三角形的全等的判定方法

全等三角形的证明方法一、三角形全等的判定： （1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)； （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) ； （3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) ； （4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) ； （5）直角三角形全等的判定：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 二、全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等； （2）全等三角形的周长相等、面积相等； （3）全等三角形的对应边上的高对应相等； （4）全等三角形的对应角的角平分线相等；（5）全等三角形的对应边上的中线相等； 三、找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形 中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

①积极发现隐含条件：

公共角 对顶角 公共边

②观察发现等角等边:

等边对等角 同角的余角相等 同角的补角相等等角对等边 等角的余角相等 等角的补角相等③推理发现等边等角:

图1:平行转化 图2 :等角转化 图3:中点转化

图4 :等量和转化 图5:等量差转化 图6:角平分线性质转化

图7:三线合一转化 图8:等积转化 图9:中垂线转化 图10:全等转化

图11:等段转化四、构造辅助线的常用方法： 1、关于角平分线的辅助线:当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。 角平分线具有两条性质： ①角平分线具有对称性； ②角平分线上的点到角两边的距离相等。 关于角平分线常用的辅助线方法： （1）截取构造全等: 如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

11.3三角形全等的判定定理二（SAS）

2012-10-24

一、教材分析

全等三角形的判定是《全等三角形》这一章的主要内容之一，更是本章的主线,在知识结构上,尺规作图中的角的平分线、线段的垂直平分线，逆命题与逆定理中的等腰三角形的判定,线段的垂直平分线,角的平分线等内容都要通过证明两个三角形全等来加以解决；在能力培养上,无论是逻辑思维能力,推理论证能力,还是分析问题解决问题的能力,都可在全等三角形的教学中得以培养和提高.因此,全等三角形的教学对全章乃至以后的学习都是至关重要的

二、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：在本章前几节课的学习中，学生认识了三角形，了解了三角形全等的概念及特征，掌握了判定三角形全等的方法（SSS）,这为探究本节知识做了准备.但本节课中“两边一角”的两种情况较复杂，因此学生需要充分的操作、探讨和时间来体会这一过程体现的数学问题.

学生的活动经验基础：在相关知识的学习中，学生积累了活动经验.表现为学生熟悉各环节的要求，了解作图对比验证的重要性.同时在以前的数学学习中，学生具备了一定的合作交流能力和合情推理能力。

三、教学目标分析

基于学生对前面判定三角形全等的方法的认识，本节课在延续前两课时的探索模式的基础上，力图在多样的活动中激发学生的学习潜能，使学生更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力.为此，确定本节课的教学目标是：

1.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，积累数学活动经验.

2.掌握三角形全等的“边角边”条件，解决简单数学问题.

3.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理. 4.通过作图、思考、探索来激发学生学习的积极主动性，并使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力与创新精神.

教学重点：经历对三角形“两边一角”全等条件的分析与作图验证的过程；能应用“边角边”判定两个三角形全等.

第 1 页 共 5 页 全等三角形综合复习

1. 全等三角形的概念及性质；

2. 三角形全等的判定；

3. 角平分线的性质及判定。

知识点一：证明三角形全等的思路

通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：

SASSSSHLAASSASASAAASASAAAS找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边

例1. 如图，,,,AFEB四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求证：ACFBDE。

第 2 页 共 5 页 知识点二：构造全等三角形

例2. 如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C。

例3. 如图，在ABC中，ABBC，90ABC。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BEBF，连接,AEEF和CF。求证：AECF。

知识点三：常见辅助线的作法

1. 连接四边形的对角线

例4. 如图，AB//CD，AD//BC，求证：ABCD。

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

第 3 页 共 5 页 2. 作垂线，利用角平分线的知识

例5. 如图，,APCP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为MBN的平分线。

解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

3. “截长补短”构造全等三角形

例6. 如图，在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点。求证：ABACPBPC。

关于三角形的知识点有很多，本篇文章主要介绍全等三角形的五种判定方法，同学们要深刻体会。

三角形全等判定方法：

1.三边对应相等的两个三角形全等，简称SSS（边边边）

举例：在△ABC中，AC=BD，AD=BC，求证∠A=∠B.

证明：在△ACD与△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=CD.

∴△ACD≌△BDC.（SSS）

∴∠A=∠B.（全等三角形的对应角相等）

2：三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。简称SAS（边角边）。

举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D.证明：∵AB平分∠CAD.∴∠CAB=∠BAD.在△ACB与△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB.∴△ACB≌△ADB.（SAS）∴∠C=∠D.（全等三角形的对应角相等）

3：三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。简称ASA（角边角）。

举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.证明：在△ABE与△ACD中{∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C.∴△ABE≌△ACD.（ASA）

4：三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。简称AAS（角角边）。

举例：如下图，AB=DE，∠A=∠E，求证∠B=∠D.证明：在△ABC与△EDC中{∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE.∴△ABC≌△EDC.（AAS）∴∠B=∠D.（全等三角形的对应角相等）

5：在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简称HL（斜边、直角边）。

定义举例：如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC.

证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中{AC=BD，CD=CD.∴Rt△ADC与Rt△BCD.（HL）∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等） 相关概念及性质