.设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )x ＋a ，－1＜x ＜0，e 2x ，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f (92)＝f (32)，则ab的取值范围为.解析：因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (92)＝f (12＋4)＝(2)2f (12)＝2e b ，f (32)＝f (－12＋2)＝2f (－12)＝22×（－12）＋a ＝2(a －1).因为f (92)＝f (32)，所以2(a －1)＝2e b ，所以a ＝2e b ＋1，因为b 为正实数，所以a b ＝2e b ＋1b ＝2e ＋1b ∈(2e ，＋∞)，故ab的取值范围为(2e ，＋∞).答案：(2e ，＋∞)。

第1讲函数及其表示基础巩固题组建议用时：40分钟一、选择题1．2021·广州调研若函数＝f的定义域为M＝{|－2≤≤2}，值域为N＝{|0≤≤2}，则函数＝f的图象可能是解析可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．答案 B2．2021·郑州模拟函数f＝错误!＋g3＋1的定义域是解析由错误!得错误!所以定义域为错误!答案 A3．设函数f＝2＋3，g＋2＝f，则g的表达式是A．2＋1 B．2－1 C．2－3 D．2＋7解析∵g＋2＝f＝2＋3＝2＋2－1，∴g＝2－1答案 B4．2021·合肥检测已知函数f＝错误!则f2 014＝A．2 014 029,2 C．2 015 031,2解析f2 014＝f2 013＋1＝…＝f0＋2 014＝f－1＋2 015＝2－1＋2 015＝错误!答案 D5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数＝[][]表示不大于的最大整数可以表示为A．＝错误!B．＝错误!C．＝错误!D．＝错误!解析法一取特殊值法，若＝56，则＝5，排除C，D；若＝57，则＝6，排除A，选B法二设＝10m＋α0≤α≤9，m，α∈N，当0≤α≤6时，错误!＝错误!＝m＝错误!，当6<α≤9时，错误!＝错误!＝m＋1＝错误!＋1，所以选B答案 B二、填空题6．下列集合A到集合B的对应f中：①A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方；②A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方；③A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数；④A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值，是从集合A到集合B的函数的为________．解析其中②，由于1的开方数不唯一，因此f不是A到B的函数；其中③，A中的元素0在B 中没有对应元素；其中④，A中的元素0在B中没有对应元素．答案①7．已知f 错误!＝错误!，则f的解析式为________．解析令t＝错误!，由此得＝错误!t≠－1，所以ft＝错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!/h的速度从A地到150 m远处的B地．在B地停留1 h后，再以50 m/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离m表示为时间t h从A地出发开始的函数，并画出函数的图象．解＝错误!其图象如图所示．。

普通高中课程标准实验教科书数学必修第一章集合与函数概念1. 2函数及其表示§1. 2.1函数概念的教案说明教学目标知识要求目标:1正确理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用2通过大量实例理解构成函数的三个要素3掌握判定两个函数是否相等的方法能力发展目标：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般” 的分析问题的能力，培养学生的抽象概括能力。

德育渗透目标：让学生体会现实世界充满变化，要用发展的眼光看待问题。

教学重点：函数的概念，函数的三要素。

教学导图：引出函数的概念Array与初中函数概念进行比较，明确现在函数的优越性大量例举生活实例深刻理解函数的概念了解函数的三要素判定两个函数是否相等例题处理课堂练习课堂小结课下作业教学难点：函数概念的本质及符号丫= f（X）的理解教学方法：建构主义观点的教学方式，即通过大量实例，遵循“特殊到一般”的认识规律，提出问题，大胆猜想，确定方向，分组研究，尝试验证，归纳总结；通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生心理上得到认同，建立新的认识结构。

教学手段:发挥计算机快捷，生动，形象，人脑延续的特点，提供直观的感性材料，帮助学生实施研究方法，激发并维持学习兴趣。

教学过程：创设情景：今天我们学习函数，函数一词是德国数学家莱布尼兹首先采用的，后经维布伦，林纳用集合与对应的观点，揭示了函数概念的本质，我国请代数学家李善兰在翻译《代数学》时，首先把“function”译成函数且给出定义“凡式中含天，为天之函数”。

所以我们今天学习的函数，要感谢这些为数学奉献的数学家们。

复习回顾：初中时我们已学过函数的概念：在变化过程中，有两个变量x和y,如果给定一个x值，相应地也就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫定义域，y的取值范围叫值域。

下面我们来看这样一个实例新课讲授：实例（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m, 且炮弹距地面的高度h （单位：m）随时间t （单位：s）变化的规律是h=130t-5t2A={t 0WtW26},B={h 0WhW845}我们发现，对于数集A中的任意一个时间3按照对应关系h=130t-5t2,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应，满足函数定义，应为函数。

§2.1 函数及其表示要点梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法、列表法．2．映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3． 函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、配凑法、换元法、构造方程组法等．4． 常见函数定义域的求法(1)分母≠0.(2)偶次方根的被开方式≥0.(3) x 0中，x ≠0(4)对数的真数>0(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)复合函数定义域题型分类 深度解析题型一 函数的定义域例1 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________． （2）已知()f x 的定义域为[1,3]，求f (2x ＋1)的定义域；（3）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域．练习 (1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________． (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________．（3）已知f(x 2)的定义域为{}31<<x x ，则f(2x-1)的定义域是__________．题型二 分段函数 例2 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧≤+>+10))5((103x x f f x x ，，,则f (5)的值为_______． (2)已知a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧≥--<+1212x a x x a x ，，，若f (1-a )＝f (1+a )，则a 的值为_______．练习 （1）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为 。

函数及其表示教学目标：使学生掌握函数图像的画法.教学重点：函数图像的画法.教学难点：函数图像的画法.教学过程：一、复习回顾上节课，我们学习了函数的概念，请同学们回忆一下，函数的定义是怎样的？它有几个要素？分别是什么？设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ︰A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.函数有三要素：定义域、值域、对应关系.练习：以下函数中，哪个函数与函数y ＝x 是同一个函数？()()()()()xx y 4x y 3x y 2x y 122332==== 两个只有当它们的三要素完全相同时才为同一个函数. 二、学生活动在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数y ＝2x －1，y ＝1x〔x ≠0〕以及y ＝x 2的图象.社会生活中还有许多函数图象的例子，如心电图、示波图等.回想一下，在初中我们是采用什么方法来画出函数的图象？描点法描点法作图的步骤有哪些？列表、描点、连线练习〔P25例4〕试画出以下函数的图象：⑴f(x)＝x ＋1⑵f(x)＝(x －1)2＋1,x ∈[1,3)三、建构数学将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f(x 0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x 0,f(x 0)).当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合〔点集〕为{(x,f(x))｜x ∈A}，即{(x,f(x))｜y ＝f(x),x ∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y ＝f(x)的图象.四、数学运用例5 估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口变化情况如果把人口数y 〔百万人〕看做年份x 的函数，试画出这个函数的图象.解：由上表的数据，画出的函数图象是11个点.补：一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y ＝4.9x 2.假设一物体下落2s ，你能求出它下落的距离吗？并画出它的图象.思考：设函数y ＝f(x)的定义域为A ，那么集合P ＝{(x,y)｜y ＝f(x),x ∈A}与集合Q ＝{y ｜y ＝f(x),x ∈A}相等吗？请说明理由. 解析：P ≠Q ，因为P 、Q 的代表元素不一样，P 是点集，Q 是值域.问题：直线x ＝1和函数y ＝x 2＋1的图象的公共点可能几个？解析：根据图象知有且仅有一个公共点.变：⑴〔P29习题6〕直线x ＝a 和函数y ＝x 2＋1几个？ 解析：根据图象知有且仅有一个公共点.⑵直线x ＝－1和函数y ＝x 2＋1，x ∈[0.＋∞〕的图象的公共点可能几个？解析：根据图象知没有公共点.⑶直线x ＝a 和函数y ＝x 2＋1，x ∈A 的图象的公共点可能几个？解析：当a ∈A ，那么根据图象知有且仅有一个公共点；当a ∉A 时，没有公共点.例6 试画出函数f(x)＝x 2＋1的图象，并根据图象回答以下问题：⑴比较f(－2),f(1),f(3)的大小；⑵假设0＜x 1＜x 2,试比较f(x 1)与f(x 2)的大小. 解：函数的图象如下 ⑴根据图象知f(3)＞f(－2)＞f(1),⑵根据图象知，当0＜x 1＜x 2f(x 1)＜f(x 2).思考：在上例⑵中，⑴如果把“0＜x 1＜x 2〞改为“x 1＜x 2＜0〞，那么f(x 1)与f(x 2)哪个大？⑵如果把“0＜x 1＜x 2〞改为“|x 1|＜|x 2|〞，那么f(x 1)与f(x 2)哪个大？解析：仍然根据函数的图象，有⑴f(x 1)＞f(x 2).⑵∵f(x)的图象关于y 轴对称，∴当|x 1|＜|x 2|时有f(x 1)＜f(x 2).学生练习P28练习1,2,3五、回顾反思能用描点法画出常见函数的图象，并能根据函数的图象解决有关问题六、作业P20习题2.1⑴7,8,9。