用公式法进行因式分解

12.5.2《用公式法分解因式》导学案

复习回顾

1. 还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？

2. 什么叫因式分解？我们学过的因式分解的方法是什么?

3. 因式分解与整式乘法有什么关系？

学习目标：

• 1. 理解整式乘法和因式分解是互逆的，培养逆向思维能力。

• 2.进一步理解因式分解的意义，掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法。

• 3. 掌握提公因式法、公式法分解因式的综合运用。

• 4.体会换元法、类比法、整体思想、转化思想。

重点：用平方差公式和完全平方公式法进行因式分解.

难点：把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式和完成平方公式分解因式

学习过程：

一、创设情境 明确目标

你能很快做出下面两道题吗？

二、引导自学 初步达标

自主完成下面填空并思考：(4分钟，独立完成)

（一）根据乘法公式计算：

= =

= =

（二）根据等式的对称性填空

= =

= =

（三）思考：

１、（二）中四个多项式的变形是因式分解吗？

２、对比（一）和（二）你有什么发现？

你能用图形的面积说明这两个公式吗？

三、探究新知 达成目标 222007200740162008 1）（2220072008 2）（(2)(2)mm()()abab2()ab2(2)m24m22ab244mm222aabb探究一 用平方差公式分解因式

思考：

1、因式分解时，平方差公式的左边和右边各有什么特征？

2、你能用语言叙述这个公式吗？

议一议：下列多项式可以用平方差公式分解吗？

（1）x2－y2 ；（2）－x2+y2；（3）x2+y2 ；（4）－x2－y2；（5）16－b2 ；（6）2a2－3b2;(7)

1 因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知abc，，是ABC的三边，且222abcabbcca，

则ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bnbmanam

2 例2、分解因式：bxbyayax5102

练习：分解因式1、bcacaba2 2、1yxxy

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智 赢 人 生 善 念 心 存 公式法因式分解练习题

思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况：

一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。

例1、 分解因式：

（1）x2-9 （2）9x2-6x+1

二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。

例2、 分解因式：

（1）x5y3-x3y5 （2）4x3y+4x2y2+xy3

三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用a公式法分解.

例3、 分解因式：

(1)4x2-25y2 (2)4x2-12xy2+9y4

四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.

例4、 分解因式:

(1)x4-81y4 (2)16x4-72x2y2+81y4

五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。

例5、 分解因式：

（1）-x2+(2x-3)2 (2)(x+y)2+4-4(x+y)

六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。

例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1)

1 因式分解专题

类型一、整除问题

1、5.631)25.2(3175.20531能被35整除吗？

2、1991993能被198整除吗？能被100整除吗？

3、若多项式122pxx能被3x整除，求p的值

4、201320142015310343能被7整除吗？为什么？

5、 已知n为整数，证明：22)13(nn能被13整除。

6、已知158能被0~10之间的数整除，求这两个数

类型二、提公因式法分解因式

A组题

1、nnxx8161 2、cbab2294278

3、)2()2(2amam 4、2)()(xyxyxxy

5、332168baab 6、xyxyyx1551022 2

7、232234236yxzyxyx 8、nnnxxx212222793

9、33)(6)(3xyyyxx 10、23)(6)(4abbbaa

11、)()()(yxcxybyxa 12、)()(22mnxynmyx

B组题

1、)()()(yzxcyxzbzyxa

2、)1()1()1(abazbaaybaax

3、)2)(()2)(())((xybazyxbaxyzab

类型三、公式法分解因式

A组题

一、平方差分解因式

1、224)1(ba 2291)2(ba 4161)3(m 224)32)(4(xyx

819)5(2x 644)6(2a

2、223)2(3)1(mnyxm 4)3)(2)(2(2xxx

bcacba22)3( 55)4(xyyx 3 二、完全平方分解因式

1、96)1(2aa 223291)2(nmnm 44)3(2nnyy