高中数学人教A版必修2一课三测：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
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3．1.2 两条直线平行与垂直的判定
填一填
1.两条直线平行与斜率之间的关系
类型 斜率存在 斜率不存在
条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线
斜率都不存在
图示
2.两条直线垂直与斜率之间的关系
类型 斜率存在 斜率不存在
对应
关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在，且都不为零)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2
图示
判一判
1.若两条直线斜率相等，则两直线平行．(×)
2．若l1∥l2，则k1＝k2.(×)
3．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．(√)
4．若两直线斜率都不存在，则两直线平行．(×)
5．若两条不同的直线l1⊥l2，则它们的斜率之积为－1.(×)
6．若两条直线斜率不等，则这两条直线不平行．(√)
7．若l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则l2的倾斜角为30°.(√)
8．若l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角为120°.(√)
想一想
1.如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？若两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线都与x轴垂直吗？
提示：在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率一定相等；当两条直线的斜率都不存在时，这两条直线都垂直于x轴． 2．如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？若k1·k2≠－1，则两条直线能否垂直？
提示：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积不一定等于－1，也可能它们的斜率一个是0，另一个不存在；若k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂直．
3．判断两条直线是否平行的步骤是什么？
提示：
4．使用斜率公式判定两直线垂直的步骤是什么？
提示：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．
思考感悟：
练一练
1.已知点A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值为( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
答案：B
2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率为( )
A．－3 B．3
C．－13 D.13
答案：B
3．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________.
答案：－12
4．直线l1过A(－2，m)和B(m,4)，直线l2的斜率为－2，且l1∥l2，则m＝________.
答案：－8
5．已知点A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，那么下面四个结论中正确的序号为________．
①AB∥CD ②AB⊥CD ③AC∥BD ④AC⊥BD
答案：①④
知识点一 两条直线的平行关系 1.若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：
(1)若l1∥l2，则斜率k1＝k2；(2)若斜率k1＝k2，则l1∥l2；(3)若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；(4)若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：需考虑两条直线重合的特殊情况，(2)，(4)都可能是两条直线重合，(1)(3)正确．
答案：B
2．若过点A(2，－2)，B(5,0)的直线与过点P(2m,1)，Q(－1，m)的直线平行，则m的值为( )
A．－1 B.17
C．2 D.12
解析：由kAB＝kPQ，得0－－25－2＝m－1－1－2m，即m＝17.故选B.
答案：B
知识点二 两条直线的垂直关系
3.有如下几种说法：
①两条平行直线的斜率相等；
②若两条不同直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；
③若一条直线的斜率为tan α，则这条直线的倾斜角为α；
④若两条不同直线的倾斜角的正弦值相等，则这两条直线平行．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：①不正确，当两条直线斜率存在时才相等；②不正确，如一条直线平行于x轴，斜率为0，另一条直线与x轴垂直，斜率不存在，但它们也垂直；③不正确，需加上条件0°≤α<180°；④不正确，如两条直线的倾斜角α1＝30°，α2＝150°，虽有sin α1＝sin α2，但它们不平行(若正切值相等，则两条直线平行)．
答案：D
4．直线l1过A(－1，m)，B(m,1)，l2过C(－1,1)，D(1,0)，且l1⊥l2，则m的值为( )
A．－3 B．－13
C．3 D.13
解析：∵k1＝1－mm－－1＝1－mm＋1
k2＝0－11－－1＝－12
l1⊥l2
∴k1·k2＝1－mm＋1×(－12)＝－1
解得m＝－13
答案：B
知识点三 直线平行与垂直关系的应用
5.已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：
如图所示，易知kAB＝－34，kBC＝0，kCD＝－34，kAD＝0，kBD＝－14，kAC＝34，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－312，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直．所以四边形ABCD为平行四边形．
答案：B
6．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD.
解析：设D(x，y)，
则kCD＝yx－3，kAB＝3，kCB＝－2，kAD＝y＋1x－1.
因为kCD·kAB＝－1，kAD＝kCB，
所以 yx－3×3＝－1，y＋1x－1＝－2，所以 x＝0，y＝1，
即D(0,1).
综合知识 两条直线平行与垂直的判定
7.已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.
解析：若l1⊥l2，则k1·k2＝－1，即－b2＝－1，∴b＝2；若l1∥l2，则k1＝k2，∴Δ＝(－3)2－4×2(－b)＝0，
∴b＝－98.
答案：2 －98
8．已知点A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若AB⊥BC，求实数m的值．
解析：(1)因为A，B，C三点共线，且xB≠xC，则该直线斜率存在，
则kBC＝kAB，即m2－m－22＝1m－2，
解得m＝1或1－3或1＋3.
(2)由已知，得kBC＝m2－m－22，且xA－xB＝m－2.
①当m－2＝0，即m＝2时，直线AB的斜率不存在，此时kBC＝0，于是AB⊥BC；
②当m－2≠0，即m≠2时，kAB＝1m－2，
由kAB·kBC＝－1，得1m－2·m2－m－22＝－1.
解得m＝－3.
综上，可得实数m的值为2或－3.
基础达标
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若直线l1，l2的斜率相等，则l1∥l2
B．若直线的斜率kl1·kl2＝1，则l1⊥l2
C．若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2
D．若直线l1，l2的斜率存在但不相等，则l1与l2不平行
解析：直线l1，l2的斜率相等时，l1和l2可能重合，故A错；若kl1·kl2＝－1，则l1⊥l2，故B错；直线l1，l2的斜率都不存在时，l1，l2可能重合，故C错；故选D.
答案：D
2．过点A(4，a)，B(5，b)的直线与直线l平行，又直线l的斜率为1，则a与b满足( )
A．b－a＝1 B．a－b＝1
C．b＋a＝1 D．b＋a＝－1
解析：依题意，kAB＝b－a5－4＝1，所以b－a＝1，故选A.
答案：A
3．下列直线中，与已知直线y＝－43x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
解析：先看斜率，A、D选项中斜率为－34，排除掉；直线与y轴交点需在y轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合．
答案：B
4．若A(0,1)，B(3，4)在直线l1上，且直线l1⊥l2，则l2的倾斜角为( )
A．－30° B．30°
C．150° D．120°
解析：因为kl1＝4－13－0＝3，所以l1的倾斜角为60°.因为两直线垂直，所以l2的倾斜角为60°＋90°＝150°.故选C.
5．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，则其形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
解析：∵kAB＝1－－11－5＝－12，kBC＝3－12－1＝2，∴kAB·kBC＝－1，∴AB⊥BC，故选A.
答案：A
6．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为( )
A．(0，－6) B．(0,7)
C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0)
解析：由题意可设点P的坐标为(0，y)．因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，且直线AP与直线BP的斜率都存在．
又kAP＝y＋52，kBP＝y－6－6，kAP·kBP＝－1，
即y＋52·－y－66＝－1，
解得y＝－6或y＝7.
所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)，故选C.
答案：C
