高考数学二轮专题复习——涂色问题

高考数学二轮复习专题教案（人教版）

集合与简易逻辑

一、考点回顾

1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；

2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；

3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；

4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；

5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；

6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

二、经典例题剖析

考点1、集合的概念

1、集合的概念：

（1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；

（2） 集合的分类：

① 按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；

（3） 集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，...}；②描述法。

2、两类关系：

（1） 元素与集合的关系，用或表示； （2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。

3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题

4、注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论

例1、下面四个命题正确的是

（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}

（C）0与{0}表示同一个集合 （D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}

解：选（D），最小的质数是2，不是1，故（A）错；由集合的定义可知（B）（C）都错。

妙解排列组合里的涂色问题

◉江苏省江安高级中学　肖雄伟

摘要:排列组合的问题在考查学生能力方面有显著的作用,因此在高考题中能经常见到,尤其涂色类型的问

题．因为涂色类型的题目对学生的思维有一定的要求,很多同学不能顺利地解答这种类型的问题．基于此,对排列

组合里面的涂色问题进行一个深入的分析,总结阐述一些答题方法,希望对学习排列组合知识有困难的同学提

供一些思考的方向和解题的思路．

关键词:排列组合;涂色;解题技巧

１一分步,二分类

对于某些不复杂的涂色问题,使用分步计数原理

处理会更加简便．如果题目所给的条件比较多的时候,

此时就应该以题目的已知条件为依据,把分步计数原

理和分类计数原理结合起来进行求解．在实际情况中,

要牢记优先处理有特殊要求的色块．解题步骤为首先

处理特殊的色块,再依据实际情况,如果附加要求多,

那就先使用分步计数原理,再使用分类计数原理解

答;如果是不难的涂色问题,就可以直接运用分步计

数原理解题．

图１例题１　假设中国的某一个省

由５个市区组成,这个省的市区分

布如图１所示,现给地图上色,要求

相邻区域使用的颜色不能相同,现

有４种颜色可供选择,那么不同的

上色方法一共有 种．

分析:这个题目与很多题目都有相似的地方,但

是图形是有变化的,因此就需要学生有较强的观察能

力和分析能力．分析发现,市区１与其他市区不一样,

它跟另外的四个市区都是相邻的,被其他四个市区包

围着．因此在解答题目的时候,需要优先考虑分步计数

的方法,即首先将市区１涂上颜色,那么市区１就有４

种选择方法,再利用分类计数的方法,当市区２和市

区４的颜色一样的时候,就有３种上色方法,那么总

的上色方法就有４×３×２×２＝４８种;当市区２和市区４的颜色不一样的时候,优先给市区２上色的方法有３种,此时市区４就有两种上色方法,那么市区３和市

区５就只有一种上色方法,因此此时上色的总方法数

为:４×３×２×１×１＝２４种．所以,一共有２４＋４８＝７２

种上色方法．

图２推广１　如图２,用４种不同颜色给

戆　鬃　◇江苏朱月祥　涂色问题是排列组合中一类较难的问题，与涂色　问题有关的试题新颖有趣，其中包含着丰富的数学思　想．解决涂色问题的方法技巧性强且灵活多变，故这　类问题利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观　察问题的能力，有利于开发学生的智力．在近年来的　高考试题和各地模拟试题中频繁出现．这类问题往往　以有限的几种颜色给图中多块区域涂色，并且要求相　邻区域不同色，处理起来比较抽象，感觉“理不清头　绪”，容易出现涂法的重复和遗漏，是一个难点．因此　有必要对这类问题的解法作一些梳理和归纳．　１利用树形图。一一列举　树形图是结构最简单但又是十分重要的图形．对　颜色种数与区域较少的涂色问题，可用树形图一目了　然地把涂法直接表示出来．　—　例１　在如图１的矩形条中涂上红、黄、蓝３种颜　色，每种颜色限涂２格，且相邻２格不同色，则不同的　涂法有多少种？　图ｌ　Ｑ．　设３种颜色分别为ａ，６，ｃ，当左边第１格涂ｎ　厂解ｌ析色，第２格涂ｂ色时，可用树形图画出涂法，　共有５种涂法．　／口——ｃ一６一ｃ，　６　＜／ａ＜６Ｃ－一　‘　＜　同理，第１格涂ｎ色，第２格涂ｃ色，也有５种涂　法，于是第１格涂ａ色有１Ｏ种涂法．因此共有３Ｏ种　涂法．　２逐块涂色。分步计算　绝大部分涂色问题可以采取逐块涂色，分步计算　的办法．但要注意：一是应坚持“最多相邻原则”，即涂　色时，要先涂相邻区域多的区域；二是部分未涂区域　的颜色与已涂区域颜色是否相同，对后面区域的涂法　有直接的影响．　例２用５种颜色给四棱　锥Ｐ－ＡＢＣＤ（如图２）的５个面　涂色，要求有公共边的２个面　不同色，有多少种不同涂法？　Ｐ　Ｃ　根据最多相邻原则，　图２　析首先涂面ＡＢＣＤ，有５种涂法；再涂面ＰＡＢ，　有４种涂法；接着涂面ＰＢＣ，有３种涂法，下面在涂面　ＰＣＤ时，要考虑它与面ＰＡＢ是否同色，若它与面　ＰＡＢ同色，则面ＰＡＤ有３种涂法；若它与面ＰＡＢ不　同色，其本身有２种涂法，面ＰＡＤ也有２种涂法，所　以面ＰＡＤ与面ＰＣＤ共有２×２＋３—７种涂法．于是　根据分步计数原理，共有５×４×３×７—４２０种不同的　涂法．　３分类讨论。避免重漏　在涂色问题中，当颜色种数不少于区域块数时，　提供的颜色可不全用，因此可按使用颜色的种数进行　分类讨论．当颜色种数不少于区域块数时，必有不相　邻区域涂同一种颜色，此时可按区域是否相邻进行分　类讨论．　，　例３　用５种颜色给图３中的４　块区域涂色，要求相邻区域不同色，共　有多少种不同的涂法？　依题意，按使用颜色的种数　图３　解析分类如下：１）当使用４种颜色时，有Ａ　一　１２０种涂法；２）当使用３种颜色时，必有区域１与３　或２与４同色，其他２块不同色，共有２×５×４×３—　１２０种涂法；３）学使用２种颜色时，只能是区域１与　３，２与４各涂一种颜色，有５×４＝＝＝２０种涂法，所以共　有２６０种涂法．　例４如图４所示的花圃有６　个部分组成，栽种４８种不同颜色　的花，要求每个部分种一种花，并　且相邻部分不同色，共有多少种不　同的栽种方法？　图４　４种花种在６个部分上，必有２组不相邻的２　析个部分各种一种花，比如区域２与４，３与５　分别种一种花，剩下的１与６种２种花．据此只能分　成如下５类：２与４，３与５，ｌ，６；３与５，４与６；１，２；２　与５，３与６，１，４；２与５，４与６，１，３；２与４，３与６，１，　５．因此共有涂法５×４×３×２×１＝＝＝１２０种．　善学者，假人之长以补其短　

■江苏省张家港中等专业学校 张 娴 韩文美

排列组合中有一类常见问题———涂色问

题,此类问题基于两个计数原理与排列组合

知识,关注图形的结构特征,解决方法技巧性

强且灵活多变,有利于培养同学们的创新思

维能力、分析问题与观察问题以及解决问题

的能力,已成为数学命题中比较常见的一类

基本题型,备受各方关注。1.直线型涂色问题

图1例1 (2022—2023

学年江苏省常州一中高二

下学期段考数学试卷)现

有6种不同的颜色,给图1中的5个格子涂

色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用4种

颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有种。

分析:根据题设条件,选出的颜色可以是2种,3种或者4种,依次通过直线型的图形

结构特征求出方法数,通过分类法求和,即可

得以分析与求解。

解:由题意选出的颜色可以是2种,3种

或者4种,规定左边起为第一个空,不同情况

如下。

当选出2种颜色时,第一个空有2种选

择,第一个空颜色确定后,其余空颜色就确定

了,共有C26×2=30(种)方法。

当选出3种颜色时,第一个空有3种选

择,第二个空有2种选择,第三个空可分为与

第一个空颜色相同和不同的情况,第四个空

和第五个空都各有2种选择,但要去掉整体

只用了2种颜色的情况,共有C36C13C12·(C12C12+C12C12)-2C36C23=840(种)方法。

当选出4种颜色时,必有2种颜色相同,

可采用插空法,将这2种相同颜色去插入另

外3种颜色形成的空,共有C46C14A33C24=2160(种)方法。

综上分析,不同的涂色方法共有30+

840+2160=3030(种)。

点评:直线型涂色问题往往从第一个位

置入手,逐一分析,在前一个已涂色的条件下

涂下一个位置,注意对不同位置的分析加以

合理分类讨论与分步处理,进而确定直线型

涂色问题的种数。2.区域型涂色问题

图2例2 (2022—2023学年

湖北省武汉市高二下学期期中

数学试卷)七巧板是古代劳动

人民智慧的结晶。图2是某同

学用木板制作的七巧板,它包