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页涂色问题解析
一、单选题
1．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）如图，用4种不同的颜色给矩形
A，
B，C，
D涂
色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（）
A．12种B．24种C．48种D．72种
【答案】D
【分析】先涂C区域，再涂D，涂A，涂B，根据分步乘法计数原理可得解.
【详解】先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2
种涂法，由分步乘法计数原理，共有433272种涂法.
故选：D.
2．（21-22高二下·山东滨州·期中）用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，
且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是（）（用数字填写答案）
A．24B．48C．72D．120
【答案】D
【分析】根据图形的位置关系，由分类加法原理计算即可得答案.
【详解】对图形进行编号如图所示：试卷第2页，共6页
第一类：若区域⑥与区域④相同，涂区域⑤有4方法，涂区域①有3
种方法，
涂区域④有
2种方法，涂区域③有
2种方法，涂区域②有1种方法，
则不同的涂色方案的种数为：4322148
种；
第二类：若区域⑥与区域④不相同，涂区域⑤有4方法，
涂区域①有3
种方法，涂区域④有
2种方法，涂区域⑥有1种方法，
再分类，若涂区域③和⑥一样，涂区域②有
2种方法；
若涂区域③和⑥不一样，涂区域②、③有1种方法，
则不同的涂色方案的种数为：
43212172
种；
根据分类加法计数原理，共有4872120
种；
故选：D.
3．（22-23高二下·河北石家庄·期中）某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面
涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6
种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）
A．600种B．1080种C．1200种D．1560种
【答案】D
【分析】分三类：用5种、4种、3种颜色涂在5个面上，再由分步计数及排列组合数求不
同的涂色方案.
试卷第1页，共34页
概率与统计微专题
涂色（染色）问题【培优版】
与涂色（染色）问题有关的试题新颖有趣，是近几年高考考查的热点、高频考点，其中包含
着丰富的数学思想，解题方法技巧性强且灵活多变．
本专题总结涂色（染色）计数问题的常见类型及求解方法，侧重于分类加法计数原理、分步
乘法计数原理在涂色（染色）问题中的应用．
一、涂色问题与染色问题
涂色问题和染色问题都是数学中的组合数学问题，它们有一些相似之处，但严格来说涂色问
题与染色问题是有区别的，举例如下：
（1
）涂色问题的例子：
在一个方格纸上，按照一定的规律，如螺旋式或交替式，给每个方格涂色．
给一个几何图形，如三角形、正方形等，用不同颜色进行涂色，使得满足某种对称或美观要
求．
（2
）染色问题的例子：
试卷第2页，共34页 给定一个地图，能否用有限种颜色给各个国家或地区染色，使得相邻国家或地区颜色不同．
在一个网络中，确定能否用有限种颜色给节点染色，使得相邻节点颜色不同．
可以看出，涂色问题更注重颜色的排列和组合方式，以及如何达到特定的视觉效果；而染色
问题更关注如何满足特定的限制条件，如相邻区域或节点的颜色不同．
本文在中学范围内，探讨涂色问题与染色问题的解法，因此对它们不加以区别，认为它们是
相同类型的问题．
二、涂色（染色）问题主要类型
在中学范围内，涂色（染色）问题主要有以下几种类型：
（1
）点线面染色问题：涉及对点、线、面的染色；
（2
）区域染色问题：将一个平面区域按照一定的规则进行染色；
（3
）图形染色问题：对各种几何图形进行染色，如三角形、正方形等；
（4
）染色方案问题：确定满足一定条件的染色方案的数量；
（5
）染色规律问题：寻找染色过程中的规律；
（6
）限定条件染色问题：在特定限制条件下进行染色，等等．
三、涂色（染色）问题的常用解题策略
选好分类标准，优化分类顺序的策略．
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要对研究
简单的涂色问题
班级：___________姓名：________________学号：____________
【教学目标】
1、使学生能利用分步计数原理（乘法原理）、分类计数原理（加法原理），解决涂色问题.
2、使学生能掌握利用分类计数原理涂色时的分类标准：
（1）根据对称区域是否涂相同颜色进行分类；
（2）根据涂色所用颜色的种数进行分类。
【教学重点、难点】
重点：利用两个基本原理解决线形区域与环形区域的涂色问题
难点：如何进行分类：
（1）根据涂色所用种数进行分类涂色；
（2）根据对称区域涂色是否相同进行分类涂色。
【典型例题】
【例题】用5种不同颜色给图1中的四个区域涂色，如果每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色方法有 种。
【变题1】在例题1的基础上，请同学们加上一个区域，有哪些加法？如何解决？
【变题2】给图2中的四个矩形涂色，使得有公共边的矩形颜色不同，现有四种颜色供选择，这样的涂法种数有____.
D C B A
图1
图2 CDABD C B
A
D C B A D C B A D C B A 【变题3】如图3一圆面分成五个部分，有4种颜色的涂料，要求相邻部分涂不同的颜色，则涂法种数为 A、 72 B、 36 C、 24 D、 12
（ ）
【变题4】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图4），现要求栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种，且相邻部分不能栽种同种颜色的花，不同的栽种方法有______种
【演练反馈】
练习：四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一
仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号
为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为( )
高中数学不等式的恒成立问题
不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。
一、构造函数法
在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.
例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即 解得故的取值范围是.
注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 二、分离参数法
在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法.
例2 已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数. （Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围. 解：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立
注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.
