2020高考数学(理)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练(课件+优选练)：专题九 不等式

专题九 不等式

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分，考试时间60分钟．

第Ⅰ卷 (选择题，共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2019·北京市怀柔区适应性练习)某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2只玫瑰所需费用为A元，购买3只康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是( )

A．A＞B B．A＜B

C．A＝B D．A，B的大小关系不确定

答案 A

解析 设购买1只玫瑰需x元，购买1只康乃馨需y元，由题意，得 2x＋y＞8，4x＋5y＜22，2x＝A,3y＝B，

整理，得x＝A2，y＝B3， A＋B3＞8，2A＋5B3＜22，将A＋B3＞8乘以－2与2A＋53B＜22相加，解得B＜6，将B＜6代入A＞8－B3中，解得A＞6，故A＞B，故选A.

2．(2019·武汉二模)若a0，则a，b，c，d的大小关系为( )

A．d

C．a

答案 A

解析 因为a0，所以d

3．(2019·阜阳模拟)下列说法正确的是( )

A．若a，b∈R，则ba＋ab≥2

B．若x<0，则x＋4x≥－2x·4x＝－4

C．若ab≠0，则b2a＋a2b≥a＋b

D．若x<0，则2x＋2－x>2

答案 D

解析 对于A，当ab<0时不成立；对于B，若x<0，则x＋4x＝－－x＋4－x≤－2－x·4－x＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，b2a＋a2b＝－922成立．故选D.

4．(2019·张家口模拟)已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y,2)，其中x>0，y>0.若a⊥b，则xy的最大值为( )

A.14 B.12 C．1 D．2

答案 B

解析 因为a＝(1，x－1)，b＝(y,2)，a⊥b，所以a·b＝y＋2(x－1)＝0，即2x＋y＝2.又因为x>0，y>0，所以2x＋y≥22xy，当且仅当x＝12，y＝1时等号成立，即22xy≤2，所以xy≤12，所以当且仅当x＝12，y＝1时，xy取到最大值，最大值为12.故选B.

5．(2019·日照模拟)设a＝x2－xy＋y2，b＝pxy，c＝x＋y，若对任意的正

实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是( )

A．(1,3) B．(1,2] C.12，72 D.12，3

答案 A

解析 对任意的正实数x，y，由于a＝x2－xy＋y2≥2xy－xy＝xy，当且仅当x＝y时等号成立，b＝pxy，c＝x＋y≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，∴xy＋2xy>pxy，且pxy＋xy>2xy，且pxy＋2xy>xy，解得1

6．(2019·重庆梁平区调研)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则1m＋1n的最小值为( )

A．3－22 B．5 C．3＋22 D．3＋2

答案 C

解析 令x＋3＝1，得x＝－2，故A(－2，－1)．又点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，则1m＋1n＝1m＋1n(2m＋n)＝3＋nm＋2mn≥3＋2nm·2mn＝3＋22.当且仅当m＝12＋2，n＝12＋1时等号成立，所以1m＋1n的最小值为3＋22，故选C.

7．(2019·山东省烟台市高三上学期期末)若a

)

A.1a<1b B.1a－b>1b

C.12a>12b D．a3>b3

答案 C

解析 若a1b，A错误；a－b<0，则a－b与b大小关系不确定，

B错误；12a>12b成立，C正确；a3

8．(2019·衡阳市高三第一次联考)设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2019＝6057，则1a2＋4a2018的最小值为( )

A．1 B.23 C.136 D.32

答案 D

解析 依题意，20192(a1＋a2019)＝6057⇒a1＋a2019＝a2＋a2018＝6，

1a2＋4a2018＝16(a2＋a2018)1a2＋4a2018

＝165＋4a2a2018＋a2018a2≥32.

当且仅当a2＝2，a2018＝4时取等号．

9．(2019·浙江省名校联考)已知实数a，b，c，d满足a＋b＝1，c＋d＝1，则1abc＋1d的最小值是( )

A．10 B．9 C．42 D．33

答案 B

解析 ∵a＋b＝1，c＋d＝1，∴ab≤a＋b22＝14，∴1ab≥4，当且仅当a＝b＝12时，取等号．则1abc＋1d≥4·1c＋1d＝(c＋d)·4c＋1d＝5＋4dc＋cd≥5＋24dc·cd＝9，

当且仅当a＝b＝12时，且c＝23，d＝13时，1abc＋1d的最小值为9.故选B.

10．(2019·山东省济宁市期末)已知数列{an}满足an＋1＋an＝(n＋1)cosnπ2(n≥2，n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，若S2021＋m＝1012，且a1·m>0，则1a1＋1m的最小值为(

)

A．2 B.2 C．22 D．2＋2

答案 A

解析 由an＋1＋an＝(n＋1)cosnπ2(n≥2，n∈N*)得，a3＋a2＝－3，a4＋a3＝0，a5＋a4＝5，a6＋a5＝0，a7＋a6＝－7，a8＋a7＝0，a9＋a8＝9，a10＋a9＝0，…，

∴a2＋a3＋a4＋a5＝a6＋a7＋a8＋a9＝…＝a2018＋a2019＋a2020＋a2021＝2，

∴S2021＝505(a2＋a3＋a4＋a5)＋a1＝1010＋a1，又S2021＋m＝1012，

∴a1＋m＝2，∴1a1＋1m＝12(a1＋m)1a1＋1m＝122＋a1m＋ma1≥2，

即1a1＋1m的最小值为2.

11．(2019·新疆高三一模)已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋ax1x2的最大值是( )

A.63 B.233 C.433 D．－433

答案 D

解析 ∵不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为(x1，x2)，∴在方程x2－4ax＋3a2＝0中，由根与系数的关系知x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a，则x1＋x2＋ax1x2＝4a＋13a.∵a<0，∴－4a＋13a≥24a·13a＝433，即4a＋13a≤－433，故x1＋x2＋ax1x2的最大值为－433.故选D.

12．(2019·惠州市高三第三次调研)在△ABC中，点D是AC上一点，且AC→＝4AD→，P为BD上一点，向量AP→＝λAB→＋μAC→(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( )

A．16 B．8 C．4 D．2

答案 A

解析 由题意可知AP→＝λAB→＋4μAD→，其中B，P，D三点共线，由三点共线的充分必要条件可得，λ＋4μ＝1，则4λ＋1μ＝4λ＋1μ×(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋

216μλ×λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，即4λ＋1μ的最小值为16.故选A.

第Ⅱ卷 (非选择题，共40分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．(2019·天津高考)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则x＋12y＋1xy的最小值为________．

答案

43

解析 ∵x>0，y>0，∴xy>0.

∵x＋2y＝5，∴x＋12y＋1xy＝2xy＋x＋2y＋1xy＝2xy＋6xy＝2xy＋6xy≥212＝43.

当且仅当2xy＝6xy时取等号．

∴x＋12y＋1xy的最小值为43.

14．(2019·江苏省镇江市高三期末)已知x>0，y>0，x＋y＝1x＋4y，则x＋y的最小值为________．

答案 3

解析 由于x>0，y>0，x＋y＝1x＋4y>0，

则(x＋y)2＝(x＋y)1x＋4y＝1＋4＋yx＋4xy≥5＋4＝9，故x＋y≥3.

15．(2019·江苏省南通市期末)已知实数a>b>0，且a＋b＝2，则3a－ba2＋2ab－3b2的最小值为________．

答案 3＋54

解析 由于a＋b＝2，且a＞b＞0，则0＜b＜1＜a＜2，

所以3a－ba2＋2ab－3b2＝3a－ba－ba＋3b

＝3a－2－a[a－2－a]·[a＋32－a]

＝4a－22a－26－2a＝22a－12a－26－2a，

令t＝2a－1∈(1,3)，则2a＝t＋1，

所以3a－ba2＋2ab－3b2＝22a－12a－26－2a

＝2tt－1[6－t＋1]＝2tt－15－t＝2t6t－t2＋5

＝26－t＋5t≥26－2t·5t＝26－25＝13－5

＝3＋53－53＋5＝3＋54.

当且仅当t＝5t(1

16．(2019·咸阳市高考模拟检测)正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得am·an＝2a1，且a6＝a5＋2a4，则1m＋9n的最小值是________．

答案 4

解析 由于数列{an}是正项等比数列，由a6＝a5＋2a4得q2＝q＋2，解得q＝2(负根舍去)．由am·an＝2a1，得2m＋n－2＝22，m＋n＝4.故1m＋9n＝14·1m＋9n·(m＋n)＝141＋9＋nm＋9mn≥1410＋2nm·9mn＝14(10＋6)＝4.当m＝1，n＝3时，取最小值为4.