数乘

二、本单元在小学数学中的地位和作用

乘数是一位数的乘法，是本册教材中的重点教学内容之一，又是学习多位数乘法的基础。因为任何多位数 乘法，不论乘数是几位数，在计算过程中都要分解成一位数乘多位数。

三、本单元编写特点

1.适当加强口算。

为加强口算与笔算的联系，为学习笔算做好准备，特意把口算提到笔算之前进行教学，还适当扩展了口算 的范围。如在乘数是一位数的乘法中，开始教学口算乘法，并且先出现一位数乘两位数而每位乘积不满10 的， 如12×3等；另外增加了一位数乘几百几十而每位乘积不满10的，如120×3等。学生掌握这些口算，便于理解笔 算的算理。

2.适当调整了笔算乘法的教学顺序。

一位数乘二、三、四位数，虽然被乘数的位数不同，但算理、算法是基本相同的。这部分内容的教学重点 是使学生掌握乘的顺序和某位乘积满10如何进位的问题。教材中一开始先教学一位数乘二、三位数，每位乘积 不满10的，以解决乘的顺序问题，接着教学一位数乘四位数，引导学生类推。然后教学某位乘积满10的和每位 乘积都满10的，着重使学生理解积满10进位的道理，并掌握进位的方法。这样安排不仅规律明显，而且重点突 出。

3.注意培养学生的推理能力。

教材中十分注意引导学生在已有知识的基础上，类推出某部分新知识。如教学被乘数末尾有0的乘法时，先 举被乘数末尾有一个0的例子，说明简便算法，然后出现被乘数末尾有两个0的例子， 引导学生类推出简便算法 ，以培养学生的推理能力。

4.注意引导学生探索规律。

教材注意引导学生发现规律，如教学用一位数乘整十、整百、整千的数以后，引导学生想怎样计算简便？ 从中找出它们的共同规律，总结出简便算法。

四、备课建议

1.本单元包括口算乘法和笔算乘法两部分。

乘数理论在宏观经济政策中的应用

一、 乘数理论：

乘数的定义：

乘数亦称倍数， 是社会再生产过程中经济变量之间的一种函数关系， 是国民收入变动量和引起这种变动量的最初注入量之间的比例关系。如用△Y 代表国民收入变动量， 用△X 代表最初注入变动量， 则乘数K 可用下式表示:

K= △Y / △X

现实经济生活表明， 这种引起国民收入变动的最初注入量△X可为投资、税收、政府购买支出、转移支付和进出口等， 各种不同的最初注入量引起国民收入变动，形成相应的投资乘数、税收乘数、政府购买支出乘数、转移支付乘数和对外贸易乘数等， 货币乘数也属于乘数范畴。

二、乘数理论在财政政策中的应用：

国家助学贷款作为面向贫困生的一种信用贷款，通过信贷方式预支远期消费能力，来刺激或满足个人即期消费需求，进而实现经济增长、财政收入、居民收入三者的同步增长。因此，它是消费拉动经济增长、促进生产发展的重要手段。同样，国家助学贷款将经济困难学生的日后收人转化为巨大的精神财富，随着社会主义市场经济的建立，消费的继续流转，在乘数作用下的投资拉动中，GDP数量还将继续增长。

凯恩斯在消费倾向的基础上，建立了一个乘数原理，乘数理论表示投资变化如何引起收入变化的理论。即一定量投资在已知边际消费倾向的条件下对收入的影响。乘数理论认为，乘数指自发性支出增加一倍所导致的均衡国民收入增加的倍数。而增加的倍数，就是乘数。如果增加10 元支出，能带来40 元收人，则乘数就是4。所以，乘数理论增加一笔投资所引起的收入的增加量，并不限于增加的投资量。乘数的大小，是由边际消费倾向所决定的，乘数与边际消费倾向成正向联系，用公式可表示为: k= Δy/Δc =1/1- MPC

其中K 表示乘数，△Y 表示收入增量，△I 表示投资增量。

凯恩斯认为，乘数的发生是国民经济不同的产业部门连锁反应的结果: 甲部门消费增加必然导致乙部门反应增加的情况，这又将引起乙部门的消费增加。在连锁影响条件下，各部门、地区的收入都会随之增加。显然，GDP 消费情况很大程度上取决于居民收入增长的情况△Y。边际消费倾向随收入的增加而逐渐递减，在乘数效应作用下，如此继续下去，最终引起的收入增量多倍于初始支出量。

内容提要：本文选择杨君昌先生的《微观宏观经济学》为例，指出：采用所谓“均衡”分析方法叙述投资的“乘数原理”不成立，有此得到的凯恩斯投资乘数公式不成立。一．前言目前我国许多学者引进的欧美主流宏观经济学里，都有“乘数原理”这个章节。有的书里用公式证明，有的书里用表格说明，还有的用几何图形描述。有的叙述比较简单，限于所谓两分法，即把收入分解为消费和储蓄，再假定储蓄全部转化为投资，实际上就是把收入分解为消费和投资两部分。有的作者叙述得稍微复杂下些，在消费一项又分解为居民消费和政府消费，投资又分解为个人投资和政府投资，政府消费加政府投资构成政府购买，于是把收入分解成消费、投资和政府购买三项。还有的作者引入税收，居民的税后收入变成居民可支配收入，居民可支配收入再分解为消费和储蓄，储蓄再转化为投资，税收还有比例税、差额税的区别，储蓄转化为投资还有完全转化和部分转化的区别。还有著作者考虑了进出口。当然，还可以采取其他的方法细分下去，但不管怎么分，最后无非是消费和投资两种经济运动方式。所以，两分法，即把收入分解为消费和投资是最基本的分析方法。如果经济系统的最基本的两分法描述没有问题了，再深入下去也不难。而如果经济系统最基本的两分法的叙述都难以自园，后面肯定是越深入漏洞越多。不管大家同意不同意，就算本人眼低手低，本文还是从最简单的、最基本的经济系统入手，按两分法讨论所谓“乘数原理”。二．增加投资对国民收入的“均衡”说不通我们以书作（杨君昌，1999）为例，说明西方主流《宏观经济学》中的国民收入“均衡”，是何等荒谬。首先请看该书表18－1，本文整表摘录见后。“假定社会聚集需求是由消费和投资这两个部分组成的。国民收入均衡要求国民收入正好等于社会聚集（总）需求。在表18－1中，时期0的国民收入（500亿元）正好等于社会总需求（500亿元），我们用框框标明。这是需要说明的第一点。”（杨君昌，1999，第355页）评析。在表18－1中，共有5个栏目：（1）时期、（2）国民收入、（3）消费、（4）投资、（5）聚集需求。既然这里只讨论国民收入，读者就可以推知：表中的投资是指追加投资，即净投资，不包含折旧重投资。为什么？原因就是固定资产折旧与国民收入是并列项，互相没有从属关系，固定资产折旧和国民收入构成国民生产总值（GNP），而这里不讨论国民生产总值，所以存在潜在假设：固定资产折旧按原值重投资。这样，在时期0，国民收入是500亿元，其中消费为450亿元，投资为50亿元，这时的供需是平衡的。“第二点要说明的是，每期消费数是怎样增加的。我们看到，每期的国民收入是以25亿元的固定数量增加的，而国民消费是以20亿元的固定数量增加的，由此可得出国民边际消费倾向为[!--empirenews.page--]评析。这一段想解释“每期消费数是怎样增加的”，给出的结果是“每期的国民收入是以25亿元的固定数量增加的，而国民消费是以20亿元的固定数量增加的”。显然，给出的两个数字是用来计算边际消费倾向的，而并没有解释“每期的国民收入”为什么“是以25亿元的固定数量增加的”。这个问题只好由我来补充。由于时期0有净投资50亿元，所以使得时期1的国民收入比时期0增长25亿元，换句话说，这25亿元国民收入是由投资50亿元产出的。投资50亿元，产出国民收入25亿元，所以这个经济系统的资本－国民收入产出比率为50：25＝2：1。按这个数据，对时期0的国民收入500亿元进行估算，时期0的资本存量应该等于1000亿元。1000亿元资本，按照2：1的资本－国民收入产出比率计算，就得到时期0产出的500亿元国民收入。时期0的国民收入500亿元中，又有50亿元用作追加投资，所以，时期1的资本存量变成1000＋50＝1050亿元。1050亿元资本存量，按照2：1的资本－国民收入产出比率，就得到时期1的国民收入525亿元。怎么样？我补充得有没有道理？“第三点要说明的是，如果投资始终保持50亿元，那末，从时期1开始就会发生国民收入大于社会总需求的情况。这种情况在表18－1中没有具体表示出来，但读者可自行推算。比如，时期1的投资仍维持50亿元，那末社会总需求为470＋50＝520亿元，小于国民收入525亿元，这5亿元的差额就是没有转化为投资的储蓄额。越往后，如果投资仍保持50亿元，其差额就会越大，像时期11的社会总需求为670＋50＝720亿元，即小于国民收入55亿元（775－720），这个差额就意味着储蓄大于投资的数量。”（杨君昌，1999，第356－357页）评析。上面提到的自行推算并不难，为了便于观察，我们列成本文的表1于后。不过表1是列出来了，疑问也就跟着来了。按理说，前面提到的国民收入两分法，已经假定储蓄全部转化为投资了，所以这道题目中的各期投资就不能再假定为不变，而是应该随储蓄的多少而变；或者，如果假定各期的投资不变，则消费增量不能假定各期不变。如果假定每期投资保持50亿元不变，则每期增加的国民收入全部用来增加消费，每期供需可以保持平衡，见表2所示。而如果假定每期增加的25亿元国民收入只将20亿元用于消费，则每期的投资应该增加5亿元，仍然可以保持各期平衡，见表3所示。而如果您坚持把各期的投资量和各期的消费增量同时假定为固定不变，那当然就会出现不平衡了。这叫什么呢？这叫庸人自扰，没事找事。“第四点要说明的是，从表中看来（指表18－1），为使国民经济均衡得以恢复，从时期1开始增加了投资量，由50亿元增加到了90亿元，以后不变，每期净增40亿元。”（杨君昌，1999，第357页）评析。其实，如果国民收入每年增加25亿元，消费每年固定增加20亿元，则投资只需也只能每年增加5亿元就可平衡，如表3所示。但编著者不，他在时期1一下增加投资40亿元，追加投资变90亿元，而他并没有交待多投资的35亿元从何而来？是不是靠借贷？时期2的国民收入是550亿元，消费490亿元，只允许投资60亿元，该年又要求投资90亿元，还有30亿元从何而来？是不是又是要借贷？……人们不禁要问：怎么这个经济系统老是要借债？如果把地球当作一个经济系统，难道可以向外星人借到钱？――这是疑问之一。疑问之二，原来每年投资50亿元时，国民收入每年增加25亿元，现在每年投资变成90亿元，国民收入还是每年增加25亿元，这说明每年的新增投资40亿元没有产生任何效益，白投资了。是不是应该把新增投资40亿元产生的国民收入增加额补充到表18－1里边去呢？如果补充进去，势必得不到所谓“均衡”，如果不补充进去，得到的“均衡”还有什么实际意义呢？这个两难问题只好有请书的编著者解惑了。[!--empirenews.page--]“最后一点要说明的是，每期增加了40亿元的投资，国民收入达到什么样的水平才能使国民经济均衡呢，也就是社会总需求恰好又与社会总供给（国民收入）相等呢？我们看到，在时期8时，国民收入（700亿元）正好与社会总需求量（700亿元）相等，使国民经济又一次恢复了均衡。“从以上的说明可知，投资增加40亿元，打破了原来的均衡，要待国民收入增加200亿元（700亿元与500亿元相比较）才能使国民经济达到新的均衡。由此计算出投资乘数是评析。前面说了，每期增加了40亿元的投资没有产生什么效益，这样达到的“均衡”脱离实际。现在就算到时期8达到了所谓“均衡”，投资乘数公式对吗？投资乘数能这样计算吗？从时期0到时期8，国民收入是增加了200亿元，投资只增加40亿元吗？这200亿元的国民收入增量是和这个40亿元相对应的吗？从时期1到时期8，总共8期，假定时期8的国民收入只与以前的投资有关，而与本时期内的投资无关，则共有7个时期，每期增加投资40亿元，这7期总共增加投资40×7＝280亿元；时期0的国民收入是500亿元，假定它对应的期初资本存量是K0，时期0投资50亿元，时期1投资90亿元，……时期7又投资90亿元，合计追加投资额＝50＋90×7＝680亿元，到时期8时，资本存量已经变成（K0＋680）亿元了；如果按照表2，每期投资50亿元，时期8以前从时期0到时期7总共投资了8个50亿元，合计增加投资50×8＝400亿元。现在的问题是，究竟这200亿元国民收入增量，是和40亿元相对应的呢，还是和280亿元相对应，还是和680亿元相对应，抑或与400亿元相对应呢？有这么多（四个）不同的投资增量，怎么偏偏与40亿元相对应呢？合理的解释应该是：从时期0到时期8，国民收入增加了200亿元，而从同样的时间段，即从时期0到时期7，资本存量增加了680亿元，所以，平均每增加1亿元投资的国民收入增量为200/680=10/34=0.3，即投资乘数等于0.3。前面说过，由于每期增加的40亿元投资没有产生效益，即没有使时期8的国民收入有所增加，所以，如果按每期有效投资50亿元计算，200亿元国民收入增量实际对应50×8＝400亿元的投资增量，这样，投资增加1亿元所带来的国民收入增量是200/400=0.5，即投资乘数是0.5。前面的投资乘数平均值是0.3，这里算出的投资乘数是0.5，凯恩斯如果活着，难免大吃一惊，因为他的投资乘数k，不管是《通向繁荣的道路》，还是通向别的什么道路，数值有时候大点，有时候找理由压得小点，然而再怎么往下压，k肯定大于1，所以肯定通向谬误，肯定与实际统计数据不符。三．后语以上只对杨君昌先生的表格化叙述的“乘数原理”进行了评析，书中还有图示，还有公式演算。其实，表格是根据公式计算出来的，而有公式就可以画图画曲线。所以，不管是公式推导也好，画图画曲线也好，计算表格也好，都是从不同的角度解释凯恩斯投资乘数公式。理论分析和实际统计数据都表明，凯恩斯的投资乘数公式不成立，以此理论指导国民经济很有害。“乘数原理”之所以得以谬种流传，与汉森、萨缪尔森诸位机械地把工程技术领域分析工程系统的模型简单化地移植到经济系统不无关系。例如，分析“乘数原理”时简单运用图1所示的模型。由于对经济变量的经济学意义没搞清楚，或者称为经济逻辑模糊，误将投资、消费、政府购买等等经济变量当作可以独立于经济系统之外的所谓外生变量，从而铸成谬误。[!--empirenews.page--]有网友主张将我的文章讲给学生听，让学生评评谁讲得有道理。这确实是个好主张。我倒不是想顺杆爬。不管是作为正面教材还是作为反面教材，让没有先入为主框框的学生接触接触正反两方面的教材，对提高学生素质有好处。不过话又得说回来，用什么教材也不是你我位卑小人物所能决定的。特别是我的文章，以及我的书作《经济科学原理》（上海立信会计出版社出版，2003年），是运用数学工具演绎马克思经济理论的，在正统人物看来，那叫“庸俗化”、“亵渎神圣”。所以，我的前面有凯恩斯主义者，后面有正统人物，前后受制。我的书文要用作学校教材，不要说教育部长，就是政治局常委，恐怕也不好贸然作决定。参考资料[1]杨昌君，1999，《微观宏观经济学》，上海：立信会计出版社。

高二数学学案（选修2-1） 编写人：吴疆 审核人 姓名 组别

3.1.2空间向量的数乘运算导学案

使用说明：

1、 先仔细阅读教材86—89页，有针对性的二次阅读教材。

2、 限时25分钟，规范完成预习，探究案部分。

3、 A层掌握好导学案，并完成好课后题，B层完成好导学案和课后题，C层完成好学案。

学习目标：（1）掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线向量的意义。

（2）理解共线向量的定理和共面向量的定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题。

（3）让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会类比和归纳的数学思想方法，并体验数学在结构上的和谐性。

学习重点：空间向量的数乘运算，共线问题，共面问题。

学习难点：空间向量三点共线与四点共面问题。

预习案

一．新知预习

1.定义:实数与空间向量a的乘积 任然是一个 称为向量的数乘运算。

2.向量a与a的关系

的范围 方向关系 模的关系

﹥0 方向

a的模是a的模的 倍。 =0 a= ，其方向是任意的

﹤0 方向

3.空间向量的数乘运算律

设,是实数，则有：

① 分配率：（a+b）=

② 结合律：

3.共线向量与共面向量

共线（平行）向量 共面向量

定义 表示空间向量的有向线段所在的

直线 的向量 同一个平面的向量

定理 对空间任意两个向量a，b（b≠0）

a∥b的充要条件是存在实数使

。 如果两个向量a，b不共线，那么向量p

与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的

有序实数对（x，y），使