计数原理涂色问题

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专业技术 知识共享 排列组合中涂色问题的常见方法及策略

与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、 区域涂色问题

1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240

2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：

（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A；

（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A；

（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A；

（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A；

所以根据加法原理得涂色方法总数为544A=120

例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？

分析：依题意至少要用3种颜色

1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，

2) 区域3与5必须同色，故有34A种； ② ① ③ ④

2

4 3 1 5 ①

1 排列组合中区域涂色问题

排列组合中的区域涂色问题技巧性强，方法灵活多变，一直是选修2-3中的教学难点问题。本文对部分常见区域涂色问题的解题规律做一下探讨。

区域涂色问题，应当从使用多少种颜色入手，分类讨论。再每一类中（若有必要），再根据两个不相邻区域是否同色分小类讨论。最后再根据分类加法计数原理求出所有方法种数。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

分析：当使用4中颜色涂色时，方法种数为45A；当使用3中颜色时，分两类：①④同色或者②④同色，方法种数为352A。可以这样给学生解释：①④同色，相当于①④合并成了一个区域，这样的话原本的四个区域变成了3个区域，故涂色方法种数为35A。根据分类分类加法原理，所有涂色方法总数为43552AA。

例2、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？

分析：依题意，可分为3种颜色或4中颜色两类。

①当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，（相当于5个区域合并成了4个区域）故有34A种；

②当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有44A种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A种，故用四种颜色时共有244A种。最后，由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A+244A=24+224=72

② ① ③ ④

2

4 3 1 5

2 例3、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

分析：可把问题分为三类：

①涂四中颜色：四格涂不同的颜色，方法种数为45A；

②涂三种颜色：有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为12542CA；

妙解排列组合里的涂色问题

◉江苏省江安高级中学　肖雄伟

摘要:排列组合的问题在考查学生能力方面有显著的作用,因此在高考题中能经常见到,尤其涂色类型的问

题．因为涂色类型的题目对学生的思维有一定的要求,很多同学不能顺利地解答这种类型的问题．基于此,对排列

组合里面的涂色问题进行一个深入的分析,总结阐述一些答题方法,希望对学习排列组合知识有困难的同学提

供一些思考的方向和解题的思路．

关键词:排列组合;涂色;解题技巧

１一分步,二分类

对于某些不复杂的涂色问题,使用分步计数原理

处理会更加简便．如果题目所给的条件比较多的时候,

此时就应该以题目的已知条件为依据,把分步计数原

理和分类计数原理结合起来进行求解．在实际情况中,

要牢记优先处理有特殊要求的色块．解题步骤为首先

处理特殊的色块,再依据实际情况,如果附加要求多,

那就先使用分步计数原理,再使用分类计数原理解

答;如果是不难的涂色问题,就可以直接运用分步计

数原理解题．

图１例题１　假设中国的某一个省

由５个市区组成,这个省的市区分

布如图１所示,现给地图上色,要求

相邻区域使用的颜色不能相同,现

有４种颜色可供选择,那么不同的

上色方法一共有 种．

分析:这个题目与很多题目都有相似的地方,但

是图形是有变化的,因此就需要学生有较强的观察能

力和分析能力．分析发现,市区１与其他市区不一样,

它跟另外的四个市区都是相邻的,被其他四个市区包

围着．因此在解答题目的时候,需要优先考虑分步计数

的方法,即首先将市区１涂上颜色,那么市区１就有４

种选择方法,再利用分类计数的方法,当市区２和市

区４的颜色一样的时候,就有３种上色方法,那么总

的上色方法就有４×３×２×２＝４８种;当市区２和市区４的颜色不一样的时候,优先给市区２上色的方法有３种,此时市区４就有两种上色方法,那么市区３和市

区５就只有一种上色方法,因此此时上色的总方法数

为:４×３×２×１×１＝２４种．所以,一共有２４＋４８＝７２

种上色方法．

图２推广１　如图２,用４种不同颜色给

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略专题讲座

与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题

1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240

2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：

（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A；

（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A；

（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A；

（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A；

所以根据加法原理得涂色方法总数为544A=120

例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？

分析：依题意至少要用3种颜色

1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，

2) 区域3与5必须同色，故有34A种；

3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色， ② ① ③ ④

2

4 3 1 5 ①

②③ ④ ⑤

⑥

4) 则区域3与5不同色，有44A种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A种，故用四种颜色时共有244A种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A+244A=24+224=72