高二数学选修2 定积分
目的要求：（1）定积分的定义
（2）利用定积分的定义求函数的积分，掌握步骤
（3）定积分的几何意义
（4）会用定积分表示阴影部分的面积
重点难点：定积分的定义是本节的重点，定积分的几何意义的应用是本节的难点。
教学内容：
定积分：一般地，设函数()fx在区间[,]ab上有定义，将区间[,]ab等分为n个小区间，每个小区间的长度为x（baxn），在每个小区间上取一点，依次为123,,,nxxxx。作和12()()()()ninSfxxfxxfxxfxx，如果x无限趋近于0（亦即n趋向于)时，nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记为()baSfxdx 其中，()fx为被积函数，[,]ab称为积分函数，a称为积分下限，b称为积分上限。 思考：按定积分的定义第1.5.1节曲边梯形的面积S就是 ，
即S=
类似的，在第1.5.1节例1中，火箭发射的速度为()vt，则S 表示火箭在10s内所行的距离
在第1.5.1节例2中，移动电荷B的过程中，库仑力所做的功可以表示为S
。
例1． 计算定积分21(1)xdx
思考：前面我们均假设被积函数()fx在区间[,]ab上非负，那么当()fx在区间[,]ab上可取负值时，定积分的几何意义是什么呢？
定积分的几何意义：
例2． 计算定积分50(24)xdx
板演：计算下列定积分：
（1）121(1)2xdx （2）01xdx B A b
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高中数学 定积分的应用要点讲解
一、要点精析
1.定积分的概念
教材上详细地给出了定积分的概念，对定积分的内涵可抓住以下几点进行理解：
(1)“分割、近似代替、求和、逼近”是定积分定义的核心，体现了“化整为零、以不变代变、积零为整、以逼近代准确”的辨证思考方法，促使近似向精确转化，这种无限分割（微分）与无限求和（积分）的方法，是微积分的基本思想方法.
(2)定积分()bafxdx的值与被积函数()fx在积分区间[]ab，有关，而与积分变量用什么字母表示无关,即()()()bbbaaafxdxfuduftdt（称为积分形式的不变性）．
(3)定积分的定义已假定下限a小于上限b，为方便起见，规定ab时，交换定积分上、下限的位置，定积分改变符号，即()()baabfxdxfxdx，当ab时，()0aafxdx.
2.定积分的几何意义与物理背景
(1)几何意义:当()0fx时,()bafxdx表示的是()yfx与,xaxb和x轴所围曲边梯形的面积.
(2)物理背景:当()fx表示速度关于时间x的函数时, ()bafxdx表示的是运动物体从xa到xb时所走过的路程.
3.定积分的性质
(1)1的定积分等于积分的上限与下限之差,即1badxba.
(2)被积函数的常系数可提到积分号之前, 即()()bbaakfxdxkfxdx（k为常数）.
(3)两个(可推广到有限个)函数的和(差)的定积分等于它们定积分的和(差),即
[()()]bafxgxdx()()bbaafxdxgxdx；
(4)定积分的积分区间具有可加性，即不论cba,,三点的相互位置如何，恒有()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx．
4.微积分基本定理
定理:如果连续函数()fx是函数()Fx的导函数，即()()fxFx,则有()()()()bbaafxdxFxFbFa(*),式子*叫作牛顿-莱布尼茨公式，通常称()Fx是()fx的一个原函数.
高中数学导学案 选修2-2 第一章 导数及其应用 总第 课时 执笔：赵体波 校稿：韩林 审定：王合民
y=g(x)y=f(x)xOyba1.7.1定积分在几何中的应用
【学习目标】
1．理解定积分概念、性质和几何意义的基础上，利用微积分基本定理，熟练进行定积分的计算；
2．掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。
【学习过程】
一、合作探究：
1.定积分的几何意义：当函数()fx在区间[a,b]上连续且恒为正时，定积分()bafxdx的几何意义是_____________________________
一般情况下（如图），定积分()bafxdx的几何意义是介于x轴、函数()fx的图像以及直线,xaxb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积为______号，在x轴下方的面积为_____号
2．几种典型的平面图形面积的计算
（1）如图，()0,()0bafxfxdx，所以S=___________
（2）如图，()0,()0bafxfxdx，所以S=___________
（3）如图，当,()0,()0baaxcfxfxdx，当cxb，,()0,()0bafxfxdx，所以S=_______________________
3.由两条曲线()fx和()gx，直线,()xaxbab所围成平面图形的面积S
（1）如图，当()()0fxgx时， S=___________
（2）如图，当()0,()0fxgx时， S=___________
（3）如图，当()()0gxfx时， S=___________
1.7.1定积分在几何中的应用
【学习目标】
1.进一步理解定积分的几何意义.
2.了解应用定积分解决几何问题的思想方法.
3.能应用定积分解决一些简单的几何问题.
【新知自学】
知识回顾：
1.定积分的几何意义是____________________
_________________________.
2.微积分基本定理:一般地，如果)(xf是区间ba,上的连续函数，并且，)()(xfxF，那么dxxfba)(________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．即()()|bbaafxdxFx________________________．
3.定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0．
(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时(图1)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形的________ ；
(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时(图2)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形______ 的相反数；
(3)当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 _______ (如图3)且等于位于x轴_____ 的曲边梯形的面积减去位于 ______ 的曲边梯形的面积．
4.定积分的三个性质
(1)abkf(x)dx＝ ；
(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝
(3)abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中a
新知梳理：
1.若函数错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上连续且在错误!未找到引用源。上有错误!未找到引用源。,那么由y
＝f (x)，y＝g（x）,x=a,x=b所围成的有界区域面积为错误!未找到引用源。＝错误!未找到引用源。－错误!未找到引用源。.
